一阶逻辑定理证明

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3.2前束范式谓词推理

1/11/2011
discrete math
前束合取范式
Logic 一阶逻辑
定义：一个谓词公式A如果具有如下形式如果具有如下形式，定义：一个谓词公式如果具有如下形式，则称为前束合取范式：则称为前束合取范式：前束合取范式 (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)[(A11∨A12∨…∨ 1k1)∧( ∨…∨A ∧ A21∨A22∨…∨ 2k2)∧…∧(Am1∨Am2∨…∨ mkm)] ∨…∨A ∧ ∨…∨A 其中Q 为客体变元，其中 i (1≤i≤n）为∃或∀，xi为客体变元，） Aij是原子变元或其否定。是原子变元或其否定。
1/11/2011 discrete math
谓词演算的推理理论
Logic 一阶逻辑
在谓词逻辑中，如果A 在谓词逻辑中，如果 1∧A2∧…∧An→B ∧ 是逻辑有效式，则称B是是逻辑有效式，则称是A1, 效结论，效结论，记作 A1∧A2∧…∧An⇒B ∧ A⇒B 当且仅当 A→B是重言式 ⇒ → 是重言式例如：例如： ∀xF(x) ⇒∃xF(x) A2, …，An的有，
1/11/2011
discrete math
前束范式例子
Logic 一阶逻辑
(3) ∀x∀y (∃z(P(x,z)∧P(y,z))→∃z Q(x,y,z)) ∀ ∃ ∧ ∃ ⇔∀x∀y (┐∃z(P(x,z)∧P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ∨ ⇔∀x∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀ ∀y(∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀x∀y (∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃u Q(x,y,u)) ⇔∀ ∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀x∀ ⇔∀ ∀y ∀z∃u (┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u)) ∃ ∨ ∨ （或⇔∀x∀y ∀z∃u (P(x,z)∧P(y,z)→Q(x,y,u))） ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ）

离散第三章

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3.1一阶逻辑基本概念
▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
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基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围
∀x(F(x)→G(x)) ∧ F(a) → G(a)
设前件为真，即∀x(F(x)→G(x))与F(a)都为真. 由于∀x(F(x)→G(x))为真，故F(a)→G(a)为真. 由F(a) 与F(a)→G(a)为真，根据假言推理得证G(a)为真.
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一阶逻辑的命题符号化
注意：
1) 分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号化为一元和n元谓词。
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
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基本概念 (续)
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：具体的。如：F(a)：a是人谓词变项：抽象、泛指的，如：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项如 L(x, y)：x与y有关系L，L(x, y)：xy，…
2) 如果5大于4，则4大于6。
设2元谓词 G(x, y): x大于y. a:4. b:5. c:6
G(b,a) →G(a,c)
由于G(b,a) 为真，而G(a,c) 为假，所以该公式为假。
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基本概念
一阶逻辑的命题符号化－小总结

第四章一阶逻辑基本概念

在一阶逻辑中将下列命题符号化1大熊猫都可爱2有人爱发脾气3说所有人都爱吃面包是不对的4没有不爱吃糖的人5一切人都不一样高6并不是所有的汽车都比火车快由于没指出个体域故用全总个体域其中fx
第四章一阶逻辑基本概念
本章的主要内容一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑公式、解释及分类
4.1 一阶逻辑命题符号化
2 （1）所有的狮子都是凶猛的。（2）有些狮子不喝咖啡。（3）有些凶猛的动物不喝咖啡。论域为动物的集合：
3、如果某人是女性而且有子女，那么此人一定是某人的母亲。论域为人的集合。
2、解：令P(x): x是狮子；Q(x): x是凶猛的； R(x): x喝咖啡；则有： (1) x(P(x)Q(x)) (2) x(P(x)R(x)) (3) x(Q(x)R(x)) 3、解：令F(x):x是女性；P(x):x有子女； M(x,y):x是y的母亲；则有： x(( F(x)P(x) )yM(x,y))
(1) (2)
x x((F F((x x)) G G (x (x )))) 两个基本公式
例在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）正数都大于负数（2）有的无理数大于有的有理数
解: 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域
（1）令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数 L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)G(y)L(x,y)) （以后讨论）
3．闭式的性质. 定理4.1 闭式在任何解释下都是命题. 注意：不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 4．公式的类型定义4.8 （1）永真式（逻辑有效式）（2）矛盾式（永假式）（3）可满足式说明：永真式为可满足式，但反之不真; 判断公式是否为永真式不是易事; 通过某些代换实例可判断公式类型.

4一阶逻辑基本概念

谓词，它可能以 F2 (x,y,z)的形式出现在解释中，公式A若出现F2(x,y,z)就解释成 F2 (x,y,z)。
xG(x)
}
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(b)个体域为全总个体域。即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 M(x):x是人。 (1) “凡人都呼吸”应符号化为
x(M(x)→F(x))
(2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
结论
(1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。
命题符号化为0元谓词的蕴涵式 F(b)→F(a)
由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。
(2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。命题符号化为0元谓词的蕴涵式 G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。
个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表示。个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 –可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 –可以是无穷集合，如N,Z,R,…。全总个体域——宇宙间一切事物组成。
说明
本教材在论述或推理中，如果没有指明所采用的个体域，都是使用的全总个体域。
分析：谓词逻辑中命题的符号化，主要考虑：
(1)非空个体域的选取。若是为了确定命题的真值，一般约定在某个个体域上进行，否则，在由一切事物构成的全总个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变化范围的特性谓词。 (2)量词的使用及作用范围。
(3)正确地语义。
}
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解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。
}
16 16
一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号为一元和 n（ n2）元谓词。根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词。一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。 –例如，考虑个体域为实数集，H(x，y)表示x+y=10， –则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化形式为xyH(x,y)，为真命题。 –如果改变两个量词的顺序，得yxH(x,y)，为假命题。有些命题的符号化形式可不止一种。

一阶逻辑等值式与置换规则ppt

x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））（4）┐x y（ F（x）∧G（y）∧L（x，y））
x y（ F（x）∧G（y）→┐L（x，y））
2020/4/26
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证明：（1）┐x（M（x）∧F（x））x（M（x）→┐F（x）） ┐x（M（x）∧F（x）） x ┐（M（x）∧F（x）） x（┐M（x）∨┐F（x）） x（M（x）→┐F（x））
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例设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。（1）x（F（x）→G（x））（2）x（F（x）∨yG（y））（3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x））（F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
（2）x（F（x）∨yG（y）） xF（x）∨yG（y）（F（a）∧F（b）∧F（c））∨ （G（a）∨G（b）∨G（c））
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解：（1）x（F（x）∧G（x，a））（F（2）∧G（2，a））∧（F（3）∧G（3，a））（F（2）∧G（2，2））∧（F（3）∧G（3，2））（0∧1）∧（1∧1） 0 （2）x（F（f（x））∧G（x，f（x）））（F（f（2））∧G（2，f（2）））∨
（F（f（3））∧G（3，f（3）））（F（3）∧G（2，3））∨（F（2）∧G（3，2））（1∧1）∨（0∧1） 1
例如：xF（x）┐┐xF（x） xy（F（x，y）→G（x，y））
┐┐xy（F（x，y）→G（x，y））等都是A┐┐A的代换实例。
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下面介绍一些一阶逻辑固有的等值式，这些等值式都与量词有关。
1、消去量词等值式
设个体域为有限集D={a1，a2，…，an}，则有（1）xA（x） A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an）（2）xA（x） A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an） 2、量词否定等值式

一阶逻辑的语言

∀x∀y(¬((x ≈ y → Sx ≈ Sy) → ¬(Sx ≈ Sy → x ≈ y))))。
3. 给定任意公式 φ(v1)，数学归纳原理可以表示为以下公式： (φ(0) ∧ ∀x(φ(x) → φ(Sx))) → ∀x(φ(x))。
4. x 是素数。首先，这个命题可以理解为：
x > 1 并且 x 没有除自身和 1 之外的因子。这样我们得到如下公式：
注意到其中 ∅ 不是我们语言 Set 中的常数符号，我们要利用它的定义来替换它。具体做法是将第一行换成：
其余不变。
∀X(∀z(∀x(x ̸∈ z) → (X ̸= z ∧ z ̸∈ X)) →
最后再举两个代数中的例子：群论语言 g = {e, +}
群的公理可以表达如下： 1. 群的运算满足结合律。
(2) 如果 α 和 β 是合式公式，则 (¬α) 和 (α → β) 也是；
(3) 如果 α 是合式公式，则 ∀vi α 也是。
注：
(1) 我们引进符号 ∨，∧ 和 ↔ 分别作为 ((¬α) → β)，(¬(α → (¬β)))，和 ((α → β)∧(β → α)) 的简写。
(2) 我们用 ∃xα 作为 (¬∀x(¬α)) 的简写，并称 ∃ 为存在量词。
(6) 我们通常会用大写的英文字母，如 P ，Q, R 等等表示谓词符号；小写字母，如 x, y, z 表示变元；用 f, g, h 表示函数符号；a, b, c 表示常数符号；t 表示项；小写希腊字母，如 α，β，φ，σ，τ 等等表示公式；用大写希腊字母，如 Γ，∆，Σ 表示公式集。虽然我们做不到完全没有例外，但把记号固定下来是一个好的习惯。
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第 1 节一阶逻辑的语言的定义和例子

henkin 完备定理

henkin 完备定理Henkin 完备定理是数理逻辑中一个重要的定理，它为一阶逻辑系统提供了一种方法，使得在这个系统中可以构建出一切可满足的公式。

Henkin 完备定理的证明依赖于一种特殊的模型，称为 Henkin 模型。

在本文中，我们将对 Henkin 完备定理进行详细的介绍和解释。

首先，让我们回顾一下一阶逻辑。

一阶逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系，它包括了一阶变量、量词和谓词。

一阶逻辑是数理逻辑的基础，广泛应用于数学、计算机科学和哲学等领域。

在一阶逻辑中，我们可以定义公式和推导规则。

公式由常量、变量、谓词和逻辑连接词组成。

推导规则描述了如何由已知的公式推导出新的公式。

通过应用推导规则，我们可以进行一系列的推理，以证明某个公式是否成立。

Henkin 完备定理说明了一阶逻辑系统的可靠性。

它断言，对于任意一阶公式集合，如果存在一个模型，使得该公式集合在该模型下成立，则可以构造出一个证明，证明该公式集合在一阶逻辑系统中是可满足的。

证明 Henkin 完备定理的关键在于构造适当的 Henkin 模型。

Henkin 模型是一种特殊的模型，它可以被用来证明任意一阶公式集合的可满足性。

具体地，Henkin 模型包括一个论域、一个解释函数和一个赋值函数。

论域是由常量和变量构成的集合，解释函数将谓词符号映射到论域中的元素，赋值函数将变量映射到论域中的元素。

通过定义解释函数和赋值函数，我们可以为公式集合中的每个公式赋予一个真值。

构造 Henkin 模型的关键是对论域进行适当的扩展。

通过扩展论域，我们可以确保存在一个元素，它可以是公式集合中的任何一个谓词的解释。

通过这种方式，我们可以构造一个满足公式集合的 Henkin 模型。

Henkin 完备定理的证明分为两个步骤。

首先，我们根据公式集合的结构构造一个 Henkin 模型。

其次，我们使用归纳法证明该公式集合在该模型中是可满足的。

在第一个步骤中，我们通过扩展论域来构造 Henkin 模型。

离散数学一阶逻辑命题符号化

§4.2一阶逻辑公式及解释
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非逻辑符号: 个体词常项符号, 函数符号和谓词符号逻辑符号: 个体词变项符号, 量词符号, 联结词符号和括号与逗号定义设L是一个非逻辑符号, 由L生成的一阶语言L的字母表包括下述符号如下:
非逻辑符号 (1) L中的个体常项符号: a, b, c, …; ai , bi , ci ,… , i≥1 (2) L中的函词符号: f, g, h, …; fi , gi , hi ,… , i≥1 (3) L中的谓词符号: F,G, H,…; Fi ,Gi , Hi ,…, i≥1 逻辑符号 (4) 个体变项符号: x, y, z, …; xi , yi , zi ,…, i≥1 (5) 量词符号: , . (6) 联结词符号: ┐,∧,∨, →, ↔. (7) 逗号与括号: , , ( ) .
练习函数f(x)在x=a处极限为b 任给小正数ε, 则存在正数 δ, 使得当0<|x-a|<δ时, |f(x)-b|<ε成立任意ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时, |f(x)-b|<ε成立 ∀ε(ε>0→ ∃δ(δ>0∧ ∀x(|x-a|<δ→|f(x)-b|<ε)))
定义在公式 xA 和 xA中, 称 x 为指导变元, A为相
应量词的辖域. 在x 和 x 的辖域中, x的所有出现都称为约束出现, A中不是约束出现的其它变项都称为自由出现.
谓词续
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④不含个体变项的谓词称为0元谓词. 例如 F(a), G(a,b), P(a1,a2,…,an)等. 当F, G, P等为谓词常项时, 0元谓词即为命题. 因此, 命题可看作特殊的谓词. 例用0元谓词将下列命题符号化, 并讨论它们的真值. (1) 只有当2是素数时, 4才是素数; (2) 如果5大于4, 则4大于6.

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令A是PL的公式，x在A中自由出现： 101，├xA（x）yA（y） 101 ├xA（x）yA（y） 102，├xA（x）xA（x） 103，├xA（x）xA（x） 104，├xA（x）xA（x） 105，├xA（x）xA（x）令A，B是PL的公式，x在A，B中自由出现： 106，├xyA（x，y）y xA（x，y） 107，├xyA（x，y）yxA（x，y） 108，├xyA（x，y）yxA（x，y）；反之不成立。

令A，B是PL的公式，x在A，B中自由出现： 109，├x（A∧B）xA∧x B 110，├x（AB）xAx B 111，├x（A→B）→（xA→x B），反之不成立。 112，├x（AB）→（xAx B），反之不成立。 113，├（xA∨x B）→x（A∨B）反之不成立。 114，├x（A∧B）xA∧x B，反之不成立。

令A，B是PL的公式，x在B中自由出现并且在A中非自由出现，则有： 115，├x（A∨B）A∨x B 116，├x（A∨B）A∨x B 117，├x（A∧B）A∧x B 118，├x（A∧B）A∧x B 119，├x（A→B）（A→x B） 120，├x（A→B）（A→x B） 121，├x（B→A）（x B→A） 122，├x（ B→A）xB→A

123，├x（A→A） 124，├x（A∨A） 125，├x（A∧A）

证明102 ：├xA（x）xA（x） ⑴ xA P ⑵ xA P ⑶ A（a） P ⑷ xA P ⑸ A（a） ⑷ — ⑹ A（a） ⑶R ⑺ xA ⑷—（6）+ ⑻ xA∧xA （1）（7）∧+ ⑼ xA∧ xA （2），（3）―（8）  ⑽  xA （2）—（9）+ ⑾  xA P ⑿ A（a） P，a要符号条件 ⒀ xA P（12）+ ⒁  xA 11）R ⒂ A（a）（12）—（14）— ⒃ xA（x/a）（15）a要符合条件 ⒄ xA（x）xA（x）（1）—（10），（11）—（16）+

证明103：├xA（x）xA（x） ⑴ xA（x） P ② A（a） P ⑶ xA（x） P ⑷ A（a） ⑶— ⑸ A（a） ⑵R ⑹ xA（x） ⑶—⑸+ ⑺ xA（x） ⑴，⑵—⑹— ⑻ xA（x） P ⑼ xA（x） P ⑽ A（a） P（ a不出现在（8）（9）（14）中 ⑾ xA（x）（10）+ ⑿ xA（x）（9）R ⒀  A（a）（10）—（12）+ ⒁ xA（x）（13）+ ⒂ xA（x）（8）R ⒃ xA（x）（9）—（15）— ⒄ xA（x）xA（x）（1）—（16）+

证明104：├xA（x）xA（x） ⑴ xA（x） P ⑵ xA（x） P ⑶ A（a） P（a符合条件） ⑷ xA（x） P ⑸ A（a） ⑷— ⑹ A（a） ⑶ R ⑺ xA（x） ⑷—⑹+ ⑻ xA（x） ⑵，⑶—⑺— ⑼ xA（x） ⑴R ⑽ xA（x） ⑵—⑼+ ⑾ xA（x） P ⑿ A（a） P（a符合条件） ⒀ xA（x）（12）+ ⒁ xA（x）（11）R ⒂  A（a）（12）—（14）+（a符合条件） ⒃ xA（x）（13）+ ⒄ xA（x）xA（x）（1）—（10），（11）—（16）+ 证明105：├xA（x）xA（x） ⑴ xA（x） P ⑵ A（a） P ⑶ xA（x） P ⑷ A（a）（3）— ⑸ A（a）（2） ⑹ xA（x）（3）—（5）+ ⑺ xA（x）（1），（2）—（6）— ⑻ xA（x） P ⑼ xA P ⑽ A（a） P（a符合条件） ⑾ xA（x/a）（10）+ ⑿ xA （9）R ⒀ A（a）（10）—（12）— ⒁ xA（x/a）（13）+（a符合条件） ⒂ xA（x）（8）R ⒃ xA （9）—（15）— ⒄ xA（x）xA（x）（1）—（7），（8）—（16） +

下面的证明不再写出右面的依据，可以作为练习自己填入。证明106：├xyA（x，y）y xA（x，y） ⑴ xyA ⑵ yA（a，y） ⑶ A（a，b） ⑷ x A（x，b） ⑸ y xA（x，y） ⑹ y xA（x，y） ⑺ xA（x，b） ⑻ A（a，b） ⑼ yA（a，y） ⑽ xyA（x，y） ⑾ xyA（x，y）y xA（x，y）证明107：├xyA（x，y）yxA（x，y） ⑴ xyA（x，y） ⑵ yA（a，y） ⑶ A（a，b） ⑷ xA（x，b） ⑸ y xA（x，y） ⑹ y xA（x，y） ⑺ y xA（x，y） ⑻ yxA（x，y） ⑼ xA（x，b） ⑽ A（a，b） ⑾ yA（a，y） ⑿ y xA（x，y） ⒀ yxA（x，y） ⒁ yxA（x，y） ⒂ xyA（x，y）y xA（x，y）证明108：├xyA（x，y）yxA（x，y）；反之不成立。 ⑴ xyA（x，y） ⑵ yA（a，y） ⑶ A（a，b） ⑷ xA（x，b） ⑸ yxA（x，y） ⑹ yxA（x，y） ⑺ xyA（x，y）yxA（x，y）反之不成立，是因为“所有的y同有的x之间有关系A的那个x”，不一定就是“同所有的y有关系A的那个x”。我们可以用一个解释证明yxA（x，y）xyA（x，y）是不成立的。令y是偶数，x是质数，A是y能x整除，yxA（x，y）的意思是“所有的偶数都能被某个质数整除”因此是真的命题，我们可以找到这个质数，即2。xyA（x，y）的意思是：“有一个质数，它能被所有的偶数整除”这显然是假命题。证明109：├x（A∧B）xA∧x B（自证）证明110：├x（AB）xAx B ⑴ x（AB） ⑵ A（a）B（a） ⑶ A（a） ⑷ xA（x/a） ⑸ xAx B ⑹ B（a） ⑺ x B（x/a） ⑻ xAx B ⑼ xAx B ⑽ xAx B ⑾ xAx B ⑿ xA ⒀ A（a） ⒁ A（a）B（a） ⒂ x（AB） ⒃ x（AB） ⒄ x B ⒅ B（a） ⒆ A（a）B（a） ⒇ x（AB）（ 21） x（AB）（ 22） x（AB）（ 23）x（AB）xAx B 证明：111，├x（A→B）→（xA→x B），反之不成立。 ⑴ x（A→B） ⑵ xA ⑶ A（a）→B（a） ⑷ A（a） ⑸ B（a） ⑹ x B ⑺ （xA→x B） ⑻ x（A→B）→（xA→x B）证（xA→x B）→ x（A→B）是不成立的。这个命题等值于（xA→x B）→ x（A∨B）。假如个体域是｛苏格拉底，康德｝，令A：x是单身汉，B：x是美国人。显然（xA→x B）真，因为苏格拉底不是单身汉，这个蕴涵语句前件假，不论后件是否真假，都是真的。但是x（A∨B）中，当A（X）的个体是康德的时候一定是假的，B（x）由于那个时候根本还没有美国，因此因此说“所有的x，x或者不是单身汉或者都是美国人”一定是假的。故（xA→x B）→ x（A∨B）假。由真的前提推出假的结论，因此推理无效。证明：112，├x（AB）→（xAx B），反之不成立。 ⑴ x（AB） ⑵ xA ⑶ A（a） ⑷ A（a）B（a） ⑸ B（a） ⑹ x B ⑺ x B ⑻ B（a） ⑼ B（a）B（a） ⑽ A（a） ⑾ xA ⑿ xAx B ⒀ x（AB）→（xAx B）反之不成立的证明自己找到一个解释的证明。证明：113，├（xA∨x B）→x（A∨B）反之不成立。（自己证明） xA∨x B） xA Aa Aa∨Ba x（A∨B）

x B

x（A∨B） x（A∨B）

证明：114，├x（A∧B）xA∧x B，反之不成立。 ⑴ x（A∧B） ⑵ A（a）∧B（a） ⑶ A（a） ⑷ xA ⑸ B（a） ⑹ x B ⑺ xA∧x B