教案 北师大版 数学 高中 必修1 《函数的单调性》
北师大版高中数学必修一：2.3函数的单调性.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作[读教材·填要点]1．函数在区间上增加(减少)的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．2．函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．4．单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[小问题·大思维]1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1，2]上并不是增加的．2．函数f (x )＝1x 的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?提示：不能，如x 1＝－1，x 2＝1满足x 1＜x 2， 但有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不符合减少的要求．3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．[研一题][例1] 试判断函数f (x )＝xx －1在其定义域上的单调性，并加以证明．[自主解答] 函数定义域为{x |x ≠1}，又f (x )＝xx －1＝（x －1）＋1x －1＝1x －1＋1，可由反比例函数y ＝1x图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1.f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2（x 2－1）（x 1－1）.∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)． ∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证f (x )在(－∞，1)上为减函数． 综上f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．[悟一法]判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1＜x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．[通一类]1．试讨论函数f (x )＝ax (a ≠0)在其定义域内的单调性．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (1)设x 1<x 2<0，则由已知f (x )＝ax (a ≠0)，有f (x 1)－f (x 2)＝a x 1－a x 2＝a （x 2－x 1）x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0.当a >0时，有a （x 2－x 1）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)；当a <0时，有a （x 2－x 1）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴当a >0时，f (x )＝ax (a ≠0)在(－∞，0)上是减函数；当a <0时，f (x )＝ax (a ≠0)在(－∞，0)上是增函数．(2)同理，f (x )＝ax (a ≠0)在(0，＋∞)上，当a >0时是减函数， 当a <0时是增函数． 综上所述，函数y ＝ax(a ≠0)，当a >0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当a <0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.[研一题][例2] 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的增区间和减区间． [自主解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4（x ≥0），－（x ＋1）2＋4（x <0）. 函数图像如右图所示．由图像可知：函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]， 单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．[悟一法](1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．[通一类]2．求函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的单调区间． 解：函数可化为分段函数形式： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2，法一：由解析式可知函数的递增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)． 法二：作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2的图像，由图像观察得．单调增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．[研一题][例3] (1)已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小； (2)已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围． [自主解答] (1)∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)；(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x .∴x ＜32.∴1≤x ＜32为满足题设条件的x 的取值范围．[悟一法](1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围．(2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用．[通一类]3．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a 的取值范围． 解：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. (1)求f (8)的值；(2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集．[巧思] 解答本题关键是巧用f (xy )＝f (x )＋f (y )． (1)对x ，y 恰当赋值，用f (2)表示f (8)．(2)将不等式转化成f (x )＞f (g (x ))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x 的不等式组． [妙解] (1)由题意得f (8)＝f (4×2) ＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3；(2)原不等式可化为：f (x )＞3＋f (x －2)， ∵f (8)＝3，∴3＋f (x －2)＝f (8)＋f (x －2) ＝f (8(x －2))．∴f (x )＞f (8(x －2))的解集即为所求． ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，8（x －2）＞0，x ＞8（x －2）， 解得2＜x ＜167.∴原不等式的解集为{x |2＜x ＜167}．1．下列函数中，在区间(0，3)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |解析：可知，y ＝3－x 在(0，3)上为减函数，y ＝1x 在(0，3)上为减函数，y ＝－|x |＝－x 在(0，3)上为减函数．答案：B2．函数f (x )＝－x 2的单调增区间为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：由f (x )＝－x 2的图像知，A 正确． 答案：A3．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在实数集上是减函数，则k 的范围是( ) A ．k >－2 B ．k ≤－2 C ．k ≥－2D ．k <－2解析：∵f (x )＝(k ＋2)x ＋1在R 上是减函数． ∴k ＋2<0，即k <－2. 答案：D4．如图所示是定义在[－5，5)上的函数y ＝f (x )的图像．则该函数的单调增区间是________________，减区间是____________． 答案：[－2，1]和[3，5) [－5，－2]和[1，3]5．若f (x )是R 上的增函数，且f (x －1)＞f (2)，则x 的取值范围是________． 解析：由题得x －1＞2，得x ＞3，故x 的范围为{x |x ＞3}． 答案：{x |x ＞3}．6．用增函数定义证明f (x )＝ax ＋b (a ＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数． 证明：设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋b －(ax 1＋b ) ＝ax 2－ax 1＝a (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，又a ＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝a (x 2－x 1)＞0， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数．一、选择题1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( ) ①y ＝|x | ②y ＝|x |x ③y ＝－x 2|x | ④y ＝x ＋x|x |A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.又y ＝|x |x ＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故B 不正确．答案：C2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )． 答案：D3．下列说法不．正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数； ②函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；②中函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0时，其在R 上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．答案：D4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (2)＝f (－2)， 又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数， 而－2<－32<－1，∴f (－2)<f (－32)<f (－1)，即f (2)<f (－32)<f (－1)．答案：D 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，x ，x ≥1的减区间是________．解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示． 则减区间是(0，1]． 答案：(0，1]6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1，2]上单调递减，则a 的取值范围是______________． 解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1，2]上单调递减，∴a ≤1.答案：(－∞，1]7．函数f (x )＝xx ＋2在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2，∴函数f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 答案：23 128．已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <23.答案：(0，23)三、解答题9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．解：函数f (x )＝|－x 2＋2|＝⎩⎨⎧x 2－2，x ∈（－∞，－2）∪（2，＋∞），2－x 2，x ∈[－2，2].作出函数的图像如图所示．由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7. 10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f (12)＝25，f (0)＝0.(1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增加的． 解：(1)由f (12)＝25，f (0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b （12）2＋1＝25，b ＝0，得a＝1，b＝0，∴f(x)＝xx2＋1.(2)证明：在(－1，1)上任取－1＜x1＜x2＜1，则f(x2)－f(x1)＝x2x22＋1－x1x21＋1＝x2x21＋x2－x1x22－x1（x22＋1）（x21＋1）＝x1x2（x1－x2）＋（x2－x1）（x22＋1）（x21＋1）＝（x2－x1）（1－x1x2）（x22＋1）（x21＋1）.∵－1＜x1＜x2＜1，∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，1－x1x2＞0，x22＋1＞0，x21＋1＞0，∴f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x)在(－1，1)上是增加的．。
北师大版必修1高中数学函数的单调性教案2
函数的单调性一．课题：函数单调性二．教学目的：1.使学生理解增函数、减函数的概念；2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
三．教学重点：函数单调性的概念四．教学难点：函数单调性的判断和证明五．教学过程：（一）复习：（提问）1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下：（1）函数有几个要素？各是什么？（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。
2．观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？）函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值在增加），3y x =又怎样？（二）新课讲解：1．单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）单调减函数的定义：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <．2．例题分析例1：（课本59P 例1）下图是定义在5[-单调区间，以及在每一个区间上函数解：函数)(x f y =的单调区间有)2,5[--，)1,2[-，)3,1[，]5,3[， 其中)(x f y =在)1,2[-，]5,3[上是增函数，在)2,5[--，)3,1[上是减函数。
高中数学《函数的单调性》学案1北师大版必修1
§单一性与最大（小）值（1）学习目标1.经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；2.能够娴熟应用定义判断数在某区间上的单一性；3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备（预习教材P27~ P 29，找出迷惑之处）前言：函数是描绘事物运动变化规律的数学模型，那么可否发现变化中保持不变的特点呢？复习 1：察看以下各个函数的图象.商讨以下变化规律：①随 x 的增大， y 的值有什么变化？② 可否看出函数的最大、最小值？③ 函数图象能否拥有某种对称性？复习 2：画出函数 f ( x) x 2 、 f ( x)x2的图象 .小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.二、新课导学※ 学习研究研究任务：单一性有关观点2思虑：依据 f ( x) x 2 、 f (x) x (x 0) 的图象进行议论：随x的增大，函数值如何变化？问题：一次函数、二次函数和反比率函数，在什么区间函数有如何的增大或减小的性质？新知：设函数 y=f ( x)的定义域为I ，假如对于定义域x1，x2，当 x1<x2时，都有 f ( x1)< f ( x2)，那么就说function ）.I 内的某个区间D内的随意两个自变量f ( x)在区间 D 上是增函数（increasing试一试：模仿增函数的定义说出减函数的定义.新知：假如函数 f ( x)在某个区间 D上是增函数或减函数，就说 f ( x)在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间 D叫 f ( x)的单一区间.反省：① 图象如何表示单一增、单一减？② 全部函数能否是都拥有单一性？单一性与单一区间有什么关系？③函数 f ( x) x2的单一递加区间是，单一递减区间是.试一试：如图，定义在 [-5,5] 上的f ( x) ，依据图象说出单一区间及单一性.※ 典型例题例 1 依据以下函数的图象，指出它们的单一区间及单一性，并运用定义进行证明.（1） f ( x) 3x 2 ；1 （ 2） f (x).x变式：指出 y kx b 、 y k ( k 0) 的单一性 .x 例 2 物理学中的玻意耳定律p k（ k 为正常数），告诉我们对于必定量的气体，当其体积VV增大时，压强p 如何变化？试用单一性定义证明.小结：① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变为鉴别代数式的符号；② 证明函数单一性的步骤：第一步：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1<x 2；第二步：计算 f ( x1)－ f ( x 2)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.※ 着手试一试练 1. 求证f ( x) x 1的 (0,1) 上是减函数，在 [1, ) 是增函数 . x练 2.指出以下函数的单一区间及单一性.（1） f ( x) | x |；（2）f ( x)x3 .三、总结提高※ 学习小结1.增函数、减函数、单一区间的定义；2.判断函数单一性的方法（图象法、定义法）.3.证明函数单一性的步骤：取值→作差→变形→定号→下结论. ※ 知识拓展函数 f ( x) x a(a 0) 的增区间有[ a, ) 、 ( , a ] ，减区间有 (0, a ] 、[ a ,0) . x学习评论※ 自我评论你达成本节导教案的状况为（A. 很好B.较好C.一般D.较差）.※ 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函数 f ( x) x2 2x 的单一增区间是（）A. ( ,1]B. [1, )C. RD. 不存在2. 假如函数 f (x) kx b 在 R上单一递减，则（）A. k 0B. k 0C. b 0D. b 03. 在区间 ( ,0) 上为增函数的是（）A． y 2x B ． y 2 xC． y | x | D． y x24. 函数 y x3 1 的单一性是.5. 函数 f ( x) | x 2| 的单一递加区间是，单一递减区间是.课后作业1. 议论 f ( x) 1 的单一性并证明 .x a2.议论 f ( x)ax2bx c (a 0) 的单一性并证明.§单一性与最大（小）值（ 2）学习目标1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备 （预习教材 30 ~32，找出迷惑之处）2复习 1：指出函数 f ( x) ax bx c (a0) 的单一区间及单一性，并进行证明.复习 2：函数 f (x) 2 2ax bx c (a 0) 的最小值为， f ( x) ax bx c (a 0)的最大值为 .复习 3：增函数、减函数的定义及鉴别方法.二、新课导学 ※ 学习研究研究任务： 函数最大（小）值的观点 思虑：先达成下表，函数最高点最低点f (x)2x 3f (x)2 x3 , x[ 1,2]f (x)x 2 2x 1f ( x) x 2 2 x 1 , x [ 2,2]议论表现了函数值的什么特点？新知：设函数 y =f ( x ) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：对于随意的 x ∈I ，都有 f ( x ) ≤ M ； 存在 x 0∈ ，使得 f ( x 0) = . 那么，称 是函数 = ( x ) 的最大值（ Maximum Value ） .I M M y f试一试：模仿最大值定义，给出最小值（ Minimum Value ）的定义．反省：一些什么方法能够求最大（小）值？※ 典型例题例 1 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间 t （秒）的变化规律是 h 130t 5t 2 ，那么什么时辰距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试一试：一段篱笆笆长20 米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→成立函数模型→研究函数最大值. 例 2 求y 3 在区间 [3 ， 6] 上的最大值和最小值 .x 2变式：求y 3x , x [3,6]的最大值和最小值. x 2小结：先按定义证明单一性，再应用单一性获得最大（小）值.试一试：函数 y (x 1)22, x [0,1] 的最小值为，最大值为.假如是x[ 2,1]呢？※ 着手试一试练 1. 用多种方法求函数y 2x x 1 最小值 .变式：求 y x1 x 的值域 .练 2. 一个星 房价（元） 住宅率（ %）级旅店有 150 个标准房，经过一段时间的经营， 经理获得一些160 55 订价和住宅率的数据如右： 欲使每日的140 65 的营业额最高，应如何订价？120 7510085三、总结提高 ※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义； .2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单一法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域， 需依据对称轴与闭区间的地点关系，联合函数图象进行 研究 . 比如求 f ( x)x2ax 在区间 [m, n] 上的值域，则先求得对称轴xa，再分am 、22mam n 、 m n a n 、an 等四种状况 , 由图象察看得解 .22 2 22学习评论※ 自我评论 你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函数 f ( x) 2x x2 的最大值是（） .A. － 1B. 0C. 1D. 22. 函数 y | x 1| 2 的最小值是（） .A. 0B. － 1C. 2D. 33. 函数 y x x 2 的最小值是（） .A. 0B. 2C. 4D. 24. 已知函数 f (x) 的图象对于y轴对称，且在区间 ( ,0) 上，当x 1时，f ( x)有最小值3，则在区间 (0, ) 上，当 x 时， f (x) 有最值为 .5. 函数 y x2 1, x [ 1,2] 的最大值为，最小值为.课后作业1. 作出函数 y x2 2x 3 的简图，研究当自变量x 在以下范围内取值时的最大值与最小值．（ 1） 1 x 0 ；（2） 0 x 3 ；（3）x ( , ) .2.如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木材，假如矩形一边长为 x ，面积为y，试将y表示成 x 的函数，并画出函数的大概图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？§奇偶性学习目标1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备（预习教材 P 33 ~ P 36，找出迷惑之处） 复习 1：指出以下函数的单一区间及单一性 .（1） f ( x)x 2 1 ；（ 2） f ( x) 1x复习 2：对于 f ( x ) ＝x 、 f ( x ) ＝ x 2 、f ( x ) ＝ x 3 、 f ( x ) ＝ x 4 ，分别比较f ( x ) 与 f ( － x ).二、新课导学 ※ 学习研究研究任务： 奇函数、偶函数的观点思虑：在同一坐标系分别作出两组函数的图象： （1） f ( x)x 、 f ( x)1、 f ( x) x 3 ；x（2） f ( x) x 2 、 f (x) | x | .察看各组图象有什么共同特点？函数分析式在函数值方面有什么特点？新知： 一般地， 对于函数 偶函数（ even functionf (x) 定义域内的随意一个） .x ，都有 f ( x)f (x) ，那么函数f ( x)叫试一试：模仿偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.反省：① 奇偶性的定义与单一性定义有什么差别？② 奇函数、偶函数的定义域对于对称，图象对于对称 .试一试：已知函数1在 y 轴左侧的图象如下图，画出它右f ( x)2边的图象 .x※ 典型例题例 1 鉴别以下函数的奇偶性：（1） f ( x) 3 x4 ；（ 2） f ( x) 4 x3 ；（3） f ( x) 3 x4 5 x2；（ 4） f ( x) 3 x 1 .x3小结：鉴别方法，先看定义域能否对于原点对称，再计算 f ( x) ，并与 f ( x) 进行比较. 试一试：鉴别以下函数的奇偶性：（1）f ( x) ＝ | x＋ 1|+| x－1|；（ 2）f ( x) ＝x＋1 ；x（3）f ( x) ＝x2 ；（ 4）f ( x) ＝x2 , x∈[-2,3].1 x例 2 已知f ( x) 是奇函数，且在 (0,+ ∞ ) 上是减函数，判断f ( x) 的 (- ∞ ,0) 上的单一性，并给出证明 .f ( x)是偶函数，且在[ a, b] 上是减函数，试判断 f ( x)在[- b,- a]上的单一性，并变式：已知给出证明 .小结：设→转变→单一应用→奇偶应用→结论.※ 着手试一试练习：若 f ( x) ax 3bx 5 ，且 f ( 7) 17 ，求 f (7) .三、总结提高※ 学习小结1.奇函数、偶函数的定义及图象特点；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在 R 上的奇函数的图象必定经过原点.由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.学习评论※ 自我评论你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 对于定义域是R 的随意奇函数 f (x) 有（） .A． f ( x) f ( x) 0 B． f (x) f ( x) 0C． f ( x)gf ( x) 0 D． f (0) 02. 已知 f ( x) 是定义 ( , ) 上的奇函数，且 f ( x) 在 0, 上是减函数 . 以下关系式中正确的是（）A. f (5) f ( 5)B. f (4) f (3)C. f ( 2) f (2)D. f ( 8) f (8)3. 以下说法错误的选项是（） .A. f ( x) x1 是奇函数xB. f ( x) | x 2| 是偶函数C. f ( x) 0, x [ 6,6] 既是奇函数，又是偶函数3 2D. f (x) x x 既不是奇函数，又不是偶函数x 14. 函数 f ( x) | x 2 | | x 2 |的奇偶性是.5. 已知 f ( x)是奇函数，且在[3,7] 是增函数且最大值为4，那么f ( x) 在 [-7,-3] 上是函数，且最值为.课后作业1. 已知 f ( x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，且 f ( x) g( x) 1 ，求 f (x) 、 g( x) .x 12.设f ( x)在R上是奇函数，当x>0时，f (x)x(1 x) ，试问：当x <0时， f (x)的表达式是什么？。
新版高中数学北师大版必修1课件2.3函数的单调性
-16-
§3 函数的单调性
首页
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
用图像法求函数的单调区间
-7-
§3 函数的单调性
一
二
三
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
当堂检测
【做一做2】 已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区
间为
.
答案:
-∞,-
3 2
,
1 2
,
+
∞
-8-
§3 函数的单调性
一
二
三
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
当堂检测
函数单调区间的写法 (1)求函数的单调区间,必须先看函数的定义域.如果一个函数有 多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局 部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”). (2)因为函数的单调性反映函数图像的变化趋势,所以在某一点处 无法讨论函数的单调性,因此,书写函数的单调区间时,区间端点的 开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成 闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则 必须写成开区间.
2.加绝对值的函数图像的处理方法 常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对 值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.加绝对值的函数图像的画 法也有两种: (1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化 为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像. (2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函 数的图像.
高中数学 2.3 函数的单调性同步教学课件 北师大版必修1
的最大值是多少？
4
2
第十八页，共27页。
解：由函数h=-x2+2x+ 5 , x 的[0,图5]像可知，显
4
2
然，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点.此时(cǐ shí)
函数取得最大值.对于函数h=-x2+2x+
5
,
x
，
[0,
5
]
4
2
当x=1时，函数有最大值hmax =-12 +2×1+5 9（m).
第十七页，共27页。
例3 如图,某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方向
上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央(zhōngyāng)为坐
标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，
那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)
之间的函数关系式为h=-x2+2x+ 5 , x [0, 5.]求水流喷出的高度h
第三页，共27页。
画出下列(xiàliè)函数的图像，观察其变化规律： f(x) = x
1.从左至右图像(tú xiànɡ)上升还是上下升降? ____ 2.在区间__(_-_∞__,+__∞上)，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ． 增大 (zēnɡ
第四页，共27页。
画出下列函数(hánshù)的图像，观察其变化规律：
这个函数为增函数或减函数,统称为单调(dāndiào)函数.
第九页，共27页。
注意 (zh1.ù函y数ì)：的单调性是在定义域内的某个区间上的性质
(xìngzhì)，是函数的局部性质(xìngzhì)； 2.必须是对于区间(qū jiān)A内的任意两个自变量x1，
北师大版高中数学必修《函数的单调性》课件(完整版)1
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x(0,);
(3) f (x) x 1 x
解析: (3)
பைடு நூலகம்
因为
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
(2) 因为 f (x) sin x x, x(0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
(3) f (x) x 1 x
因此, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, )上单调递减.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运 算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函
数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
y
y
y
y
o
x
yx
函数在R上 f '(x) 1 0
ox
y x2
（-∞，0）
北师大版高中数学必修一课件2.3.1《函数的单调性》
1. 自变量取值的任意性.
2. 增函数、减函数、单调函数是 对整个 定义域而言。有的函数不 是单调函数，但在某个区间上可 以有单调性。
问题探究
1.教材P37：例1、2.
2. 证明函数f (x)=－2x+3在R
上是减函数.
3.Байду номын сангаас
讨论函数f (x) =
k x
( k≠0 )
在(0, ＋∞)上的单调性.
方法小结
x
-20
-40
-60
-80
图2-16
返回
人
180 160 140 120 100
80 60 40 20
0
图2-15
421 423 425 427 429 501 503 505 507 509 511 513 515 517 519
返回
日期
定义法 图象法
思考交流
1.教材p39 ：B 1
2.若f(x) = a ┃ x-b ┃ +2在[0， + ∞ ）上为增函数，则a,b的取 值范围是————————。
作业
教材P38 2、3、4、5
y
100
80
60
40
20
-2.3
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差f(x1)－f(x2) ; (3). 判断f(x1)－f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x1－x2.
② 配成非负实数和.
(4). 作结论.
1. 教材P38 ：T1、2. 练习实践
高中数学北师大版精品教案《函数的单调性和最值》
函数的单调性和最值【第一课时】 【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法； （3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数y kx b =+的图象和性质，当0k ＞时，直线是向右上，即函数值y 随x 的增大而增大，当0k ＜时，直线向右下，即函数值y 随x 的增大而减小。
同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。
思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。
（2）如图，是函数()[] 6,9f x x ∈-（）的图象，说出在各个区间函数值()f x 随x 的值的变化情况。
提示：在区间[][][][]6,52,13,4.57,8---、、、上，函数值()f x 都是随x 的值的增大而增大； 在区间[][][][]5,21,3 4.5,78,9--、、、上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小。
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函数的单调性
课题：函数的单调性
课时：一课时
课型：新授课
一、教学目标
1.知识与技能：
（1）从形与数两方面理解单调性的概念。
（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
2.过程与方法：
（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通
过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。
（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。
（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特
殊到一般，从感性到理性的认知过程。
3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证
的观点思考问题。
二、教学重点
函数单调性的概念形成和初步运用。
三、教学难点
函数单调性的概念形成。
四、教学关键
通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。
五、教学过程
（一）创设情境，导入新课
教师活动：分别作出函数y=x+1和y=x2的图象，并且观察函数变化规律，描述前一个图
象后，明确这种变化规律怎么描述。 然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减
函数？问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？
学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=x+1的图象自变量x在实数
集变化时，y随x增大而增大，在此基础上描述y=x2在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，
+∞）上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增
大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。
设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，
因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认
识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性
是局部性质，进而完善感性认识。
（二）初步探索，形成概念
教师活动：（以y=x2在 (0，+∞)上单调性为例）让学生理解如何用精确的数学语言（随
着、增大、任取）来描述函数的单调性，进而得到增（减）函数的定义。并进一步提出如何
判断的问题。
学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示
大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。
设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”
认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。
（三）概念深化，延伸扩展
教师活动：提出下面这个问题：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？从这个例子能
得到什么结论？并给出例子进行说明：
进一步提问：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B
上也是增（减）函数，最后再一次回归定义，强调任意性。
学生活动：思考、讨论，提出自己观点，并提出反例，如x1=-1，x2=1，进而得出结论：
函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函
数将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）。
设计意图：通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨
的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理
解。
（四）证明探究，应用定义
教师活动：展示例题
例1：函数()32fxx的图像，判断它的单调性，并加以证明。
证明：任取 1212,,,xxRxx且则
212121
()()333()yfxfxxxxx
21
0xx
则0y
∴函数()32fxx在（0，+）上是增函数。
学生活动：根据单调性定义进行证明、讨论，规范出证明步骤：设元、作差、变形、断
号、定论，理解根据定义进行判断，体会判断可转化成证明并完成课后思考题。
设计意图：本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数的变形
式，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇
到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。课标中指出“形式化是数学的基本特
征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，
而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。
（五）小结评价，作业创新
教师活动：从知识、方法两个方面引导学生进行总结，留出如下的课后作业（1、2、4必
做，3选做）：
1、 证明：函数在区间[0，+∞)上是增函数。
2、课上思考题
3、求函数的单调区间
4、思考P46 探索与研究
学生活动：回顾函数单调性定义的探究过程、证明、判断函数单调性的方法步骤和数学
思想方法，完成课后作业。
设计意图：使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成
的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义，并且作业实现分层，满足学生需求。
六、板书设计