求函数值域练习附答案

求函数值域——快速练习

一．选择题

1．（2006?陕西）函数f（x）=（x∈R）的值域是（）

A．（0，1）B．（0，1] C． [0，1）D． [0，1]

考点：函数的值域。811365

分析：本题为一道基础题，只要注意利用x2的范围就可以．

解答：解：∵函数f（x）=（x∈R），∴1+x2≥1，所以原函数的值域是（0，1]，

点评：注意利用x2≥0（x∈R）．

2．函数y=（x∈[2，6]）的值域是（ D ）

A． R B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．D．

考点：函数的值域。811365

分析：由函数的定义域可先求x﹣1的范围，进一步求解函数的值域．

解答：解：∵2≤x≤6则1≤x﹣1≤5，∴

点评：本题主要考查了直接法求解函数的值域，属于基础试题．

3．f（x）的定义域为[﹣2，3]，值域是[a，b]，则y=f（x+4）的值域是（）

A．[2，7] B．[﹣6，﹣1] C．[a，b] D．[a+4，b+4]

考点：函数的值域。811365

分析：因为从f（x）到y=f（x+4），其函数图象只是向左平移了4个单位；利用左右平移的函数只是自变量发生了变化，而函数值不变，可以直接求出答案．

解答：解：因为从f（x）到y=f（x+4），其函数图象只是向左平移了4个单位，自变量发生了变化，而函数值不变，所以y=f（x+4）的值域仍为[a，b]．

点评：本题借助于图象平移来研究函数的值域．函数的平移变化分为两种：一：左右平移的函数只是自变量发生了变化，而函数值不变；二：上下平移的函数只是函

数值发生了变化，而自变量不变．

4．函数y=的值域是（ B ）

A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）考点：函数的值域。81

1365

进行变量分离y==﹣1，若令t=1+x2则可变形为y=（t≥1）利用反

比例函数图象求出函数的值域．

解法一：y==﹣1．∵1+x2≥1，∴0＜≤2．∴﹣1＜y≤1．

解法二：由y=，得x2=．∵x2≥0，∴≥0，解得﹣1＜y≤1．

此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法，应注意理解并加以运用．

解法三：令x=tanθ（﹣＜θ＜），则y==cos2θ．

∵﹣π＜2θ＜π，∴﹣1＜cos2θ≤1，即﹣1＜y≤1．

C

函数单调性的判断与证明。811365

由于函数y=2x﹣1在R上是增函数，故排除A，

由在区间（1，+∞）上是增函数，故排除B．

利用二次函数的图象特征和性质可得C满足条件，应排除D．

解：由于函数y=2x﹣1在R上是增函数，故排除A．

由于函数在区间（1，+∞）上是增函数，故在区间（1，+∞）上是增函数，故排除B．

由于二次函数y=2x2﹣6x的对称轴为x=，开口向上，故函数在[，+∞）上是增函数，在（﹣∞，]上是减函数，故它在区间（1，+∞）上不是增函数，故满足条件．

由于二次函数y=2x2﹣2x的对称轴为x=，故函数在[，+∞）上是增函数，在（﹣∞，]上是减函数，故它在区间（1，+∞）上是增函数，故排除D．

本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．

二．填空

6．函数的值域为（﹣∞，1] ．

分析：先确定函数的定义域，再考查函数在定义域内的单调性，根据函数的单调性来确定函数的值域．

解答：

解：函数的定义域是（﹣∞，1]，且在此定义域内是减函数，

∴x=1时，函数有最大值为1，x→﹣∞时，函数值y→﹣∞，

∴函数的值域是（﹣∞，1]．

点评：先利用偶次根式的被开方数大于或等于0求出函数的定义域，再判断函数的单调性，由函数的单调性确定函数的值域．

7．函数的值域是（﹣∞，1）∪（1，+∞），

的值域是（0，5] ．

分析：

（1）把原函数化为y=1﹣，根据反比例函数的性质即可求解；

（2）先把函数化为：2yx2﹣4yx+3y﹣5=0，根据判别式△≥0即可得出函数的值域．

解答：

解：（1）∵函数=1﹣，∴函数的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；

（2）原式可化为：2yx2﹣4yx+3y﹣5=0，

∴△=16y2﹣8y（3y﹣5）≥0，∴y（y﹣5）≤0，∴0≤y≤5，，又y=0不可能取到

故答案为：（0，5]．

点评：本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法．

8．求函数y=x+的值域[，+∞）．

考点：函数的值域。811365

专题：计算题；转化思想。

分析：先对根式整体换元（注意求新变量的取值范围），把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可．

解答：

解：令t=，（t≥0），则x=，

问题转化为求函数f（t）==在t≥0上的值域问题，

因为t≥0时，函数f（t）有最小值f（0）=．无最大值，故其值域为[，+∞）．

即原函数的值域为[，+∞）．

点评：本题主要考查用换元法求值域以及二次函数在闭区间上求值域问题．换元法求值域适合于函数解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目．

9．函数f（x）=x+|x﹣2|的值域是[2，+∞）．

分析：根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域．

解答：解：因为当x∈（﹣∞，2]时，f（x）=2；

当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣2＞2，故f（x）的值域是[2，+∞）．

点评：本题考查函数的值域，去绝对值符号是解题的关键，属基础题．

10．已知函数，则函数f（x）的值域为（﹣∞，2] ．

分析：根据函数解析式的形式：采取换元法，令t=，t≥0，转化为二次函数f（t）=2t﹣t2+1在[0，+∞）上求函数的值域，利用配方法即可求得结果．

解答：解：令t=，t≥0，则x=t2﹣1，∴f（t）=2t﹣t2+1=﹣（t﹣1）2+2，t≥0，∴f（x）≤2，∴函数f（x）的值域为（﹣∞，2]．

点评：本题考查利用换元法求函数的值域，体现了转化的思想方法，同时考查二次函数在定区间上的最值问题，注意换元后引进新变量的范围，是易错点，属基础题．

11．函数的值域f（x）=2x﹣3+的值域是（﹣∞，4] ．

分析：

令=t，将函数转化成关于t的二次函数求解．

解答：解：令=t，t≥0，则 x=，

∴y=，当且仅当t=1时取等号

故所求函数的值域为（﹣∞，4]，

点评：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）．

12．函数的值域是（﹣∞，1] ．

分析：已知f（x）的定义域，利用导数判断函数f（x）的单调性，然后再求其值域；

解答：

解：∵函数，∴f′（x）=，

∵x≥2，∴f′（x）＜0，∴f（x）为减函数；f（x）≤f（2）=1，

∴函数f（x）的值域为（﹣∞，1]，故答案为（﹣∞，1]．

点评：此题考查函数的值域，利用导数先判断函数的单调性，再求值域，是一种新的方法，同学们要掌握．

13．函数的值域：y=为[0，2] ．

分析：设μ=﹣x2﹣6x﹣5，欲求原函数的值域，只须考虑μ的取值范围即可，根据二次函数的图象与性质即可求得μ的取值范围，从而问题解决．

解答：解析：设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．

又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，

∴y=的值域为[0，2]．故答案为：[0，2]

点评：本题以二次函数为载体考查根式函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．

14．函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为{﹣1，0，3} ．

分析：根据所给的函数的解析式和定义域，做出当自变量取定义域中的不同值时的对应的值域中的结果，写出值域．

解答：解：∵函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，

∴当x=0时，y=0；当x=1时，y=﹣1；当x=2时，y=0；当x=3时，y=3

综上可知值域对应的集合是{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}

点评：本题考查函数的值域，本题解题的关键是求出定义域对应的函数值，做出值域对应的集合，本题是一个基础题．

15．下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的④．

①；②y=1﹣x2；③y=x2+x；④．

分析：对于①函数在（﹣∞，﹣1）上单调递增，可判定是否符合题意；对于②y=1﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，故不符合题意；对于③根据开口向上与对称轴为x=，可判定单调性；对于④

根据定义域为（﹣∞，1），以及复合函数的单调性可知是否正确．

解答：

解：①=1﹣，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故不符合题意；

②y=1﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，故不符合题意；

③y=x2+x开口向上，对称轴为x=，在（﹣∞，﹣）上单调递减，（，+∞）上单调递

增，故不符合题意；

④，定义域为（﹣∞，1），在（﹣∞，1）上单调递减，故正确

故答案为：④

点评：本题主要考查了二次函数、分式函数、根式函数单调性的判断，属于基础题．

16．已知二次函数f（x）=2x2﹣4x+3，若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则a的取值范围是

分析：二次函数图象的对称轴为直线x=1，开口朝上，说明在区间（﹣∞，1）上函数为减函数，在区间（1，+∞）上是增函数．函数在区间[2a，a+1]上不单调，说明在此区间上函数有减也有增，因此不难求出实数a的取值范围．

解答：

解：根据公式，二次函数f（x）=2x2﹣4x+3图象的对称轴为：直线x=，即直线x=1，函数f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，说明直线x=1在区间[2a，a+1]内部

因此列式：2a＜1＜a+1所以a的取值范围是 0＜a＜

点评：本题以二次函数为载体，考查了函数单调性的判断与证明，属于基础题．牢记二次函数图象的规律，利用图象结合函数的单调性加以判断，是解决本题的关键．

17．函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0，则m的取值范围是．

分析：先将题中条件：“f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0”移项得：f（m﹣1）＞f（2m﹣1），再结合f（x）是定义在[﹣3，3]上的减函数，脱去符号：“f”，转化为关于m的一元不等式组，最后解得实数m的取值范围，必须注意原函数的定义域范围．

解答：解：∵f（x）在[﹣3，3]上是减函数∴由f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0，

得f（m﹣1）＞f（2m﹣1）∵函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，

∴即解得 0＜m≤2，∴m的取值范围是（0，2]．

点评：本题考查了函数的定义域、函数单调性的性质、函数的单调性的反向应用，考查学生的转化能力，属于基础题．

18．分别求下列函数的值域：

（1）y=；（2）y=﹣x2+2x（x∈[0，3]）；

（3）y=x+；（4）y=．

分析：（1）用分离变量法将原函数变形，再根据分母不为零，求函数的值域；

（2）用配方法将原函数变形，再根据开口方向和对称轴的大小，求出在区间上的最值，在表示出值域；

（3）先求函数定义域[﹣1，1]，故设x=cosθ（θ∈[0，π]），代入原函数利用两角的和差公式进行化简，再利用正弦函数的曲线求出最值，即求出值域；

（4）用分离变量法将原函数变形，利用2x＞0求原函数的值域．

解答：

解：（1）用分离变量法将原函数变形为：y==2+．

∵x≠3，∴≠0．∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}．

（2）用配方法将原函数变形为：y=﹣（x﹣1）2+1，根据二次函数的性质，

在区间[0，3]上，当x=1时，函数取最大值1，当x=3时，函数取最小值是﹣3，

则原函数的值域是[﹣3，1]．

（3）由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，设x=cosθ（θ∈[0，π]），

则y=sinθ+cosθ=sin（θ+），由正弦函数曲线易知，

当θ=时，y取最大值为，当θ=π时，y取最小值为﹣1，

∴原函数的值域是[﹣1，]．

（4）分离常数法将原函数变形为：

y=

∵1+2x＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜﹣1+＜1，∴所求值域为（﹣1，1）

点评：本题考查了求函数值域的方法，即分离常数法，配方法和换元法等，注意每种方法适用的类型．19．求下列函数的值域

（1）；（2）；（3）．

分析：

（1）本题宜用分离常数法求值域，其定义域为{x|x≠0}函数可以变为y=﹣1+再由函数的单调性求值域．

（2）令=t，将函数转化成关于t的一道定函数在定区间上的值域问题，通常利用配方法，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域．

（3）先把函数化为：2yx2﹣3yx+y﹣1=0，根据判别式△≥0即可得出函数的值域．

解答：解：（1）由题函数的定义域为{x|x≠0}

=﹣1+≠﹣1 故函数的值域为{y|y≠﹣1}

（2）：令=t，t≥0，则 x=，∴y=，

当且仅当t=1时取等号，故所求函数的值域为[﹣1，+∞），

（3）原式可化为：2yx2﹣3yx+y﹣1=0，∴△=9y2﹣8y（y﹣1）≥0，

∴y（y+8）≥0，∴y＞0 或y≤﹣8，，故答案为：（﹣∞，﹣8]∪（0，+∞）

点评：本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法．（1）小题求值域采用了分离常数法的技巧，对于分式形函数单调性的判断是一个好办法，注意总结这种技巧的适用范围以及使用规律．（2）是通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）．

20．求下列函数的值域

（ I）；（ II）．

分析：（I）将函数变形为，因为x2≥0，用观察分析法求值域即可．

（II）先令被开方数大于等于0求出函数的定义域，然后判断出函数的单调性，进一步求出函数的值域．

解答：解：（I），∵x2≥0，∴，∴0≤y＜1

（II）函数的定义域为[﹣1，+∞），

又因为函数为定义域上的增函数，所以当x=﹣1时，函数取得最小值﹣2．

所以函数的值域为[﹣2，+∞）．

点评：本题考查函数的值域问题．对于（2）小题，把它看成通过研究函数的单调性求函数的值域的方法，需要注意的是应该先求出函数的定义域．属于基本题型、基本方法的考查．

21．求下列函数的值域：

（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；

分析：

（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+

（2）看作是复合函数先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=，再配方法求得μ的范围，可得的范围．

（3）可用分离变量法：将函数变形，y===3+，再利用反比例函数求解．

（4）用换元法设t=≥0，则x=1﹣t2，原函数可化为y=1﹣t2+4t，再用配方法求解

（5）由1﹣x2≥0?﹣1≤x≤1，可用三角换元法：设x=cosα，α∈[0，π]，将函数转化为y=cosα+sinα=sin（α+）用三角函数求解

（6）由x2+x+1＞0恒成立，

即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有根求解．

解答：

解：（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+≥，∴y=3x2﹣x+2的值域为[，+∞）（2）求复合函数的值域：设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=

又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，

∴y=的值域为[0，2]

（3）分离变量法：y===3+，

∵≠0，∴3+≠3，∴函数y=的值域为{y∈R|y≠3}

（4）换元法（代数换元法）：设t=≥0，则x=1﹣t2，

∴原函数可化为y=1﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，∴原函数值域为（﹣∞，5] 注：总结y=ax+b+型值域；变形：y=ax2+b+或y=ax2+b+

（5）三角换元法：

∵1﹣x2≥0?﹣1≤x≤1，∴设x=cosα，α∈[0，π]，

则y=cosα+sinα=sin（α+）

∵α∈[0，π]，∴α+∈[，]，∴sin（α+）∈[﹣，1]，

∴sin（α+）∈[﹣1，]，∴原函数的值域为[﹣1，]

（6）判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R

由y=得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①

①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，∴x=0∈R

②当y﹣2≠0即y≠2时，∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根，

∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，

∴原函数的值域为[1，5]

点评：本题主要考查求函数值域的一些常用的方法．配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法…

22．（2010?广东）已知f（x）是奇函数，在（﹣1，1）上是减函数，且满足

f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求实数a的范围．

考点：函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义。811365

专题：计算题。

分析：要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系．

解答：解：由f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）．

∵f（x）是奇函数，∴﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），于是f（1﹣a）＜f（a2﹣1）．

又由于f（x）在（﹣1，1）上是减函数，

因此，

解得0＜a＜1．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，一定注意区间的限制．

23．已知，x∈（1，+∞），f（2）=3

（1）求a；（2）判断并证明函数单调性．

考点：函数单调性的判断与证明；函数的值。811365

专题：证明题。

分析：（1）由已知中函数的解析式，将x=2，f（2）=3代入构造a的方程，解方程可得答案．（2）任取1＜x1＜x2，我们构造出f（x2）﹣f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易出

f（x2）﹣f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．

解答：解：（1）∵，x∈（1，+∞），f（2）=3，∴，解得a=1．（2）．

函数在区间（1，+∞）是单调减函数．理由如下：

设1＜x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=﹣=

因为1＜x1＜x2，，所以x1﹣x2＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，

所以f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）

所以函数在区间（1，+∞）是单调减函数．

点评：本题主要考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．

24．设函数．

（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；

（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质。811365

分析：

（1）当a=2时，将函数f（x）变形成，然后利用均值不等式即

可求出函数f（x）的最小值；

（2）先取值任取0≤x1＜x2然后作差f（x1）﹣f（x2），判定其符号即可判定函数f（x）在[0，

+∞）上的单调性．

解答：

解：（1）当a=2时，．（2分）

．（4分）

当且仅当，即时取等号，

∴．（6分）

（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2

．（8分）

∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，

∴．（10分）

∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数．（12分）点评：本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于基础题．

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