求函数值域的常见方法大全教师版
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
求函数值域(最值)的方法大全
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
北大师版高一数学上册--第一单元 求函数值域的八种方法(教师讲义)(含答案)
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 五、判别式法（☆） 二、配方法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 三、分离常数法（☆） 七、函数单调性法（☆） 四、反函数法（☆） 八、图像法（数型结合法）（☆）一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数的值域。
【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
练习：1、求242-+-=x y 的值域． 2.求函数y =的值域．二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
【解析】由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
定义域和值域的专题讲解常用方法教师版
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
求函数定义域（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
求值域的方法大全及习题
求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数xx y 422+--=的值域。
（配方法）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
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求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。
一、直接观察法这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。
例1 求函数y =x 1的值域。
解： x ≠0 ，∴ x1≠0显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ .二、反函数法当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。
例3 求函数y =6543++x x 值域。
解：由原函数式可得：x =3564--y y，则其反函数为：4653xy x -=- 其定义域为：x ≠53，故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞⋃+∞.注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530y x =++同样达到目的。
例4 求函数11()211()2xxy -=+值域。
解：由原函数式可得：121log 1yx y-=+，则其反函数为：121log 1xy x -=+ 由101xx->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-.注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()021xyy-=>+同样达到目的 三、配方法配方法是求二次函数（即形如2()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。
例5 求函数y =2x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y =（x -1）2+ 4，x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ].例6求函数y =的值域。
解：将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ，32].例7 求函数2sin 2sin 2()4y x x x ππ=-+-≤≤的值域。
解：将函数配方得：2(sin 1)1y x =-+，4x ππ-≤≤，sin 12x ∴-≤≤ 当sin x =max 52y =当sin 1x =时，min 1y= 故函数的值域是：5[1,2+. 四、判别式法形如2111122222(,a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为0）的函数的值域通常用此法求解，把函数转化为关于x （或关于x 的某个代数式）的二次方程，通过方程有实根，△≥0，从而求得函数的值域。
例8 求函数 y =3212+--x x x 的值域。
解：由y =3212+--x x x 得：013)12(2=+++-y x y yx （※）当0≠y 时，为使方程（※）有实根， 必须且只需△[]22(21)4(31)810y y y y =-+-+=-+≥解得 4242≤≤-y 当0=y 时,方程（※）有实根1=x因此，函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42,42. 例9 求函数y = x +)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y +1）x + y 2=0（1） x ∈R ，∴△=4（y +1）2-8 y ≥0 解得：1-2≤ y ≤1+2但此时的函数的定义域由x （2 - x ）≥0，得： 0≤ x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（ y +1）x + y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
0≤x ≤2，∴y = x +)2(x x - ≥0，把min y =0代入方程（1），解得： 0[0,2]x =∈，把1y =1），解得：[0,2]x =∴原函数的值域为：[0，1+2].注：在这里，需要注意两个问题：一是要讨论二次项系数是否为0，因为二次项系数为0时方程（※）不再是一元二次方程，当然不能用判别式判定其是否有实数根。
二是要注意函数的定义域是否为实数集，因为判别式是判定一元二次方程在整个实数集上（而不是在它的子集合内）是否有解；若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
五、利用函数的有界性法函数式中含有正弦或余弦函数及指数式时，不妨利用此法。
例10 求函数y = 11+-x x e e 的值域。
解：由原函数式可得：xe =11y y+-， xe ＞0，∴11y y+-＞0解得：- 1＜y ＜1，故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例11 求函数2sin 2sin xy x-=+的值域解：由原函数式可得：22sin 1yx y -=+ ， 22|sin |1,||11yx y -≤∴≤+即 |22||1|y y -≤+。
两边平方，得2248421y y y y -+≤++ 即231030y y -+≤ 解得：133y ≤≤ 所以函数的值域是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
例12 求函数y =3sin cos -x x的值域。
解：由原函数式可得：y sin x - cos x=3 y ，)3x y β+=即sin()x β+=∵ x ∈R ，∴sin （x +β）∈[-1，1] 。
即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤ y ≤42 故函数的值域为[-42，42]. 注：本题还可以利用数形结合法，把原函数式变形为：cos 0sin 3x y x -=-，可以看作一点(3,0)P 与单位圆221x y +=上的点所连线段的斜率，从而达到目的。
六、利用函数的单调性法1、两个单调递增（或递减）函数的和仍为单调递增（或递减）函数；2、()(0)kf x x k x=+>在(,)x ∈-∞+∞上是增函数，在[x ∈上是减函数。
例13求函数52log 10)x y x -=+≤≤的值域。
解：令512x y -=，23log y =则 1y ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。
所以 y =1y +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y min = 32-+log =81， 当x = 10 时，max y = 52+3log 。
故所求函数的值域为：[81，33]. 例14 求函数y = 1+x -1-x 的值域。
解：原函数可化为： y =112-++x x令1y = 1+x ，2y = 1-x ，显然1y ，2y 在[1,)+∞上为无上界的增函数， 所以y =1y +2y 在[1,)+∞上也为无上界的增函数。
所以当x = 1时，y =1y +2y 有最小值2，原函数有最大值22= 2。
显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2)。
例15求函数2y =的值域解：函数y =令t =，则1(2)y t t t=+≥由于函数1y t t =+在[2,)+∞上是单调递增函数，从而有min 15222y =+=故所求函数的值域为：5[,)2+∞.七、换元法形如,,,y ax b a b c d =+为常数，0)a ≠常用代数换元；形如,,,y ax b a b c d =+为常数，0)a ≠常用三角换元。
例16 求函数y = x + 1-x 的值域。
解：令x -1= t ，（t ≥0）则x =2t +1∵ y =2t + t +1=2)21(+t +43， 又t ≥0，由二次函数的性质可知当 t =0时，min 1y =， 当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[1,)+∞.例17求函数2y x =+ 解：因1-2)1(+x ≥0，即2)1(+x ≤1故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈.∴y =cos β=sin β+cos β+1=2sin （β+4π）+1 50044ππβπβ≤≤∴≤+≤∴ -22≤sin （β+4π）≤1∴ 0 ≤2sin （β+4π）+1≤1+2故函数的值域为[0,1.八、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例18求函数y =解：原函数可化简得：|2||8|y x x =-++上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ）， B （- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P 在线段AB 上时，|2||8|||10y x x AB =-++==当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10y x x AB =-++>=故所求函数的值域为：[10,)+∞.例19求函数y =解：原函数可变形为：y =上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点 A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，min ||y AB ===故所求函数的值域为)+∞. 例20求函数y =的值域。
解：将函数变形为：y =上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。
即：y =∣AP ∣-∣BP ∣，由图可知：（1） 当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '，则构成△ABP '，根据三角形两边之差小于第三边，有||||||||AP BP AB ''-<=即：-26＜ y ＜26（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时， 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述，可知函数的值域为：(.注：由例19，20可知，求两距离之和时，要将函 数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距 离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
九 、不等式法利用基本不等式,,)a b c a b c R +++≥∈，a b +≥(,)a b R +∈求函数的值域，其题型特征是当解析式是和式时要求积为定值，当解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例21 求函数2sin sin 2y x x =的值域。
解：4sin sin cos y x x x =24sin cos x x =242222222316sin cos 8sin sin (22sin )sin sin 22sin 8()36427y x x x x x x x x ==-++-≤= 当且当22sin 22sin x x =-，即当22sin 3x =时，等号成立。