求函数值域的常见方法大全教师版

求函数值域的几种常用方法

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。

一、直接观察法

这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。

例1 求函数y =

x 1

的值域。 解： x ≠0 ，∴ x

1

≠0

显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。

解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ .

二、反函数法

当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。

例3 求函数y =

6

54

3++x x 值域。

解：由原函数式可得：x =

3

564--y y

，

则其反函数为：4653x

y x -=

- 其定义域为：x ≠5

3

，

故所求函数的值域为：33

(,)(,)55

-∞⋃+∞.

注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530

y x =

++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2

x

x

y -=

+值域。 解：由原函数式可得：1

21log 1y

x y

-=+，

则其反函数为：1

2

1log 1x

y x -=+ 由

101x

x

->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-.

注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02

1x

y

y

-=

>+同样达到目的 三、配方法

配方法是求二次函数（即形如2

()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2

x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2

+ 4，

x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：

当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ].

例6

求函数y =

的值域。

解：

将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ，

3

2

].

例7 求函数2

sin 2sin 2()4

y x x x π

π=-+-

≤≤的值域。

解：将函数配方得：2

(sin 1)1y x =-+，

4

x π

π-

≤

≤，sin 12

x ∴-

≤

≤ 当sin x =

max 52y =

当sin 1x =时，min 1y

= 故函数的值域是：5

[1,

2

+. 四、判别式法

形如2

111

122

222

(,a x b x c y a a a x b x c ++=

++不同时为0）的函数的值域通常用此法求解，把函数转化为关于x （或关于x 的某个代数式）的二次方程，通过方程有实根，△≥0，从而求得函数的值域。

例8 求函数 y =

321

2+--x x x 的值域。

解：由y =3

21

2+--x x x 得：

013)12(2=+++-y x y yx （※）

当0≠y 时，为使方程（※）有实根， 必须且只需

△[]2

2

(21)4(31)810y y y y =-+-+=-+≥

解得 4

242≤≤-

y 当0=y 时,方程（※）有实根1=x

因此，函数的值域是⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡-

42,42. 例9 求函数y = x +)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y +1）x + y 2=0（1） x ∈R ，∴△=4（y +1）2

-8 y ≥0 解得：1-2≤ y ≤1+2

但此时的函数的定义域由x （2 - x ）≥0，得： 0≤ x ≤2。由△≥0，仅保证关于x 的方程：

22

x -2（ y +1）x + y 2

=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0

求出的范围可能比y

的实际范围大，故不能确定此函数的值域为

[1。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

0≤x ≤2，∴y = x +)2(x x - ≥0，

把min y =0代入方程（1），解得： 0[0,2]

x =∈，把1y =1），解得：

[0,2]x =

∴原函数的值域为：[0，1+2].

注：在这里，需要注意两个问题：一是要讨论二次项系数是否为0，因为二次项系数为0时方程（※）不再是一元二次方程，当然不能用判别式判定其是否有实数根。二是要注意函数的定义域是否为实数集，因为判别式是判定一元二次方程在整个实数集上（而不是在它的子集合内）是否有解；若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

五、利用函数的有界性法

函数式中含有正弦或余弦函数及指数式时，不妨利用此法。

例10 求函数y = 1

1

+-x x e e 的值域。

解：由原函数式可得：x

e =

1

1y y

+-， x

e ＞0，∴

1

1y y

+-＞0