高考数学用二分法求函数零点的近似值知识点.doc

高考数学用二分法求函数零点的近似值知

识点

高考数学用二分法求函数零点的近似值知识点

高考数学用二分法求函数零点的近似值知识点

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f(a) f(b) 0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a) f(b) 0，给定精确度

(2)求区间(a，b)的中点x1;

(3)计算f(x1)，

①若f(x1)=0，则就是函数的零点;

②若f(a) f(x1) 0，则令b=x1(此时零点x0 (a，x1));

③若f(x1) f(b) 0，则令a=x1(此时零点x0 (x1，b));

(4)判断是否达到精确度，即若|a-b| ，则达到零点近似值a(或b);否则重复(2)-(4)。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器.

(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在

计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)

②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f(x)-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根;

③设函数的零点为x0，则a x0 b，作出数轴，在数轴上标出a，b，x0对应的点，如图，所以0 x0-a b-a，a一b x0-b 0.由于|a -b| ε，所以|x0 -a| b-a ε，|x0 -b| |a -b| ε即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε

④我们可用二分法求方程的近似解.由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.

数学用二分法求函数零点的近似值练习

用二分法求方程的近似解

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如何才能迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路，大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作才合理?

基础巩固

1.方程|x2-3|=a的实数解的个数为m，则m不可能等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由图可知y=|x2-3|与y=a不可能是一个交点.

答案：A

2.对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a) 0，f(b) 0(a b)，则在(a，

b)内f(x)( )

A.一定有零点

B.一定没有零点

C.可能有两个零点

D.至多有一个零点

解析：画y=f(x)的大致图象分析，也可取m，n，a，b的特殊值，很容易判断f(x)在(a，b)内可能有两个零点.

答案：C

3.已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a 0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为0，a2，0，a4，0，a8，则下列说法中正确的是( )

A.函数f(x)在区间0，a16无零点

B.函数f(x)在区间0，a16或a16，a8内有零点

C.函数f(x)在a16，a内无零点

D.函数f(x)在区间0，a16或a16，a8内有零点，或零点是a16

解析：由二分法求函数零点的原理可知选D.

答案：D

4.奇函数f(x)=x3+bx2+cx的三个零点是x1，x2，x3，满足x1x2+x2x3+x3x1=-2，则b+c=________.

解析：∵f(x)为奇函数，b=0，故f(x)=x3+cx有一个零点是0，不妨设x1=0，则x2，x3是x2+c=0的二根，故x2x3=c，由x1x2+x2x3+x3x1=-2得c=-2，故b+c=0-2=-2.

答案：-2

5.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值：

x123456

f(x)1210-24-5-10

函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有__________个.