专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题

【例题精讲】

两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．

（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．

证明：（1）如图②，②由题意知，AD=GD，ED=CD，②ADC=②GDE=90°，

②②ADC+②CDE=②GDE+②CDE，即②ADE=②GDC，在②AED与②GCD中，

AD GD

ADE GDC ED CD

⎪

∠

⎪

⎩

∠

⎧

⎨

＝

＝

＝

，

②②AED②②GCD（SAS）；

（2）如图②，②α=45°，BC②EH，②②NCE=②NEC=45°，CN=NE，②②CNE=90°，

②②DNH=90°，②②D=②H=90°，②四边形MHND是矩形，②CN=NE，②DN=NH，②矩形MHND是正方形．【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决.

【针对训练】

1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，

折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．

（1）求的值；

（2）四边形EFDB′的面积为；

（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．

解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，

∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，

∴四边形ABEB'为正方形，

∴△AB'E为等腰直角三角形，

∵AB＝6，AD＝8，

∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2，

∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，

∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，

∴A'D＝DF＝6﹣2＝4，

∵CD＝AB＝6，

∴CF＝6﹣4＝2，

∴．

（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，

∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝＝10．

故答案为：10．

（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，

∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，

∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，

∴∠B'ND＝30°，

∴∠B'DN＝60°，

∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，

∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，

∴的长为．

即点A'到达点M所经过的距离为．

2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆

转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：

（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F 是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．

①补全图；

②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；

③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围．

解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，

故答案为A．

（2）①图形如图3所示．

②结论：GF⊥x轴．

理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，

∴∠GEF＝∠PEO，

∴△GEF≌△PEO（SAS），

∴∠GFE＝∠EOP，

∵OE⊥OP，

∴∠POE＝90°，

∴∠GFE＝90°，

∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，

∴四边形EFHO是矩形，

∴∠FHO＝90°，

∴FG⊥x轴．

③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），

∴OE＝5，

∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，

∴四边形EFHO是正方形，

∴OH＝OE＝5，

∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．如图4﹣2中，当x＞5时，

y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．

综上所述，．

3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时

针旋转90°，得到线段DE，连接AE．

（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系

式．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，