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专题一函数与导数

【典纲】

高考中导数试题主要考查切线方程、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、极值、最值、 方程解的情况、实际应用中最优化等问题，经常与不等式、函数、三角函数、数列、立体几何、解 析儿何等知识相结合，作为中档题或压轴题出现，难度较大，分值约为12-14分.有的试题结合导数 常常考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，解决二次函数的单调区间、二次 函数在给定区间上的最值以及与此存关的参数范I 韦I 的问题，充分体现导数的工具性作用，同时要注 意指数函数和对数函数与导数结合的解答题.

【典例】

1、函数的单调性与导数

函数的单调性与导数的题型通常有（1）利用导数求解函数的单调区间；（2）己知函数的单调区 间求解参数的范围，求函数的单调区间不耍忽视函数的定义域，根据函数的单调性确定参数的范围 可将函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立问题转化为不等式的恒成立问题來解

决.

例1. （2013东北三校第一次联考）已知函数f （x ） = axsinx + cosx , Fl. f （x ）在兀=仝处的切线

4 斜率为

如.

8

（1）求d 的值，并讨论/（X ）在［-兀,刃上的单调性;

（2 ）设函数g （x ） = ln 伽兀+ 1）+ ■- ,x ＞0 ,其中/n ＞0 ,若对任意的X ）eI0,+oo ）,总存在

\ + x

兀2丘［0,彳］,使得^（X,）＞/（X 2）成立，求加的収值范围.

【分析】（1）由/（对在x 处的切线斜率为旦，实质上是*兰时几灯的导数值为兰冬， 4 8 4 8 通过对函数求导示可求出。的值，再根据函数单调性的性质讨论；（2）当xe ［0,-b /（x ）min = 1,问 2 题可转化为g(x) > 1在［0,4-00)上恒成立求得.

【解析】(1) f '(-^) = asinx + ax cos x - sin x = (tz -1) sin ax cos x -^- + — a = , /. a = l,f '(x) = xcos x.

2 4 2 8

§R0

当广⑴＜0时,

5）在“送］、隔］上单调递增,在［号0］、［討上单调递减.

⑵ 当xw ［0冷］时，/⑴单调递增，斷=/（0） = 1 即可. z 2 加 _2、 m{x^ + --- ) m (mr + l)(x + l)2

71

厂严7 当厂⑴＞0时, 则只需g （x ）、i 在［0,+8）上恒成立

0, m > 0)

① 当m > 2时,^>0, :.g\x)> 0在［0,+x)上恒成立，即g(Q 在［0,+oo) ±单调递增,又

m

g(0) = 1 , g(x) > 1 在［0,+oo)上恒成立，m > 2 时成立；

② 当0v 加<2时，当时?，g \x) < 0 ,此 时g(x)单调 递减， V

g(x) < g(0) = 1, 0

综上m > 2

【变式训练】已知函数/(x) = (a-\)lnx + ax 2 + 1 .

(1) 讨论函数/(x)的单调性；

(2) 如果对任意的「>兀2〉0,总有/(%I )~/(X2)>2,求a 的取值范围.

lax^ + a _ ］ / 门、

f \x) =

(x > 0)? 广⑴>0,故/⑴在(0,+8)上单调递增; 厂(兀)<(),故于(兀)在(0,+oo)上单调递减;

(2) 由题意知,>/(X 2)-2X 2,令g(x) = y (x)-2兀可得g ⑴在(0,+oo)上单调递增,

即 g '(x) = —~- 4- 2ax - 2 > 0, a > “ 十［(*),,令 f = 2x + 1，贝>J x = -~，?/ x > 0,/. r > 1 x

1 + 2x~ 2

(◎式可化为a n a >辺也，故a 的取值范围为［迈也,+00)? 朋-2

2 2 t

【点评】含参函数的单调性问题它分为(1)给出的参数可求出，其求口J 导函数单调区间的一般 步骤：①确定函数/⑴的定义域；②求导函数/ \x):③在函数/⑴的定义域内求不等式f \x) > 0或 f \x) < 0的解集；④由f\x)>0(f\x)<0)的解集确定函数/⑴的单调递增(减)区间.(2)给出的 参数不确定,解决此类问题的关键在于准确确定分类讨论的依据,一般思路是:先讨论方程f Xx) = 0 是否有根，再讨论方程广(x) = 0的根是否在函数的定义域内，最后讨论方程f V) = 0的根之间的大 小关系.变式训练第(2)小题可先构造函数，然后可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区 间上广⑴(或f '(x)<0 )恒成立，然后分离常数，转化为求函数的授值问题，从而获得参数的 収值范围.

2、导数与函数的极值、最值

利用导数求解函数的极值、最值，一般先已知函数解析式，然后通过求导，求出极值点，根据 定义确定英极大值(极小值)?函数的极值反映函数在一点附近的情况，是在局部函数值的比较，故 极值不一定是最值，函数的最值是对函数在整个区间上的函数值相比较而言，故函数的最值可能是 极值，也可能是区间端点处的函数值.

例 2.已知函数 f(x) = a\nx + -(a>0).

(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；

【解析】(1) ① 当ah 1时, ② 当dSl 时, ③当Ovavl 时，令厂(x) = 0,解得兀二

/(x)在(0, jg)上单调递减，在(J*,+8)上单调递增.

l-a

(2)已知对任意的x>0, ^(2-ln.r)

(3)是否存在实数a,使得函数/(劝在［1,可上的最小值为0,若存在，求出a的值，若不存在, 请说明理由.

【分析】(1)求出函数/(力的导函数，判断其导数函数的符号，进而确定其单调区间和极值;

(2)构造函数g(x) = ox(2-ln兀),问题可转化为当xw［0,+8)时,g(x)milx < 1解得;(3)需要对参数a分类讨论.

【解析】函数的定义域为{x\x>0} , f\x) = ---L(a>0)

x

(1)/⑴的单调递增区间为(-,+00)；单调递减区间为(0,1).

a a

/*(兀)的极小值为f(-) = a-a\na .

a

(2)(x) = ax(2 - Inx) = lax -ax\nx (x > 0)

g \x) = a-a\nx9 g(兀)的最大值为g(兀)的极大值g(e) = ae ,要使不等式ax(2-In x) < 1恒成立,

只需g(Q的最大值不大于1即可，即g(e)Sl，故a的取值范围为(0,-］.

e

(3)①若0v丄<1,即a>\ W，函数/⑴在［1,可上为增函数，故函数/(x)的最小值为

a

/(l) = 671nl + l = l,不合；

②若 1 <丄, BP -< a < 1 时,f(x)的最小值为f{x)的极小值,f (―) = a\n — a = a -a\na =

0 ,

a e a a

a = e ,不合;

③若丄>￡,即Ovav丄时,函数/(x)在［l,d上为减函数,/(%)的最小值为f(e) = a\ne + - = O ,

a e e

即a = __L,不合.

e

综上所述，不存在这样的实数a,使得函数/(x)在［1,刃上的最小值为0.

【变式训练】已知函数f(x) = x-—ax2 -ln(l + x),其中awR

2

(1)若x = 2是/(2)的极值点，求。的值；

(2)若/(x)在［0,+oo)上的最大值为0,求a的取值范围.

【解析】(1)厂(x)=Hlm),“(-l,+oo),由厂(2) = 0

X + 1

解得0 = 1,经检验d = 1符合，0=1.

3 3 3

(2) *0时,/(x)在(0,+oo)上单调递增,/(0) = 0知*0,不合；

当0 v a < 1时，/(%)在(0, +oo)上的最大值为/(--I)

a

由/(--1)>/(0) = 0,知OvavlH 寸不合；

a

当/(x)在［0,+00)上单调递减,可得.f⑴在［0,4-00)±的最大值为/(0)=0,符合, a的取值范围为［l,+oo).

【点评】利用导数研究函数的极值与最值问题，一般是考杳含有参数的对数，指数或二次函数及其组合的函数，往往要通过求导数的符号先判断函数的单调性，然后结合函数的极值耳最值定义求得，但此类问题冇时利用导数研究不等式恒成立的问题，常常需要根据不等式恰当地构造函数，有时还需要进行多次构造和求导，而且在有的问题屮借助两数的最值需对参数进行分类讨论，这种逆向思维的探索性问题是高考命题的热点.

3、导数与不等式

不等式问题中一般有一元不等式、二元不等式，利用导数方法证明“不等式/(x)>^(x)在区间D 上恒成立”的基本方法是先构造函数/7(X)= /(X)-^W，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x) > 0 ,而二元不等式常常转化为一元不等式，把二元不等式转化为一元不等式时要注意变换的等价性，以及变换后函数的定义域.

例3?设a为实数,函数fM = e x-2x-^-2a9xeR

(1)求/(兀)的单调区间与极值;

(2)求证：当° > ln2-l 且x > 0 时，e x > x2 - lax 4-1.

【分析】(1)求函数的导函数，令导函数为()，求出其极值点，判断其导函数的符号求得；(2)

构造函数gfr) = e x-x2 + lax一1证明g(x)在(0,+oo)上单调递增,且g(0) = 0即可.

【解析】(1) f'(x) = e x-2,令y(x) = O, x = ln2.

/(x)的单调递减区间为(-oc,ln2］,单调递增区间是［In2,+oo),

/(x)的极小值为/(In 2) = 一2In 2 + 2。= 2(1 - In 2 + a).

(2)设g(x) = e x -x2 + 2ax-1, g \x) = e x - 2x + 2a ,

由(1)知a>ln2 —1, Q(x)的最小值为"(ln2) = 2(l —ln2 + a)>0,

V XG/?,都有g3>0, .?.g(x)在R内单调递增,

于是当a>ln2-l 时，Vxw(0,+8),都有g(x)>g(0) = 0?

/. f ' - x" + ^.cix -1 > 0 e' > - 2.cix +1

【变式训练】已知函数/(x) = -x3 + ^-^x2 -2ax-3, g(a) =丄R+5a-7.

3 2 6

(1)当"1时,求函数/(兀)的单调递增区间;

(2)若函数/⑴在［-2,0］上不单调，且血［-2,0］时，不等式f(x)vg⑷恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1) /(%)的单调递增区间是(-oo,-l］,［2,-Foo).

(2) f '(x) = x2 + (a - 2)x -2a = (x + a)(x - 2),令厂(x) = 0 得x = 2 或x =-a ,

依题意-a G (-2,0),即0 v a v 2 ,

/(x)在［-2,0］上有唯一的极大值点x = -a ,

.?.当xw［-2,0］时,不等式f(x)

...-L a3 + 2—1 xa2 + 2a2-3<-a3+5a-7 ,解得a的取值范围是(1,2).

3 2 6

【点评】利用导数方法证明不等式的基本方法是构造甫数，其小i个重要技巧是找到构造的函数在什么地方可以等于零，这往往是解决问题的一个突破口，例3中构造的函数在兀=0处等于0, 由于要证明当x〉0时，不等式成立，则只要证明构造的函数在区间（0,炖）上单调递增即可，二元不等式问题冇两种形式，一种是对于同一函数的两个不同自变量而言，另一种形式则是对于不同函数的不同自变量而言，利用导数解决笫-?种形式的二元不等式的基本思想把这个二元不等式转化为一元不等式，通过构造函数，然后按照导数研究一元不等式的方法解决，转化的基木思路有两个：一是根据函数的单调性把不等式转化为一个函数在指定的区间上是单调的，二是通过“齐次变换”把不等式转化为一元不等式，然后构造函数，而第二种形式则要转化为不同函数的最值进行解答.

常考点

1、利用导数证明不等式

导数是研究函数的重要手段，利用导数研究不等式恒成立求参数以及范伟I、不等式的证明的应川、比较大小等近年高考题的热点题型，使不等式和函数及导数达到了完美的统一，其中“掺杂”了很多知识，如不等式的阜本性质、不等式恒成立、含参数的不等式如何分类、零点的判定方法等，要注意参数对极值点的影响.

例4?（2013陕西?文）已知函数f（x） = e\xeR.

（1）求/（兀）的反函数的图象上点（1,0）处的切线方程；

（2）证明：曲线y = f（x）与曲线y = -x2+x-^i有唯一公共点；

2

（3）设a

2 b-a

【分析】（1）求出函数/（X）的反函数后求导得切线的斜率并求出其切线方程；（2）构造函数，结合方程零点存在性定理得证；（3）対W⑴-/U）化简变形后构造函数，b-a2

u（x） = e x- — ~ 2x（x > 0）,利用函数导数方法证明不等式M（X）> 0 .

【解析】（1）/（兀）的反函数g（兀）= ln兀，设所求切线的斜率为R, g V）=丄,R =

g'⑴=1，于是

x 在点（1,0）处切线方程为y = x-1.

（2）设（p（x） = e x -—x2 -x-1,v（p（0） = 0,/.（p（x）存在零点x = 0 .

2

乂0(兀)=疋一x-1,令h(x) =(p\x) = e x -x-1,则h\x) = e x一1,

0（x）在（YO,O）上单调递减，在（0,+oo）上单调递增，

0（兀）在x = 0处有唯一极小值0（0） =（V. 00） > 0 ,

0（兀）在R上是单调递增的，“（X）在R上有唯一的零点,

|11|线『=/O）与y = + x + i有唯-的公共点.

a+b b-a a-h

设函数u(x) = e x - — -2x(x>0)f 贝iju'(x) = e x -i- — -2>2je x

--2 = 0, /.u'(x)>0 (仅当x = 0 e x

e x

V > b-a a-b 时等号成立)，.?.“(x)单调递增，当x>0 时，M (X )>M (0) = 0 ,令x= 2 2。，则得￡ 2 ~e 2 -(b-a)>0 , f ⑹_畑〉Q + b

b-a J 2

【点评】函数解答题的特点往往是起点低、落点高，一般情况下提供的条件非常容易入手，可 以是相同条件下的单独的小问题，每问均考查不同的知识点，也可能是阶梯形问题，那就需耍“拾级 而上”了，本题涉及知识点多，具冇很强的综合性和灵活性，尤其是第(3)题的比较大小，匠心独 b-a a-b

运地通过构造函数然后求导去确定"丁-e^-(b-a)的符号新颖别致，意犹未尽.

2、利用导数研究方程解的情况

函数零点的存在性问题常用的方法冇(1)解方程，当能直接求解零点时，就直接求出进行判断;

(2)用定理：零点存在性定理；(3)利用图彖的交点：有些题冃可先画出某两个函数y = f(x). y = g(x)的图彖，其交点的横坐标是fM-g(x)的零点，但高考题中常有求函数的零点的个数或讨 论方程的根的个数的题型出现，解决这类问题往往借助求导的方法.

例5. (2013福建?理)已知函数f(x) = sin(d>x +(p)(a)>0,0<^>< ^)的周期为;r,图象的一个对称 中心为(-,0),将函数/⑴图象上所有点的横坐标伸长到原來的2倍(纵绝标不变)，再将所得到的 图彖向右平移仝个单位长度后得到函数g(x)的图彖.

(1) 求函数/(兀)与g(x)的解析式;

(2) 是否存在x o e(^,-),使得/U ),g(x (J, /(x 0)^(x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在, 6 4

请确定X 。的个数，若不存在，说明理由；

(3) 求实数a 与正整数料,使得F(x) = /(x) + a^(x)在(0冲)内恰有2013个零点.

【分析】(1)先根据周期求出血，再根据对称中心求出0;(2)若成等差数列，等价于

2cos 2x = sinx + sinx cos2x 在(兰,—)上冇解，可转化为 G(x) = sin x + sinxcos 2x-2cos 2x 在 6 4 6 4

山(0,兀)5龙,2兀)，则问题转化为研究直线与g —(x)的交点情况，再根据单调区间和极值, 画出瓜兀)的草图，进一步讨论交点个数.

【解析】(1)血=莘=2J (彳)=sin(2 x 彳+ 0)=()得° =彳

所以〃)“2兀，而.W = cos(x--) ^W = sinx. 兀 兀

(2)当 X G (-,-)时， sin x > cos 2x > sin x cos 2x 6 4

是否有零点; (3 )先出求F(x) = 0的解, 然后分离变= cos2x sinx 令 h(x)= cos 2x sinx

问题转化为方程2cos2兀=sinx + sinxcos2x在(―,—)内是否有解,

6 4

设G(x) = sinx + sinxcos2x一2cos2x ,xe )

6 4

71 71

G\x) = cos x + cos xcos 2x + 2sin 2x(2 - sin x), x e ,

6 4

??? G3 > 0,G(x)在内单调递增，

6 4

G(彳)= -l<0, G(彳)~> 0且函数G(x)的图象连续不断即存在唯一的如e (彳，彳)满足题意.

(3 ) F(x) = a sin x + cos 2兀令F(x) = 0 ,当sin x = 0 即x =炽伙G E)时，cos 2x = 1 ,从而x二kMk G Z)不是方程F(x) = 0的解,

方程F(x) = 0等价于关于x的方程a =-竺仝,x H gk e Z)

sinx

人★、cos2x . t. . cosx(2sin2x + l) A .,Z X A須兀卡3龙

令h(x) =-------- ,/? (x) = ------- --- ------- , 令/?(兀)=0, 得x =—或x =——.

sinx sin - x 2 2

当兀>0时且兀趋近于0时,Zifr)趋向于-oo,当兀 < 兀且兀趋近于龙时,%(兀)趋向于-co ,当x> 7t 几兀趋近于龙时，/?(兀)趋向于当x<27r JI. x趋近于2龙时，力(兀)趋向于+oo.

.?.当G > 1时，直线y = G与Illi线y = /?(x)在(0,龙)内无交点，在(龙,2兀)内有2个交点；

当av -1时,直线y = d与曲线y = h(x)在(0,龙)内有2个交点，在(龙,2龙)内无交点;

当-1VQV1吋，总线)PG与曲线y = h(x)在(0,兀)内有2个交点，在(龙,2龙)内有2个交点；

由函数力(兀)周期性可知当心±1时，直线y = a与曲线y = h(x)在(0,加r)内总有偶数个交点,从而不存在正整数/?,使得直线y = d与曲线y = h(x)在(0/龙)内恰有2013个交点；

当。=1或° = -1吋，总线y = a与曲线y = h(x)在(0,兀)5兀,2兀)内有3个交点，由周期性2013 = 3x671,此时H =671X2=1342.

综上,当d = l, “ = 1342 或°=-1, n = 1342 11 寸,函数F(x) = f(x) + ag(x)在(0,砸)内恰有2013 个零点.

【点评】根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数零点与求相应方程的根是等价的，对■于方程.f(x) = g(x)的根,可以构造函数F(x) = f(x)-g(x),函数F(JC)的零点即为方程f(x) = g(x)的根, 反之亦然?在对函数零点的判断中(1) /(兀)在［必］上连续；(2) f(a)f(b)<0这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，f(a)f(b)<0 , /(x)在⑷切上至少有一个零点，但不满足/(a)/(b) <0时, /(x)在［a,创上未必无零点，也口J能有多个零点.

易错点1、概念运用错谋

例6.若函数f(x) = x3-ax在R上为增函数，求a的取值范围.

【错误解法】f\x) = 3x2-a f /(x)在R上为增函数

：.3x2 - a>O ^ExeR时?恒成立，a < 3x2恒成立，a < (3/)血=0 二 a v 0

【正确解法】f\x) = 3x2-a , /⑴在R上为增函数，在xwR时恒成立，tz<(3x2)min =0 , :.a<0.

【点评】.厂(x) < 0(x w ("))是/⑴在⑺,方)上单调递减的充分不必要条件,可导函数于⑴在(a,b)上为单调递增(减)函数的充要条件:Vxe(a,fe),有/ V) > 0(/*(x) < 0)且厂⑴在(a,b)的任意了区间上都不恒为零.

例7.己知函数/(x) = —+ -x3-^x2+2t/x在点处取得极值，H?函数

4 3 2

g(x) = ^ + 53—□兀2—必在区间(—6,2—3)上是减函数，求实数。的取值范围.

4 3 2

【错误解法】/G) = X+b兀2一(2 + 0)兀+ 2°,由厂(1) = 0得b = l_a,

f '(x) = + (1 - a)x2 - (2 + a)x + 2a = (x - l)(x + 2)(x - a)

g '(x) = x3+bx2一(a -l)x-a = F ^-(\-a)x2 -{a-V)x-a = (x-6f)(x2+J +1)

当xva 时，g(x)v(), &(兀)在(-oo,tz) ±单调递减，

(a-6,2a-3)<(-oo,a), :,a-6<2a-3

【正确解法】同上广⑴= (x- l)(x 4- 2)(兀一a)

??? a = 1时，x = 1就只是使导函数为0的点而非极值点.

故b = l-a且a h 1,从而a的取值范围为(-3,l)u(l,3).

【点评】可导函数的极值点必须是使其导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点是可导函数.f(x)极值点的充要条件是x0点两侧导数值界号，而不是?厂(心)=0.

2、极值与最值概念混淆致错

例8.求函数f(x) = x3-x2-x在［-2⑶上的最大值和最小值.

【错误解法】令f'(x) = 3x2-2x-\ = 0得*一丄或兀=1

3

易得X =是f(X)的极人值点而X = 1是f (x)的极小值点.

/(X)在［-2,3］上的戢大值为/(-|)=—,最小值为.f⑴=-1.

3 27

【正确解法】令f\x） = 3x2-2x-l = 0得x =—或*1.

/（-2） = -10, /（-|） = A, /（1） = -1, /（3） = 15.

??. /（兀）在［-2,3］上的最大值为/⑶=15 ,最小值为/（-2） = -10.

【点评】极值是指某一?点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；最大、最小值是指闭区间［“］上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极人（小）值不一定是最人（小）值，最人（小）值也不定是极人（小）值，但如果连续函数在区间（。0）内只有一个极值，那么极人值就是最人值，极小值就是最小值.

3、切点确认不准出错

例9.求曲线y = 3x-x3过点A（2,-2）的切线方程.

【错误解法】心3-3兀彳,设切线方程的斜率为—3-3x22 “9,

切线方程为y + 2二一9（兀一2）即9兀+ y —16 = 0

【正确解法】设切点为PCWo），y' = 3-3x2,k = 3-3x^

切线方程为=（3-3A O）（J-X0）

'：切线过点A（2,—2）,.: —2—儿=（3 —3XQ）（2 — x0）

即-2-3兀+丘=（3-3球）（2-兀），整理得2总—6丘+8 = 0

解得J0 = 2 或x（）= -1 ,二k = —9 或k = 0

所求切线方程为9x + y -16 = 0或y = -2.

【点评】求切线问题时应注意“曲线过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”是两个不同的概念，如果己知点不是切点，则在求解时应先设切点为（％,儿），再根据条件求出切点处标及切线

斜率，最后确定切线方程.

【典练】

一、选择题

1.（2013北京模拟）方程皿耳寸伙〉°）有且仅有两个不同的实数解&,紙&〉0）,则以下有关X 两根关系的结论正确的是（）

A. sin0 = 0cos〃

B. sin0 = -°cos0

C. cos0 = 0sin0

D. sin〃 = -0sin0

答案：B,令）\ =1 sinxl,y2 = kx（x〉0）作出图象，其中有一个交点为切点可得切线方程y =一兀cos & , 另一个交点在切线上：sin? = -0cos〃.

2.（2012北京朝阳模拟）直线宀与函数“出+仆2

的图象恰苗三个公共点,

则实数加的取值范围是( )

A. [-L2)

B. [-1,21 答菜：A,由题意知方程F +4x + 2 = x(x m)共有三个根F +4尢+ 2 =尤白勺解为 召=一2 , x 2 = -1，.?? -1 < /?? < 2.

3. (2013洛阳统考)已知和％是函数fM = e~x -\\nx\的两个零点,则(

)

答菜：A,画出图象y = e x

与y =1 lnxl 可得几勺中其中一个属于区间，另一个属于区间 (1,-KO )、不妨设 X] W (0,1), x 2 G (1,+00)、 e~h = lnx 2 € (0^"')

e"X| =-\nx ] G (^'J) 严-e~X} = In x 2 + In X] = ln() e (-1,0) :.-

e

4. (2013河北教学质量监测)若/⑴是奇函数，且心是y = /(x) + "的一个零点，则-兀。一?定 是下列哪个函数的零点(

) A. y = f(-x)e x -l B. y = f(x)e~x ^l C. y = e x fM~l D. y = e x

f(x) + l 答案：C, /(x 0) = -^%则严7(兀0)= -1，不乌(-心)= 1,故-观一定是y = e x

f(x)-]的零点? 5. (2013郑州模拟)直线y = kx + l 与曲线y = x 3+ax^b 相切于点A(l,3),则2a+ b 的值(

) 3二kxl+1 答案:C,由题意直线与曲线在点A 处的导数值相等<3 = 13+(以1 + /7,解得° = -1上=3.?.2a + b

= \ k = 3x]2

+a 6. 若曲线y = x 2+a\nx(a>0) ±任意一点处的切线斜率为k ,若￡的最小值为4,则此时该切点 答案：A,定义域(0,炖)，y' = 2x + ->2^ = 4 :. a = 2当且仅当x = l 时取号.

C. 2+8)

D. (-00,-11

A. —< x (x 2 < 1

B. 1

C. 1 < x }x 2 < 10

D. e < < 10

A. 2

B. -1

C. 1

D. -2

的坐标为(

) A. (1,1)

B. (Z3)

C. (3,1)

D. (1,4)

二、填空题

7.(2013山东聊城模拟)抛物线y = x2上的点到直线x-y-2 = 0的最短距离为_________

答案：—,抛物线j = x2与直线x-y-2 = 0平行的切线只有一条，求导后可求出切点,

8 2 4

再由点到直线的距离公式求得.

8.(2013 河北模拟)设函数/(%)满足/(x) = l + /(*)log；,则/(2) = __________ .

3 1 1 1 1 1 1 3 答案：三，f (~) = 1_ /(~) ? ?/(：)= =，/(x) = 1 + =log；，/(2) = 1 + —log；

= —?

9.已知函数/(x) = ln(l-4)的定义域为(l,+oo),则实数。的值为.

答案：2,不等式1-￥> 0的解集是(1,+8)/.2' > a故x > log^ = I故得. 2

10.已知二次函数/(x) = ax2 +bx + c的导数为厂(兀)，广(0)>0 ,且/(X)的值域为[0,4-00],则厶?的最小值为_________ .

答案：2 f\x) = 2ax + b,

4ac —b‘广(0) = b>0 /u)min=—— = 0 4a

4ac = b2:. c >0“、, /(I) d + b + c ( a + c、i 2\/ac

f(\) = a + b + c ----------- 上丄厶= =1 + ------- > 1 +

f XO) b b b

2

11.己知函数/(x) = —+ alnx-2

x

(1)若曲线y = fM在点P(l,/(1))处的切线与直线y=-x + \垂玄，求实数。的值; 3

(2)求函数y = fW的单调区间;

(3)记g(x) = /(x) + x -b(b e R),当d = l时，函数g(x)在区间[e_l,e]±有两个零点,求实数〃

的取值范围.

解：(1) f\x) = -^r + - (X > 0) 厂(1) = -2 + ° = -3 ,\a = -l

X X

(2)当a 50时，/⑴在(0,+oo)上单调递减

当且仅当a=c吋取等号.

7 7

当。>0时?，/⑴在(―,炖)上单调递增，在(0,—)上单调递减

a a

2

(3)当Q =1吋,g(x) = — + \nx- 2 + x-b

x

g \x) = 一- 4- —+ 1 = “ JI―-,令g \x) = 0 得兀=一2 或X = 1

jr x x

在［「厨上可得X = 1是g)唯一?的极小值点也是最小值点

g⑴<0

^(-)>0=>< e b>\

1 2

h>2e +——3 :A

g(e)>02

b

12.已知二次函数f(x) = ax2+bx + c满足/(0) = f⑴=0,且/(X)的最小值是-丄

4

(1)求/'(X)的解析式；

(2)设g(x) = \nx-f(x)f\x),求g(x)的最大值及相应的兀值;

(3)对任意正数兀,恒有/(x) + /(—)>(% + —)Inm ,求实数m的取值范围.

x x

解：(1 ) f(x) = x2 -X；

(2)g(x) = lnx-(x2 -x)(2x-1) = lnx-2x3 + 3x2 -x 伯丄6 宀6-l」l — g2+%〉0) 可得兀=1

时，g(x)取得最人值g(l) = 0 :

(3)由(1)知/(兀)+ /(丄)=(兀+丄)2_2-(兀+丄)

X X X

不等式f(x) + /(丄)>(X + 丄)In加可化为(X4-i)2 -2-(x + 丄)n(X + 丄)In m①

2 2

即\nm

t I

贝畀⑴在［2,+00)上是增函数，％)的最小值/?(2) = 0 /.In m <0 K|J0

13.(2013江西七校联考)已知函数/(x) = log4(4x+l) + jbr(kwR)为偶函数,

(I)求R的值;

X X X X X

设兀+丄=/(/ n 2)不等式①化为v -2-r >rln m

X

(2)若方程f(x) = \o^(a 2X-a)有且只有一个根，求实数a的取值范围;

解：(1) k = - ■-

2

(2)依题意log4 (4' +1) - - x = log4(a 2V- a)

4V+ \= (a T -a} 2X

即 7 ) 令u2'则(1 —d"2+m + l = 0(*),只需其有一正根即可

a2“一a>0

①当a = l,F = -l时，不合

A = a2 _4(l_a)〉0

②(*)式有一正一负根GO,即 1 得6/>1符合

卒2 =- < °

\-a

③(*)式有相等两根即△ = 0 => a = ±2^2 - 2 ,此时t =

2(—1)

经检验ci =—2 — 2-\/2 符合a > ］或 a = —2 —2A/2

14.设函数f(x) = x2 +Z?ln(x + l)(Z?#0)

(1)若b = -12,求于(兀)的单调递增区间;

(2)如果函数f(x)在定义域内既有最人值又有极小值，求实数方的取值范I札

(3)求证：对任意的mN*,不等式In—〉芽恒成立. n n

1 a

2 ] c ] a 解：(1) /(x) = x2-121n(x + l)(x>-l) l+l f \x) = 2x ---------------------------------------------- = —―=0

兀 +1 x + \

得“2或z-3 (舍去)/⑴的单调递增区间为[2,+oo).

(2)/?(%) = 2x + — = 0 即+ 2兀+ b = 0在(-1, +oo)上有两个不等实根X+1

、几? nl A = 4-8/?>0 1

设g(x) = 2x~ + 2x + Z? ‘ 贝呎0

U(-D>O 2

(3)取b = -l,则/(x) = x3 -ln(x +1),令h(x) = x3 - f(x) = x3 -x2 4-ln(x4-1)

贝lj /? *(x) = 3x2-2x + 丄="当x w [0, +oo)时，h\x) > 0 x+1 兀+1

函数心)在[0, +00)上单调递增

又/?(0) = 0 /. X e (0, +oo)时，恒有h(x) > A(0) = 0

即x2 -x3 < ln(x +1)恒成立,取x =丄w (0, +oo)

n

ln(1 +1) > \ -、即对任意的nwN*,不等式In—>^-1恒成立. n tr n n n