2016-2017学年北京市怀柔区高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么（）A．0∈M B．1∉M C．﹣1∈M D．0∉M2．（5分）角90°化为弧度等于（）A．B．C．D．3．（5分）函数y=的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）4．（5分）下列函数中，在区间（，π）上为增函数的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=﹣tanx5．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣）]=（）A．cos B．﹣cos C．D．±6．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度7．（5分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．（5分）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）若sinα＞0，cosα＜0，则角α在第象限．10．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2的零点是．11．（5分）sin11°cos19°+cos11°sin19°的值是．12．（5分）函数f（x）=2x﹣1在x∈[0，2]上的值域为．13．（5分）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是1，其图象经过点M（，），则f（）=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，5}，B={3，5，6}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求（∁U A）∪B．16．（13分）求下列各式的值．（Ⅰ）9+（）﹣1﹣lg100；（Ⅱ）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）．17．（13分）已知π＜α＜，sinα=﹣．（Ⅰ）求cosα的值；（Ⅱ）求sin2α+3tanα的值．18．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．19．（14分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．20．（13分）已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则∈S．（Ⅰ）若{2，﹣2}⊆S，求使元素个数最少的集合S；（Ⅱ）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．2016-2017学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2016秋•怀柔区期末）已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么（）A．0∈M B．1∉M C．﹣1∈M D．0∉M【解答】解：集合M={x|（x﹣1）=0}={1}，∴0∉M，故选D．2．（5分）（2016秋•怀柔区期末）角90°化为弧度等于（）A．B．C．D．【解答】解：60°=π×=．故选：B．3．（5分）（2016秋•怀柔区期末）函数y=的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，解得x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：D．4．（5分）（2016秋•怀柔区期末）下列函数中，在区间（，π）上为增函数的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=﹣tanx【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=sinx在区间（，π）为减函数，不符合题意，对于B、y=cosx在区间（，π）为减函数，不符合题意，对于C、y=tanx在区间（，π）为增函数，符合题意，对于D、y=tanx在区间（，π）为增函数，则y=﹣tanx在区间（，π）为减函数，不符合题意，故选：C．5．（5分）（2016秋•怀柔区期末）已知函数f（x）=，则f[f（﹣）]=（）A．cos B．﹣cos C．D．±【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣）=cos（﹣）=cos=，f[f（﹣）]=f（）==．故选：C．6．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．7．（5分）（2007•天津）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选A．8．（5分）（2010•安徽）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）（2016秋•怀柔区期末）若sinα＞0，cosα＜0，则角α在第二象限．【解答】解：sinα＞0，说明α在一、二象限，cosα＜0，说明α在二、三象限，所以α在第二象限．故答案为：二．10．（5分）（2016秋•怀柔区期末）函数f（x）=x2﹣x﹣2的零点是2或﹣1．【解答】解：令f（x）=0，即x2﹣x﹣2=0，即有（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1．即函数f（x）的零点为2或﹣1．故答案为：2或﹣1．11．（5分）（2016秋•怀柔区期末）sin11°cos19°+cos11°sin19°的值是．【解答】解：由sin11°cos19°+cos11°sin19°=sin（11°+19°）=sin30°=．故答案为．12．（5分）（2016秋•怀柔区期末）函数f（x）=2x﹣1在x∈[0，2]上的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：函数f（x）=2x﹣1，是增函数，x∈[0，2]的值域为：[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．13．（5分）（2016秋•怀柔区期末）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是1，其图象经过点M（，），则f（）=﹣．【解答】解：由函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，∴A=1；又其图象经过点M（，），∴sin（+φ）=，∴+φ=+2kπ，或+φ=+2kπ，k∈Z；∴φ=﹣+2kπ，或φ=+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=sin（x+）=cosx；…（4分）∴f（）=cos=﹣…（6分）故答案为：﹣．14．（5分）（2016秋•怀柔区期末）已知函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1] ．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成立；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∴满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故答案为：[﹣3，﹣2]∪[0，1]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016秋•怀柔区期末）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，5}，B={3，5，6}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求（∁U A）∪B．【解答】解：（Ⅰ）U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，5}，B={3，5，6}．∴A∩B={3，5}，（Ⅱ）（∁U A）={4，6}，∴（∁U A）∪B={3，4，5，6}16．（13分）（2016秋•怀柔区期末）求下列各式的值．（Ⅰ）9+（）﹣1﹣lg100；（Ⅱ）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）．【解答】（Ⅰ）解：原式=3+2﹣2=3，（Ⅱ）解：原式=[2×（﹣6）÷（﹣3）]a b=4a．17．（13分）（2016秋•怀柔区期末）已知π＜α＜，sinα=﹣．（Ⅰ）求cosα的值；（Ⅱ）求sin2α+3tanα的值．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）因为π＜α＜，sinα=﹣，故cosα=﹣=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）sin2α+3tanα=2sinαcosα+3×=2×（﹣）×（﹣）+3×=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）18．（14分）（2016秋•怀柔区期末）已知二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．【解答】（Ⅰ）解：∵二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3），∴a+1=3，∴a=2，∴函数的解析式为f（x）=2x2+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）证明：∵f（x）=2x2+1，∴f′（x）=4x，∵x＜0，∴f′（x）=4x＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）（2016秋•怀柔区期末）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）已知函数函数f（x）=cos2x+sinxcosx．化解可得：f（x）=cos2x+sin2x=sin（2x）∴函数f（x）的最小正周期T=由2x，（k∈Z）解得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，（k∈Z）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x）当x∈[﹣，]时，可得：≤2x所以sin（2x）．即0≤f（x）故得f（x）在区间在[﹣，]上的最大值为，最小值为0．20．（13分）（2016秋•怀柔区期末）已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则∈S．（Ⅰ）若{2，﹣2}⊆S，求使元素个数最少的集合S；（Ⅱ）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．【解答】解：（Ⅰ）2∈S，则﹣1∈S，∈S，可得2∈S；﹣2∈S，则∈S，∈S，可得﹣2∈S，∴{2，﹣2}⊆S，使元素个数最少的集合S为{2，﹣1，，﹣2，，}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）非空有限集S的元素个数是3的倍数．证明如下：（1）设a∈S则a≠0，1且a∈S，则∈S，=∈S，=a∈S假设a=，则a2﹣a+1=0（a≠1）m无实数根，故a≠．同理可证a，，两两不同．即若有a∈S，则必有{a，，}⊆S．（2）若存在b∈S（b≠a），必有{b，，}⊆S．{a，，}∩{b，，}=∅．于是{a，，，b，，}⊆S．上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止，∴S的元素个数为3的倍数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）参与本试卷答题和审题的老师有：lcb001；w3239003；whgcn；danbo7801；zlzhan；sxs123；yuhong；wsj1012；双曲线；左杰（排名不分先后）huwen2017年4月12日。