20含有字母系数的一元一次方程和一元二次方程
人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)
元二次方程一、本章知识结构框图2a二、具体内容（一）、一元二次方程的概念1.理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式：2.正确识别一元二次方程中的芥项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数a^O时，整式方程ax2+bx + c = O才是一元二次方程。
（2）各项的确定（包括各项的系数及各项的未知数）.（3）熟练整理方程的过程3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4.列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1.明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2.根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程：3.体会不同解法的相互的联系：4.值得注意的几个问题：$（1）开平方法：对于形如x2 = n或（0¥ + /，）2=〃（。
0）的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解-形如/ = 〃的方程的解法: 当〃>0时，X = ±yfn ；当n = 0 时，Xj = %, = 0 ；当«<0时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为（x + 〃i）2=,?的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1：③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为（X + 〃?）2=〃的形式：④求解：若77 >0时，方程的解为x = —土丁？，若〃<0时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx + c = 0（a^0）的根工=一”±?'；耻：2a当b2-4ac>。
一元二次方程知识总结及习题
一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
沪科版数学八年级下册第十七章《一元二次方程》17.1.1课堂练习(有答案)
的另一个实根.
【 导学号:４６５２２０１４】
解:将 ｘ ＝ － １ 代入方程 ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ 中ꎬ
得( － １)２ ＋ ( － １) ＋ ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ꎬ
整理得 ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ꎬ即 ｍ( ｍ － ２) ＝ ０ꎬ∴ ｍ ＝ ０ 或 ｍ ＝ ２.
此时ꎬ原方程化为 ｘ２ ＋ ｘ ＝ ０ꎬ即 ｘ( ｘ ＋ １) ＝ ０ꎬ∴ ｘ１ ＝ ０ꎬｘ２ ＝ － １ꎬ即
������ Ⅱ 整合方法 提升练 ☞(点拨见 １６０ 页)
课后导练
利用一元二次方程及相关定义求字母的值
利用一元二次方程解的定义求字母的值
１３. 已知关于 ｘ 的方程( ｍ２ － １) ｘ２ － ( ｍ ＋ １) ｘ ＋ ｍ ＝ ０. (１)ｍ 为何值时ꎬ此方程为一元一次方程?
１５. （中考·永州）已知关于 ｘ 的一元二次方程 ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ 有一个实根为 － １ꎬ求 ｍ 的值及方程
增加ꎬ据有关部门统计ꎬ２０１４ 年约为 ２０ 万人次ꎬ２０１６
年约为 ２８������ ８ 万人次ꎬ设观赏人数年均增长率为 ｘꎬ则
下列方程中正确的是( Ｃ )
Ａ. ２０(１ ＋ ２ｘ) ＝ ２８������ ８
Ｂ. ２８������ ８(１ ＋ ｘ)２ ＝ ２０
Ｃ. ２０(１ ＋ ｘ)２ ＝ ２８������ ８
程ꎬ则有( Ｂ )
Ａ. ｍ ＝ １ Ｂ. ｍ ＝ － １ Ｃ. ｍ ＝ ± １ Ｄ. ｍ≠ ± １
一元二次方程的一般形式
４. 把方程 ｘ(ｘ ＋ ２) ＝ ５(ｘ － ２)化成一般形式ꎬ则 ａꎬｂꎬｃ 的
值分别是( Ａ )
Ａ. １ꎬ － ３ꎬ１０
Ｂ. １ꎬ７ꎬ － １０
一元二次方程教材分析
<<一元二次方程>>教材分析北京市上地实验学校王鑫一、一元二次方程的教学要求二、本章内容及课时安排三、教学建议一、一元二次方程的教学要求1.与方程有关的知识安排新课程标准数学模型估计方程解的过程会解方程(组)理解配方法会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
检验结果是否合理教材中本章学习目标*3. 一元二次方程的地位与作用从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能，教师教学时要注意把握好教学要求，本章的内容是进一步学习函数、方程、不等式等内容的基础，学生若掌握不好，会给后继的学习带来许多困难，所以教学中教师要切实关注每一个学生的学习状况.4.09年中考说明中的要求考试内容是指《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中所规定的学习内容。
5.本章知识结构图6.本章涉及到的思想方法降次,突出配方法和化归,数学建模思想二、本章内容及课时安排全章包括三节(课时安排仅供参考)：22.1 一元二次方程2课时22.2 降次6课时22.3 实际问题与一元二次方程3 课时小结2课时三、教学建议22.1 一元二次方程：1.本节重点：一元二次方程的定义及其根的概念。
2.、本节内容:（1）以三个实际问题为背景（引言中的雕像问题，问题1面积问题、问题2比赛中的组合数问题），归纳出了一元二次方程的概念及一般形式，给出了一元二次方程根的概念。
用赋值代数的方法估算根.（1）新课标的要求：经历用观察、画图、计算器等手段估计方程的解的过程.（2）培养学生的估算意识，锻炼、提高学生估算能力。
（3）让学生体验用估算求某些一元二次方程的解有一定的困难，为学习一元二次方程的解法埋下伏笔。
（4）对于基础较好的学生可以尝试用函数的观点运用图象法求近似解. 如对于22100x x +-= ,设2210y x x =+-,画出相应的图象,求出0y =时对应的x 即可*（3）教学中应该关注的:1.一元二次方程定义：等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠*3.一元二次方程根的概念方程解的定义是怎样的呢?使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。
一元一次方程基础知识详解
一元一次方程目录一、方程的意义二、一元一次方程的解法三、实际问题与一元一次方程（一）四、实际问题与一元一次方程（二）五、《一元一次方程》全章复习与巩固一、方程的意义基础知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2.正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3.理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么(c为一个数或一个式子).等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．二、一元一次方程的解法基础知识讲解【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项(1)移项要变号(2)不要丢项要变号)合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解b x a=．不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，b x a=；（2）当a＝0，b＝0时，x 为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．三、实际问题与一元一次方程（一）基础知识讲解【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．要点三、常见列方程解应用题的几种类型5．利润问题（1）=100% 利润利润率进价(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．6．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×1217.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a ．8．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．《初中数学典型题思路分析》价格及说明四、实际问题与一元一次方程（二）基础知识讲解【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点三、常见列方程解应用题的几种类型1．利润问题（1）=100% 利润利润率进价(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．2．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×1213.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a ．4．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．五、《一元一次方程》全章复习与巩固【学习目标】1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；3．会根据实际问题列方程解应用题．【知识网络】【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bx a=(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.。
数学《一元二次方程》教案案例
数学《一元二次方程》教案案例数学《一元二次方程》教案一一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。
2、教学目标及确立目标的依据九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识目标：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
能力目标：通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。
德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
3、重点，难点及确定重难点的依据“一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。
二、教材处理在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。
三、教学方法和学法教学中，我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手，类比发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学生发现规律，并总结规律，最后达到问题解决。
四、教学手段采用投影仪五、教学程序1、新课导入：(1)什么叫一元一次方程?(并引入一元二次方程的概念做铺垫)(2)列方程解应用题的方法，步骤?(并引例打基础)课本引例(如图)由教师提出并分析其中的数量关系。
第21章 代数方程
分三种情 况讨论哦！
③当 a＝0，b＝0 时，x 为_____________．
五、解下列关于 x 的一次方程：
（1）2x＝a；
（2）ax＝2；
（3）(a＋2)x＝5；
（4）(a＋2)x＝5(a＋2)；
（5）(a－b)x＝a2－b2；
（6）(a＋b)x＝a2－b2．
二、对照课本第 37 页思考和例题 5． 换元法解分式方程组的一般步骤：
①设新元 u、v，（同学们写起来不习惯，可以用 m、n），转换为二元一次方程组； ②解二元一次方程组，得到 u、v； ③“回代”u、v，解关于 x、y 的方程组； ④检验 x、y 的值是不是原方程组的解．；
⑤写结论．
【课堂导练】
【课本导学】 一、分析课本第 23 页例题 1 的两个方程： ①都是关于 x 的一元方程； ②都是字母系数的方程； ③字母系数的取值范围都已经明确，可以一路畅通解方程； ④第（1）题是一元一次方程，重点是讨论 x 的系数不为 0；第（2）题是一元二次方程，
重点是讨论被开方数不小于 0． 第（1）题有一道“关卡”需要出示一下“证明”：
经检验，x1＝a，x2＝b 都是原方程的根． 经检验，x1＝a 是原方程的根，x2＝b 是增根． 经检验，x1＝a，x2＝b 都是增根． 【课堂导练】
三、解下列分式方程：
（1） x 1 5 ； x2
解：方程的两边同时乘以_____，得
（2） 2 1 x 5 ； x2 2
解：方程的两边同时乘以_____，得
【课本导学】
一、我们对照一下解两类分式方程的一般步骤：
步骤
可化为一元一次方程 的分式方程
可化为一元二次方程 的分式方程
一元二次方程一等奖一等奖-完整版PPT课件
u一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一 元二次方程的解（又叫做根）
练一练：下面哪些数是方程 2 – – 6 = 0 的解 -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根
例4：已知a是方程 22－2=0 的一个实数根, 求 2a24a2019的值
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为（100－2cm, 宽为50－2cm,根据方盒的底面 积为3600cm2,得
2由∣a ∣1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程2a-42－2ba=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
想一想 为什么一般形式中a2bc=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当a=0时
b＋c = 0
当a≠0，b= 0当时a，≠ 0 ， c = 0 时 当 ，a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
a2＋c = 0 a2＋b = 0
a2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意
实
数
典例精析
x23x20 x23x20 1
3y2 12 3y 3y22 3y10 3
《一元二次方程》课件-2021-2022学年鲁教版(五四制)八年级数学下册
如果设梯子底端滑动x m，那么滑 动后梯子底端距墙 x＋6 m
根据题意，可得方程：
72＋(x ＋6)2＝102
6m x
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)=18 即 2x2－13x＋11=0 x２+(x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2－8x－20＝0 72＋(x＋6)2＝102 即 x2+12x-15＝0 上述三个方程有什么共同特点？
根据题意，可得方程：
x 2＋ (x ＋1)2 ＋ (x ＋ 2)2 ＝(x ＋3)2 ＋ (x ＋4)2
问题三
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？（设梯子底端滑动xm，列出方程）
1
8m 7m
解：由勾股定理可知，滑动前梯
1.输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果如 下表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-826=0的一个 正数解x的大致范围为（ ） A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 2.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下：
-2
5.25
13
x
0
5x2-24x+28 28
0.5 1 1.5 2 17.25 9 3.25 0
2.5 3 3.5 4 -0.75 3 5.25 12
一元二次方程知识点以及考点分析(可编辑修改版)
x2
b 2a
；
当 b2 4ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值，
判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的 一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
（3） 8x 2
10x 3
0 （ x1
1 4 , x2
3 2
）
（2） y 2 4 y 45 0 （ y1 9, y2 5 ） （4） 7x 2 21x 0 （ x1 0, x2 3 ）
（5） 6x 2 3 3x 2 2x
6 （ x1
3 2
, x2
2 3
）
（6） (x 5)2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程 (m 2)x m2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。（ m 2 ）
（2）若分式 x 2 7x 8 0 ，则 x x 1
（x 8）
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 2 x a 2 1 0 有一个根为 0，则 a
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a(1 x)n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与 寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
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2016版中考数学考点版题库 改版书、卷用 1 20含有字母系数的一元一次方程和一元二次方程、无理方程、二元二次方程 1. (2015年汕尾中考)已知关于x的方程2 220xxa. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根. 【考查内容】一元二次方程的根.
【解】（1）依题意有：224(2)0aΔ，解得a＜3 .
（2）依题意得：1 + 2 + a – 2 = 0 ，解得 a =1.∴原方程为2230xx 解得11x，23x ∴a =－1，方程的另一根为23x. 2.(2015年六盘水中考)已知1x＝3是关于x的一元二次方程042cxx的一个根，则方程的另一个根2x是 . 【考查内容】一元二次方程. 【解析】将1x＝3代入得c＝3，所以原方程为2430xx＝，解得1x＝3，2x＝1，故答案为1. 3. (2015年成都中考)关于x的一元二次方程0122xkx有两个不相等实数根，则k的取值范围是( ) A.1k B.1k≥ C.0k D.1k且0k 【考查内容】根的判别式 【答案】D 【解析】首先要是一元二次方程，则0k，然后有两个不相等的实数根，则0，则有
224(1)01kk，所以1k且0k，因此选择D.
4.(2015年成都中考)如果关于x的一元二次方程20axbxc有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
①方程220xx是倍根方程；
②若(2)()0xmxn是倍根方程，则22450mmnn； ③若点()pq，在反比例函数2yx的图像上，则关于x的方程230pxxq是倍根方程； ④若方程20axbxc是倍根方程，且相异两点(1)Mts，，(4)Nts，都在抛物2016版中考数学考点版题库 改版书、卷用 2 线2yaxbxc上，则方程20axbxc的一个根为54. 【考查内容】一元二次函数综合运用 【答案】②③
【解析】研究一元二次方程20axbxc是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t，
则另一个根为2t，因此222()(2)32axbxcaxtxtaxatxta，所以有2902bac；我们记292Kbac，即0K时，方程20axbxc为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题： 对于①， 29102Kbac，因此本选项错误；对于②，2(2)20mxnmxn，而
29(2)(2)02Knmmn22450mmnn，因此本选项正确；对于③，显然
2pq，而29302Kpq，因此本选项正确；对于④，由(1)Mts，，(4)Nts，
知，1455222bttbaa ，由倍根方程的结论知2902bac，从而有509ca，所以方程变为22150105094550093axaxaxxx，253x，
因此本选项错误.综上可知，正确的选项有：②③. 5. (2015年成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a2x－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 54 ，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
备用图YLX158 第5题图YLX157 【考查内容】函数的综合应用 【解】（1）A（－1，0），
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k，∴y＝kx＋k，令a2x－2ax－3a＝kx＋k，即a2x－2016版中考数学考点版题库 改版书、卷用 3 ( 2a＋k )x－3a－k＝0.∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4.∴－3－ka＝－1×4，∴k＝a.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a. （2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F.设E（x，a2x－2ax－3a），则F（x，ax＋a），
EF＝a2x－2ax－3a－( ax＋a )＝a2x－3ax－4a.ACES△＝AFES△－ CFES△＝12( a2x－3ax－
4a )( x＋1 )－12( a2x－3ax－4a )x＝12( a2x－3ax－4a )＝12a232x－258a.∴△ACE的面积的最大值为258a.∵△ACE的面积的最大值为 54，∴258a＝54 ，解得a＝25.
第5题图YLX159 （3）令a2x2ax3a＝ax＋a，即a2x3ax4a＝0，解得1x＝1，2x＝4.∴D（4，5a）.∵y
＝a2x－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P（1，m）.①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°. ∴2AD＋2PD＝2AP，∴25＋2(5)a＋2(14)＋2(265)aa＝2(11)＋2(26)a，即2a
＝17 ，∵a＜0，∴a＝77.∴1P（1，2677）.
第5题图YLX160 ②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（32，52a），Q（2，－3a），
m＝5a－(－3a )＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴2AP＋2PD2016版中考数学考点版题库 改版书、卷用 4 ＝2AD.∴2(11)＋2(8)a＋2(14)＋2(85)aa＝25＋2(5)a.即2a＝14 ，∵a＜0，∴a＝12.∴2P（1，－4）.
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形.点P的坐标为（1，2677）或（1，－4）.
第5题图YLX161 11上海山阳中学模拟 6.下列方程中是二项方程的是（ ） A.04xx B.05x C.13xx D.08213x 【考查内容】二项方程 【答案】D 【解析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项，方程右边是0，故选D.
7.解方程组：22252()xyxyxy①②. 【考查内容】解方程组 【解】①式方程为25xy，②式方程为222()xyxy.
解法一：由②得：()()2xyxyxy， 则0yx或02yx. 组成新方程组为：052yxyx或0252yxyx.
解得原方程组的解5511yx 或1322yx. 2016版中考数学考点版题库 改版书、卷用 5 解法二：由①得：52xy③， 把③代入②得：)25(2)2522yyyy（，整理得：2318150yy.解得：11y ，52y.当11y时31x；当52y时52x.所以原方程组的解是: 1311yx, 5522yx.
8.解方程:2322xmx（1m）. 【考查内容】解方程. 【解】移项得：2223mxx.化简得：2(1)5mx.∵1m,∴251xm.当
10m时， 2501xm∴原方程无实数解.当10m时， 2501xm.
∴ 15(1)511mxmm， 25(1)511mxmm.所以1m时原方程的解是5(1)511mxmm，1m时原方程无实数解. 14上海松江模拟 9.在下列所给出的方程中,无理方程是（ ）
A.022x B.231x C.013x D.231x 【考查内容】无理方程 【答案】D 【解析】根号内含有未知数的方程才是无理方程,故只有D正确. 14上海松江模拟
10.解方程组：22240.40xyxxy①② 【考查内容】解方程组 【解】由方程①,得02yx或02yx.将它们与方程②分别组成方程组,得
（Ⅰ）22040xyxxy或（Ⅱ）22040xyxxy .方程组（Ⅰ）,无实数解；解方程组
（Ⅱ）,得 24xy或24xy,所以原方程组的解是1124xy或2224xy. 14上海松江月考 11.如果关于x的方程xkx25有实数根2x，那么k . 【考查内容】解无理方程. 2016版中考数学考点版题库 改版书、卷用 6 【答案】3 【解析】把2x代入原方程得1022k，两边平方得1024k，解得3k，检验：当3k时，原方程的左边＝右边，所以3k. 14上海松江月考 12.下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）
A.011x B.xx23 C.01x D.122xx 【考查内容】方程的根. 【答案】C
【解析】10x≥，∴110x不成立，故A选项错误；xx23，
∴30x…，即3x…，但是此时20x，方程不成立，故B选项错误；10x的解为1x，所以方程有实数根，故C选项正确；22xx是非负数，∴它们的和是非负数，故D选项错误.故选C. 14上海松江月考
13.解方程：42xx. 【考查内容】解无理方程 【解】两边平方得：22816xxx， 即：29140xx，270xx， 计算得出：2x或7.经检验：2x是增根，7x是方程的根.故7x. 14上海松江月考
14.解方程：2725xx. 【考查内容】解无理方程 【解】方程两边平方得：52725274xxxx，即：3225274xxx，则：362527xxx，两边平方得：
2293636812140xxxx，即：2481760xx.
计算得出：44x或4，经检验：44x是增根，4x是方程的根，所以原方程的根是4x. 14上海杨浦测验
15.解方程组：22223205xxyyxy. 【考查内容】二元二次方程组. 【解】由22320xxyy得020.xyxy，