人教版八年级下册四边形解题技巧
可以帮你复习最后一章((四边形))八年级下册人教版
Ｆ Ｂ
Ｇ Ｃ
考点四；正方形 例４．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ为对角线 Ｅ为ＡＣ上一点，连接ＥＢ，ＥＤ，并延长ＢＥ交 ＡＤ于点Ｆ，∠ＢＥＤ＝１２０°，求∠ＥＦＤ的 度数． Ｆ
Ａ Ｄ Ｅ
Ｂ
Ｃ
２．要掌握一些特殊四边形的 判断
平行四边形； １．两组对边分别相等的四边形； ２．对角线互相平分的四边形； ３．一组对边平行且相等的四边形。
对角线 对角线互相平分
对角线互相平分且 相等 两条对角线互相垂 直平分，每条对角 线平分一组对角
正方 对边平行，三条 四个角都是 两条对角线互相垂 形 边都相等 直角 直平分且相等，每 条对角线平分一组 对角 等腰 两底平行，两腰 同一底上的 两条对角线相等 梯形 相等 两个角相等
二·熟悉主要考点 熟悉主要考点
矩形； １．有三个角都是直角的四边形； ２．是平行四边形，并且有一个角是直角； ３．是边形； ２．是平行四边形，并且有一组邻边相等； ３．是平行四边形，并且两条对角线相互垂 直。
正方形； １．是矩形，并且有一组邻边相等； ２．是菱形，并且有一个角是直角．
Ａ
Ｅ Ｎ Ｄ
Ｍ Ｂ Ｆ Ｃ
考点五；梯形 例５ 综合实践活动课上，老师让同学们在一张足 够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形，即‘梯形 ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝２㎝，ＡＢ＝１５ ㎝，ＣＤ＝４１㎝，梯形的高是９㎝。’请你计算 裁得的梯形ＡＢＣＤ中ＢＣ边的长度．
如图，
Ａ Ｄ
Ｅ Ｂ
Ｃ
考点三；矩形 例３．如图，Ｏ是矩形ＡＢＣＤ对角线的交点 Ｅ．Ｆ．Ｇ．Ｈ分别是ＯＡ．ＯＢ．ＯＣ．ＯＤ上 的点，且ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ。 （１）四边形ＥＦＧＨ是矩形吗？判断并说明理由 （２）若Ｅ．Ｆ．Ｇ．Ｈ．分别是ＯＡ．ＯＢ．Ｏ Ｃ．ＯＤ的中点，且ＤＥ⊥ＡＣ，ＯＦ＝２㎝， 求矩形ＡＢＣＤ的面积。
八年级(下)数学 同步讲义 四边形的存在性
四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。
在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、 知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由； （3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二 梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】 如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】 已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1） 求点C 的坐标；（2） 如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次 函数的解析式【例14】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】 在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12． （1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形， 若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】 如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4． （1） 求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的 四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。
人教版八年级下册数学平行四边形知识点归纳及练习教学总结
平行四边形复习
C
D
A
O
一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方
形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式：
1．S 菱形 =2
1
ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =2
1
（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：
※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2
)3n (n . 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
平行四边形
矩形
菱形正
方
形。
人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
第18章平行四边形典型题型总结课件课件2021—2022学年人教版数学八年级下册
△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形
各边的长．
D
C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
O
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. A
B
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm.
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个 三角形的周长之差等于邻边边长之差.
∴∠BAE=∠DCF.
B
FC
又∵AE=CF，
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的 场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
A 8m B
D C
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD, AD=BC. ∵AB=8m, ∴CD=8m. 又AB+BC+CD+AD=36m, ∴ AD=BC=10m.
=S△AOB+S△COB=1 S
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
2
ABCD
.
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面 积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2 =21×2 =42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
十一.利用两组对边分别相等识别平行四边形 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
人教版八年级数学下册-第18章-平行四边形-章节知识点和常考易错点归纳
平行四边形章节知识梳理一.知识点：1、定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．2、性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：1.一组对边平行；2.一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．5．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：1.边：对边平行且相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相平分且相等；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（2）菱形：1.边：四条边都相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：1.边：四条边都相等；2.角：四角相等；3.对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．6、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一个角是直角的菱形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直的矩形．7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③说明四边形ABCD 的四条边相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．二、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则 S 矩形=ab ．（2）设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则 S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S 菱形=2ab。
人教版八年级下册第十八章 平行四边形 小结与复习 讲义
1 / 7 第十八章 平行四边形 小结与复习 基础盘点 1.平行四边形是指 .它的性质有 . 2.平行四边形的判断方法有：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 3.矩形是指 . 它的性质有 、 . 4.矩形的判定方法有 、. 5.菱形是指 . 它的性质有 、 . 6.菱形的判定方法是 、 . 7.正方形具有矩形和菱形的一切性质. 正方形的判定方法是 、 . 8.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 .三角形的中位线平行于 ，并且等于第三边的 . 考点呈现 考点一 求度数 例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（ ） A.550 B.350 C.300 D.250 解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B. 点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求． 考点二 平行四边形的性质 例2 如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ） 2 / 7
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 解析：本题要求△ABE的周长，就是求AB+BE+EA的值，而题目所给的条件是□ABCD的AC，BD相交于点O，可得AC、BD互相平分，即O是BD的中点，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分线，则有BE=DE，所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+ DA=21×20=10（cm）.故选D． 点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决. 考点三 正方形的性质 例3 （1）如图3，在正方形ABCD中,点E，F分别在边BC、CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF. (2) 如图4，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长. (3) 已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图5，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长； ②如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示).
最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
八年级数学人教版下册平行四边形的判定
定义法 判定定理1 判定定理2 判定定理3 例题
平行四边形的定义就是：两组
对边分别平行的四边形叫做平行四 那么，上述命题的逆命题是否也成立呢？
相交于点O,并且AO=CO、BO=DO。 ∴四边形ABCD是平行四边形
边形。因此，平行四边形的定义既 AO=CO、BO=DO，
即∠A＋∠B＝——＝180° 已知:如图,E、F是 ABCD对角线
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问题 求证：对角线互相平分的四边
形是平行四边形。
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、 BD 求B分而O证A析它=O::们四D相=已这述分化OC边交知是出O别。为形于条、一来在数件AB点个 的△学OB中AO用命=语CO有,D文题D并B言O和是字,且我来，语平们表A言O行将达描=其四。C转边O形、。
相平行。
如图，如果一个四边形ABCD的对 角相等，即 ∠A=∠C,∠B=∠D，问四边 形ABCD是否为平行四边形？
如图，如果一个四边形ABCD的对 角相等，即 ∠A=∠C,∠B=∠D，问四边 形ABCD是否为平行四边形？
解:由四边形的内角和定理,有 ∠A+∠B+∠C+∠D=360° 于是2∠A＋2∠B＝360° ∴即A∠DA∥＋B∠CB＝—326—0＝° 180° 同理AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形
△COD中，我们易证 △AOB≌△COD,
从而找到了证题的思路。
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、 BD 求证:四相边交形于A点BOC,并D是且平AO行=四C边O、形。 BO=DO。
证明: ∵AO=CO,∠1＝∠2,BO＝DO. ∴△AOB≌△COD (SAS)
∴AB=CD 同理AD＝CB
∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
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. 精品 四边形解题技巧 一、平行四边形应用举例 平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明． 1．求角的度数 例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC的度数．
例2 如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______． 2．求线段的长 例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．
例4 如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( ) A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 .
精品 3．求周长 例5 如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且AE+AF=22，求ABCD的周长．
4．求第三边的取值范围 例6 如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )
A．10
5．综合计算题 例7 如图,ABCD的周长为26310，BC的长为35，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为DC延长线上的点F，AE=3．
求：(1)∠D的度数；(2)AF的长． .
精品 6．探索题 例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠ADC的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．
二、添作中位线，妙证几何题 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解． 例9 如图，在△ABC中，AB连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG． .
精品 例10 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N．求证：∠OMN=∠ONM.
例11 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求证：ACAF31.
例12 如图，△ABC的中线AD、BE相交于点G，求证：CEGDABGsS四边形. 三、巧算与矩形有关的面积题 解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解． 例13 如图，矩形ABCD的面积为S，E是AB的四等分点，F是BC的三等分点，G是CD的中点，则△EFG的面积为______． .
精品 例14 如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，且ABEsABCDADFss矩形31，则CEFAEFss等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5
四、折叠问题 近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题．由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解．以下面例题加以说明． 例15 矩形纸片ABCD中．AD=4 cm，AB=10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=______cm．
例16 将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=60°，则∠AED的大小是( ) A．60° B．50° C．75° D．55°
例17 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？. 精品 五、路在何方 我们知道如果直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点(如图)，容易根据平行线之间的距离处处相等及同底等高的两个三角形面积相等的知识，得到两对面积相等的三角形，即△ABC和△ABP面积相等；△CPA和△CPB面积相等，还有一对面积相等的三角形，你知道吗？ 我们进一步看：如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到任何位置，总有△ABP与△ABC的面积相等， 理由：因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上怎么移动，总有△ABP与△ABC的同底等高，因此，它们的面积总相等．
例18 如左图，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如右图所示形状，但承包土地与开始荒地的分界小路(图中折线CDE)还保留着，为了便于通行，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，请你用有关数学知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）． (1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由．
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精品 六、聚焦阅读理解题 阅读综合理解题主要考查同学们对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查同学们运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．解决这类综合问题的关键是合理运用所学知识来理解题目，从而做到正确解题。 例19 阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图⑴所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个． (1)依照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2)如图⑵，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图⑵中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小； (3)如图⑶，若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图⑶中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以说明．
图⑴ 图⑵ 图⑶ .
精品 七、“Face to Face”中点四边形 顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．这个中点四边形有许多重要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下： 1．任意四边形的中点四边形是平行四边形 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
2．对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=BD.求证：四边形EFGH是菱形．
3．对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC⊥BD.求证：四边形EFGH是矩形． . 精品 4．对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形 因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的．两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形．既是矩形又是菱形的图形就是正方形． 中点四边形的这四个结论应结合以下特例灵活掌握：菱形的中点四边形为矩形，矩形的中点四边形为菱形，正方形的中点四边形为正方形． 例20 顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形四边中点得到的图形是( ) A.等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 例21 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，AC、BD相交于0点，且∠BOC=60°，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是( ) A．24 B.20 C．16 D.12
八、“智力魔方”——一七巧板 七巧板是由正方形按如图所示的方法制作成的（沿实线剪开），其中有五块都是等腰直角三角形，一块正方形，一块平行四边形，七巧板是一种数学玩具，有很强的益智性与趣味性，深受人们的喜爱．在近几年的中考试题中，就出现了一些与七巧板有关的拼图和计算题，值得关注． 例22 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法．如图(1)，整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成．如图(2)，是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD的边长为12 cm，则梯形MNGH的周长是______cm．（结果保留根号）. 精品 例23 用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板(如图(1))，将它拼成“小天鹅”图案(如图(2))，其中阴影部分的面积为( ) A．83 B．167 C．21 D．43
九、四边形“联姻”直角坐标系 中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目有利于同学们把“数”与“形”联系起来思考，提高同学们综合运用知识的能力． 例24 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，0为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标．
例25 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、D的坐标分别是(O，O)、(5，O)和(2，3)．求：(1)顶点C的坐标；(2)对角线AC、BD的交点E的坐标．