2010海天-人信考研数学强化班-高数第六章 常微分方程

139 第六章 常微分方程 1．一阶方程 1）可分离变量)()(ygxfy 2）齐次 )(xyfy， 令 uxy。 3）线性 )()(xQyxPy

通解： CdxexQeydxxpdxxp)()()( 4）伯努利 )1()()(yxQyxPy， 令.1uy 5）全微分 .0),(),(dyyxQdxyxP

a) 判定:xQyP



b) 解法: 1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0

2．可降阶方程:（数三不要求） 1) )(xfy 2) ),(yxfy 令dx

dP

yPy,

3) ),(yyfy 令dydPPyPy, 3．高阶线性方程: 1) 变系数: )()()(xfyxqyxpy 非齐次 0)()(yxqyxpy 齐次 解的结构: a) 齐次通解2211ycyc,其中21,yy为齐次两线性无关特解 b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 140

c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解 2)常系数: a) 齐次 0

21yayay

特征方程 0212aa 设21,是特征方程两个根 1）不等实根：21， xxeCeCy2121； 2）相等实根：21， )(21xCCeyx； 3）共轭复根：i2,1， )sincos(21xCxCeyx； b) 非齐次： )(21xfyayay

uxnexPxf)()(,1

令uxnkexQxy)( k等于u作为特征方程根的重数. xxPxxPexfmlxsin)(cos)()(,2

令},max{.sin)(cos)(mlnxxWxxQexynnxk



3） 欧拉方程 （仅数一要求） )(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn



令tex， ykDDDyxkk)1()1()( 4． 差分方程（仅数三要求） 1。一阶常系数线性齐次差分方程 ,01ttayy （1） 通解为 ,)()(tcaCty 2。一阶常系数线性非齐次差分方程 ),(1tfayytt

（2）

通解为 .)(*tctytyy 141

其中ty是非齐次差分方程（2）的特解。 1) ),()(tPtfm （1）若,1a 令 );(tQymt （2）若,1a 令 );(ttQymt 2）)()(tPdtfmt， )0(d （1）若,0da 令 );(tQdymtt （2）若,0da 令 );(tQtdymtt 例 差分方程051021tyytt的通解为 . 解： 原方程的一般形式为 tyytt2551， 其对应的齐次差分方程为 ,051ttyy 其通解为 tcCty)5()( （C为任意常数）. 因为ttf25)(是t的一次多项式，且15a，故设原方程的特解为 BAtyt*， 代入原方程，得 ,25)(5)1(tBAtBtA 即 .2566tBAAt 比较系数知725,125BA，故)61(125*tyt，从而原差分方程的通解为 ).61(125)5()(*tCytyyttct

例 差分方程ttttyy21的通解为 .

解： 原方程对应的齐次差分方程为 ,01ttyy 其通解为 CCtytc)1()( （C为任意常数）. 因为tttf2)(，且0121da，故设原方程的特解为 142

),(2*BAtytt 代入原方程，得 ttttBAtBtA2)(2])1([21 即 .2tBAAt 比较系数知2,1BA，故)2(2*tytt，从而原差分方程的通解为

).2(2)(*tCytyyttct

题型一 微分方程求解 例6.1求解下列一阶微分方程 (1) xyxyy122

(2) xyyyx2 (3) 221yx

yx

y

(4) 3

1

yxyy

(5) )cos(yxy (6) 求方程xyxxyytan1sec22满足条件00xy的特解.

(7) 0tan)sin(ydxdyyx

解（1） )1)(1(2xyy

dxxydy)1(12

cxxxy21arctan

（2） xyxyy2 令xyu，xuy， uudxduxu2

xdxuudu

)(2 143

cxyx （3）解 令bYyaXx,.

2221bayXbayXdXdY

令02201baba 得 .34,31ba （4）解 2yxydydx 2yyxdydx （线性）

][2cdyeyexydyydy 12212ycexy （5）解 令uyx， dxduy1 udxducos1 cxu2tan cxyx2)(tan （6）解 令uytan，则 xuxxdxdu21

（线性）

][2211cdxxeeudxxxdxx

x

221)1(31xcx

由 00xy 知，31c )111(31tan22xxy.

（7）解 0tansindydxyyx 144

yyxdydxcoscot )sin21(sin12cyyx 例6.2求解下列各题（可降价） 1） 求方程)1ln()1(xyyx的通解

2） 求方程1)0(,1)0(222yyyyyy的特解. 1）解法1 可降阶方程 令py，则py， )1ln()1(xppx

1)1ln()1(1xxpxp （线性）

212)1ln()1(cxxcxy 解法2 )1ln(])1[(xyx dxxyx)1ln()1( )1()1ln(xdx

1)1ln()1(cxxx 212)1ln()1(cxxcxy.

2）解 令pdydpypy,

222ypdydpyp

1)(22ypdydpy

p

令uyp，yup，dyduyudydp 145

1)(22udyduyuu 212udyduyu

显然1u，1u均为原方程解，但由1)0(y，1)0(y知， 1u，即1yp

dxydy， cxyln， ,xcey 由1)0(y知，1c，xey. 例6.3求解下列各题(高阶线性方程) 1. 方程1xeyy的特解形式可设为 （B）

A）baex B）baxex C）bxaex D）bxaxex 2. 方程23xyy的特解形式可设为 (C) A)cbxax2 B))(22baxx C) )(22cbxaxx D) )(2cbxaxx 3．方程xxyysin12的特解形式可设为 （D） A） xAcbxaxsin2 B）xBcbxaxcos2 C） xBxAcbxaxcossin2 D）)cossin(2xBxAxcbxax 4．设线性无关的函数321,,yyy都是方程)()()(xfyxqyxpy的解，

21,CC为任意常数，则该非齐次方程通解是 A）332211yCyCyC B）3212211)(yCCyCyC C）3212211)1(yCCyCyC D）3212211)1(yCCyCyC 5．已知xxxxxxxeexeyexeyexey23221,,为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程. ))21(2(xeyyyx