高等数学高等教育出版讲义社第十一章D112对坐标曲线积分ok
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高等数学对坐标曲线积分优秀PPT
F A
W | F | AB cos
B F AB
“常代变” “近似和” “取极限”
1) “大化小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿 M k1M k
所做的功为 Wk , 则
y
n
W Wk
F (k , k )
L
M yk k
Mxk k1
B
k 1
A
2) “常代变”
O
x
有向小弧段 M k1M k 用有向线段 M k 1M k (xk , yk )
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 Li ( i 1, , k),
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx Q(x, y)dy
y x
OB : y x, x : 0 1
O y xx
xydx xydx xydx
L
AO
OB
A(1,1)
0
x(
x)dx
1
x
xdx 2
1
x
3 2
dx
பைடு நூலகம்
4
1
0
0
5
解法2 取 y 为参数, 则 L : x y2 , y : 1 1
x,
y)dx
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i
)ti
因为L 为光滑弧 , 所以(t)连续
n
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)
A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算
L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设 、 为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .
高等数学-第十一章-曲线积分与曲面积分
⑥牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
(i,i)
M2
Mi
Mi1
匀质之质量 M s. A M 1
o
x
分割 M 1 , M 2 , , M n 1 s i ,
取 (i,i) s i, M i (i,i) s i.
B
M
实L 例:A : 变B 力,沿曲 线所作的功 ALMM1i1
M
yi 2xi
iMn1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A . B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M n , 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n B , .
3
3
ds
2a3 . 3
(2a d,s球面大) 圆周长
注 关于对弧长的曲线积分的对称性
对 Lf(x,y)ds
①若 L 关于 y 轴对称
( 1 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 L f ( x , y ) d 0 s
( 2 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y ) d 2 f s ( x , y ) d
n
f(x ,y ,z)d s l i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L ( 或 ) 是分 , (L 段 L 1 L 2 ) 光
f ( x , y ) d s f ( x , y ) d s f ( x , y ) d . s
L 1 L 2
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
(i,i)
M2
Mi
Mi1
匀质之质量 M s. A M 1
o
x
分割 M 1 , M 2 , , M n 1 s i ,
取 (i,i) s i, M i (i,i) s i.
B
M
实L 例:A : 变B 力,沿曲 线所作的功 ALMM1i1
M
yi 2xi
iMn1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A . B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M n , 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n B , .
3
3
ds
2a3 . 3
(2a d,s球面大) 圆周长
注 关于对弧长的曲线积分的对称性
对 Lf(x,y)ds
①若 L 关于 y 轴对称
( 1 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 L f ( x , y ) d 0 s
( 2 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y ) d 2 f s ( x , y ) d
n
f(x ,y ,z)d s l i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L ( 或 ) 是分 , (L 段 L 1 L 2 ) 光
f ( x , y ) d s f ( x , y ) d s f ( x , y ) d . s
L 1 L 2
2-第十一章曲线积分与曲面积分
与曲面
从 ox 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
(2) 原式 =
令
1. 定义
2. 性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) L－ 表示 L 的反向弧
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
内容小结
3. 计算
• 对有向光滑弧
• 对有向光滑弧
4. 两类曲线积分的联系
• 对空间有向光滑弧 :
原点 O 的距离成正比,
思考与练习
1. 设一个质点在
处受
恒指向原点,
从点
的一段.
例2. 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
(2) 取 L 的方程为
则
则
例3. 计算
其中L为
(1) 抛物线
(2) 抛物线
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
证明: 下面先证
存在, 且有
对应参数
设分点
根据定义
由于
对应参数
因为L 为光滑弧 ,
同理可证
特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类似有
例1. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
已知L切向量的方向余弦为
则两类曲线积分有如下联系
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
从 ox 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
(2) 原式 =
令
1. 定义
2. 性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) L－ 表示 L 的反向弧
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
内容小结
3. 计算
• 对有向光滑弧
• 对有向光滑弧
4. 两类曲线积分的联系
• 对空间有向光滑弧 :
原点 O 的距离成正比,
思考与练习
1. 设一个质点在
处受
恒指向原点,
从点
的一段.
例2. 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
(2) 取 L 的方程为
则
则
例3. 计算
其中L为
(1) 抛物线
(2) 抛物线
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
证明: 下面先证
存在, 且有
对应参数
设分点
根据定义
由于
对应参数
因为L 为光滑弧 ,
同理可证
特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类似有
例1. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
已知L切向量的方向余弦为
则两类曲线积分有如下联系
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
高等数学-对坐标的曲线积分
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F(k , k ) M k1M k F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
P(k , k )xk Q(k , k )yk
4
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
L
其中L :沿y x2从点O(0,0)到B(1,1)
解 : L中任一点(x, y)处切向量(沿OB向)
T {1,2x} 方向余弦
cos 1 , cos 2x .
1 4x2
1 4x2
x x
y
x2
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y) 2xQ(x, y) ds
xe
x
d
x
201
x
1e2x
d
x
1 2
e2
7
12
例2. 求
其中 从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
x cos t, y sin t, z 2 cost sin t ( t : 2 0)
z
(2 2cost sin t) cost
2 (1 4cos2 t) d t 2 0 13
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
7
1).存在条件： 当P(x, y), Q(x, y)在光滑曲线弧 L 上连续时, 第二类曲线积分存在 .
2).组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
11-2 对坐标的曲线积分
变力 F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j 沿有向曲线 L 对质点所做的功为
W P( x, y)dx Q( x, y)dy .
L
可以证明，如果 P( x, y), Q( x, y) 在有向光滑曲线段 L 上连续，则
P x, y dx Q x, y dy 存在．
11.2 对坐标的曲线积分
11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 对坐标的曲线积分的实际背景 对坐标的曲线积分的概念及性质 对坐标的曲线积分的计算 二类曲线积分之间的联系
23-1
11.2.1 对坐标的曲线积分的实际背景
物理背景——变力沿平面曲线对质点作功
设 L 为 xOy 坐标面上以 A, B 为端点的连续曲线段，一质点受外力
(i 1,2, , n) ， max{si } ． 在 M i 1M i 上任取一点 (i ,i ) (i 1,2, , n) ，作
1i n
和式 [ P(i ,i )xi Q(i ,i ) yi ] ， 如果极限 lim [ P(i ,i )xi Q(i ,i F 为常力，且运动路径 L 是有向线段 AB ，则 F 所做的功为
F AB ．
（参见向量数量积的物理背景）
如果 F 是变力，而且质点的运动路径 L 是有向曲线，则采用分割、近 似、求和、取极限的方式来求变力所做的功W ．
⑴ 分割：用有向曲线段 L 上的点
A M0 , M1, M 2 , , M n1, M n B
L
23-7
由定义 11-2-1 可得对坐标曲线积分的下列性质．
⑴ 设 L 是平面光滑有向曲线， L 表示与 L 方向相反的有向曲线，则