数学建模规划模型讲解
地铁线路设计规划模型数学建模
地铁线路设计规划模型数学建模
在地铁线路设计规划中，目标函数通常是要最小化一些指标，比如总建设成本、总运营费用、总乘客换乘次数、总乘客出行时间等等。
不同的目标函数会导致不同的线路设计方案，因此需要根据城市的具体情况来确定最合适的目标函数。
约束条件主要包括地形地貌、人口密度、道路情况、交通流量等。
在建立数学模型时，可以将城市划分为不同的区域或节点，每个区域或节点都有相应的约束条件。
例如，在地形地貌方面，需要考虑到地下水位、地质构造等因素；在人口密度方面，需要考虑到人口分布的不均匀性，从而合理安排各个站点的位置；在道路情况方面，需要考虑到已有的道路网和其他交通设施，以便进行合理的线路规划。
对于地铁线路的优化求解，可以利用线性规划、整数规划、动态规划等数学方法。
线性规划适用于目标函数和约束条件都是线性的情况，可以通过线性规划模型求解出最优解。
整数规划适用于将决策变量限制为整数的情况，可以通过整数规划模型求解出最优整数解。
动态规划则适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，可以通过划分为阶段和状态的方式来求解。
在建立数学模型时，还可以考虑到风险管理的因素。
例如，在地铁线路设计规划中，可以将自然灾害、工程施工等因素考虑进去，并通过风险评估和风险管理的方法来降低风险。
综上所述，地铁线路设计规划模型的建立需要考虑到目标函数和约束条件，并利用适当的数学方法来求解最优解。
通过数学建模，可以实现对地铁线路设计规划的科学、合理的决策，提高城市交通的效率和便捷性。
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
数学建模培训课件-
3
数学规划模型
实际问题中 Min(或Max) z f (x), x (x1,xn)T
的优化模型
s.t. gi (x) 0, i 1,2,m
x~决策变量
f(x)~目标函数 gi(x)0~约束条件
多元函数 条件极值
决策变量个数n和 约束条件个数m较大
在允许范围内
• A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
不变！
数学建模培训课件-
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结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
x2系数范围(48,72)
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS
INCREASE DECREASE
2
50.000000 10.000000
6.666667 x1系数由24 3=72
3 480.000000 53.333332
80.000000 增加为303=90，
4 100.000000 INFINITY 40.000000
2)
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
4) 40.000000
0.000000
NO. ITERATIONS= 2
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
数学建模培训课件-第四章 数学规划模型培训
数学建模培训课件-
10
数学建模-数学规划模型
• 因为x1,x2当前均为非整数，故不满足整数要求，
任选一个进行分枝。设选x1进行分枝，把可行
集分成2个子集：
x1 [4.8] 4 x1 [4.8] 1 5
• ，因为4与5之间无整数，故这两个子集内的整
数解s.t. 必与原可行集合整数解一致。这一步称为
分枝。这两个子集的规划及求解如下：问题B1：
Max z 40x1 90x2
• 最优解为：
9 7
x1 x1
7x2 56 20x2 70
0 x1 4, x2 0
x1 4.0, x2 2.1, z1 349
• 问题B2
Max z 40x1 90x2
s.t.
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70
x1 5, x2 0
由于xi只取值0或1
xi (1 xi ) 0, i 1,L , n.
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最 大的方案，所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量（取0或1）的限 制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为
n
bi xi
max Q
i 1 n
ai xi
i 1
非线性规划的Matlab解法 Matlab中非线性规划的数学模型形式
minf(x)
Ax B Aeq x Beq C(x) 0 Ceq(x) 0
其中是标量函数，是相应维数的矩阵和向量， 是非线性向量函数。Matlab中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB, NONLCON,OPTIONS)
• x j [bj ] xj [bj ] 1 进行迭代。
• 第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符 合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]表示小 于bj的最大整数。构造两个约束条件
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法求解问题的过程。
在数学建模中，算法模型是解决问题的关键。
下面介绍一些常用的数学建模算法模型。
1.线性规划模型：线性规划是一种用于求解线性约束下的最优化问题的数学方法。
线性规划模型的目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划广泛应用于供需平衡、生产调度、资源配置等领域。
2.非线性规划模型：非线性规划是一种用于求解非线性目标函数和约束条件的最优化问题的方法。
非线性规划模型在能源优化调度、金融风险管理、工程设计等方面有广泛应用。
3.整数规划模型：整数规划是一种在决策变量取离散值时求解最优化问题的方法。
整数规划模型在网络设计、物流调度、制造安排等领域有广泛应用。
4.动态规划模型：动态规划是一种通过将问题分解为多个阶段来求解最优化问题的方法。
动态规划模型在资源分配、投资决策、路径规划等方面有广泛应用。
5.随机规划模型：随机规划是一种在目标函数和约束条件存在不确定性时求解最优化问题的方法。
随机规划模型在风险管理、投资决策、资源调度等方面有广泛应用。
6.进化算法模型：进化算法是一种通过模拟生物进化过程来求解最优化问题的方法。
进化算法模型包括遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等，被广泛应用于参数优化、数据挖掘、机器学习等领域。
7.神经网络模型：神经网络是一种模仿人脑神经元连接和传递信息过程的数学模型。
神经网络模型在模式识别、数据分类、信号处理等领域有广泛应用。
8.模糊数学模型：模糊数学是一种用于处理不确定性和模糊信息的数学模型。
模糊数学模型在风险评估、决策分析、控制系统等方面有广泛应用。
除了以上常用的数学建模算法模型，还有许多其他的算法模型，如图论模型、动力系统模型、马尔科夫链模型等。
不同的问题需要选择合适的算法模型进行建模和求解。
数学建模算法模型的选择和应用需要根据具体的问题和要求进行。
多目标规划建模数学建模
f (x) 与 f 之间的最小“距离”的单目标问题：
minU (x) f (x) f
多目标规划问题的求解
(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最 有利的策略。即求多目标中最大目标函数值最小。于 是可化为如下单目标问题：
min U
(x)
max(
1 j p
f
j
(x))
也可以给每个 f j (x)
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为 两类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转 化为多个单目标问题,关键是如何转化.
下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目 标法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变量X，使目标函数f(X) 取得最大（或最小）。对于任意两方案所对应的解，只要比较它们相应的目标值 ，就可以判断谁优谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有两 个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两个目标下共有8个解的 方案。其中方案1，2，3，4称为劣解，因为它们在两个目标值上都比方案5差， 是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一个相比，总有一个指 标更优越，而另一个指标却更差。
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是 多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使 多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目 标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目 标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级 与排序.
三、多目标规划问题的求解
数学建模常用模型方法总结
数学建模常用模型方法总结数学建模是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，进而建立数学模型来解决实际问题的方法。
数学建模是现代科学技术的重要手段之一，它在实际应用中起着重要的作用。
下面将介绍一些常用的数学建模方法。
一、线性规划线性规划是在约束条件下求解线性目标函数的问题，广泛应用于经济、工程等领域。
它的数学模型可以表示为：$$\begin{align*}\text{maximize}\quad & \mathbf{C}^T\mathbf{X} \\\text{subject to}\quad & \mathbf{A}\mathbf{X} \leq \mathbf{b} \\& \mathbf{X} \geq \mathbf{0}\end{align*}$$其中，$\mathbf{C}$是一个列向量，$\mathbf{X}$是要优化的目标变量，$\mathbf{A}$是一个矩阵，$\mathbf{b}$是一个列向量。
二、非线性规划非线性规划是在约束条件下求解非线性目标函数的问题。
非线性规划模型往往在现实问题中具有更广泛的适用性。
非线性规划的数学模型可以表示为：$$\begin{align*}\text{maximize}\quad & f(\mathbf{X}) \\\text{subject to}\quad & \mathbf{g}(\mathbf{X}) \leq\mathbf{0} \\& \mathbf{h}(\mathbf{X}) = \mathbf{0}\end{align*}$$其中，$f(\mathbf{X})$是一个目标函数，$\mathbf{g}(\mathbf{X})$是不等式约束条件，$\mathbf{h}(\mathbf{X})$是等式约束条件。
三、动态规划动态规划是一种通过将问题分解成子问题的方式来求解复杂问题的方法。
它通常适用于具有最优子结构性质的问题。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
《数学建模(第2版)》教师教学课件：第一章线性规划问题的数学模型
数学建模方法
2021年4月2日星期五
5/59
引例 某工厂生产一种型号的机床，每台机床上需要 2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴都需 用同一种圆钢制作, 圆钢的长度为7.4米。如果要生产 100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？
最优解不唯一。
4 0.000000 -0.2000000
数学建模方法
2021年4月2日星期五
11/59
说明 下料问题是在经济和管理中经常遇到的问题， 引例是条材下料问题、此外还有板材下料问题（如五 金厂生产保险柜的下料、服装厂下料等）或者更复杂 的下料问题。请考虑一下，下料方式能不能用计算机 来设计更合理？本问题能不能将目标函数确定为余料 最少，为什么？这都是值得读者思考的问题。
X8 0.000000
0.2000000
Row Slack or Surplus Dual Price
x6 30, x7 0, x8 0,min S 90
这就是最优的下料方案。
1 90.00000 2 0.000000 3 0.000000
-1.000000 -0.4000000 -0.3000000
方法 36时
识岂是破微空玄分文机方无算程实古模效今型，。及应用6 能手图妙论策网济络苍模生型。及应用4
七经天十纬二复地行习显任考身纵试手横2 ，。
Mathematical —m—od李e尚li志ng method
3/59
§1-1 LP问题数学模型 [LP背景介绍]
一、两个变量线性规划 问题的图解法步骤
数学建模方法
2.9米 2.1米 1.5米
2021年4月2日星期五
数学规划建模
（三）按目标的多少可分为： 1.单目标规划。 2.多目标规划。 （四）按模型中参数和变量是否具有不确定性可分为： 1.确定性规划。 2.不确定性规划。 （五）按问题求解的特性可分为： 1.目标规划。 2.动态规划。 3.多层规划。 4.网络优化。 5.„„等等。
优化问题求解常用的软件 LINGO软件和MATLAB软件。 对于LINGO软件，线性优化求解程序通常使用单 纯形法simplex method，单纯形法虽然在实际应用中是 最好最有效的方法，但对某些问题具有指数阶的复杂性， 为了能解大规模问题，也提供了内点算法interior point method备选（LINGO中一般称为障碍法，即barrier）， 非线性优化求解程序采用的是顺序线性规划法，也可用 顺序二次规划法，广义既约梯度法，另外可以使用多初 始点（LINGO中称multistart）找多个局部最优解增加 找全局最优解的可能，还具有全局求解程序—分解原问 题成一系列的凸规划。
程序的调试
1.直接点击运行，如果出错会弹出错误提示，根 据提示做相应的修改； 2.可以用“！”把约束变成说明语句，而把这条 语句屏蔽掉，缩小寻找出错的范围； 3.可以边写程序边运行，保证每行书写都是正确 的程序；
非线性规划－引例－
料场的建立与运输 建筑工地的位置(用平面坐标a, b表示，距 离单位：公里)及水泥日用量d(吨)下表给出。有两个临时料场位 于P (5,1), Q (2, 7),日储量各有20吨。(1)从A, B两料场分别向各 工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。(2)两个新的料场 应建在何处，节省的吨公里数有多大？
I 1,2,3,4 3）初始库存：
4）变量非负
INV (0) 10
－集合与属性－
记四个季度组成的集合QUARTERS={1，2，3，4}，它们 就是上面数组的下标集合，而数组DEM,RP,OP, INV对集合 QUARTERS中的每个元素1，2，3，4分别对应于一个值。 LINGO正是充分利用了这种数组及其下标的关系，引入了“集 合”及其“属性”的概念，把QUARTERS={1，2，3，4}称为 集合，把DEM,RP,OP, INV称为该集合的属性(即定义在该集合 上的属性)。
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• 国外起源与发展
➢ 1738年,D.Bernoulli首次提出了效用的概念，并以此作 为决策的标准。
背景知识（续）
➢ 1896年，V.Pareto首次从数学角度提出多目标优化问题， 引进了Pareto最优的概念。
➢ 丹麦电话工程师A.K.Erlang开展了关于电话局中继线数 目的话务理论的研究，1909年发表了他将概率论应用于 电话话务理论的研究论文：“概率论与电话会话”，开 排队论研究的先河。
➢ 1935-38年，英国为了正确地运用新研制的雷达系统来对 付德国飞机的空袭，在皇家空军中组织了一批科学家， 进行新战术试验和战术效率评价的研究，并取得了满意 的效果。他们把自己从事的这种工作命名为 “Operational Research”(运筹学，或直译为作战研究)。
➢ 1939年，苏联的Л.В.Канторович 总结了他对生产组织 的研究，写了《生产组织与计划中的数学方法》一书， 是线性规划应用于工业生产问题的经典著作
➢ 1970年起，华罗庚和他的小分队开始在全国范围内普及 推广优选法的群众运动。从此，统筹与优选双法变得家 喻户晓，双法的普及推广也取得了极为可观的社会、经 济效益。
➢ 1971年华罗庚《优选法平话及其补充》一书由国防工业 出版社出版。
背景知识（续）
➢ 1980年4月22-26日在山东济南，召开了中国数学会运筹 学会成立暨第一届代表大会。中国运筹学倡导者之一， 中国科学院副院长华罗庚主持了会议，有来自各地科研 机构、高等院校、军事部门、工交企业等有关单位的82 名代表出席。华罗庚在大会开幕式与闭幕式上均发表了 讲话，回顾了他在全国范围普及推广“双法”的经验和 成果，勉励大家以克敌攻坚的进取精神积极开展运筹学 研究。会议作了12个专题学术报告和个人成果的几十个 分组报告。中国数学会理事长华罗庚被推选兼任运筹学 会理事长，越民义、许国志、余潜修为副理事长，桂湘 云为秘书长，推选常务理事11名，理事42名。会议决定 学会挂靠在中科院应用数学所
背景知识（续）
➢ 1947年,G.B.Dantzig提出了单纯形方法后，线性规划便 迅速形成为一个独立的分支。 并逐级发展起来。
➢ 英国运筹学会1948年成立（1948-53年是运筹学俱乐部， 1953年11月起改名为学会）。 。
➢ 二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续保留了 运筹学的研究核心，而且在研究人员、组织的配备及研 究范围和水平上，都得到了进一步的扩大和发展，同时 运筹学方法也向政府和工业等部门扩展。
背景知识（续）
➢ 1965年起，华罗庚和他的小分队在全国工业部门开始普 及推广统筹法的群众运动。在此后的二十年中，为普及 推广双法（统筹法与从1970年开始普及推广的优选法）， 他们走访了全国23个省市中几百个城市的几千个工厂， 并向数百万人开设讲座开展工作，取得了巨大的社会效 益和经济效益。
➢ 1965年华罗庚《统筹方法平话及其补充》一书由中国工 业出版社出版。
➢ 1959年2月，山东大学在数学系中设置了国内最早的一 个运筹学专门化，由谢力同与郑汉鼎执教。自当年暑假 开始，每年都有运筹学方向的学生毕业，为我国运筹学 事业的发展作出了重要贡献。
➢ 1959年，中国科学院数学研究所成立了运筹学研究室， 研究人员都由所内其它室组调入。孙克定任研究室主任， 该室最早的一批研究人员有排队论组的越民义、吴方、 徐光煇、韩继业；对策论组的吴文俊、江加禾、施闺芳； 数学规划组的朱永津、应玫茜、马仲蕃、凌开诚等。与 此同时，全国范围内很多高校也有大批教师转入运筹学 领域。
➢ 1951年出版了新版（1946年的原版是保密的，1948年才 撤销保密）的P.M.Morse和G.E.Kimball的《运筹学方法》 （Methods of Operations Research），这是二战结束后， 对战时整个运筹学工作做系统的专业叙述的一本著作。
➢ 1951年,H.W.Kuhn与A.W.Tucker提出了Kuhn-Tucker条 件，标志着非线性规划理论的初步形成。
➢ 1955年,G.Dantzig首先考虑出现随机变量的线性规划问 题，这是最早提出的随机规划中的有补偿二阶段问题。
➢ 1956年, L.R.Ford,Jr.与 D.R.Fulkerson提出并解决了网络 最大流问题，加强了图论与线性规划的联系，促进了优
化理论的研究。
背景知识（续）
➢ 1959年1月1日，国际运筹学会联合会(1FORS)正式宣告 成立，当时的联合会只包括英、美、法三个国家的运筹 学会，首任（1959-61年）主席（当时称为秘书，到1968 年第四届时才改称主席）为英国的Charles Goodeve。
最优化模型
---线性规划
参考书目
1. 陈宝林。最优化理论与算法。清华大学出版 社.
2. 谢金星，薛毅。优化建模与lindo/lingo优化软 件. 清华大学出版社.
背景知识
• 运筹学理论的一部分 • 最早起源于中国古代
➢ 公元前6世纪孙武所著的《孙子兵法》 ➢ 孙膑“斗马术”，田忌与齐王赛马，博弈论 ➢ 运筹帷幄之中，决胜千里之外”。这千古名句也
背景知识（续）
➢ 1952年5月美国运筹学会成立，并创刊《Operations Research》。
➢ 1953年,R.Bellman提出动态规划的名称，并阐述了最优 化原理。
➢ 1954年，D.R.Dantzig等研究旅行推销员问题时提出了分 解的思想，成为整数规划中两大方法—割平面法与分枝 定界法的萌芽。
➢ 1958年，中国科学院数学研究所所长华罗庚率领广大研 究人员，包括吴文俊、越民义、万哲先、王元等在内， 也开展了运筹学应用课题的研究，并影响和带动了全国 范围内各部门、各高校的运筹学应用和推广工作。运输 和农业等部门的“图上作业法”、“打麦场设计”、 “中国邮递员问题”是典型的成果。
背景知识（续）
背景知识（续）
运筹学理论在中国的研究与发展
➢ 1957年，经中国科学院力学研究所所长钱学森的倡导， 在该所成立了由许国志领导的国内第一个运筹学研究组 (后成室)。刘源张、周华章、桂湘云等是该组最早的一 批研究人员，从此在我国开始了现代运筹学的Байду номын сангаас究。当 年秋季，又有大学毕业生顾基发、董泽清、徐映波、陈 锡康、郭绍僖、李秉全等分配进入该组。