上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：平面向量

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专题07 平面向量解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解

专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-，所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ，所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ，所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是．【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、填空题1、（奉贤区2015届高三上期末）在ABC ∆中，14==，且ABC ∆的面积S =则ACAB ⋅的值为2、（黄浦区2015届高三上期末）已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 3、（虹口区2015届高三上期末）下图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为.4、（静安区2015届高三上期末）已知两个向量，的夹角为303=，b 为单位向量，t t )1(-+=, 若c ⋅=0，则t =5、（松江区2015届高三上期末）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点，则⋅= ▲6、（徐汇区2015届高三上期末）如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设AB a =，DC b =，用,a b 表示BO ，则BO =7、（杨浦区2015届高三上期末）向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =________8、（闸北区2015届高三上期末）在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为9、（长宁区2015届高三上期末）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）在四边形ABCD 中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）（A（B）（C ）5 （D ）102、（虹口区2015届高三上期末）设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是（）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =3、（黄浦区2015届高三上期末）已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是 [答] ( )．A ．12(0,0)(1,2)e e ==-，B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-，C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-，D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-， 4、（浦东区2015届高三上期末）设θ为两个非零向量,a b r r 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta -r r 的最小值为2，则（）()A 若θ确定，则||a r 唯一确定 ()B 若θ确定，则||b r唯一确定()C 若||a r 确定，则θ唯一确定 ()D 若||b r 确定，则θ唯一确定5、（普陀区2015届高三上期末）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP AP AB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，若给出四个数值:①429 ②1091③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（） )(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个 6、（青浦区2015届高三上期末）已知1,2,()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为………（）.（A ）30 （B ）45 （C ） 90 （D ）1357、（松江区2015届高三上期末）设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=则 A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．0PC PA += D ．0PA PB PC ++=8、（长宁区2015届高三上期末）O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（）A. 正三角形B. 直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形三、解答题1、（嘉定区2015届高三上期末）已知R ∈x ，向量)cos ,2(sin x x a = ，)cos 2,1(x b = ，b a x f⋅=)(．（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，12cos 4cos 5242+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛απααf ，求ααsin cos -的值．2、（金山区2015届高三上期末）a 、b 、c 分别是锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，向量=(2–2sin A ，cos A +sin A )，q =(sin A –cos A ，1+sin A )，且p ∥q ．已知a =7，△ABC 面积为233，求b 、c 的大小． 3、（浦东区2015届高三上期末）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，A ∠的平分线为AD ，若.AB AD mAB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r（1）当2m =时，求cos A 的值；(2) 当a b ∈时，求实数m 的取值范围.参考答案一、填空题1、2±2、3p 3、2sin(2)4y x π=+4、－25、26、4233a b -+r r7、12-8、4 9、2二、选择题1、C2、B3、C4、B5、D6、B7、C8、C三、解答题1、（1）142sin 212cos 2sin cos 22sin )(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x x x f ，……（2分）由224222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， …………（4分）得)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k （Z ∈k ）． …………（5分）（2）由已知得，12cos 4cos 52414sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛+απαπα，…………（2分）即απαπα2cos 4cos 544sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， ………………（3分）所以，)sin )(cos sin )(cos sin (cos 54cos sin αααααααα+--=+，………（4分）若0cos sin =+αα，则1tan -=α，所以2sin cos -=-αα；……………（5分）若0cos sin ≠+αα，则1)sin (cos 542=-αα，25sin cos -=-αα．…………（6分）综上，ααsin cos -的值为2-或25-． …………（7分）2、解：()A A A sin cos ,sin 22+-=，()A A A sin 1,cos sin +-=，又‖ (2–2sin A )(1+sin A )–(cos A+sin A )(sin A –cos A )=0，即：03sin 42=-A 又A ∠为锐角，则sin A =，所以∠A =60︒…………………………………………6分因为△ABC 面积为233，所以21bc sin A =233，即bc =6，又a =7，所以7=b 2+c 2–2bc cos A ，b 2+c 2=13，解之得：⎩⎨⎧==23c b 或⎩⎨⎧==32c b ………………………………………………………………12分3、解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r 得A bc AA b b cos 22cos )2cos (⋅=⋅………2分2cos 2cos 2AA ∴=…………………………………………………………………4分 1cos 2cos .2A A += 1cos .3A ∴= ……………………………………………6分（2）由.AB AD mAB AC ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uu u r 得1cos 21A m =-；…………………………………8分又222cos 2b c a A bc +-==222221122b a a b b -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭11(,)32，…………………10分所以111(,)2132m ∈-，3(,2)2m ∴∈.……………………………………………12分。

高三上学期期末考试数学试题分类汇编：平面向量

高三上学期年末考试数学试题分类汇编：平面向量平面向量【一】填空题1、〔常州市2016届高三上期末〕22(4,2),(1,)2x xxx a b -==，x R ∈，假设a b ⊥，那么||a b -＝2、〔淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末〕2||||==，且1=⋅OB OA ，假设点C 满足1||=+CB OA ，那么||OC 的取值范围是．3、〔南京、盐城市2016届高三上期末〕如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，那么AD BC⋅的值为 ▲4、〔南通市海安县2016届高三上期末〕在正五边形ABCDE 中，9=•，那么该正五边形的对角线的长为；5、〔苏州市2016届高三上期末〕向量a=(1，2)，b=(x ，-2)，且a ⊥(a-b)，那么实数x= ▲6、〔泰州市2016届高三第一次模拟〕在平面直角坐标系xOy 中，点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，假设点P ，那么AP BP OP++的取值范围是 ▲ ．7、〔无锡市2016届高三上期末〕平面向量,αβ满足1β=，且α与βα-的夹角为120，那么α的模的取值范围是ABCD第3题图8、〔扬州市2016届高三上期末〕)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，假设1=⋅n m ，那么=+)232sin(πα ▲ .9、〔镇江市2016届高三第一次模拟〕向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，0)，那么|2a ＋b|＝________．10、〔常州市2016届高三上期末〕如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+均为正数〕，那么11m n +的最小值为填空题答案 1、2 2、[61,6+1]-3、－24、325、96、[7,11]7、8、725-9、13 10、734+、【二】解答题1、〔泰州市2016届高三第一次模拟〕在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．〔1〕假设cos cos a A b B =，求证：//m n ；〔2〕假设⊥m n ,a b >，求tan2A B-的值．2、〔无锡市2016届高三上期末〕在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin sin ,sin sin )a B C C A =--，(sin sin ,sin )b B C a =+，且a b ⊥。

2016年高考数学文真题分类汇编：平面向量 Word版含答案

2016年高考数学文试题分类汇编平面向量一、选择题1、（2016年四川高考）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是 (A)443 (B) 449 (C) 43637+ (D) 433237+ 【答案】B2、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ∙的值为（）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B3、（2016年全国III 卷高考）已知向量1(,)22BA =uu v ,1),22BC =uu u v 则ABC ∠= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】30.2、（2016年江苏省高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】783、（2016年山东高考）已知向量a =(1,–1)，b =(6,–4)．若a ⊥(ta +b )，则实数t 的值为________．【答案】5-4、（2016年上海高考）如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =点，则OP BA ×uu u r uu r 的取值范围是 .【答案】[-5、（2016年全国I 卷高考）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 【答案】23- 6、（2016年全国II 卷高考）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.【答案】6-7、（2016年浙江高考）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．。

2016年上海市高考(理科)数学真题及答案()

2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案和解析 ,,则3（a+bi)+a-bi＝1+i4a=1且2b=Z【考点定位】复数相等，共轭复数3、若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】16【解析】由题意得：c1=2x+3y=2x3+3x5=21,c2=0.x+y=5,c1-c2=21-5=16【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a＝_____ ．【答案】4【解析】【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则p=_________ ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为_____ ．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面7、方程的解为____________ ．【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___________（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合9、已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为，则C2的渐近线方程为【答案】【考点定位】双曲线渐近线10、设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【考点定位】反函数性质11、在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．【答案】该试题及答案加解析（Word版）完整。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：平面向量

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编平面向量一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）22(4,2),(1,)2x x x x a b -==r r ，x R ∈，若a b ⊥r r ，则||a b -r r ＝2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知2||||==OB OA ，且1=⋅OB OA ，若点C 满足1||=+，则||的取值范围是．3、（南京、盐城市2016届高三上期末）如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ 4、（南通市海安县2016届高三上期末）在正五边形ABCDE 中，已知9=•AC AB ，则该正五边形的对角线的长为； 5、（苏州市2016届高三上期末）已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++u u u r u u u r u u u r 学科网的取值范围是 ▲ ． 7、（无锡市2016届高三上期末）已知平面向量,αβu r u r 满足1β=u r ，且αu r 与βα-u r u r 的夹角为120o ，则αu r的模的取值范围是 8、（扬州市2016届高三上期末）已知)sin (cos αα，=，)12(，=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232sin(πα ▲ . 9、（镇江市2016届高三第一次模拟）已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，0)，则|2a ＋b |＝________．10、（常州市2016届高三上期末）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+u u u r u u u r u u u r 均为正数），则11m n +的最小值为 A B C D 第3题图填空题答案1、22、[61,6+1]-3、－24、325、96、[7,11]7、8、725- 9、13 10743+、二、解答题 1、（泰州市2016届高三第一次模拟）在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B -的值．2、（无锡市2016届高三上期末）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(sin sin ,sin sin )a B C C A =--r ，(sin sin ,sin )b B C a =+r ，且a b ⊥r r 。

2016上海市高考数学试卷及答案(理数)

2016年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）（A ）25. （B ）50. （C ）75.（D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）ABCDABCPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）2016年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . 3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 -160 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (-∞, 1] .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g -1 .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf )sin(16θπ- . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ B ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ C ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.ABCD17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ A ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ D ）（A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯. （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形，所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分AB CD PE yAB CDP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分 23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分所以x =2b ，从而x =4. ……4分（2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。

【精选高中试题】上海市松江区高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

松江区2016学年度第一学期高三期末考试数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.1一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN = ▲ ．2．已知a b R ∈、，是虚数单位，若2a i bi +=-，则 2()a bi += ▲ ． 3．已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -= ▲ ． 4．不等式10x x ->的解集为 ▲ ．5．已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =,则函数()f x a b =⋅的最小正周期为 ▲ ． 6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 ▲ ． 7．按下图所示的程序框图运算：若输入17=x ，则输出的值是 ▲ ．8．设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=+++++，若2313a a =，则n = ▲ ． 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 ▲ 2cm ．10．设(,)P x y是曲线1C =上的点，12(4,0),(4,0)F F -，则12||||PF PF +的最大值=▲ ．11．已知函数13()283xx f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈ ▲ ．12．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若*12()nn n a a n N +-=∈，且21{}n a -是递增数列、2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→+∞= ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知a b R ∈、，则“0ab >”是“2b aa b+>”的 .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值等于.A 13.B12.C.D15．若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足：11122122,,,{0,1},a a a a ∈且111221220a a a a ＝　，则这样的互不相等的矩阵共有.A 2个 .B 6个 .C 8个.D 10个16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数，及()(1)f x f >，可得1x <．用类似的方法可求得不等式0arcsin arcsin 362>+++x x x x 的解集为.A (0,1] .B (1,1)- .C (1,1]- .D (1,0)-三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点．（1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数．CA（1）根据的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求的取值范围.19．（本题满分14分）上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” ．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H ．在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=，过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平面上），此时测得27OAB ∠=，A 与B 之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH 的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO 与PH 的夹角，精确到0.1）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线交双曲线于A 、B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若过双曲线的右焦点1F ，是否存在轴上的点(, 0)M m ，使得直线绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差都大于，则称这个数列为“H 型数列” ．（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为的等差数列{}n a 为“H 型数列”，且其前项和n S 满足2*()n S n n n N <+∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”，23n n b a =， 5(1)2nn n a c n -=+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由．松江区2016学年度第一学期高三期末考试数学试卷（参考答案）2017.1一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． {}1 2．34i - 3． 4．(0,1)(1,)+∞ 5．π 6．147． 143 8．11 9 10．1011 ．(0,312．12-二、选择题（每小题5分，共20分） 13． B 14．C 15. D 16．A三．解答题（共76分）17．解: （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，且PA AB a ==∴,PBC PDC ∆∆都是等边三角形 ………………2分 ∵E 是棱PC 的中点，∴,BE PC DE PC ⊥⊥，又 BEDE E =∴PC ⊥平面BDE ………………5分又BD ⊂平面BDE ∴PC BD ⊥ ………………6分（2）连接AC ，交BD 于点O ，连OE ．四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点………………8分又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴//AP OE∴∠BOE 即为BE 与PA 所成的角 ……………………10分在Rt △BOE 中，BE =，12EO PA a ==……12分∴cos OE BOE BE ∠==……………………14分 18．解：（1）函数)(x f y =的定义域为R ，且212()2112x xx xa a f x --⋅---==++ ……………2分 ①若)(x f y =是偶函数，则对任意的都有()()f x f x =- ，即 2122112x xx xa a ⋅--=++ 即2(1)1xa a +=+ ∴1a =- ……………3分 ②若)(x f y =是奇函数，则对任意的都有()()f x f x =-- ，即 2122112x xx xa a ⋅--=-++ 即2(1)1xa a -=- ∴1a = ……………4分 ∴当1a =-时，()f x 为偶函数，当1a =时，()f x 为奇函数，当1a ≠±时，()f x 既非偶函数也非奇函数 ……………6分（2）由()1f x ≥ 可得 2121x xa +≤⋅-即 212x a ≤- ……………8分 ∵当 1x ≥时，122x y = 单调递减，其最大值为1 ∴2a ≥ ……………10分同理，由()3f x ≤ 可得 21323xx a ⋅-≤⋅+ 即 432x a -≤∵当 1x ≥时，142x y = 单调递减，且无限趋近于0，∴3a ≤……………13分∴23a ≤≤ ………………………14分19. 解：(1)设塔高,PH x =由题意知，45,45HAP HBP ∠=∠=, 所以,PAH PBH ∆∆均为等腰直角三角形∴AH BH x == ……………2分在AHB ∆中，AH BH x == ，27HAB ∠= ，36.6AB =∴16.8218.86cos cos 27ABx HAB ===∠︒……………6分(2)在BOH ∆中，120BOH ∠= ，1801202276O B H ∠=︒--⨯︒=︒，18.86BH = ，由sin sin OH BHOBH BOH=∠∠ ，得18.86sin 6 2.28sin120OH ⨯︒==︒……………10分 ∴ 2.28arctan arctan 6.8918.86OH OPH PH ∠===︒……………13分所以塔高18.9米，塔的倾斜度为 6.9。

精选高三数学上学期期末考试试题分类汇编平面向量

上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编平面向量一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末）已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若()f AP AB λλ=-()R λ∈的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 的长度为． 3、（虹口区2017届高三一模）如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（）.A 只与圆C 的半径有关．.B 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关．.C 只与弦AB 的长度有关．.D 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值． 4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知向量(,)a x y =(,x y ∈R )，(1,2)b =，若221+x y =，则||a b -的最大值为5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB⋅的取值范围是__________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）如图，在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是边,BC CD上的两个动点，且MN =AM AN 的取值范围是____________．8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，a tb +的最小值为1，则下列判断正确的是……………………（）.)A (若a 确定，则θ唯一确定 ()B 若b 确定，则θ唯一确定()C 若θ确定，则b 唯一确定 ()D 若θ确定，则a 唯一确定9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=.10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =,则函数()f x a b =⋅的最小正周期为 ▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）如图：在ABC ∆中，若13,c o s ,22A B A C B A C D C B D==∠==，则AD BC ⋅=___________12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的 () (A) 充分但非必要条件(B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）设向量)2,1(-=，)1,(-=a ，)0,(b OC -=，其中O 为坐标原点，0>a ，0>b ，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为____________．14、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组()1234,,,x x x x 和()1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成.记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最小值是________________．（用向量,a b 表示）15、（奉贤区2017届高三上学期期末）若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}{}11|,1,2,3,4,1,2,3,4i jx x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数（） A ．1B ．2 C ．3 D ．4二、解答题1、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知()m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角．（1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.2、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）若,3B b ABC π==∆的面积S =，求a c +值；（2）若()22cos C BA BC AB AC c +=，求角C .参考答案：一、填空、选择题1、解析：||cos||a b b a θ=＝=2 3、C 41 5、126、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7、4⎡⎣ 8、【解析】令g （t ）==+2t +， ∴△=4﹣4≤0，恒成立．当且仅当t==时，g （t ）取得最小值1， ∴﹣2×+=1，化为：sin 2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定．故选：D ．9、)∞ 10、π11、32- 12、C 13、【解析】向量=（1，﹣2），=（a ，﹣1），=（﹣b ，0），其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0， ∴=﹣=（a ﹣1，1），=﹣=（﹣b ﹣1，2），∵A 、B 、C 三点共线， ∴=λ， ∴，解得2a+b=1， ∴+=（+）（2a+b ）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：814.4a b ⋅15、A二、解答题1、（1）当2A π=时，1,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭1n ⎛∴== 4分（2）)223sin 1cos sin 2Am n A A A ⋅=+=++…………6分 2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭分 m n ⋅取到最大值时，6A π=…………………………10分由正弦定理sin sin AB BC C A=， (12)分 32sin sin 36BC ππ⇒=解得BC =…………………………14分 2、解：（1）∵1,sin 32ABC B S ac B π∆===，∴6ac =……………………………2分由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=……………………………………4分∴()225,5a c a c +=+=……………………………………….7分（2）∵()()22cos cosB bccosA 2cos cos cos C ac c C a B b A c +=⇒+=…………………10分又∵cos cos a B b A c +=……………………………12分∴12cos 1,cos 2C C ==， ∵()0,C π∈，∴3C π=……………………………………14分。

上海市高考数学一轮复习专题突破训练平面向量理

上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、填空、选择题1、（2015年上海高考）在锐角三角形 A BC 中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于 E ，DF⊥AC 于F ，则•= ﹣．2、（2014年上海高考）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA(A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.3、（2013年上海高考）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（）F ED（A ）0AE FC ⋅= （B ）0AE DF ⋅>（C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ⋅<5、（闵行区2015届高三二模）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为6、（普陀区2015届高三二模）若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c === 则326a b c +-=7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）ABC ∆所在平面上一点P 满足()0,PA PC mAB m m +=>为常数，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ，)23,(-=→m m b ，且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数），则实数m 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞9、（奉贤区2015届高三上期末）在ABC ∆14==AC AB ，且ABC ∆的面积3S =则AC AB ⋅的值为10、（黄浦区2015届高三上期末）已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且23203a OAb OBc OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 11、（静安区2015届高三上期末）已知两个向量，的夹角为303=a ，b 为单位向量，t t )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t =12、（松江区2015届高三上期末）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点，则⋅= ▲13、（徐汇区2015届高三上期末）如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设AB a =，DC b =，用,a b 表示BO ，则BO =14、（杨浦区2015届高三上期末）向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =________15、（上海市八校2015届高三3月联考）如图：边长为4的正方形ABCD 的中心为E ，以E 为圆心，1为半径作圆。

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上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编平面向量一、填空题 1、（宝山区2016届高三上学期期末）向量ar，br满足a1r，3a2brr，ar与br的夹角为60°，则br . 2、（崇明县2016届高三上学期期末）在矩形 ABCD中， AB ＝2， AD＝1，边DC （包含点 D、C）

的动点 P 与 CB 延长线上（包含点B）的动点Q 满足的取值范围是___________ 3、（奉贤区2016届高三上学期期末）已知点1,5A和向量2,3a，若aAB3，则点B的坐标为__________． 4、（奉贤区2016届高三上学期期末）线段AB的长度为2，点A、B分别

在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作

矩形ABCD(顺时针排序)，1BC，设O为坐标原点，则ODOC的取值范围是__________． 5、（黄浦区2016届高三上学期期末）若非零向量a，b，c满足230abc，且abbcca，

则b与c的夹角为． 6、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知直角梯形ABCD ，AD∥BC，90BAD．2AD，1BC，P是腰AB上的动点，则||PCPD的最小值为__________．

7、（静安区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，坐标原点(0,0)O、点(1,2)P，将向量绕点O按逆时针方向旋转56后得向量，则点Q的横坐标是 . 8、（闵行区2016届高三上学期期末）已知ABC△中，43ABij，34ACij，其中ij、是基本单位向量，则ABC△的面积为 . 9、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知向量2,1,(1,)abmrr平行，则m

10、（浦东新区2016届高三上期末）有一列向量nauur：111222(,),(,),,(,),nnnaxyaxyaxyuruuruurL

如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列nauur，满足1(20,13)aur，3(18,15)aur，那么这列向量nauur中模最小的向量的序号n__4或5__。

11、（普陀区2016届高三上学期期末）若F是抛物线24yx的焦点，点(1,2,3,...,10)iPi在抛物线上，且12100...0PFPFPF ，则12100||||...||PFPFPF________ 12、（青浦区2016届高三上学期期末）已知平面向量OA、OB、OC满足0OAOB，且1OAOC，3OB，则CACB的最大值是

13、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线2:4Cyx的准线为l，过(1,0)M且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若2AMMB，则 k ▲ ． 14、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若(,)OBOEOFR, 则____________. 15、（闸北区2016届高三上学期期末）在菱形ABCD中，1AB，60DAB，E为CD的中点，则ABAE的值是

16、（长宁区2016届高三上学期期末）在△ABC 中，点M 满足

，则实数m 的值为___________. 17、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知O是锐角ABC的外心，1tan2A．若coscos2,sinsinBCABACmAOCB



则实数m________________．

填空题参考答案： 1、12 2、3[,3]4 3、5,14B 4、［1,3］ 5、4

6、3 7、312 8、252 9、12 10、4或5 11、200 12、3 13、22 14、32 15、1 16、-3 17、55 二、选择题 1、（宝山区2016届高三上学期期末）P是ABC所在平面内一点，若PBPACB，其中R，则P点一定在……（）（A）ABC内部（B）AC边所在直线上（C）AB边所在直线上（D）BC边所在直线上

BFC

2、（金山区2016届高三上学期期末）已知a,b是单位向量，0ba，且向量c满足||bac=1，则|c|的取值范围是( )． (A) ]12,12[ (B) ]2,12[ (C) ]12,2[ (D) ]22,22[ 3、（浦东新区2016届高三上学期期末）将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角

星的中心为点O，其中,xyrur分别为点O到两个顶点的向量. 若将点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为axbyrur的形式，则ab的最大值为（ C ） ()A 3 ()B4 ()C5 ()D6

4、（闸北区2016届高三上学期期末）已知i和j是互相垂直的单位向量，向

量na满足：nian，21njan，*nN，设n为i和na的夹角，则（） A. n随着n的增大而增大 B. n随着n的增大而减小 C. 随着n的增大，n先增大后减小 D. 随着n的增大，n先减小后增大

16、（长宁区2016届高三上学期期末）选择题参考答案：

1、B 2、A 3、C 4、B

三、解答题 1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知角CBA、、是ABC的三个内角，cba、、是各角的

对边，若向量2cos),cos(1BABAm,2cos,85BAn,且89nm. （1）求BAtantan的值；（2）求222sincbaCab的最大值.

2.（嘉定区2016届高三上学期期末）已知Rx，设)cossin,cos2(xxxm，)cossin,sin3(xxxn，记函数nmxf)(．

（1）求函数)(xf取最小值时x的取值范围；

（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2)(Cf，3c，求△ABC的面积S的最大值．

3、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知两个向量2221log,log,log,1axxbxrr （1）若abrr，求实数x的值；（2）求函数1(),,24fxabxrr的值域。

4、（长宁区2016届高三上学期期末）在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量

，若（1）求角 A、B、C 的值；（2）若的最大值与最小值.

解答题参考答案 1、解：（1）由(1cos(),cos)2ABmABur,5(,cos)82ABnr，且98mnurr，

即259[1cos()]cos828ABAB.-----------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()ABAB,--------------------------------------------------------------------4分即coscos9sinsinABAB,∴1tantan9AB.----------------6分（2）由余弦定理得222sinsin1tan2cos2abCabCCabcabC，-----------------8分而∵tantan9tan()(tantan)1tantan8ABABABAB------------------------------------------10分由1tantan9AB知：0tan,tanBA ------------------------------------------11分 93tan()2tantan84ABAB,

当且仅当1tantan3AB时取等号，-------------------------------------------------------------12分又tantan()CAB,∴tanC有最大值34，

所以222sinabCabc的最大值为38.---------------------------------14分

2、（1）xxxxxxnmxf2cos2sin3cossincossin32)(22 

62sin2x． ………………………………………………………（3分）

当)(xf取最小值时，162sinx，2262kx，Zk，……（6分）所以，所求x的取值集合是Zkkxx,6． …………………（7分）（2）由2)(Cf，得162sinC， …………………………（1分）因为C0，所以611626C，所以262C，3C． ……………………………………（3分）在△ABC中，由余弦定理Cabbaccos2222， ………………（4分）得ababba223，即3ab， …………………………（5分）

所以△ABC的面积43323321sin21CabS， ……………（6分）因此△ABC的面积S的最大值为433． ……………………（7分） 3、解：（1）222,1logloglog0abxxxrrQ 22log(log2)0xx

22log0log2xx或经检验114xx或为所求的解；………………………………………………4分（2）由条件知2222()log(log2)log11fxxxx 2

,2,log2,14xxQ