§3.5对数函数与指数函数的导数
对数函数与指数函数的导数
1 x 1 ∆y 1 ∆x ∆x ∆x ∆x ln(1 + ) = ⋅ ln(1 + ) = ln(1 + ) , = x x ∆x x x x ∆x ∆x x x ∆y 1 ∆ x ∆x 1 ∆ x ∆x ′ = lim ) = ln[ lim (1 + ) ] = lim ln(1 + ∴y ∆x → 0 ∆ x x ∆x → 0 x x ∆x → 0 x 1 1 = ln e = . x x
(ex + e− x )2 − 2 x −x 2 解:∵ y = = e + e − x −x ; (ex + e−x )′ = ex − e−x; ex + e−x e +e
2 2e x (1− e−2x ) . ∴ y′ = e x − e−x + x −x 2 (e x − e−x ) = e x − e−x − 2x 2 (e + e ) (1+ e ) 1
对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入： 复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式 3.导数的四则运算法则 导数的四则运算法则. 导数的四则运算法则 4.复合函数的导数公式 复合函数的导数公式. 复合函数的导数公式 5.由前面几节课的知识 我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、 但还缺少指数函数 幂函数、三角函数的导数 但还缺少指数函数、对数 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容. 的导数,而这就是我们今天要新学的内容 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 有了指数函数、对数函数的导数 也就解决了初等函 指数函数 的导数 数的可导性.结合前一章节的知识 我们可知,初等函数 结合前一章节的知识,我们可知 数的可导性 结合前一章节的知识 我们可知 初等函数 在其定义域内都是连续而且可导 可导. 在其定义域内都是连续而且可导
对数函数与指数函数的导数
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知 (xn)nnx 1(nQ ) 中的n的范围可以扩大到全体实数.
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
y
x
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 yyg(x)lnf(x)g(x)ff((xx)); yy[g(x)lnf(x)g(x)ff((x x))]
y[f(x)g(]x)[g (x)ln f(x)g (x)f(x)]. f(x)
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
解:(1) y [f(lx )n ]f(lx )n (lx )n 1f(lx )n.
x
(2) y [f(ex2)]f(e x2)(e x2)f(e x2)(e x2)( x2)
2x x e 2f(e x2). (3)y [f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]f(ex)exef(x)
f(ex)ef(x)f(x )ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x )].
y1 21lgx e2(1 2x2)x x2l ge1.
(3) y 2 e 2 x c 3 x o e 2 x ( s 3 s3 x i ) n e 2 x ( 2 c 3 x o 3 ss 3 x i )n .
(4) y a 5 xln a (5 x ) 5 a 5 xln a .
例2:求下列函数的导数:
2.指数函数的导数:
(1) (ex)ex.
(2 )(a x ) a x la n (a 0 ,a 1 ).
对数函数与指数数的导数
1
(x
1 1 x ) x 1 1 2 (1 x )] x 1 x2
2
1 1 1 (1 ) . 2 2 2 x x x 1 x 2 1 x 1 x
由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0. 练习2:分别求曲线①y=logxe;② y e xe ln x 在点(e,1)处 的切线方程. 答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0. 延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小距离. 2 . 答案:
1 x
.
(3) y ln( 1 x 2 x )
解: y
1
1 x2 x 1 . 2 1 x
( 1 x x )
2
1 1 ( 2 x 1) 2 2 1 x x 2 1 x
1
x 1 x2 (4) y ln x
解:函数的定义域为(0,), y ln(x 1 x 2 ) ln x.
x
2
)]ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (e f (e
x2
x
2
) (e
x
2
) f (e
x
x2
) (e
x2
) ( x 2 )
2 xe
x2
).
(3) y [ f (e x )]e f ( x ) f (e x ) [e f ( x ) ] f (e x ) e x e f ( x )
二、新课——指、对函数的导数：
对数函数与指数函数的导数教案示例
对数函数与指数函数的导数(一)·教案示例目的要求1．掌握函数lnx 、log a x 的导数公式．2．能用公式求对数函数的导数．内容分析1．教科书直接给出对数函数的导数公式，目的在于减轻学生理解上的负担，注重了知识的直观性，而降低了理论的严谨性．接着通过几道例题，介绍了对数函数求导公式的应用．2(log x)log e (lnx)a a ．对于公式′＝，我们将它改为证明题，理由如下：首先，可复习对数换底公式．其次，可用前一公式′＝为根据，11x x这就成了熟悉和使用前一公式的一次机会．再次，这一公式有一个常数因子即．通过证明，可以加深对此公式的理解和记忆，学生由＝这一步运算看到了的来历．这样对公式的结构特征log e log x a a 11ln ln ln ln a x a a 就加深了印象，于是先入为主，可以避免与公式′＝及中的“”的位置相混淆．(a )a lna C x x a dx a a a x x⎰=+ln ln3．本节重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．给出对数函数的导数公式后，安排了两道例题，都是求对数函数的复合函数的导数．例1比较简单，不仅可让学生说出中间变量u ＝2x 2＋3x ＋1，而且整个解题过程都可交给学生完成．例2比较复杂，两个解法中，解法略显繁琐，因－的求导还是复合函数求导．而解法11x 22中的1－x 2的求导都是简单的二次函数式求导，解法2中使用了对数运算性质将函数解析式先进行了变形．大学里的取对数法求导，就是利用对数运算性质来简化求导过程的．4．由于加强公式的应用是本节重点，所以增加了一道例题，其中注意增加了含有三角函数的复合函数的求导．教学过程1．复习(1)问题回忆换底公式；叙述复合函数的求导法则．(2)练习求下列函数的导数：Ⅰ．＝－；Ⅱ．＝．y 1x y sin2x 2 答案：Ⅰ．－；Ⅱ．．xx 12-2cos2x2．新授1(1)(lnx)2(2)(log x)log e (log x)a a a ．直接给出对数函数的导数公式′＝．．求证对数函数的导数公式′＝．证明：′＝′＝·＝．11111xxx a a x xe a (ln ln )ln log 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式．公式(1)尤其简单易记，lnx 的导数等于x -1．公式略显复杂，的导数除了，还有另一因子，即，由证明过程看出是由使用换底公式而来．(2)log x x log e a 1a -1lna试思考：求幂函数x m 的导数能得x -1吗？3．公式的应用让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量u ＝2x 2＋3x ＋1． 让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．此处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中y ＝lgu ，u v 1x 2y lgu u 1x 22＝，＝－，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法中＝，＝－，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．v 12增例：求下列函数的导数：(1)y log (x 1x ) (2)y ln 1+x 1x (3)y ln sin2x x (4)y lnsin (e x)22222＝＋＋；＝；＝；＝－．- 边分析，边讲解．解：′＝′＝·′(1)y log ()log [()]222222*********e x x x x e x x x x +++++++++ ＝＝log ()log 222221111e x x x x ex +++++解：(2)由对数运算性质，有y [ln(1x )ln(1x )]22＝＋－－．12则′＝′′＝＝y 121111122121212222224[()()][]++---+----x x x x x x x x x x 解：′＝′＝····＝(3)y x x x xx x x x x x x xsin (sin )sin cos sin cot 22222212212-- 解：′＝′＝·′(4)y [sin ()]sin ()sin()[sin()]sin ()2222e x e x e x e x e x -----＝··′＝－22sin()cos()()sin ()e x e x e x e x -----2cot(e x)请学生用先变形再求导的方法，再解第(4)小题．4．反馈训练Ⅰ．求下列函数的导数：(1) y ln(cosx)(2) y 1ln x (3)y xlgx (4)y log (1sinx)22＝；＝＋；＝；＝＋．答案：(1)tanx (2)lnxx 1+ln (3)lgx lge (4)cosx 1+sinxlog e 22－；；＋；．x Ⅱ．教科书练习．5．课堂小结知识：要记住并用熟对数函数的两个求导公式．技能：注意遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，应先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，可使运算较简便．布置作业教科书习题3．5第1题．增练求下列函数的导数：(1)y ＝ln 2(3x ＋7)；(2)y ＝lncos 3(2x －3)；(3) y ln(x x 1)2＝＋－；(4) y ＝x 3lnx ． 答案：(1)6ln(3x +7)3x +7(2)6tan(2x 3)(3)1x (4)3x lnx x 222；－－；；＋．-1。
对数函数与指数函数的导数
(0,+∞), y = ln(x + 1 + x 2 ) ln x. 解:函数的定义域为 函数的定义域为 1 1 2 ∴ y′ = ( x + 1 + x )′ 2 x x + 1+ x 1 1 1 1 2 = [1 + (1 + x )′] 2 2 2 1+ x x x + 1+ x
t= 2
e
2
2
求曲线y=xlnx的平行于直线 的平行于直线x-y+1=0的切线方程 的切线方程. 例5:求曲线 求曲线 的平行于直线 的切线方程 设该切线与曲线相切的切点为(x 解:设该切线与曲线相切的切点为 0,x0lnx0). 设该切线与曲线相切的切点为 1 ∵ y′ = x′ ln x + x(ln x )′ = ln x + x = ln x + 1. x 故曲线在点(x 处的切线斜率为lnx 故曲线在点 0,x0lnx0)处的切线斜率为 0+1. 处的切线斜率为 由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为 故切点为(1,0). 由已知可得 即 故切点为 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0. 所以所求切线方程为 即
对数函数 与指数函数 的导数
一,复习与引入: 复习与引入:
1. 函数的导数的定义与几何意义 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式 3.导数的四则运算法则 导数的四则运算法则. 导数的四则运算法则 4.复合函数的导数公式 复合函数的导数公式. 复合函数的导数公式 5.由前面几节课的知识 我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 由前面几节课的知识 幂函数,三角函数的导数,但还缺少指数函数, 但还缺少指数函数 幂函数,三角函数的导数 但还缺少指数函数,对数 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容. 的导数,而这就是我们今天要新学的内容 函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容 有了指数函数,对数函数的导数,也就解决了初等函 有了指数函数,对数函数的导数 也就解决了初等函 指数函数 的导数 数的可导性.结合前一章节的知识 我们可知,初等函数 结合前一章节的知识,我们可知 数的可导性 结合前一章节的知识 我们可知 初等函数 在其定义域内都是连续而且可导 可导. 在其定义域内都是连续而且可导
指数与对数函数的导数计算与应用
指数与对数函数的导数计算与应用指数函数与对数函数是高中数学中重要的数学函数之一，它们在数学和科学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨指数函数与对数函数的导数计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
为了计算指数函数的导数，我们可以使用以下公式：f'(x) = a^x * ln(a)其中ln(a)为自然对数的底为a的对数。
例如，考虑函数f(x) = 2^x，我们可以计算其导数如下：f'(x) = 2^x * ln(2)同样地，对于其他底数的指数函数，我们可以采用类似的方法进行导数计算。
二、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数，x为对数函数的自变量。
对数函数的导数计算可以使用以下公式：f'(x) = 1 / (x * ln(a))其中ln(a)为自然对数的底为a的对数。
例如，考虑函数f(x) = log_2(x)，我们可以计算其导数如下：f'(x) = 1 / (x * ln(2))类似地，对于其他底数的对数函数，我们可以采用类似的方法进行导数计算。
三、指数函数与对数函数的应用指数函数与对数函数在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们来介绍一些常见的应用情景。
1. 金融领域在金融领域中，指数函数与对数函数被广泛用于复利计算和利率模型。
通过计算指数函数和对数函数的导数，我们可以求得复利的增长速率以及利率的变化情况，从而帮助金融机构和个人做出合理的财务规划。
2. 生物科学在生物科学中，指数函数与对数函数被应用于描述生物种群的增长模型和衰减模型。
通过计算指数函数和对数函数的导数，我们可以预测种群的增长速率以及环境对种群数量的影响，从而帮助生物学家制定保护和管理生态系统的策略。
3. 统计学在统计学中，指数函数与对数函数被用于处理数据的变换和归一化。
通过应用对数函数，我们可以将数据从指数尺度转换为线性尺度，使得数据的分析和建模更加方便和有效。
对数和指数函数的导数
例3：求ylog2(x 1 x2 )的导数：
解 ： y/ x
1 1
x2
l
o
g2e
(
x
1 x2 )/
x
1 1
x2
l
o
g2e
[
1
1( 2
1
x2
)
1 2
2
x
]
log2e 1 x2
变式：求下列函数的导数
(1) y xx
本题解法的求导方法称 为“对数求导法”
xxn2xy)y/y// 2c1(oxx1tx-x21l)g
e
公式5：对数函数的导数
(5)(ln x) 1 x
(6)(log a
x)
1 x
log a
e
公式6：指数函数的导数
(7)(ex )/ ex
(8)(ax )/ axlna
例3：求y e2x cos3x的导数
分 析 ： 先 用 到 两 个 函 数乘 积 的 求 导 法 则 ， 再 用到复合函数求导法则
y/ e2x(2cos3x 3sin3x)
例4：求y a5x的导数
y/ 5a5xlna
练 习 2： 求 下 列 函 数 的导 数 (1)y x2 ex (2)y e3x (3)y x3 3x (4)y xn ex (5)y ex sinx (6)y ex lnx (7)y ax logax
两边取自然对数, ln y x ln x,
两边对x求导, 1 y ln x x 1
y
x
y x x (1 ln x).
知识回顾 Knowledge Review
)3
的
对数函数与指数函数的积分与导数
对数函数与指数函数的积分与导数数函数与指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在微积分中有着重要的作用。
在本文中，我们将探讨对数函数与指数函数的积分和导数，以及它们之间的关系。
一、对数函数的积分与导数对数函数是指数函数的逆运算，通常用符号$\log x$表示。
对数函数的积分与导数有以下规律：1. 对数函数的导数对数函数的导数可以通过求导公式得出。
对于自然对数函数$\ln x$，它的导数为$\frac{1}{x}$。
对于一般的对数函数$\log_a x$，它的导数为$\frac{1}{x \ln a}$，其中$a$为底数。
2. 对数函数的积分对数函数的积分可以通过积分公式得出。
对于自然对数函数$\ln x$，它的积分为$x \ln x - x$。
对于一般的对数函数$\log_a x$，它的积分为$\frac{x \ln x}{\ln a} - \frac{x}{\ln a}$，其中$a$为底数。
二、指数函数的积分与导数指数函数是以常数$e$为底的幂函数，通常用符号$e^x$表示。
指数函数的积分与导数有以下规律：1. 指数函数的导数指数函数的导数可以通过求导公式得出。
对于指数函数$e^x$，它的导数为$e^x$。
对于一般形式的指数函数$a^x$，它的导数为$a^x \lna$，其中$a$为底数。
2. 指数函数的积分指数函数的积分可以通过积分公式得出。
对于指数函数$e^x$，它的积分为$e^x$。
对于一般形式的指数函数$a^x$，它的积分为$\frac{a^x}{\ln a}$，其中$a$为底数。
三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系。
根据定义，对数函数是指数函数的逆运算。
换句话说，对于任意的正实数$x$和正实数$a$，$\log_a a^x = x$，$a^{\log_a x} = x$。
由此，我们可以得出以下结论：1. 对于对数函数的导数和积分公式，我们可以利用指数函数的性质进行推导。
对数函数与指数函数的导数
y
y
lg
1 2
1 x
lg e 1 x2
2
(1
1 2
lg(1
x2 )
x 2 );
x lge x2 1
.
(3) y 2e2x cos 3x e2x (3sin3x) e2x (2cos 3x 3sin3x).
(4) y a5x ln a (5x) 5a5x ln a.
例2:求下列函数的导数:
f (e x ) e f (x) f ( x) e f (x)[ f (e x )e x f (e x ) f ( x)].
解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.
练习1:求下列函数的导数:
1
(1) y 2x ; (2) y 2log3 x (3) y 1 ln x
解:(1) y [ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x).
x
(2) y [ f (e x2 )] f (e x2 ) (e x2 ) f (e x2 ) (e x2 ) ( x2 )
2xex2 f (ex2 ). (3)y [ f (e x )]e f (x) f (e x )[e f (x) ] f (e x ) e x e f (x)
(6) y x ln x ln( x 1) (7) y x x2 a2 a2 ln x x2 a
x 1
2
2
a
(5) y ln
1 x2 1 x2
(6)
y
ln x (x 1)2
.
(5)
y
2x
x4
. 1
(7) y x2 a2 .
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x).
指数函数对数函数求导公式
指数函数对数函数求导公式对 a^x 和 log_ax 求导的推导做一个总结。
我以前接触到的推法是：首先记住 (log_ax)'=\frac{1}{x*lna} ,之后 a^x 的导数可以根据对数的导数推导如下：令 y=a^x , 所以 x = log_ay，俩边求导, 根据复合函数求导法则为：(log_ay)'=x'\Rightarrowy'\frac{1}{y*lna}=1\Rightarrowy'=y*lna=a^xlna或者记住 a^x 的导数，用复合函数求导推 log_ax 的导数。
但是个人觉得这种做法太讨巧了，而且我也不是总能记住其中一个的导数是什么，一般是一忘就都忘了。
理解一个东西，还是得从定义上去理解，找了一个百度百科的定义：导数：当函数 y=f(x) 的自变量x 在一点 x_0 上产生一个增量 \Delta x 时，函数输出值的增量 \Delta y 与自变量增量 \Delta x 的比值在 \Delta x 趋于0时的极限a 如果存在， a 即为在 x_0 处的导数，记作 f'(x_0) 或\frac{df(x_0)}{dx} 。
既然是定义，就一定是普适的，所以我们可以从定义推导出导数。
指数函数对数函数求导公式 1f'(a^{x_0})=\lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{{{a^{x_0 + \Delta x}-a^{x_0}}}}{\Delta x} \\ =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x_0}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}令 y=a^{\Delta x} - 1 , 则有 \Delta x = log_a(y+1) ,则f'(a^{x_0})=\lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{a^{x_0}*y}{log_a(y+1)}\\=a^{x_0}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{log_a(y+1)^\frac{1}{y}}当 \Delta x \rightarrow 0 时，\frac{1}{y}\rightarrow+\infty , 此时log_a(y+1)^\frac{1}{y}=log_ae，因此：f'(a^{x_0})=a^{x_0}*\frac{1}{log_ae}=a^{x_0}*lna对数函数导数定义推导对数函数求导同样：f'(log_ax_0)=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{{log_a(x_0+\Delta x)}-log_ax_0}{\Delta x} \\=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}log_a\frac{x_0+\Delta x}{x_0}\\=\lim_{\Deltax\rightarrow0}log_a(1+\frac{\Deltax}{x_0})^\frac{1}{\Delta x}\\=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{1}{x_0}log_a(1+\frac{\Deltax}{x_0})^\frac{x_0}{\Delta x}当 \Delta x\rightarrow0 的时候， \frac{x_0}{\Delta x}\rightarrow\infty ，此时 log_a(1+\frac{\Deltax}{x_0})^\frac{x_0}{\Delta x}=log_ae ，f'(log_ax_0)=\frac{1}{x_0}log_ae=\frac{1}{x_0lna}其中 log_ae=\frac{lne}{lna} 是用了换底公式，换底公式的证明：有一个等式： c=log_ab，假设其中 e^x=a, e^y=b ,所以c=log_{e^x}e^y=\frac{y}{x}log_ee由于 x=lna, y=lnb ,所以c=\frac{y}{x}=\frac{lnb}{lna}。