高三基础知识天天练数学9-5人教版

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高三基础知识天天练数学7-6人教版

第7模块第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________．解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小．解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。

基础知识天天练数学选修4-1-2

选修4-1 第2节[知能演练]一、填空题1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆圆或椭圆2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)，由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3，故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．解析：如右图，连接AB ，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ，又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PBAB， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案： 35．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝ABBD， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)．答案：2 26．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．(1)证明：连结OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP .因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC .(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ，所以∠ABE ＝∠ACB .由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝ABBC .故AB 2＝AE ·BC .(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ，所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .所以AB BC ＝EFAF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .所以AB ＝CD .所以58＝EF6.所以EF ＝308＝154.[高考·模拟·预测]1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3.答案： 33．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.解析：易证△CBA ∽△ABD ，所以BC AB ＝ABBD ，BD ＝8.答案：84．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.答案：8π5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ，即AD的延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC. 连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.。

宿豫中学09届高三数学二轮复习天天练17

09届高三数学天天练17一、填空题1、已知集合｝｛40|A <≤=x x ，｝｛2|1|B ≤-=x x ，则B A = ，2、已知复数z 满足10)31(=+z i ,则z = 。

3、命题“存在Z x ∈，使032≤++m x x ”的否定是。

4、下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为8时，则其输出的结果是。

5、设A 是满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤4040y x 的区域，B 是满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤444y x y x 的区域；区域A内的点P 的坐标为()y x ,，当R y x ∈,时，则D P ∈的概率为。

6、一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为。

7、某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：分数段 [)80,0[)90,80[)100,90[)110,100人数 361114分数段 [)120,110[)130,120[)140,130[)150,140人数13841那么分数不满110的累积频率是（精确到0.01）8、点),(y x P 在直线04=-+y x 上，则22y x +的最小值是。

9、设[]x 表示不超过x 的最大整数，则x 的不等式[][]03652≤--x x 的解集是。

10、已知数列{}n a 对于任意*,N q p ∈，有q p q p a a a +=+，若521=a ，则=100a 。

11、已知41)6sin(=-απ，则)26sin(απ+= 。

12、函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为。

13、已知点O 在ABC ∆内部，且有54+=，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为。

14、已知过点)3,9(P 的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，则距离AB 最小值为。

高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练3理

规范练(三)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2A ＋cos 2C －cos 2B ＝1＋sin A sinC .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，点D 在AC 边上且BD ⊥AC ，BD ＝15314，求c .[规范解答及评分标准] (1)由cos 2A ＋cos 2C －cos 2B ＝1＋sin A sinC 得1－sin 2A ＋1－sin 2C －(1－sin 2B )＝1＋sin A sinC .即sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝－sin A sinC .(3分) 由正弦定理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3.(6分) (2)由(1)及a ＝3知，b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9. 因为BD ⊥AC ，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin ∠ABC ＝12b ·BD .(9分)所以12×3×c ×32＝12×b ×15314，解得b ＝75c .所以⎝ ⎛⎭⎪⎫7c 52＝c 2＋3c ＋9，解得c ＝5(负值已舍去)．(12分)2．(12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，△PAD 为等边三角形，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∠BAD ＝90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点．(1)求证：平面PAB ⊥平面CDE ；(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为45°，求二面角A —DE —C 的余弦值． [规范解答及评分标准] (1)证明：如图，取AP 的中点为F ，连接EF ，DF .∵E 为PB 的中点，∴EF 綊12AB .又∵CD 綊12AB ，∴CD 綊EF .∴四边形CDFE 为平行四边形．∴DF ∥CE .∵△PAD 为等边三角形，∴PA ⊥DF ，从而PA ⊥CE .(3分) 又PA ⊥CD ，CD ∩CE ＝C ，∴PA ⊥平面CDE . 又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面CDE .(6分) (2)∵AB ∥CD ，PA ⊥CD ，∴PA ⊥AB .∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD . 又∵PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 为PC 与平面PAD 所成的角，即∠CPD ＝45°，∴CD ＝PD . ∵△PAD 为等边三角形，∴PD ＝AD ，∴CD ＝AD . 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝4，则A (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,2,23)，D (0,4,0)，E (4,1，3)， ∴AE →＝(4,1，3)，AD →＝(0,4,0)．(8分)设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AD →＝0，即⎩⎨⎧4x ＋y ＋3z ＝0，4y ＝0.令z ＝－4，则x ＝3，y ＝0.∴n ＝(3，0，－4)．(9分) 由(1)知，平面CDE 的一个法向量为AP →＝(0,2,23)，(10分) ∴cos 〈AP →，n 〉＝AP →·n |AP →||n |＝－25719.(11分)由图可知二面角A —DE —C 的平面角为钝角， ∴二面角A —DE —C 的余弦值为－25719.(12分)3．(12分)某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃的销售，为了了解该地区果园的樱桃销售情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量(单位：万斤)，得到下面的频率分布直方图．(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园中随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园的个数X 的分布列及其数学期望；(2)该电商经过6天的试运营，得到销售量(单位：万斤)的情况统计表如下：n 乘法得回归直线方程为T ^＝1.78n ＋a ^，用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．注：1.前n 天累计总销售量T n ＝∑i ＝1ny i .2．在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作为代表． 3．1斤＝0.5千克．[规范解答及评分标准] (1)由频率分布直方图可得样本中2017年销售量不低于9万斤的果园有(0.10＋0.05)×60＝9(个)，销售量不低于10万斤的果园有0.05×60＝3(个)．(2分)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 36C 39＝521，P (X ＝1)＝C 26×C 13C 39＝1528，P (X ＝2)＝C 16×C 23C 39＝314，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184，∴随机变量X 的分布列为(4分)∴E (X )＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(6分)(2)由运营期间销售量的情况统计表可得前n 天累计总销售量T n (单位：万斤)如下表：∴n －＝6＝3.5，T －＝1.21＋2.52＋3.97＋5.68＋7.70＋10.246＝5.22(万斤)(8分)将样本的中心点(3.5,5.22)代入回归直线方程T ^＝1.78n ＋a ^，得a ^＝－1.01，∴T ^＝1.78n －1.01.(9分)用频率分布直方图中各区间的中点值作为代表，估计该地区2017年的平均销量为4.5×0.05＋5.5×0.15＋6.5×0.20＋7.5×0.30＋8.5×0.15＋9.5×0.10＋10.5×0.05＝7.35(万斤)．由题意，得1.78n －1.01≥14.7，解得n ≥8.83(11分)∵n ∈N *，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝ρcos θ＋2.(1)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求出曲线C 的普通方程；(2)若α＝π4，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．[规范解答及评分标准] (1)直线l 经过定点(－1,1)．由ρ＝ρcos θ＋2得ρ2＝(ρcos θ＋2)2，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简，得y 2＝4x ＋4.(4分) (2)若α＝π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t ，所以直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，所以直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝ρcos θ＋2，ρsin θ＝ρcos θ＋2，得ρ＝ρsin θ.因为ρ≠0，所以sin θ＝1.取θ＝π2，得ρ＝2.所以直线l 与曲线C 的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，记f (x )的最小值为k . (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)是否存在正数a ，b 同时满足2a ＋b ＝k ，1a ＋2b＝4？说明理由．[规范解答及评分标准] (1)不等式f (x )≤x ＋1等价于|x －1|＋|x －2|－x －1≤0. 设函数y ＝|x －1|＋|x －2|－x －1，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <1，－x ，1≤x ≤2，x －4，x >2.令y ≤0，解得23≤x ≤4.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤4.(4分) (2)f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|x －1－x ＋2|＝1，当且仅当(x －1)(x －2)≤0，即1≤x ≤2时取等号，所以f (x )的最小值为1，故k ＝1.(6分)假设存在符合条件的正数a ，b ，则2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab时取等号，又∵2a ＋b ＝1，∴a ＝14，b ＝12.(8分)∴1a ＋2b 的最小值为8，即1a ＋2b>4.∴不存在正数a ，b ，使得2a ＋b ＝1，1a ＋2b＝4同时成立．(10分)。

高三基础知识天天练数学6-2人教版

第6模块第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}，∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}．即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1；当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立．综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}．答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a ，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a. 又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a )上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。

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第3模块第2节[知能演练]一、选择题1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15 C.513D ．－513 解析：⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，∴⎩⎨⎧ sin α＝513，cos α＝－1213或⎩⎨⎧ sin α＝－513，cos α＝1213.∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0.∴sin α＝－513.选D. 答案：D2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于 ( )A ．－33B.33 C ．－ 3 D. 3解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32. 又|φ|<π2，∴cos φ＝12.∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．若α是第三象限角，且cos(75°＋α)＝13，则tan(15°－α)的值为 ( )A ．－223B ．－24C.223D.24解析：cos(75°＋α)＝sin(90°－75°－α)＝sin(15°－α)＝13>0，又∵α为第三象限角， ∴－α为第二象限角．∴－α＋15°为第二象限角．∴cos(15°－α)＝－1－19＝－223. ∴tan(15°－α)＝－24. 答案：B4．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于 ( )A.153B ．－153 C.53 D ．－53解析：在△ABC 中，2sin A cos A ＝23>0， ∴sin A >0，cos A >0. ∴sin A ＋cos A ＝(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋cos 2A ＋2sin A cos A ＝1＋23＝53＝153. 答案：A二、填空题5．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos(α＋π2)＝________. 解析：由已知⇒cos(α＋π2)＝－sin α＝－(－1－cos 2α)＝265. 答案：2656．化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin(－α－2π)＝________.解析：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin(－α－2π) ＝(－sin α)2·(－cos α)·cos(－α)tan α·cos 3α·sin(－α)＝－sin 2α·cos α·cos αsin αcos α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案：1三、解答题7．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ)(n ∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ)＝sin(2nπ＋π＋α)＋sin(－2nπ－π＋α)sin(2nπ＋α)·cos(－2nπ＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4. 8．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)．求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)．解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79，又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝(－43)×(1－718)＝－2227.[高考·模拟·预测]1．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34 D.45解析：由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45，故选D. 答案：D2．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A ＝ ( )A.1213B.513 C ．－513 D ．－1213解析：∵1tan A ＝－125，∴tan A ＝－512，∴π2<A <π，∴cos A ＝－11＋tan 2A＝－1213，选D. 答案：D3．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：注意到sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，且0°<11°<12°<80°<90°，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°，选C. 答案：C4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：∵sin θ<0，tan θ>0，θ在第三象限内，cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案：－355．已知cos θ＝－23，θ∈(π2，π)，求2sin2θ－cos θsin θ的值．解：原式＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝1－cos 2θsin θcos θ＝sin θcos θ. 又cos θ＝－23，θ∈(π2，π)， ∴sin θ＝1－29＝73，2sin2θ－cos θsin θ＝－142. [备选精题] 6．已知函数f (x )＝1－2sin(2x －π4)cos x. (1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．解：(1)由cos x ≠0得x ≠kπ＋π2(k ∈Z)，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠kπ＋π2，k ∈Z . (2)因为tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35，故f (α)＝1－2sin(2α－π4)cos α ＝1－2(22sin2α－22cos2α)cos α＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.。

高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练4理

规范练(四)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos A －a cos B ＝2c .(1)证明：tan B ＝－3tan A ；(2)若b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，且△ABC 的面积为3，求a 的值．[规范解答及评分标准] (1)证明：根据正弦定理，得sin B cos A －cos B sin A ＝2sin C ＝2sin(A ＋B )，∴sin B cos A －cos B sin A ＝2(sin B cos A ＋cos B sin A )，整理，得sin B cos A ＝－3cos B sin A ，∴tan B ＝－3tan A .(6分)(2)由题意，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32. ∵0<A <π，∴A ＝π6，∴tan A ＝33，∴tan B ＝－ 3. ∵0<B <π，∴B ＝2π3，∴C ＝π6，∴a ＝c . 由S ＝12ac sin 2π3＝12×32a 2＝3，得a ＝2(负值已舍去)．(12分) 2．(12分)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试．该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？[规范解答及评分标准] (1)由题意可得，甲、乙两名学生共答对2个问题的概率为 p ＝C 14C 22C 36×C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 24C 12C 36×C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝115.(5分) (2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35， P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15. ∴E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.∴D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.(8分) 设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3.由题意，知Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23. ∴E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )．(11分)∴甲被录取的可能性更大．(12分)3．(12分)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，且DE ＝6，AF ＝2.(1)试在线段BD 上确定一点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ；(2)求二面角A —BE —C 的余弦值．[规范解答及评分标准](1)如图，取BE 的三等分点K (靠近点B )，过点K 作KM ∥ED ，交BD 于点M ，连接KF ，AM ，则有KM ＝13DE ＝2.∵AF ∥DE ，AF ＝2.∴FA ∥KM ，且FA ＝KM .∴四边形FAMK 为平行四边形，∴AM ∥FK .(3分)∴FK ⊂平面BEF ，AM ⊄平面BEF ，∴AM ∥平面BEF .(4分)∵BM BD ＝MK ED ＝13，∴M 为BD 的一个三等分点(靠近点B )．(6分) (2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (3,3,0)，E (0,0,6)，C (0,3,0)，∴EB →＝(3,3，－6)，AB →＝(0,3,0)，BC →＝(－3,0,0)．(7分)设平面AEB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EB →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1＋3y 1－6z 1＝0，3y 1＝0.令z 1＝1，则y 1＝0，x 1＝2.∴平面AEB 的一个法向量为n ＝(2,0,1)．(8分)设平面BCE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2－6z 2＝0，－3x 2＝0. 令z 2＝1，则x 2＝0，y 2＝2.∴平面BCE 的一个法向量为m ＝(0,2,1)．(9分)∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝2×0＋0×2＋1×122＋1·22＋1＝15.(11分)∵二面角A —BE —C 为钝二面角，∴二面角A —BE —C 的余弦值为－15.(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．[规范解答及评分标准] (1)由⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得cos θ＝x 2，sin θ＝y 2. 由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 24＋y 22＝1. 故曲线C 的普通方程为x 24＋y 22＝1.(3分) 由ρ(cos θ－2sin θ)＝6及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x －2y －6＝0.故直线l 的直角坐标方程为x －2y －6＝0.(5分)(2)由于P 为曲线C 上任意一点，可设P (2cos θ，2sin θ)．由点到直线的距离公式，得点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ－2×2sin θ－6|3＝2|cos θ－sin θ－3|3＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－33.(7分) ∵－3－2≤2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－3≤－3＋2， ∴－23≤d ≤＋23，即63－263≤d ≤63＋263. 故点P 到直线l 的距离的最大值为63＋263，最小值为63－263.(10分) 5．[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )；(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>2的解集．(2)若不等式f (x )>2恒成立，求实数a 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|＋|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4，x ≥2，x ，1<x <2，4－3x ，x ≤1.(2分)当x ≥2时，由f (x )＝3x －4>2，得x >2；当1<x <2时，f (x )＝x >2，此时无解；当x ≤1时，由f (x )＝－3x ＋4>2，得x <23. ∴不等式f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <23或x >2.(5分) (2)f (x )＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＝|a |2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2，当且仅当(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2≤0时，等号成立．(7分) ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2≥0，∴f (x )≥|a |2，当且仅当x ＝a 2时，等号成立．(9分) ∴|a |2>2，解得a <－4或a >4. 故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．(10分)。

2019高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练6 理

规范练(六)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010＝S 55＋5. (1)求{a n }的通项公式；(2)若，求数列{b n }的前n 项和T n .[规范解答及评分标准] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d .∵S 1010＝S 55＋5，∴a 1＋a 10210－a 1＋a525＝5，(2分)∴a 10－a 5＝10，∴5d ＝10，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) 解法二：设等差数列{a n }的公差为d .∵S 1010＝S 55＋5，∴10a 1＋10×92d 10－5a 1＋5×4d(2分) ∴5d2＝5，解得d ＝2.(4分)n＋2n 2＋n .(6分) (7分)n ＋2＋n ·2n ＋3，②(8分)n ＋3＝23－2n1－2－n ×2n ＋3＝2n ＋3－8－n ×2n ＋3∴T n ＝(n －1)2n ＋3＋8.(12分)2．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱PC 上一点．(1)若点Q 是PC 的中点，证明：BQ ∥平面PAD ；(2)PQ →＝λPC →，试确定λ的值使得二面角Q —BD —P 的大小为60°. [规范解答及评分标准] (1)证明：如图，取PD 的中点M ，连接AM ，MQ .∵点Q 是PC 的中点，∴MQ ∥CD ，MQ ＝12CD .(1分)MQ ＝AB ，∴四边形ABQM 是平行四边形．∴BQ ∥AM .(3BQ ∥平面PAD .(4分)(2)由AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)．(5分)设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝(x 0，y 0，z 0－1)，PC →＝(0,2，－1)．∵PQ →＝λPC →，∴(x 0，y 0，z 0－1)＝λ(0,2，－1)，∴Q (0,2λ，1－λ)．(7分) 又易证BC ⊥平面PBD ，∴n ＝(－1,1,0)是平面PBD 的一个法向量．(8分) 设平面QBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DB →＝0，m ·DQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2λy ＋－λz ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝2λλ－1y .令y ＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，2λλ－1.(9分)∵二面角Q —BD —P 的大小为60°， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝22·2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝12，解得λ＝3± 6.(11分)∵点Q 在棱PC 上，∴0≤λ≤1，∴λ＝3－ 6.(12分)3．(12分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z )，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：(1)公司规定：当Z ≥95时，产品为正品；当Z <95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P (87.8<Z <112.2)；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X 表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544. [规范解答及评分标准] (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67.(2分)所以随机变量ξ的分布列为(3分)所以E (ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(4分)(2)①由频率分布直方图知，抽取的产品的该项质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100.(5分)s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(6分)所以Z ～N (100,150)，所以P (87.8<Z <112.2)＝P (100－12.2<Z <100＋12.2)＝0.6826.(8分)②由①知，一件产品的该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的概率为0.6826. 依题意知，X ～B (500,0.6826)，(10分) 341.3.(12分)5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一](10分)x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，＝42，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为2倍，得到曲线C 1，写出C 1的极坐标方程； (2)射线θ＝π3与C 1，l 的交点分别为M ，N ，射线θ＝2π3与C 1，l 的交点分别为A ，B ，求四边形ABNM 的面积．[规范解答及评分标准] (1)设曲线C 1上的任意一点为(x ，y )，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y2＝2sin α(α为参数)，则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2分) 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4.(4分)(2)将θ＝π3，θ＝2π3分别代入直线的极坐标方程，得ρN ＝42sin π12，ρB ＝42sin 5π12.(6分) 所以S △OBN ＝12ρB ·ρN ·sin π3＝12×42sin 5π12×42sinπ12×32＝32 3.(8分)因为S △OAM ＝12×4×4×sin π3＝43，所以S 四边形ABNM ＝S △OBN －S △OAM ＝28 3.(10分) 5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －1|.(1)当a ＝0时，求不等式f (x )>x 2＋|x －1|的解集； (2)当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，求a 的取值范围． [规范解答及评分标准] (1)当a ＝0时，原不等式等价于|x |>x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x >x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x >x 2，解得－1<x <0或0<x <1.所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．(4分) (2)因为当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，所以当x ∈R 时，有|2x ＋a |＋|2x －1|≥3－a 成立．(6分) 又因为|2x ＋a |＋|2x －1|≥|2x ＋a －(2x －1)|＝|a ＋1|，(8分) 所以|1＋a |≥3－a ，解得a ≥1. 故a 的取值范围是[1，＋∞)．(10分)。

基础知识天天练数学8-4

第8模块第4节[知能演练]一、选择题 1．把直线y ＝33x 绕原点逆时针转动，使它与圆x 2＋y 2＋ 23x －2y ＋3＝0相切，则直线转动的最小正角是( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析：由题意，设切线为y ＝kx ，∴|1＋3k |1＋k 2＝1，∴k ＝0或k ＝－3，∴k ＝－3时转动最小，∴最小正角为2π3－π6＝π2，选B.答案：B2．若直线将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，但不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[0，12]D ．[12，1]解析：圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆过坐标原点，直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心(1,2)．当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与原点时都不经过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间时也不经过第四象限．当直线过圆心与x 轴平行时，k ＝0；当直线同时过圆心与原点时，k ＝2.所以当k ∈[0,2]时，满足题意．故选A.答案：A3．以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0C ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0D ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0解析：由双曲线方程可得，双曲线的渐近线方程为x 216－y 29＝0，即3x ±4y ＝0，抛物线y 2＝20x 的焦点为(5,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径r ＝3.故圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，选B.答案：B4．定义一个对应法则f ：P ′(m ，n )→P (m ，n )(m ≥0，n ≥0)．现有点A ′(1,3)与B ′(3,1)，点M ′是线段A ′B ′上一动点，按定义的对应法则f ：M ′→M .当点M ′在线段A ′B ′上从点A ′开始运动到点B ′结束时，点M ′的对应点M 所经过的路线长度为( )A.π4B.π3C.π2D.2π3解析：由题意知线段A ′B ′所在直线的方程为：x ＋y ＝4，设M (x ，y )，则M ′(x 2，y 2)，从而有x 2＋y 2＝4，易知A ′(1,3)→A (1，3)，B ′(3,1)→B (3，1)，不难得出∠AOx ＝π3，∠BOx＝π6，则∠AOB ＝π6，点M ′的对应点M 所经过的路线长度为2×π6＝π3，选B. 答案：B 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l 过点P (12，12)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝3，则直线l 的方程为__________．解析：①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，直线l 与圆C 的两个交点坐标为(12，32)和(12，－32)，|AB |＝3，满足题意． ②若直线l 不垂直于x 轴，设直线l 的方程为y －12＝k (x －12)，即kx －y －12k ＋12＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则32＝1－d 2，得d ＝12，12＝|12－k2|k 2＋1，则k ＝0，故所求直线方程为y ＝12.综上所述，所求直线方程为y ＝12或x ＝12.答案：y ＝12或x ＝126．设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线nx －my ＋4＝0对称，m >0，n >0，则mn 的最大值等于__________．解析：曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为 (－1,3)，半径为3的圆．∵点P 、Q 在圆上且关于直线nx －my ＋4＝0对称，∴圆心(－1,3)在直线上，代入得n ＋3m ＝4，又m >0，n >0，则n ＋3m ＝4≥23mn ， ∴0<mn ≤43，当且仅当n ＝3m ＝2时取等号．答案：43三、解答题7．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：用待定系数法求圆的方程，设圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2.设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r .∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2.③解由方程①、②、③组成的方程组得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.8．圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)由两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2， r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是：(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，∵圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0① 作O 1H ⊥AB ，则|AH |＝12|AB |＝2，|O 1H |＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.[高考·模拟·预测]1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：依题意得圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0的距离等于12<1，且0≠0＋1，因此该直线与圆相交且不经过圆心，选B.答案：B2．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为三角形的三边长分别为3,4,5，所以该三角形是直角三角形，其图为如右图所示的Rt △ABC .圆O 是△ABC 的内切圆，可计算得其半径为1，过O 作三条直线EF ，GH ，MN ，分别与△ABC 三边平行，此三条直线将△ABC 分割成6个部分，如右图所示．记半径为1的圆O 1的圆心到三条边AB ，BC ，CA 的距离分别为d 1，d 2，d 3.而圆心O 1在这6个区域时，有(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧d 1<1d 2>1(最多4个公共点)；d 3<1(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧d 1>1d 2>1(最多2个公共点)d 3<1；(Ⅲ)⎩⎪⎨⎪⎧ d 1>1d 2<1(最多4个公共点)；d 3<1(Ⅳ)⎩⎪⎨⎪⎧ d 1<1d 2>1(最多2个公共点)；d 3>1(Ⅴ)⎩⎪⎨⎪⎧ d 1>1d 2<1(最多2个公共点)；d 3>1(Ⅵ)⎩⎪⎨⎪⎧d 1<1d 2<1(最多4个公共点).d 3>1而圆心O 1在线段EF ，GH ，MN 上时，最多有3个公共点，故选B. 答案：B3．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为__________．解析：由题意可设切线的方程为y ＝kx ，再利用圆心(3,4)到切线的距离等于半径5，可求得k ＝12或112，再把切线的方程代入到圆的方程中，得切点坐标，利用两点间距离公式，求出|PQ |＝4.答案：44．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：45．已知圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0(0<a ≤4)的圆心为C ，直线l ：y ＝x ＋m . (1)若m ＝4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(2)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围．解析：(1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0， ∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a ，∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a ，设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，圆心C 到直线l 的距离为d ，m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋4|2＝2|a －2|，t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10，又0<a ≤4，∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的值最大，其最大值为210. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋m |2＝22|2a －m |，∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2＝2a ，∴m ＝2a ±22a ，∵直线l 在圆心C 的下方， ∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2－1， ∵a ∈(0,4]，∴m ∈[－1,8－42]．[备选精题]6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k (－3－4)|1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k2＝|5＋1k (4－a )－b |1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1(52，－12)或P 2(－32，132)．经检验点P 1和P 2满足题目条件.。

人教版五年级下册数学口算天天练(全册)附答案

人教版五年级下册数学口算天天练（全册）附答案引言数学是一门理性与智力的结合体，对于学生的数学素养的培养有着重要的作用。

数学口算作为数学学习中的重要环节，是培养学生计算能力、逻辑思维和注意力的有效方式之一。

为了帮助五年级学生提高数学口算能力，人教版推出了《五年级下册数学口算天天练》教材，并附有详细的答案。

本文档将详细介绍这本教材的内容和使用方法。

教材内容概述《五年级下册数学口算天天练》是以数学口算为主要内容的教材，共分为10个单元，每个单元包含了大量的口算题目和练习题。

教材内容涵盖了五年级下学期的各个知识点，既包含了基础的四则运算练习，也包含了应用题和思维题的训练。

每个单元的题目数量都有所增加，难度也逐渐加大，以适应学生学习的进度和需求。

教材结构《五年级下册数学口算天天练》的教材结构清晰，每个单元由以下几部分组成：单元导言每个单元的开始都有一篇简短的导言，介绍了该单元的主题和要点。

导言部分对学生了解单元内容和目标具有很大的帮助。

口算专题每个单元包含多个口算专题，每个专题都围绕一个具体的数学知识点展开，例如加法进位、减法借位等。

每个口算专题都包含了大量的口算题目，帮助学生理解和掌握知识点。

练习题每个单元的练习题部分包含了多种类型的题目，包括基础练习题、应用题和思维题。

这些练习题既可以帮助学生巩固口算知识，又可以培养学生的应用能力和思维能力。

附答案为了方便学生自主学习和检查答案，教材的最后附有详细的答案。

学生可以通过对照答案，检查和纠正自己的做题错误，以提高学习效果。

使用方法《五年级下册数学口算天天练》教材的使用方法很灵活，可以根据学生的实际情况和个人喜好进行选择。

以下是一些建议的使用方法：1.每天选择一定数量的口算题目进行练习，可以根据自己的口算能力和时间安排来确定每天的练习量。

2.可以按照教材的单元顺序进行学习，每完成一个单元后再进行下一个单元的学习。

也可以根据自己的学习进度和需求，选择性地学习某些单元的内容。

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第9模块第5节
[知能演练]
一、选择题

1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋„＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端
计算所得的项为
( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：当n＝1时，左端＝1＋a＋a2.
答案：C

2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋„＋12n－11)”时，由n＝k(k>1)不等式
成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是
( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.
答案：C
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”第二步归纳假设应该
写成
( )
A．假设当n＝k(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除
B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除
C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除
D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除
答案：D
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时
该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得
( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可
推得n＝k＋1时该命题也成立；若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k时命题也不成立．
答案：C
二、填空题
5．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，„，第n个式子为________．
答案：1－4＋9－„＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋„＋n)．
6．如下图，这是一个正六边形的序列：

则第n个图形的边数为__________．
解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，„，其边数构成等差
数列，则第(n)图的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.
答案：5n＋1
三、解答题

7．在数列{an}中，已知a1＝a(a>1)，且an＋1＝a2n＋12an(n∈N*)，求证：an>1(n∈N)．
证明：①当n＝1时，a1＝a>1，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1)时，不等式成立，即ak>1，

则当n＝k＋1时，ak＋1－1＝a2k＋12ak－1＝(ak－1)22ak.

∵ak>1，∴(ak－1)22ak>0.∴ak＋1>1，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
综合①②知，对一切n∈N*，都有an>1.

8．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝bn1－4a2n(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－
1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知
a1＝1，b1＝－1.

∴b2＝b11－4a21＝13.

a2＝a1·b2＝13.
∴点P2的坐标为(13，13)
∴直线l的方程为2x＋y＝1.
(2)①当n＝1时，
2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，

则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝bk1－4a2k(2ak＋1)

＝bk1－2ak＝1－2ak1－2ak＝1，
∴当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N，都有2an＋bn＝1，
即点Pn在直线l上．
[高考·模拟·预测]
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋
r(b>0且b≠1，b、r均为常数)的图象上．
(1)求r的值．
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)．

证明：对任意的n∈N，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·„·bn＋1bn>n＋1成立．
解：(1)因为对任意的n∈N，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)，
所以得Sn＝bn＋r，当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)
＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，an＝(b－1)bn－1.

(2)当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n，则bn＋1bn＝
2n＋12n，所以b1＋1b1·b2＋1b2·„·bn＋1bn＝32·54·76·„·2n＋1
2n
.

下面用数学归纳法证明不等式b1＋1b1·b2＋1b2·„·bn＋1bn＝32·54·76·„·2n＋12n>n＋1成立．
①当n＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．
②假设当n＝k时不等式成立，即b1＋1b1·b2＋1b2·„·bk＋1bk＝32·54·76·„·2k＋12k>k＋1成立．则
当n＝k＋1时，左边＝b1＋1b1·b2＋1b2·„·bk＋1bk·bk＋1＋1bk＋1＝32·54·76·„·2k＋12k·2k＋32k＋2>k＋1·2k＋32k＋2＝
(2k＋3)24(k＋1)＝4(k＋1)2＋4(k＋1)＋1
4(k＋1)
＝(k＋1)＋1＋14(k＋1)>(k＋1)＋1
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
2．已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N均有a2n≤an－an＋1成立．
(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；

(2)探究an与1n的大小，并证明你的结论．
解：(1)由a2n≤an－an＋1得
an＋1≤an－a2n.
∵在数列{an}中，an>0，∴an＋1>0，
∴an－a2n>0，∴0故数列{an}中的任何一项都小于1.

(2)解法一：由(1)知0

那么a2≤a1－a21＝－(a1－12)2＋14≤14<12，由此猜想：an<1n.
下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时猜想正确．
①当n＝2时，显然成立；

②假设当n＝k(k≥2，k∈N)时，有ak<1k≤12成立．

那么ak＋1≤ak－a2k＝－(ak－12)2＋14<－(1k－12)2＋14＝1k－1k2＝k－1k2∴当n＝k＋1时，猜想也正确．
综上所述，对于一切n∈N*，都有an<1n.
解法二：由a2n≤an－an＋1，
得0∵0

∴1ak＋1≥1ak(1－ak)＝1ak＋11－ak，

∴1ak＋1－1ak≥11－ak>1.
令k＝1,2,3，„，n－1得：
1a2－1a1>1，1a3－1a2>1，„，1an－1
a
n－1

>1，

∴1an>1a1＋n－1>n，∴an<1n.

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