二分类讨论思想方法
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法知识点导读也是科学研究中最常用、最基本的方法．数学中的分类讨论贯穿知识的各个部分，形式多样、综合性强、逻辑严谨，在解数学题中，分类讨论是一种十分常见和重要的思想方法．那么，什么是数学中的分类讨论呢？一般来说，当一个问题所给的对象不宜进行统一的研究或推理，只有按某一个标准用分组的形式才能方便地表示出来，那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)，并对其中的每一类分别进行研究，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用，它将一个数学问题化整为零，把一个复杂的问题转化为单一的问题，从而“各个击破”，最终使整个问题得以顺利解决．高中数学中经常遇到需要进行分类讨论的问题，归纳起来有以下几种常见类型：一、由数学概念引起的分类有许多数学概念本身就是分类定义的，例如数的绝对值的概念：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (当a ≥0时)－a (当a ＜0时)这样，当我们遇到求解与绝对值|a |有关的问题时，就要分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．二、由有关数学的性质、运算法则、定理、公式引起的分类如在判断两直线是否相互垂直时，要讨论其斜率是否存在；又如指数、对数函数的性质在应用时，要分别针对它们底数的取值进行讨论等．再如等比数列a, aq, aq 2, …， aq n －1，…的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q n )1－q (当q ≠1时)na (当q ＝1时)因此，遇到公比q 是字母或含字母的表达式时，就要讨论公比等于1及公比不等于1的两种情形．三、涉及有关不确定的情况时引起的分类如分段函数、图形、特殊要求等在计算或列式时需要分类讨论，一般是综合的题型．四、由参数变化而引起的分类运用分类讨论的思想解数学题时，一般分为以下四个步骤： (1) 确定讨论的对象和所要讨论对象的范围．(2) 合理分类就是将讨论对象的范围划分子区域，划分子区域时应符合以下三个条件： ① 确定分类的标准一致，不重复、不遗漏； ② 划分子区域只能按同一标准进行； ③ 区域分类应逐级进行．(3) 严格按层次逐级或逐段讨论，不能越级．(4) 归纳总结，综合出结论．其中，确定分类的标准是分类讨论的关键． 范例分类与解题分析【例1】 已知集合A ＝{1, x 2}，集合B ＝{1, 3, x }，且A B ，求x 的值．【解】 ①当x 2＝3，即x ＝±3时，A B .②当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x x ≠1即x ＝0时，A B .所以x ＝±3或x ＝0.【点评】 注意真子集概念中“B 中至少有一个元素不属于A ”，可以认为A 的元素个数至少比B 的元素个数少1个，又集合的元素具有互异性，即同一个元素在集合中只出现一次，故在第2种情形中要求x ≠1.二、根据运算的要求进行分类【例2】 解关于x 的不等式：2(a ＋1)x －2a ＞ax ＋4.【分析】 原不等式可化为(a ＋2)x ＞2(a ＋2)，因为x 的系数中含有字母a (a 称为参数)，所以应分成a ＋2＞0，a ＋2＝0，a ＋2＜0三种情况来解答．【解】 原不等式可化成(a ＋2)x ＞2(a ＋2)． ①当a ＞－2时，不等式解集为{x |x ＞2}； ②当a ＝－2时，原不等式为0·x ＞0，原不等式解集为∅； ③当a ＜－2时，不等式解集为{x |x ＜2}． 【点评】 数学中的某些运算有着严格的运算要求．如实数集中偶次根式的被开方数必须非负，方程或不等式的两边同乘(同除)的一个数不能为零，不等式两边同乘(同除)一个负数不等号要改变方向等．凡涉及到运算要求的问题，求解时应按照运算的要求进行分类讨论．三、根据定理、公式、法则的限制条件进行分类【例3】 设{a n }是以d 为公差的等差数列，求3a 1＋ 3a 2＋3a 3＋…＋3a n .【分析】 当数列为等比数列且其公比不确定时，在求前n 项和时，必须对公比是否为1分成两种情况进行讨论．【解】 设b n ＝3a n ，∵ b n ＋1b n ＝3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝3d∴ {b n }是以b 1＝3a 1为首项，以q ＝3d 为公比的等比数列 当q ＝3d ＝1，即d ＝0时， 3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1·n ，(n ∈N ＋)当q ＝3d≠1，即d ≠0时，3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1(1－3nd )1－3d，(n ∈N ＋)．【点评】 数学中的某些定理、公式、法则等均受到一些条件的限制，如复数的模为非负实数；公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中，q ≠1；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有实根的充要条件是b 2－4ac ≥0，无实根的充要条件是b 2－4ac ＜0等，在求解这类问题时，可根据相应的限制条件进行分类讨论．四、根据函数的性质进行分类【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N ＋)在区间(0, ＋∞)内是减函数，且图像关于y 轴对称，求函数解析式．【解】 由于幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，所以可得3m －7＜0.解得m ＜73.又∵ m ∈N ＋， ∴ m ＝1, 2.当m ＝1时，函数的解析式为y ＝x －4，是偶函数，其图象关于y 轴对称．当m ＝2时，函数的解析式为y ＝x －1，是奇函数，其图象关于原点对称，∴ m ＝2(舍去)．因此，所求函数的解析式为y ＝x －4.【点评】 幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，据此可定出m 的取值范围，再由m ∈N ＋及该幂函数为偶函数(图象关于y 轴对称)，进一步确定m 的值．五、根据图形相对位置的变化特征进行分类【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，写出y 与自变量x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图象．【分析】 △ ABP 的面积由于点P 的运动，函数关系式共分两个部分来求解，分别为点P 在BC 上和点P 在CD 上．【解】 当点P 由B →C 运动时，PB ＝x ，则S △ABP ＝12×AB ×PB ＝2x ，且x ∈；当点P 由C →D 运动时，S △ABP ＝12×AB ×BC ＝124×2＝4，且x ∈(2,4]．∴综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，4，x ∈x ∈(2，4]，且该函数关系式的图像如图所示．【点评】 此例的求解是根据图形的位置特征进行分类讨论的，对于这类与图形的位置特征有关的数学问题，求解时可根据图形的位置特征进行分类讨论．六、根据参数的取值进行分类【例6】 试根据k 的不同取值，讨论方程kx 2＋y 2＝1所表示的曲线形状．【分析】 根据不同曲线方程对参数的要求，可对方程中参数m 的取值进行分类，求得曲线的标准方程，从而确定出方程所表示的不同曲线．【解】 当k ＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1表示两条垂直于y 轴的直线；当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示以原点为圆心，以1为半径的圆；当k ≠0且k ≠1时，方程为x21k＋y 2＝1；当1k＞1，即0＜k ＜1时，表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0＜1k 1，即k ＞1时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当1k＜0，即k ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线． 【点评】 在讨论曲线方程时，一定要掌握不同曲线方程的特征，并按照不同曲线方程的要求进行讨论，然后从一般到特殊，进行分类讨论，可先讨论直线、圆，然后再讨论抛物线、椭圆、双曲线．【例7】 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．【分析】 因x 2的系数a 2－1可以等于0也可以不等于0，因此对a 2－1是否等于0应分类讨论．【解】 (1)若a 2－1＝0，则a ＝－1或a ＝1 因a ＝1符合题意，而a ＝－1不符合题意 ∴a ＝1；(2)若a 2－1≠0则由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0(a －1)2＋4(a 2－1)<0∴－35<a<1 综合(1)(2)得，a 的取值范围是(－35，1]．【点评】 由于参数的取值不同，问题的表述也不相同．因此只有对参数进行分类才能根据问题的不同表述分别列式求解．【举一反三】 对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，由题意得－2<0.符合题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a <0(2a )2＋4a (a ＋2)<0，解之得－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围(－1,0]．【例8】 已知函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【分析】 因a 的不同取值，对数函数y ＝log a x 在[1, 2]上的单调性不同，因此必须对a 进行分类讨论．【解】 (1)若a>1由已知得log a 2－log a 1＝2∴log a 2＝2 ∴a 2＝2 ∴a ＝2； (2)若0<a<1由已知得log a 1－log a 2＝2∴log a 12＝2 ∴a 2＝12 ∴a ＝22综合(1)(2)得a ＝2或a ＝22.【点评】 由于参数的取值不同，对数函数y ＝log a x 的单调性也不相同，因此只有对a 进行分类，才能利用函数的单调性列式求解．七、根据求解数学问题结论的多样性进行分类【例9】 根据a 的不同取值，求函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的单调区间．【分析】 f (x )可能为一次函数，也有可能为二次函数，而当f (x )为二次函数时，可根据抛物线的开口方向及对称轴的位置，讨论其单调区间．【解】 当a ＝0时，f (x )＝x ＋1，∴ f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)．当a ≠0时，f (x )为二次函数，对称轴为x ＝－12a，当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ， 当a ＜0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ，递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 【点评】 一次函数、指数函数、对数函数等在其定义域内的单调性都有两种可能性，二次函数的单调性不仅要考虑抛物线的开口方向，还要考虑对称轴的位置．综合训练1．A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，B A ，则a 的值是( )A ．－1,0, 13B ．－1, 13C ．－13，0,1D ．－13，1【分析】 A ＝{－1,3}当B ＝∅时，方程ax －1＝0无解，a ＝0 当B ＝{－1}时，－a －1＝0，a ＝－1当B ＝{3}时，3a －1＝0，a ＝13 a 的值是－1, 0, 13.2．在同一坐标中，y ＝x a和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )A B C D3．已知m ∈R ，且(m 2－8m ＋7)＋(m 2－1)i ＝|(2－23i)2|，则m ＝( ) A ．－1或1 B ．－1 C ．1或7 D ．7【分析】 |(2－23i)2|＝|8＋83i|＝16 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋7＝16m 2－1＝0解得m ＝－1.4．顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±12x 的双曲线的标准方程是( )A.x 29－4y 29＝1或y 29－x 236＝1B.y 29－4x 291或x 29－y 236＝1C.x 29－4y 29 1D.y 29－x236＝1【分析】 2a ＝6，a ＝3当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a ＝±12x, b a ＝12 b ＝32双曲线的标准方程是x 29－4y29＝1.当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a b ＝±12x ，a b ＝12， b ＝6双曲线的标准方程是y 29－x236＝1.二、填空题5．设A ＝{1,2,3}，B ＝{3, lg a }，若B ⊆A ，则a ＝__10或100________. 【分析】 由题得lg a ＝1或lg a ＝2，∴ a ＝10或a ＝100.6．已知π2＜α＜3π2，则|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝_____0___.【分析】 π2＜α＜π时，|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝0；π＜α＜3π2|tan α|tan α＋|sin α|sin α0.7．若log a 45＜1，则a 的取值范围是___(0，45)∪(1，＋∞)_______．【分析】 由题意，得log a 45＜1＝log a a ，则当a ＞1时，y ＝log a x 是单调增的，∴a ＞45，即a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是单调减的，∴a ＜45，即0＜a ＜45.综上所述，a 的取值范围为(0，45)∪(1，＋∞)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞03－x ，x ≤0，则xf (x )＞0的解集是___⎝⎛⎭⎫12，＋∞_______．【分析】 当x ＞0时，x (2x －1)＞0，即x ＞12或x ＜0 ∴x ＞12.当x ≤0时，x (3－x )＞0，解为∅.9．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝2，∠C ＝30°，则b ＝____2或4____.【分析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，32＝12＋b 2－443b，b 2－6b ＋8＝0，b ＝2或4.10．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴为8，短轴为4，则椭圆方程是___x 216＋y 24＝1或y 216＋x24＝1_____． 【分析】 若焦点在x 轴上，则椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上则椭圆方程为y 216＋x241.11．平行于直线3x －4y －20＝0，且和它相距3个单位的直线方程是__3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0______．【分析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意知两直线间的距离d ＝|－20－m |5＝3，则m ＝－5或－35.三、解答题12．已知集合A ＝{1, p, p 2}，集合B ＝{1, 1－q, 1－2q }，且A ＝B ，求p 的值．【解】 因为A ＝B .所以有⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1－q p 2＝1－2q ①或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q p 2＝1－q ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＝2－2qp 2＝1－2q ⇒p 2－2p ＝－1⇒p ＝1(舍去)．由②得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q 2p 2＝2－2q ⇒2p 2－p ＝1⇒p ＝－12或p ＝1(舍去)．所以p ＝－12.(舍去p ＝1是因为集合中的元素是互异的)13．求与双曲线x 22y 2＝1有两个公共焦点，且过点(3，2)的圆锥曲线的方程．【解】 双曲线x 22y 2＝1的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)当圆锥曲线为椭圆时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＋4b 2＝1a 2－b 2＝3 得： a 2＝9，b 2＝6，椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.当圆锥曲线为双曲线时，设其方程为x 2a 2y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝3得： a 2＝1, b 2＝2，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.14.函数y ＝a －b cos3x 的最大值是6，最小值是－2，求函数y ＝cos πxa＋b 的最小正周期与最小值．【解】 当b ≥0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6a －b ＝－2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是3；当b ＜0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝6a ＋b ＝－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4，函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是－5.15．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 为BC 或DC 上一动点，设AP 与矩形ABCD 所围成的三角形面积是S ，从点A 沿矩形周界且经过B (或再经过点C )到P 的距离是x ，试用解析式将S 表示为x 的函数．图(1) 图(2) 第15题图【解】 如P 在BC 间，AB ＋BP ＝x ，PB ＝x －4，S ＝12AB ·BP ＝12×4(x －4)＝2x －8，此时，x ∈(4,7]；如P 在DC 间，AB ＋BC＋CP ＝x ，CP ＝x －7，DP ＝DC －CP ＝4－(x －7)＝11－x ，S ＝12AD ·DP ＝12×3×(11－x )＝－32x ＋332此时x ∈(7,11)，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8 x ∈(4，7]－32x ＋332x ∈(7，11)。
分类讨论的思想方法
b 1 时， f (x) x2 ln(x 1) ，令 h(x) x3 f (x) ，则
例
8：已知函数
f
(x)
2ax x2
a2 1
1
(
x
R)
，其中
a
R
．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值．
内为减函数．
函数 f (x) 在 x1 a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 1 ．
函数
f
(x)
在
x2
1 a
处取得极小值
f
1 a
，且
f
1 a
a2 ．
例 9：设函数 f (x) x(x a)2 （x∈R），其中 a∈R，
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值；。
g(x) 在 (0, ) 上为增函数， x 0 时， g(x) g(0) 0 ，即
f (x) ax 。
2）若 a 2 ，方程 g '(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 2
4
，此时若
x
(0,
x1 )
，则
g
'( x)
0
，故
g(x)
在该区
间为减函数，因此 g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax
解：（1）设 r 为方程的一个根，即 f (r) 0 ，则由题设得 g( f (r)) 0 ．于是，
g(0) g( f (r)) 0 ，即 g(0) d 0 ． 所以， d 0 ． （2）由题意及（1）知 f (x) bx2 cx ， g(x) ax3 bx2 cx ．
分类讨论思想总结
分类讨论思想总结讨论分类思想总结分类思想是一种认知方式，通过将事物和现象按照一定的标准分成不同的类别，从而使得人们可以更加系统和有序地理解和处理复杂的世界。
分类思想贯穿于人类的各个领域和学科，如自然科学、社会科学、哲学等，具有重要的理论价值和实践意义。
分类思想的基本原则是以内涵和外延两个维度来确定类别，内涵是指所类别的核心特征，外延是指符合该特征的各种具体事物和现象。
在分类思想中，内涵和外延具有不可分割的关系，相互作用，对整个分类体系的合理性和有效性起着至关重要的作用。
分类思想的实质就是通过概念的界定来建构概念体系。
在概念的界定中，需要考虑两个方面的问题：一是确定概念的内涵，即概念的核心特征和基本属性；二是确定概念的外延，即该概念所包含的具体事物和现象。
在分类思想的实践中，内涵的确定依靠于抽象和理论的构建，外延的确定则依赖于实证和经验的支持。
分类思想在自然科学领域中有着广泛的运用。
例如，在生物学中，通过对不同生物进行分类，可以形成生物分类体系，帮助科学家们更好地理解和研究生物的进化和发展规律。
在化学中，通过对元素进行分类，形成了元素周期表，帮助科学家们更好地理解和研究化学元素的性质和规律。
在物理学中，通过对物质进行分类，帮助科学家们更好地理解和研究物质的构成和变化规律。
分类思想在社会科学领域中也有着重要的作用。
例如，在经济学中，通过对不同行业、不同市场和不同消费群体进行分类，可以形成经济学的分类体系，帮助经济学家们更好地理解和研究经济现象的规律。
在政治学中，通过对不同政治制度、不同政党和不同政府进行分类，形成了政治学的分类体系，帮助政治学家们更好地理解和研究政治现象的规律。
分类思想在哲学领域中也发挥着重要的作用。
例如，在形而上学中，通过对实在事物的分类，揭示了事物的根本性质和基本规律。
在认识论中，通过对认识对象的分类，揭示了认识的边界和局限性。
在逻辑学中，通过对命题和命题关系的分类，揭示了命题逻辑和谓词逻辑的结构和规则。
分类讨论思想
分类讨论思想参考资料：百度百科1定义每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
2分类时间当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。
分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。
当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。
分类讨论的原则是不重复、不遗漏。
讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。
3分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
4常见题目近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。
在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.个人水平太低。
5思想运用“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
分类讨论思想
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之 处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论 分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 分类讨论思想又称 要研究的数学对象划分为若干不同的情形， 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位， 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点， 度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现， 某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 未表明不等式的次数， 参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［ 上的最大值. 分析 求 最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时 是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 是二次函数，
分类讨论思想
• 对收集到的素材进行筛选、整理和分类 • 建立素材数据库，便于后续分析讨论
运用分类讨论方法进行分析讨论
运用分类讨论方法
• 根据已确定的分类标准对素材进行分析讨论 • 注意多角度和多层次的分析讨论
得出结论和建议
• 根据分析讨论的结果，得出结论和建议 • 评估结论和建议的可行性和有效性
02
分类讨论思想的实施步骤与方法
确定讨论主题与分类标准
确定讨论主题
• 选择具有代表性和针对性的问题 • 确保问题具有可操作性和可解决性
确定分类标准
• 根据问题的性质和特点制定分类标准 • 分类标准应简洁明了，便于实际操作
收集与整理分类讨论素材
收集分类讨论素材
• 通过文献检索、实地调查、访谈等方式收集素材 • 确保素材的真实性和可靠性
• 可以追溯到古代哲学家亚里士多 德 • 在文艺复兴时期得到进一步发展 -近现代广泛应用于科学、工程、社 会科学等领域
• 东方文化中的“分而治之”策略 • 西方文化中的“案例分析”方法
分类讨论思想在解决问题中的应用
分类讨论思想在问题解决过程中的应用
• 首先，确定问题的主题和分类标准 • 然后，收集和整理相关的分类讨论素材 • 最后，运用分类讨论方法进行分析讨论
分类讨论思想在未来可能的发展机遇
• 如何利用新技术和新方法提高分类讨论的效果 • 如何拓展应用领域和应用场景，发挥分类讨论思想的潜 力
如何应对分类讨论思想未来的挑战
应对分类讨论思想未来的挑战
• 培养信息素养和创新能力 • 提高团队协作和沟通能力
发挥分类讨论思想在未来发展的优势
• 为决策者提供有价值和有深度的信息支持 • 为解决复杂问题和应对不确定性提供新思路和方法
“二次根式”中的数学思想方法
“二次根式”中的数学思想方法一、分类讨论的思想方法有些问题包含的对象比较复杂，很难用一种情况概括它的全貌，这时往往按照一种标准把问题分成几类，分别进行讨论，再综合起来进行说明，这种思想方法称为分类讨论思想。
例1 已知a 是实数，化简：22(2)(1)a a +--。
分析 因为2a +和1a -的符号不能确定，所以可以令20a +=，则2a =-，令10a -=，则1a =，然后分以下三种情况讨论2a ≤，21a -<≤，1a >，最后化简。
解 22(2)(1)21a a a a +--=+--。
分三种情况：①当2a ≤-时，原式2[(1)]213a a a a =-----=--+-=-，②当21a -<≤时，原式2[(1)]2121a a a a a =+---=++-=+，③当1a >时，原式2(1)213a a a a =+--=+-+=。
点评 本题运用了“0”点取值法，即令要讨论的每个代数式等于0，求出字母的值，然后分清况化简，体现了分类讨论思想方法的运用。
二、数形结合思想数形结合思想就是数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决。
在进行二次根式的化简时，可以利用数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简。
例4 实数a 在数轴上的位置如图所示，试化简22(4)(11)a a -+-。
分析 先看实数a 在数轴上的位置，得出a 的取值范围为510a <<，然后确定(4)a -和(11)a -的正负：40a ->，110a -<再开方化简。
解 22(4)(11)4114117a a a a a a --=-+-=-+-=点评 先将二次根式转化为绝对值问题，然后根据数轴上各点的位置确定代数式的正负，再将绝对值符号进行化简。
三、整体思想整体思想是一种重要的思想方法，它把研究对象的一部分(或全部)视为整体，在解题时，则把注意力和着眼点放在问题整体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的计算，使问题得以简化。
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述分类讨论是高中数学解题教学中常用的一种思想方法，通过将问题按照不同情况进行分类讨论，然后分别求解，最终得到问题的答案。
分类讨论思想培养是数学教学中一项非常重要的任务，它需要教育者精心设计教学内容和方法，引导学生不断掌握分类讨论思想，并逐渐形成自主分析问题、归纳总结的能力。
一、强调分类思想的重要性在高中数学解题教学中，我们应该向学生灌输强烈的分类思想，让学生认识到分类思想是解决复杂问题的有效手段。
举个例子，当一个问题中有多个变量或条件时，我们可以考虑将问题按照每个变量或条件进行分类，然后分别讨论，这样就可以轻松解决问题。
因此，要让学生意识到分类思想的重要性，鼓励他们在解决问题时多考虑分类可能性，从而增加解题的成功率。
二、多样化分类方法分类方法多样化是分类讨论思想的重要表现之一。
教育者应该引导学生在分类时采用不同的方法，包括部分分、条件分、逆向分析等多种方法。
例如，在解决几何问题时，我们可以采用平面几何、向量几何、解析几何等不同的分类方法，这样可以使问题更加清晰易懂，便于解决。
同时，多样化的分类方法有助于拓宽学生的思维视角，激发学习兴趣，提高分类思想的熟练度。
三、培养学生独立思考的能力分类讨论思想最终要达成的目的，是希望学生能够在面对新的问题时，能够独立地进行分类分析，提出可行性方案，并得出正确的结论。
因此，在高中数学解题教学中，我们应该注重培养学生的自主思考能力。
这需要教育者引导学生分析问题的方法，最终让学生通过多次实践逐渐形成自己独立思考的习惯，从而提高学生的解题能力和创造力。
简而言之，在高中数学解题教学中要注重分类讨论思想的培养，强调分类思想的重要性，注重分类方法多样化，培养学生独立思考的能力。
只有如此，才能助力高中数学解题教学，促使学生在数学学习中取得好的成果，最终在学业上取得成功。
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二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.02.若a>0且a≠1，p＝loga(a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。A.p＝qB.pqD.当a>1时，p>q；当03.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。
4.若θ∈(0,π2)，则limn→∞cossincossinnnnnθθθ＋θ−的值为_____。A.1或－1B.0或－1C.0或1D.0或1或－15.函数y＝x＋1x的值域是_____。A.[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,+∞)D.[-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。A.893B.493C.293D.493
或893
7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。A.3x－2y＝0B.x＋y－5＝0C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能确定【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；2小题：对底数a分a>1、03小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；4小题：分θ＝π4、05小题：分x>0、x<0两种情况，选B；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。Ⅱ、示范性题组：例1.设00且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。【解】∵011当00，loga(1＋x)<0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)>0;2当a>1时，loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0；由①、②可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|。【注】本题要求对对数函数y＝logax的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①.C⊂A∪B且C中含有3个元素；②.C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】C121·C82＋C122·C81＋C123·C80＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C203－C83＝1084。例3.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和。
①.证明：lglgSSnn++220，使得lg()lg()ScScnn−+−+22＝lg（Sn+1－c）成立？并证明结论。(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。【解】设{an}的公比q，则a1>0，q>0①．当q＝1时，Sn＝na1，从而SnSn+2－Sn+12＝na1(n＋2)a1
－(n＋1)2a12＝－a12<0；
当q≠1时，Sn＝aqqn111()−−，从而
SnSn+2－Sn+12＝aqqqnn1222111()()()−−−+－aqqn1212211()()−−+＝－a12qn<0；由上可得SnSn+2lglgSSnn++2
2②.要使lg()lg()ScScnn−+−+22＝lg（Sn+1－c）成立，则必有(Sn
－c)(Sn+2－c)＝(Sn+1－c)2,
分两种情况讨论如下：当q＝1时，Sn＝na1，则(Sn－c)(Sn+2－c)－(Sn+1－c)2＝(na1－c)[(n＋2)a1－c]－[(n＋1)a1－c]2＝－a12<0
当q≠1时，Sn＝aqqn111()−−，则(Sn－c)(Sn+2－c)－(Sn+1－c)2
＝[aqqn111()−−－c][aqqn1211()−−+－c]－[aqqn1111()−−+－c]2＝－a1qn[a1－c(1－q)]∵a1qn≠0∴a1－c(1－q)＝0即c＝aq1
1−
而Sn－c＝Sn－aq11−＝－aqqn11−<0∴对数式无意义由上综述，不存在常数c>0,使得lg()lg()ScScnn−+−+22＝lg（Sn+1－c）成立。【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明loglog..050522SSnn++>log05.Sn+1，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例4.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当a>0时，f(x)＝a（x－1a）2
＋2－1a
∴111220afa≤＝≥()−+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<−>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪afaa()＝
或14416820afa≥
＝≥()−+
⎧
⎨⎪
⎩⎪
∴a≥1或1212；
当a<0时，fafa()()1220416820＝≥＝≥−+−+⎧⎨⎩，解得φ；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a>12。【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区
14x
14x间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例5.解不等式()()xaxaa+−+4621>0(a为常数，a≠－12)【分析】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－12【解】2a＋1>0时，a>－12；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，x2>0，解得：x≠0；当－120，解得:x<6a或x>－4a；当a>－12时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－12－4a；当a>－12时，6a【注】本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。例6.设a≥0,在复数集C中，解方程：z2＋2|z|＝a。(90年全国高考)