2017届中考数学 考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第15讲 三角形的基础知识试题
安徽省2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第1
第18讲 解直角三角形1．(2016·亳州模拟)如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( C ) A.13 B.12 C.33 D.32 2．(2016·芜湖南陵县模拟)如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是( A ) A.34 B.43 C.23 D.323．(2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC4．(2014·巴中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝513，则tanB 的值为( D )A.1213 B.512 C.1312 D.1255．(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( A ) A.11－sin α米 B.11＋sin α米 C.11－cos α米 D.11＋cos α米6． (2016·白银)如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是92．7．(2016·岳阳)如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了100米．8．(2016·灵璧县模拟)某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹，组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆，渡江战役纪念馆实物如图1所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图2，经查资料，获得以下信息：斜坡AB 的坡比i ＝1∶3，BC ＝50 m ，∠ACB ＝135°.求AB 及过A 点作的高是多少？(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过A 点作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D. ∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，即△AD C 为等腰直角三角形． 设AD ＝x ，则CD ＝x ，在Rt △ADB 中，BD ＝50＋x ，由斜坡AB 的坡比i ＝1∶ 3 ，得x∶(x＋50)＝1∶3， 解得x≈68.5，即AD ＝68.5 m.∵i ＝1∶3，∴∠ABD ＝30°. ∴AB ＝2AD ＝137.0 m.答：斜坡AB 长137.0m ，馆顶A 高68.5 m.9．(2016·芜湖南陵县模拟)国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度h 为2 001米，在点A 测得高华峰峰顶F 点的俯角为30°，保持方向不变前进1 200米到达B 点后测得峰顶F 点的俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度是多少米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点F 作FC⊥AB 交AB 延长线于点C ， 设CF ＝x. 在Rt △BCF 中，∵∠CBF ＝45°，∴BC ＝CF ＝x . 在Rt △ACF 中，∵tan30°＝CF AC， ∴AC＝CFtan30°＝3x.∵AB ＝AC －BC ＝1 200， ∴3x －x ＝1 200，解得x ＝1 2003－1＝600(3＋1)． ∴DF ＝h －x ＝2 001－600(3＋1)＝1 401－6003≈362(米)． 答：钓鱼岛的最高海拔高度约是362米 .10．(2016·繁昌县模拟)将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．图1 图2解：过点P 作PN⊥AB 于点N.由题意，得∠ABP＝30°，AB ＝8 cm ， ∴AP ＝4 cm ，BP ＝AB·cos30°＝4 3 cm. ∴NP ·AB ＝AP·BP.∴NP ＝AP·BP AB ＝4×438＝23(cm)．∴9－23≈5.5(cm)．答：容器中牛奶的高度约为5.5 cm.11． (2016·永州)下列式子错误的是( D ) A ．cos40°＝sin50° B ．tan15°·tan75°＝1C ．sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30°12．(2016·巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10°米D ．AB ＝ 1.2cos10°米13．(2016·福州)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 2提示：连接AE ，CE ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF ＝60°，AE ＝3a ，EB ＝2a ，∴∠AEB ＝90°，∴tan ∠ABC ＝AE BE ＝3a 2a ＝32.14．(2016·淮北濉溪县模拟)如图，大楼AN 上悬挂一条幅AB ，小颖在坡面D 处测得条幅顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E 处，然后向大楼方向继续行走10米来到C 处，测得条幅的底部B 的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N 处20米．已知坡面DE ＝20米，山坡的坡度i ＝1∶3(即tan ∠DEM ＝1∶3)，且D ，M ，E ，C ，N ，B ，A 在同一平面内，E ，C ，N 在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：过点D 作DH⊥AN 于H ，作DF⊥ME 于F. ∵坡面DE ＝20米，山坡的坡度i ＝1∶3， ∴DF ＝10米，EF ＝103米．∵DH ＝EF ＋EC ＋CN ＝(103＋30)米，∠ADH ＝30°， ∴AH ＝33DH ＝(10＋103)米． ∴AN ＝AH ＋DF ＝(20＋103)米． 又∵∠BCN＝45°， ∴CN ＝BN ＝20米．∴AB ＝AN －BN ＝103米≈17米． 答：条幅的长度约为17米．15．(2016·连云港)如图，在△ABC 中，∠C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝18.(1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)解：(1)过A 作AD⊥BC，交BC 的延长线于D ， 在Rt △ADC 中，AC ＝4，∠ACD ＝30°，∴AD ＝12AC ＝2，CD ＝AC·cos30°＝4×32＝2 3.在Rt △ABD 中，tanB ＝AD BD ＝2BD ＝18，∴BD ＝16.∴BC ＝BD －CD ＝16－2 3.(2)在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连接AM. ∵∠ACB ＝150°，∴∠AMD ＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋23＝12＋3≈0.3.16．(2016·资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B ，C 两地相距120海里．(1)求出此时点A 到岛礁C 的距离；(2)若“中国海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A′时，测得点B 在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)解：(1)延长BA ，过点C 作CD⊥BA 延长线于点D ， 由题意可得∠CBD＝30°，BC ＝120海里， 则DC ＝60海里．∴cos30°＝DC AC ＝60AC ＝32，解得AC ＝40 3.答：点A 到岛礁C 的距离为40 3 海里．(2)过点A′作A′N⊥BC 于点N ，A ′E ⊥BD 于点E ，可得∠BA′A＝45°，∠1＝30° ∠CBA＝30°，∠A ′BA ＝15° ∠2＝15°，∴A ′B 平分∠CBA，∴A ′N ＝A′E.设AA′＝x ，则A′E＝32x ， ∴CA ′＝2A′N＝2×32x ＝3x. ∵AC ＝CA′＋AA′，即3x ＋x ＝403， 解得x ＝(60－203)．答：此时“中国海监50”的航行距离为(60－203)海里．17．(沪科版九下教材P132T8变式)(2016·安徽利辛中疃模拟)“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN ＝60°，BC ＝200米．此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：此车没有超速． 理由：过C 作CH⊥MN.∵∠CBN ＝60°，BC ＝200米， ∴CH ＝BC·sin60° ＝200×32＝1003(米)， BH ＝BC·cos60°＝100(米)． ∵∠CAN ＝45°，∴AH ＝CH ＝1003米．∴AB ＝AH －BH ＝1003－100≈73(米)．∵60千米/小时＝503米/秒，∴735＝14.6米/秒＜503≈16.7米/秒． ∴此车没有超速．。
中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形单元测试(四)图形的初步
安徽省201７年中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试(四)图形的初步认识与三角形试题编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（安徽省2017年中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试(四）图形的初步认识与三角形试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共１0个小题，每小题４分，满分40分)题号123４5678９１０选项D B C BＡCＣB A C1.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ B )2．下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是（Ｄ)A.１，1,２Ｂ.1，3，4 C.２，3，６D．4，５,８3．若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶４，则这个三角形是（ A )A．锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形Ｄ．等腰三角形４.如图，在△ABC中,点D、Ｅ、F分别是三条边上的中点，∠B=45°，∠C=５５°，则∠EFＤ=( A ）A.80°B.100°C．75° D.65°5.如图所示,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，连接BＥ交ＣD于点O,且Ｏ点是ＣＤ的中点,连接AO,下列结论不正确的是（ C ）Ａ．AD=DＥB．△BＯC≌△EＯD C．△AOB≌△EＯD D．△ＡOD≌△BOC６．在△ＡBC中,∠Ｃ＝９0°,a,b,c分别为∠A,∠B，∠C的对边，下列各式成立的是( Ｄ)A.b＝a·sinＢB.a＝b·cｏｓB Ｃ.a=b·ｔanB D．b=a·taｎB7.(201６·安徽模拟)如图,已知一块直角三角形的水泥平地,∠ＡCB＝90°,AC=60米，BC＝8０米，点D是AB边上的一点，从C点直接走到D点的距离为ｘ米，则ｘ的取值范围为（ C ）A．6０<x＜80 B.６0≤ｘ≤８０C．48≤x≤80 Ｄ．４8<x〈608．(2016·合肥十校联考模拟）如图,△ABC中,AB＝AＣ，DE垂直平分AB，BE⊥ＡＣ,ＡＦ⊥ＢＣ,则下面结论错误的是（Ｂ)A．BＦ=EF B.DＥ=ＥF Ｃ.∠EFＣ=４5° D.∠BEＦ=∠CＢE9.(2016·阜阳二模）如图，△ABＣ的中线BE、CF交于点O，直线AD∥BC，与CＦ的延长线交于点D，则Ｓ△ＡFD:Ｓ四边形AFOＥ为( D )A.1∶2B.2∶1Ｃ.2∶3 Ｄ．3∶2提示:连接EF，则ＥF∥ＢC.设△ABC的面积为S，则S△AFD＝S△BＦＣ＝S△AFC=错误!Ｓ,S△AEF＝错误!S,∴S△BOＣ=＼f（2,３)S△BFＣ＝错误!S,∴S△ＥOＦ=错误!S△BＯC＝错误!S,∴S△AFD：Ｓ四边形ＡFＯE=错误!S：(错误!S＋错误!S）＝3∶２。
[推荐学习]中考数学 第四单元 三角形 第15课时 图形的初步认识考题训练
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图形的初步认识1．[2015·株洲] 已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于( )A．35°B．55°C．65°D．145°2．[2014·淮北模拟] 已知线段AB＝16cm，O是线段AB上一点，M是AO的中点，N是BO 的中点，则MN＝( )A．10 cm B．6 cm C．8 cm D．9 cm3．如图K15－1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的角平分线．如果∠AOB＝40°，∠COE ＝60°，则∠BOD的度数为( )A．50°B．60°C．65°D．70°图K15－14．[2014·合肥蜀山区、瑶海区模拟] 如图K15－2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CBD＝30°，则∠CDE的度数是( )图K15－2A．100°B．120°C．130°D．150°5．[2014·上海] 如图K15－3，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5图K15－36．[2015·安庆二模] 如图K15－4所示，AB∥CD，∠D＝26°，∠E＝35°，则∠ABE的度数是( )图K15－4A．61°B. 71°C．109°D. 119°7．[2015·合肥168中学二模] 下列图形中，由AB∥CD能得到∠1＝∠2的是( )A B C D图K15－58．[2014·安顺] 如图K15－6，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是( )A．60°B．80°C．100°D．120°图K15－69．[2015·蚌埠六校联考] 如图K15－7所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为( )图K15－7A．10°B．20°C．25°D．30°10．[2014·滨州] 如图K15－8是我们学过的用直尺画平行线的方法示意图，画图原理是( )图K15－8A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等11．[2015·江西] 一个角的度数为20°，则它的补角的度数为________．12．[2015·吉林]图K15－9中是对顶角量角器，用它测量角的原理是________________．图K15－913．[2014·汕尾] 已知a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是________．14．[2013·湖州] 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________度．15．[2015·益阳] 如图K15－10，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．图K15－1016．如图K15－11所示，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝40°，求∠2的度数．图K15－1117．[2014·遵义] 如图K15－12，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1＋∠2＝( )图K15－12A. 30°B. 35°C. 36°D. 40°18．观察图中的各个角，寻找对顶角(不含平角)：(1)如图K15－13①所示，两条直线AB与CD相交成________对对顶角；(2)如图②所示，三条直线AB，CD，EF相交成________对对顶角；(3)如图③所示，四条直线AB，CD，EF，GH相交成________对对顶角；(4)探究(1)～(3)各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；(5)根据由(4)探究的结论计算：若有2015条直线相交于一点，则可形成________对对顶角．图K15－13预测题1．如图K15－15，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD＝70°，则∠CDB的度数为( )图K15－15.55° B．50° C．45° D．30°2．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1＝( )图K15－13A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°参考答案1.B [解析] 互余的两个角和为90°，故选B .2．C3．D [解析] ∵OB 是∠AOC 的平分线，∴∠COB ＝∠AOB＝40°.∵OD 是∠COE 的平分线，∠COE ＝60°，∴∠COD ＝12∠COE ＝30°. ∴∠BOD ＝∠COB＋∠COD＝40°＋30°＝70°，故选择D .4．D5．A [解析] 根据同位角的位置特征，∠1的同位角是∠2，故选A .6．A 7.B8．B [解析] ∵OB∥QR，∠AOB ＝40°，∴∠AQR ＝40°.又OA 为平面反光镜，∴∠OQP ＝∠AQR ＝40°.方法一：∵∠OQP＝∠AQR＝40°，∴∠PQR ＝100°.又OB∥QR，∴∠QPB ＝80°；方法二：∵∠OQP＝∠AQR＝40°，∴∠QPB ＝∠OQP＋∠AOB＝80°，故选B .9．C10．A [解析] 如图，因为∠MGN ，∠BAC 是同位角，所以根据同位角相等，得到直线a 与b 平行．故选A .11．160° [解析] ∵两角互补，和为180°，∴它的补角＝180°－20°＝160°.12．对顶角相等 [解析] 本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等这一性质解答即可．13．平行14．15.5 [解析] 15°30′＝15°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3060°＝15.5°. 15．解： ∵AB∥CD，∴∠ABC ＝∠1＝65°，∠ABD ＋∠BDC＝180°.∵BC 平分∠ABD，∴∠ABD ＝2∠ABC＝130°，∴∠BDC ＝180°－∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°.16．解： ∵AB∥CD，∴∠GEB ＝∠1＝40°.∵EF 为∠GEB 的平分线，∴∠FEB ＝12∠GEB ＝20°. ∵AB ∥CD ，∴∠2＋∠FEB＝180°，∴∠2＝180°－∠FEB＝160°.17．A[解析] 如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2.∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°，∴∠3＋∠4＝125°＋85°－180°＝30°，∴∠1＋∠2＝30°.故选A.18．解：(1)2(2)6 (3)12 (4)n(n－1) (5)4058210预测题1．A2．D[解析] 根据题意可知，∠2＝∠1＋30°.∵∠2＝60°，∴∠1＝30°.故选D.。
(沪科版)中考数学总复习课件【第15讲】图形的初步认识
第15讲┃图形的初步认识
3.三线八角
名称 关键点回顾
直线a，b被直线l所截，构成八个角(如图)：
图形
同位角 内错角
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角 ∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁内角
∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角
第15讲┃图形的初步认识
经典示例
例2 [2014·河南] 如图 15 －8， 直线 AB ， CD 相交于点 O，
第15讲
图形的初步认识
┃考点梳理与跟踪练习 ┃ 核心考点一 相关知识 1．直线、线段的性质 一 条直线，并且只有______ 一 条直线； (1)经过两点有________ 两直线相交，有且只有________ 个交点． 一 线段 最短． (2)两点之间的所有连线中，________ 2．线段的中点 线段、角的相关概念和性质
第15讲┃图形的初步认识
9． [2014·厦门] 已知直线 AB ， CB， l 在同一平面内， 若 AB⊥l， 垂足为 B，CB⊥l，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是( C )
图 15 －10
第15讲┃图形的初步认识
10． [2014·贺州] 如图 15－11，OA⊥OB， 若∠1＝55 °， 则∠2 的度数是( A )
第15讲┃图形的初步认识
核心练习
11． [2014·合肥四模] 如图 15－13，直线 a∥b，a， b 被 AB ， AC 所截，∠1＝70 °，∠2＝40 °，则∠BAC＝ ( D )
A．40° B．50° C．60° D．70°
图 15 －13
第15讲┃图形的初步认识
12． [2013·桐城区二模] 如图 15－14，把一块含有 30 °角的 直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上， 如果∠1＝ 20°， 那么∠2 的度数为( D )
【精品】中考数学总复习 第四单元 三角形 第15课时 图形的初步认识随堂小测
图形的初步认识1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( )图Y2．如图Y－18，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C的度数是( )A．100° B．110°C．120° D．150°Y－18Y－193．如图Y－19，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行．图中与∠α互余的角共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图Y－20，∠1＋∠2＝________．图Y－205．★已知∠α＝35°，则∠α的补角是________．2a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，求∠2的度数．Y－21参考答案1．B [解析] 选项A中，∠1与∠2是邻补角，∠1＋∠2＝180°.选项B中，∠1与∠2是对顶角，∠1＝∠2.选项C中，根据平行线的性质及邻补角的定义可知∠1＋∠2＝180°.选项D中，根据三角形的内、外角之间的关系可知∠2>∠1.故选B.2．C [解析] 容易计算∠BDC＝180°－∠EDC＝180°－150°＝30°.因为AB∥CD，所以∠DBA＝30°.又因为BE平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠DBA＝2×30°＝60°.因为AB∥C D，所以∠C＝180°－60°＝120°.3．B [解析] 如图，∵三角尺的斜边与这根直尺平行，∴∠1＝∠3.又∵∠3＋∠α＝90°，∴∠1＋∠α＝90°，∴与∠α互余的角为∠1和∠3.故选B.此类问题容易出错的地方是考虑问题不全面，出现了漏解．5．145°[解析] 根据补角的概念，∠α的补角是180°－35°＝145°.此类问题容易出错的地方是混淆余角和补角的概念．6．解：如图，∵AB⊥BC，∴∠1＋∠3＝90°.∵∠1＝55°，∴∠3＝35°.∵a∥b，∴∠2＝∠3＝35°.。
中考数学第15讲三角形与全等三角形复习教案1新版北师大版20170802258
课题：第15讲三角形与全等三角形教学目标：1．了解三角形的：内角、外角、角平分线、中线和高线；了解三角形的三边关系、三角形的稳定性.2. 掌握三角形的中位线的性质，会用中位线性质解决问题.3．熟练应用全等三角形的性质及判定定理证明线段相等、角相等，能识别两个三角形全等或通过识别两个三角形全等来进一步解决问题；4．了解角平分线、线段垂直平分线及其性质，会用尺规作角的平分线、．线段的垂直平分线，会利用基本作图解决与全等有关的尺规作图问题.教学重、难点：重点：角的平分线与线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，并会应用它们进行有关的计算和证明．难点：构造三角形全等，灵活“转化”问题．教学准备：多媒体课件教学过程：一、开门见山，明确要求活动内容：展示本节课内容中考要求处理方式：学生诵读，多媒体展示设计意图：站在中考的高度，让学生明确本考点的考试要求，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，使本节课的复习就有了明确的目标. 学生阅读考试要求，明确了本课的复习方向.心中或多或少的对本考点的知识点及在以前的学习中容易出错的地方进行回忆.二、基础梳理，考点透视活动内容：考点统计（导学案提前下发，学生在导学案中填空．）知识点1：三角形三边关系定理：．知识点2：三角形的内角和等于，一个外角等于之和．知识点3：三角形的中位线第三边，并且等于．知识点4：角平分线上的点到这个角两边的距离；在一个角的内部，到角的两边的点，在这个角的平分线上．知识点5：线段垂直平分线上的点到相等；到一条线段的点，在这条线段的垂直平分线上．知识点6：全等形的概念：__________________________________．全等三角形的概念：_________________．用符号“≌”表示，读作：全等．知识点:7：全等三角形的性质（1）全等三角形的_________相等；全等三角形的____________相等．（2）全等三角形的__________、______________相等．（3）全等三角形的对应边上的高________．（4）全等三角形的对应边上的中线________．（5）全等三角形的对应角平分线________．知识点8：全等三角形的判定1、_________________________________(简记为SSS)2、__________________________________(简记为ASA)3、__________________________________(简记为AAS)4、___________________________________(简记为SAS)5、___________________________________(简记为HL)【全等三角形中常见的基本图形】翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素.平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素.旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素处理方式：一生用展台展示自己的导学案，其余学生互查并纠正错误．设计意图：在学生展示及其相互纠错的过程中，让学生进一步巩固本节学习的知识点，把握复习重点，如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间，也能加深学生对知识网络的理解．三、基础训练，互查反馈活动内容：针对基础梳理进行基础训练1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( )A、3 cmB、4 cmC、1.5 cmD、2 cm2．如图△ABC中，AB＝A C，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则∠C＝，∠BDE＝，AE＝；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝，△ABD 的周长为，△ABC的周长为 .3．如图在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数？4.如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确．．．的是（）A．△ABD≌△CBD B．△ABC≌△ADC C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD5.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A. AB=ACB. ∠BAC=90°C. BD=ACD. ∠B=45°6．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ处理方式：小组按题号依次完成，然后代表发言，先说考查知识点，再说答案必要时可到黑板上板演．有余力的小组或个人可多做．教师参与小组活动，引导学生；发现典型，暴露学生的弱点．．设计意图：利用基础性的中考试题，查缺补漏，暴露学生的易错点，让学生自己发现解决问题的办法，同位之间、小组之间互相校对答案，达到生生为师；在合作、交流中共同提高．四、典例探究，总结方法活动内容：典型例题分析例1如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，在不添加新点的情况下，作出两条相等的线段，并说明理由.处理方式：师生共析，因为两个三角形都是等边三角形，提供了相等的角和相等的线段，为证明三角形全等提供了条件，连接AD 、BE ，可证明△ACD ≌△BCE ．学生板书步骤．教师强调：如果把△CDE 绕着点C 旋转一定的角度，这个结论依然成立.如果把两个等边三角形都换成等腰直角三角形也有相同的结论，如图，如果连接AE 、BD ，则有AE =BD .例2 如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .（1）若∠ACD =114°，求∠MAB 的度数；（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCN .处理方式：师生共析，（1）由作法知，AM 是∠ACB 的平分线，由AB ∥CD ，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB =66°，从而求得∠MAB 的度数.（2）要证△ACN ≌△MCN ，由已知，CN ⊥AM 即∠ANC =∠MNC =90°；又CN 是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB ∥CD 和AM 是∠ACB 的平分线，有∠CAN =∠MAB =∠CMN .一名学生板书其他学生在学案中进一步完善解题步骤．例3 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的点，F是AB上的点，EF⊥EC，且EF=EC， DE=4cm,矩形ABCD的周长是32cm,求AE的长.处理方式：师生共析，矩形的周长是长和宽和的2倍，设AE的长可以表示出AD、CD 的长，可以证明△AEF≌△DCE得到AE=DC．学生板书步骤．例4 如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E,弦AD∥OC,弦DF ⊥AB于点G．（1）求证：点E是BD的中点（2）求证：CD是⊙O的切线．（3）若sin ∠BAD=45，⊙O的半径是5，求DF的长设计意图：通过典型例题学习，让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.五、回声嘹亮，课堂小结活动内容：总结本节课所学内容1、本机可你有哪些收获，对三角形全等又有了哪些新的认识？2、还有哪些内容需要你刻下加强的？设计意图：培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．六、课堂检测，挑战自我活动内容：课堂检测题1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为____°．2．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A、12cmB、16 cmC、20 cmD、28 cm3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是 ( )A、DF=BEB、AF=CEC、CF=AED、CF∥AE4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A、AC=BDB、OB=OCC、∠BCD=∠BDCD、∠ABD=∠ACD5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E 作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=设计意图：通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解决二次根式的相关问题．七、分层作业，强化目标必做题：中考复习丛书P78例3、P80 第11题．选做题：中考复习丛书P81 第12题．设计意图：作业的设计突出层次性，满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备．板书设计：。
中考数学知识点梳理(图形与三角形)
图形的初步认识与三角形第15讲一般三角形及其性质6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形一、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.第18讲解直角三角形21P COBAPCO BADABC abcDABC abc二、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际。
四川省2017中考数学 考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形单元测试(四)图形的初步认识与
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知∠α＝32°，求∠α的补角为( C )A ．58°B ．68°C ．148°D ．168° 2．(2016·黔南)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )3．(2016·重庆)如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a∥b，若∠1＝55°，则∠2等于( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．125°4．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( B ) A ．msin40° B ．mcos40° C ．mtan40° D.mtan40°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，则∠1＋∠2的大小为( B ) A ．120° B ．240° C ．180° D ．300°6．(2015·黄冈)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，设AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为( C )A ．6B ．6 3C ．9D ．3 37．如图，OP 平分∠MON，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( C ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．2 38．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为( C )A ．20B ．12C ．14D ．139．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，且AE∶ED＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AFE ∶S 四边形ABCE为( D )A ．3∶4B ．4∶3C ．7∶9D ．9∶710．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A ．5B ．6C ．7D ．8提示：由点A ，B 的坐标可得到AB ＝22，然后分类讨论：①AC＝AB ；②BC＝AB ；③CA＝CB ，确定C 点的个数． 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，△A BD ≌△CBD ，若∠A＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为130°．12．若a ，b ，c 为三角形的三边，且a ，b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值范围是1<c<5．13．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 214．如图，AC ，BD 相交于O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD＝75°．15．(2015·巴中)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为1．16．(2016·凉山)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，AC ＝AE ，∠1＝∠2，AB ＝AD.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB ＝∠EAD.在△BAC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD，AB ＝AD ，，∴△BAC ≌△DAE(SAS)．∴BC ＝DE.18．(10分)某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…，请你根据①②步骤解答下列问题： (1)找出图中∠FEC 的余角； (2)计算EC 的长．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)设EC ＝x cm ，则EF ＝DE ＝(16－x)cm ，AF ＝AD ＝20 cm. 在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝12 cm ，FC ＝BC －BF ＝20－12＝8(cm)．在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2，∴(16－x)2＝82＋x 2，解得x ＝6. ∴EC 的长为6 cm.19．(12分)(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC，垂足为P.设AP ＝x 海里． 在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP·tan ∠PAC ＝33x. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．20．(14分)(2015·资阳)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF. (1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°. 又∵DE＝CF ，∴△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ECQ∽△ADE， ∴CQ DE ＝CE AD . ∵CE AD ＝DE AD ＝12， ∴CQ DE ＝CQ CF ＝12，即点Q 是CF 的中点． (3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ECQ∽△A DE ，∴CQ DE ＝QE AE .∴CQ CE ＝QEAE.又∵∠C＝∠AEQ ＝90°，∴△AEQ ∽△E CQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE. ∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ2. ∵EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。
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第15讲 三角形的基础知识
1．(2016·贵港)在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C )
A．35° B．40° C．45° D．50°
2．(2016·岳阳)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )
A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm
3．(2016·临沂)如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数是( B )
A．80° B．85° C．90° D．95°
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( A )
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
6．(2016·盐城)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为( A )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．(2016·毕节)如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( C )
A．85° B．60° C．50° D．35°
8．(2015·枣庄)如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是30°．
9．(2016·张家界)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四
边形ADEF的周长等于14cm.
10．(2016·成都邛崃摸底考试)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，
如果∠2＝60°，那么∠1的度数为30°．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝50°．
12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠B，∠2＝∠C，∠BAC＝75°，求∠CAD的度数．
解：设∠CAD＝x°，
∵∠2＝∠C，
∴∠2＝∠C＝(180－x2)°.
∴∠1＝∠B＝12∠2＝(180－x4)°.
∵∠BAC＝75°，
∴x＋180－x4＝75.解得x＝40.
∴∠CAD＝40°.
13．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD的取值范围；
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
解：(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴1
∴∠AEC＝180°－125°＝55°.
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝180°－55°－55°＝70°.
14．(2016·雅安三诊)如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置．若∠1＝55°，
则∠2的度数为( C )
A．105° B．110° C．115° D．120°
15．(2016·荆门)已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等
腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( D )
A．7 B．10 C．11 D．10或11
16．(2015·绵阳)如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F＝9.5°．
17．(2015·常德)如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝70
度．
18．(2015·广州)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别是线段BC，AB上的动点(含
端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别是DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．
提示：根据三角形的中位线定理得出EF＝12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根
据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3.
19．如图，点D在△ABC边AB上且AD∶BD＝2∶1，E是BC的中点，设S1为△ADF的面积，S2为△CEF的面积．若S
△ABC＝24，则S1－S2
＝4．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线交于点D，BD的延长线交AC于点E，则∠ADE＝45°．