向量的数乘及坐标运算
向量坐标运算公式乘法
向量坐标运算公式乘法
向量坐标运算公式乘法是指在处理向量时，将向量中的点与对应的点积和标量积相乘。
点积（dot product）是两个向量对应分量的乘积之和，标量积（scalar product）是一个标量与两个向量对应分量的乘积之和。
以下是向量坐标运算公式乘法的一些示例。
1. 点积（dot product）
向量a = (x1, y1), 向量b = (x2, y2)
点积= x1 * x2 + y1 * y2
2. 标量积（scalar product）
向量a = (x1, y1), 标量s
标量积= s * x1 * y1
在进行向量坐标运算公式乘法时，可以使用矩阵乘法或内积运算符（点积的符号表示）。
以下是一些示例：
1. 矩阵乘法：
a = [1, 2],
b = [3, 4]
a *
b = [1, 6]
2. 内积运算符：
a = [1, 2],
b = [3, 4]
a *
b = [6, 12]
向量坐标运算公式乘法的应用非常广泛，例如在计算机图形学、物理学和机器学习中都有广泛应用。
掌握这些运算可以帮助我们更好地理解和处理向量数据。
向量的数乘的长和方向规定数乘运算的坐标表示实数与向量积的运算律
向量数乘运算的理解：
①向量数乘运算结果仍然是向量．
②实数与向量的积的特殊情况：
③实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如
无意义。
④由向量数乘的概念可知其几何意义，可以把向量a的长度扩大（当
时），也可以缩小（当时），同时，我们可以不改变向量a的方向，也可以改变向量a的方向（当λ<0时）。
向量的数乘的定义：
我们规定实数λ与向量的积是一个向量，记作λ；
向量的数乘的长度和方向规定如下：
（1）；
（2）当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，；注意：λ≠0 数乘运算的坐标表示：
设，则。
实数与向量积的运算律：
（1）；
（2）；
（3）。
1. 向量表示
向量指具有大小和方向的量，也称为矢量。
可以从几何和坐标两个角度来表示。
1）几何表示
向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度。
箭头所指的方向表示向量的方向。
长度为 0 的向量叫做零向量。
长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。
2）坐标表示
空间中有无数条有向线段，长度和方向相同的向量也有无数条，那如何表征一个向量呢？
在空间或者平面建立坐标系，任何一个向量都可以平移到以原点为起点的位置，这时就可以用向量终点的坐标来表征这个向量，记为
a=(x,y,z,...)a=(x,y,z,...)
坐标表示和几何表示是不同的，几何表示的向量起点可以是任意位置，而坐标表示的向量起点只能是原点。
一个任意位置的向量如何求出它的坐标？用此向量的有向线段终点坐标减去始点坐标。
向量坐标运算公式
向量坐标运算公式向量坐标运算是数学中非常重要的一类运算，它的基本思想就是利用坐标系中的“向量”结构，对某一空间中的多个元素进行运算。
它可以实现生活中的科学、技术、工程和数学应用。
本文将介绍向量坐标运算的基本定义、公式和解决问题的过程。
一、定义向量坐标运算是以坐标系为基础，以“向量”作为结构，在“平面”上进行坐标点之间的运算。
简而言之，它是一种以坐标系为基础，以向量作为结构，对空间中各个元素之间进行运算的科学方法。
二、公式（1）两个向量之间的运算A：(a,b)，B：(c,d)向量A与向量B的点积（Dot Product）：AB=ac+bd向量A与向量B的叉积（Cross Product）：A×B=ad-bc（2）向量乘以标量A：(a,b)标量m：m数量m与向量A的乘积（Scalar Product）：mA= (ma,mb)（3）向量与矩阵之间的乘法A：（a,b）矩阵M：（a,b）矩阵M与向量A的乘积：MA=（ma,mb）三、用向量坐标运算解决问题例如，假设有一个某个区域的地图，其中有若干个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)等。
在该区域内，若要计算从(x1,y1)到(x2,y2)的距离，可以使用向量坐标运算公式和点积计算，也可以使用矩阵乘法计算从(x1,y1)到(x3,y3)的距离。
1、使用点积计算距离A：(x2-x1,y2-y1)B：(x2-x1,y2-y1)距离d=AB= (x2-x1)^2+(y2-y1)^22、使用矩阵乘法计算距离矩阵M：(x3-x1,x2-x1)向量A：(y3-y1,y2-y1)距离d=MA= (x3-x1)^2+(y2-y1)^2+(x2-x1)^2四、结论以上就是向量坐标运算的基本定义、公式和解决问题的过程。
可以看出，在计算机科学、地球科学、物理学、航空航天工程和数学中，向量坐标运算都有着重要的应用，在解决实际问题中也可以发挥无穷的作用。
9第六章6.36.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，4)，C(－1，2)，BC
的中点为D，求A→D，B→C－2A→D，A→B＋12A→D的坐标．
解析：
→ AB
＝(2，2)，
→ AC
＝(－2，0)，因为D是BC的中点，所以
→ AD
＝
1 2
(
→ AB
＋ A→C )，则
→ AD
＝ 12
[(2，2)＋(－2，0)]＝
(2)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB， ∴D→C＝2A→B. 设点D的坐标为(x，y)， 则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)， A→B＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)， ∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)， ∴42－ －xy＝＝－2，2，解得xy＝＝42，，故点D的坐标为(2，4). 答案： (1)(－4，－8) (2)(2，4)
(1)0＜λ＜1 时，P 在线段 P1P2 上； (2)λ＝1 时，P 与 P2 重合； (3)λ＞1 时，点 P 在线段 P1P2 延长线上； (4)λ＜0 时，点 P 在线段 P1P2 反向延长线上．
[对点训练]
已知O(0，0)，向量
→ OA
＝(2，3)，
→ OB
＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分
方法二(公式法)：设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由M为线段AB的中点，P，Q为线段AB的三等分点，知 A→M＝M→B，A→P＝12P→B，A→Q＝2Q→B，即λ1＝1，λ2＝12，λ3＝2. 分别代入公式，得xy＝＝1－＋12＋11＋＋×1113×＝12＝，－12，
x1＝－21＋＋1212×1＝－1，x2＝－21＋＋22×1＝0，
平面向量数乘运算的坐标表示
即ቊ
1 = 2 .
消去，得1 2 − 2 1 = 0.
所以，向量，
Ԧ
( ≠ 0)共线的充要条件是
1 2 − 2 1 = 0. 两内积等于两外积
典型例题
例7 已知Ԧ = (4 ，2)， = (6 ，)，且Ԧ ∥ ，求.
例8 已知(−1 ， − 1) ，(1 ，3) ，(2 ，5)，判断A，B，C三点之
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
复习回顾
１.向量的坐标表示
２.向量加、减法的坐标表示
问题1： 已知 Ԧ = ( ，) ，怎样计算的坐标？
Ԧ
新知探究
Ԧ = (Ԧi + Ԧj) = Ԧi + Ԧj，
即
Ԧ = (Leabharlann ， ).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
间的位置关系.
典型例题
例9 设P是线段1 2 上的一点，点1 ，2 的坐标分别是(1 ，1 )，(2 ，2 ) .
（1）当P是线段1 2 的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段1 2 的一个三等分点时，求点P的坐标.
中点坐标公式：若点1 ，2 的坐标分别为(1 ，1 )，(2 ，2 ) ，线段1 2 的中
Ԧ
2.当为何值时， =(2,
Ԧ
3)与 =(, -6)共线?
3.若点 −2， − 3 ， 2, 2 ， －1, 3 ， −7， − 4.5 ，则AB与
CD是否共线?
4.求线段AB的中点坐标:
（1）(2, 1)，(4，3); (2) A(−1, 2)，(3, 6);
(3) (5, －4)， (3， − 6).
5.已知点O (０, ０)，向量=(2, 3), =(6, -3)， 点P是线段AB的三
向量坐标运算的所有公式
向量坐标运算的所有公式在数学的广阔天地里，向量就像是一群活跃的小精灵，而向量坐标运算的公式则是我们掌控这些小精灵的魔法咒语。
接下来，让咱们一起瞧瞧这些神奇的公式吧！咱们先从最简单的向量加法坐标运算公式说起。
假设咱有两个向量，$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，那么它们相加之后得到的向量$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$的坐标就是$(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
这就好比你在操场上跑步，先向东跑了$x_1$米，向北跑了$y_1$米，然后又向东跑了$x_2$米，向北跑了$y_2$米，那你最终的位置就是向东跑了$x_1 + x_2$米，向北跑了$y_1 + y_2$米。
再来说说向量减法的坐标运算公式。
还是上面那两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们相减得到的向量$\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}$的坐标就是$(x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
打个比方，你从学校出发，先向东走了$x_1$米，向北走了$y_1$米，然后又往回走，向西走了$x_2$米，向南走了$y_2$米，那你现在的位置相对于学校的坐标变化就是向东走了$x_1 - x_2$米，向北走了$y_1 - y_2$米。
还有向量数乘的坐标运算公式。
如果有一个实数$k$和向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，那么数乘之后得到的向量$\vec{e}=k\vec{a}$的坐标就是$(kx_1, ky_1)$。
这就像你跑步的速度加快了$k$倍，原来向东跑$x_1$米，向北跑$y_1$米，现在速度变了，跑的距离也就相应地变成了$kx_1$米和$ky_1$米。
说到这儿，我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙总是搞混加法和减法的公式。
我就跟他说：“你就想象自己是个小探险家，向东走、向北走是积累路程，向西走、向南走就是减去路程，这样是不是好理解多啦？”嘿，这招还真管用，那孩子后来就很少出错啦。
向量坐标运算公式总结 -回复
以下是向量坐标运算中常用的公式总结：
向量加法：若有向量 A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的和向量 C = A + B 的坐标表示为：C₁ = A₁ + B₁ C₂ = A₂ + B₂ C₃ = A₃ + B₃
向量减法：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的差向量 C = A - B 的坐标表示为：C₁ = A₁ - B₁ C₂ = A₂ - B₂ C₃ = A₃ - B₃
向量数量乘法：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和一个标量k，则它们的数量乘积向量B = kA 的坐标表示为：B₁ = k * A₁ B₂ = k * A₂ B₃ = k * A₃
点乘（内积）：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的点乘结果为：A · B = A₁ * B₁ + A₂ * B₂ + A₃ * B₃
叉乘（外积）：若有向量A = (A₁, A₂, A₃) 和向量B = (B₁, B₂, B₃)，则它们的叉乘结果为向量C = A × B，其坐标表示为：C₁ = A₂ * B₃ - A₃ * B₂ C₂ = A₃ * B₁ - A₁ * B₃ C₃ = A₁ * B₂ - A₂ * B₁
向量模长：若有向量 A = (A₁, A₂, A₃)，则它的模长（长度）为：|A| = √(A₁² + A₂² + A₃²)
这些公式可以用于进行向量的加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等基本运算。
它们在向量代数和向量分析中非常常见，并在多个学科领域中得到广泛应用。
请注意，在实际应用中，还可以根据需要进行更复杂的向量运算和组合。
向量与坐标的运算
向量与坐标的运算在数学中，向量（vector）是表示有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
坐标（coordinate）是一个点在坐标系中的位置，用有序数对表示。
向量与坐标之间存在着一种运算关系，通过这种关系我们可以进行向量的加法、减法、数乘等运算，以及向量的点积、叉积等计算。
一、向量的表示和运算向量通常用字母带箭头表示，例如向量a可以表示为→a。
向量有大小和方向两个要素，其中大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
向量的运算主要包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加。
设有向量→a和→b，它们的加法运算表示为：→a + →b = →c式中，→c表示向量→a与向量→b的和向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量进行相减。
设有向量→a和→b，它们的减法运算表示为：→a - →b = →d式中，→d表示向量→a减去向量→b的差向量。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量与一个实数相乘。
设有向量→a和实数k，它们的数乘运算表示为：k→a = →e式中，→e表示向量→a与实数k的积向量。
二、坐标的表示和运算坐标系统是描述点位置的一种方法，常用的有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，我们用有序数对(x, y)表示点在平面上的位置。
1. 坐标的加法坐标的加法是指将两个坐标进行相加。
设有点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，它们的加法运算表示为：A +B = C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)式中，C(x, y)表示点A和点B坐标相加得到的新点C的坐标。
2. 坐标的减法坐标的减法是指将两个坐标进行相减。
设有点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，它们的减法运算表示为：A -B = D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)式中，D(x, y)表示点A减去点B得到的新点D的坐标。
3. 坐标的数乘坐标的数乘是指将坐标的每个分量与一个实数相乘。
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三、向量数乘运算及其几何意义
一、知识回顾：
1．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下：
１）
||a
；
2）
＞０时,a的方向与 的方向相同；当＜０时, a的方向与 的方向相反；
实数与向量的积的运算律：
运算律：()a ； ()a= ； ()ab= .
2．两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得
二、沙场练兵：
1．已知向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线，则a+b与c=6 e1-2 e2的关系为（ ）
A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定
2．已知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于 （ ）
A．3 B．-3 C．0 D．2
3．若AB=3a, CD=－5a ,且||||ADBC,则四边形ABCD是 （ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰梯形
4．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD=a ,BE=b ,那么BC为（ ）
A．32a＋34b B．32a－32b C．32a－34b D． －32a＋34b
5．已知向量a ,b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是 （ ）
①2a -3b=4e且a+2b= -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb=0
③xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0) ④已知梯形ABCD，其中AB=a ,CD=b
A．①② B．①③ C．② D．③④
*
6．已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PAPBPCAB，则（ ）
A．P在△ABC 内部 B．P在△ABC 外部 C．P在AB边所在直线上 D．P在线段BC上
二、填空题
7．若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a= b
8．已知向量e1 ,e2不共线，若λe1－e2与e1－λe2共线,则实数λ=
9．a,b是两个不共线的向量，且AB=2a＋kb ,CB=a＋3b ,CD=2a－b ,若A、B、D三点共线，则实数k
的值可为
*
10．已知四边形ABCD中，AB=a－2c,CD=5a＋6b－8c对角线AC、BD的中点为E、F，则向量EF
三、解答题
11．计算：⑴(－7)×6a=
⑵4(a＋b)－3(a－b)－8a=
⑶(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)=
12．如图，设AM是△ABC的中线，AB=a , AC=b ,求AM
13．设两个非零向量a与b不共线,
⑴若AB=a＋b ,BC=2a＋8b ,CD=3(a－b) ,求证：A、B、D三点共线;
⑵试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
*
14．设OA,OB不共线,P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).
四、平面向量基本定理及坐标表示（1）
一、知识回顾：
1．平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a，
有且只有一对实数21,使： ，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量
的 。
2．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，
则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量
a
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的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐标与表示该向量的有向
线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
3．平面向量的坐标运算：
若2211,,,yxbyxa，则abrr
若2211,,,yxByxA，则ABuuur
若a=(x,y)，则a=
若0,,,,2211byxbyxa，则//abrr
二、沙场练兵：
1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）
A．e1=(0,0), e2 =(1,－2) ; B．e1=(-1,2),e2 =(5,7);
C．e1=(3,5),e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) ,e2 =)43,21(
2．已知向量a、b，且AB=a+2b ,BC= -5a+6b ,CD=7a-2b,则一定共线的三点是 （ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C 、D D．A、C、D
3．如果e1、 e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）
①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；
④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.
A．①② B．②③ C．③④ D．仅②
4．过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD=xAB,AE=yAC,xy≠0，则11xy的
值为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( )
A．-a+3b B．3a-b C．a-3b D．-3a+b
*
6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA+βOB，其
中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为 （ ）
A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0
二、填空题
7．作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;
8．若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且AB=2AC,则x= ，y= ;
9．已知A(2,3),B(1,4)且12AB=(sinα,cosβ), α,β∈(-2,2),则α+β=
*
10．已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为
三、解答题
11.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b
12．如果向量AB=i-2j ,BC=i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值
使A、B、C三点共线。
13．已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11,,33AEACBFBC
求证：//EFAB
*
14．已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若()APABACR，试求λ为何值时，点P在第三象限内？