调和级数,p级数,几何级数
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
9-2[1]正项级数
![9-2[1]正项级数](https://img.taocdn.com/s3/m/0f787936763231126edb11f1.png)
1 n2
)收敛，所以
n1
an 收敛. n
例3：
an 是收敛的正项级数，证明
n1
n1
an n
也收敛.
证明：
an n
1 2
an
1 n2
所以
an 收敛.
n1 n
29
例4：判断级数
2+(1)n的敛散性
2n
n1
解： 0 2 (1)n 3
6
3.定理2(比较判别法) 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2,…) ，则
（1）若 vn 收敛
un 收敛；
n1
n1
（2）若 un 发散
vn 发散.
n1
n1
证明（1）若
v
收敛
n
设 vn ∵ un vn ,
2
推论：若存在 N N+ , 对一切 n N ,
发散
收敛.
13
使用比较审敛法： 须找参考级数. （经验：猜敛，找敛; 猜散，找散）
重要参考级数：几何级数, p-级数,调和级数.
几何级数
aqn
n0
当 当
q q
1时，收敛; 1时，发散.
P
级
数
n1
1 np
当p 当p
n1 n
解
∵
11 sin ~ ,
nn
1
sin
即
lim
n
级数收敛的判定方法与级数的应用
姓名：张江帆 学号：201311217 级数收敛的判定方法与级数的应用1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0>n ∀，有n S <M 。
2、几种不同的判别法2.1 比较判别法设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N 都有n n v u ≤，那么（1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛； （2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 也发散；即∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散。
比较判别法的极限形式 ：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是两个正项级数。
若l v u nnn =+∞→lim，则（1）当时，∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散；（2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛；（3）当∞→l 且∑∞=1n n v 发散时，∑∞=1n n u 也发散。
2.2 比值判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着11<q u u n n≤-，0N ∃，有 （1）若对一切0N n >，成立不等式q u u n n ≤+1，则级数∑∞=1i n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式11≥+n n u u ，则级数∑∞=1i n u 发散。
比值判别法的极限形式：若∑∞=1n n u 为正项级数，则（1） 当1lim <nnn v u +∞→时，级数∑∞=1i n u 收敛；（2） 当1lim ≥+∞→nnn v u 时，级数∑∞=1i n u 发散。
2.3 根式判别法设∑∞=1n n u 是正项级数，且存在某正整数0N 及正常数M（1） 若对一切0N n >，成立不等式1<M u n n ≤，则级数∑∞=1i n u 收敛；（2） 若对一切0N n >，成立不等式1≥nn u ，则级数∑∞=1i n u 收敛根式判别法的极限形式：设∑∞=1n n u 是正项级数，且l u n n n =+∞→lim ，则（1）当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散；（3）当1=l 时，级数的敛散性进一步判断。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。
正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。
比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
【微积分】08-数项级数
【微积分】08-数项级数1. 级数1.1 级数的定义 现在从增量的⾓度重新讨论数列的极限，⽽这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。
对于数列S_n，设a_n=S_n-S_{n-1}，则有S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n。
为讨论S_n的敛散性，定义式（1）的加式为级数，a_n称为级数的通项，S_n称为级数的部分和。
如果S_n收敛于有限值S，则称级数收敛于S（其实就是定义了级数的值），否则称级数发散（也就没有值）。
\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\tag{1} 以级数形式表⽰极限其实很常见，⽐如我们熟悉的等⽐数列之和，它的部分和在q\ne 1时满⾜式（2）。
故级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}在q<1时收敛，⽽在a\ne 0,\,q\geqslant 1时发散。
这个级数也被称为⼏何级数，它的结论对后⾯讨论级数的收敛问题很有作⽤。
S_n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}=a\dfrac{1-q^n}{1-q}\tag{2} 直觉上的级数是⼀个⼩数集合的总和，但其实级数的值与通项的顺序也是有关的，后⾯我们将会给出反例。
对任何级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n，将其每⼀项的顺序打乱得到它的更序级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a'_n，但要注意，这⾥的打乱还要求a_n必须对应到有限项a'_m，⽽不能出现在⽆穷之后。
有个基本问题是，级数的更序级数之间的敛散性关系如何？如果都收敛，它们的值相等吗？1.2 级数的性质 ⼀些特殊形式的级数，可以通过变形判定其敛散性，甚⾄得到级数的值。
但很多时候，我们只需要、也只能判定级数的敛散性，为此需要寻找有效的判定条件。
⼀种⽅法就是利⽤极限的判定条件，⽐如说利⽤判定极限的柯西准则，可知级数收敛的充要条件是：对任意的\varepsilon>0，只要n⾜够⼤，总有式（3）成⽴。
广义调和级数
广义调和级数设，且，， M为一个调和级数。
若且M为连续的调和级数，那么定义上的调和可以写成M的一个广义调和级数：=+M，其中K是大于0的常数，称之为调和增益，也叫做广义调和级数，或称之为M的广义调和级数，用M表示。
M，即M是非负实数。
广义调和级数与实际调和级数有密切联系。
广义调和级数与实际调和级数的差别主要表现在一些特殊点上，两者相互转化，当某一广义调和级数在空间取值为无限时，就是实际调和级数。
在许多地方有广义调和级数作简单级数的几何平均而省略求导的情况出现。
S， Z， B是调和级数，则的证明证明：首先求得的证明可由归纳法证得：有理数集合P上的单调有界调和函数Q：Q=f^4+f^2+3f+f^3+6f+7f^2+2，使用分部积分公式可得Q(x)=Q(x+1)-Q(x)(x+2)-Q(x)(x+4)-Q(x)(x+6) = Q(x)，则有又Q(x)=-(x+2)-Q(x)-Q(x)(x+4)-Q(x)(x+6)的值域为因此有由于Q(x)>0所以x<1和x>1同理可得，若定义级数为的展开式为：，则由与前面相同的方法即可证得。
广义调和级数与正项级数有关级数的内积的几种形式：注意到第一行展开后级数的末两项都为零所以级数的内积形式只有两种。
为避免混淆，只列出通式（以下各项都假定s≥1）：H，当n=1时，有这里是常数项。
因为C的绝对值小于1，故上式只需将右边的积分换成：，再将左边的展开式看成是一个二重积分就可以了。
这就是H的内积公式。
第一行展开后级数的末两项都为零，所以H的内积公式也只有两种。
H的第一个积分中C和n分别取1和1，两边再进行下面的变换：，于是有因为H的项数少于C，故上式仍只需将右边的积分换成：，再将左边的展开式看成是一个二重积分就可以了。
这就是的内积公式。
注意到第一行展开后级数的末两项都为零，所以级数的内积公式只有两种。
H的第二个积分中C和n分别取1和-1，两边再进行下面的变换：于是有H的项数等于C和n的和，所以上式只需将右边的积分换成：，再将左边的展开式看成是一个二重积分就可以了。
高数第九章数项级数
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
中央财经大学
数学分析
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
中央财经大学
数学分析
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
中央财经大学
1 (1) sin ; n n 1
数学分析
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设
n 1
un 1 (常数或 ) n u un 是正项级数,如果 lim n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
中央财经大学
数学分析
1 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
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无穷级数中的几何级数
无穷级数中，几何级数又称为等比级数。
几何级数（即等比级数）的和为：
当︱q︱<1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=a/(1-q)
当︱q︱≥1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=+∞
几何级数的敛散性
当〡q〡<1时，级数收敛；当〡q〡≥1时级数发散。
调和级数和几何级数的收敛证明
先看调和级数：
证明如下:
由于ln(1+1/n)<1/n（n=1,2,3,…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
置于几何级数看图片吧,太难输了.
p级数
形如(p为实数)的级数称为p级数。
当p=1时，得到著名的调和级数：。
当p=2时，值收敛于。
p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。
p级数的敛散性如下：
当时，p级数收敛；
当时，p级数发散。
交错p级数
形如（p>0）的级数称为交错p级数。
交错p级数是重要的交错级数。
交错p级数的敛散性如下：
当
时，交错p级数绝对收敛；
0<
时，交错p级数条件收敛。
p<=0时，交错p级数发散
例如，交错调和级数
条件收敛，其和为。