球面的第一第二基本形式
微分几何试题库.
微分几何一、判断题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）2、二阶微分方程22++=总表示曲面上两族曲u v du u v dudv u v dvA(,)2B(,)B(,)0线. （⨯）3、若()r t和()s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）4、向量函数()s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，s t平行（×）s t的微商与()()5、等距变换一定是保角变换.（√）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（⨯）7、常向量的微商不等于零（×）8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×））,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点9、对于曲线s=()s t上一点（t=t（×）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√）12、单位切向量的模是1（√）13、每一个保角变换一定是等距变换（×）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, .18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为⎰'badt t r )(19、已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α=1{3c o s ,3s i n ,4}5x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ=625sin 2x ，τ=825sin 2x。
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
曲面论部分有关第一基本形式习题2-1求球面的切平面方程。2-2若一
曲面论部分有关第一基本形式习题2-1.求球面的切平面方程。
2-2.若一平面与一光滑曲面仅有一公共点，证明曲面在该点与平面相切。
2-3.证明曲面xyz=a3在任何点的切平面和三个坐标平面所构成的四面体体积等于常数。
2-4.计算下面的Mobius带r=(cosθ,sinθ,0)+v(sin θ2cosθ,sinθ2sinθ,cosθ2),(−π<θ<π,−1/2<v<1/2)的法向量n.2-5.证明：（1）曲面为旋转曲面的充要条件是法线通过定直线；（2）曲面为锥面的充要条件是切平面通过定点。
2-6.证明：（1）曲面r=(u2+v/3,2u3+uv,u4+2u2v/3)是可展曲面。
（2）双曲抛物面r=(a(u+v),b(u−v),2uv)不是可展曲面。
2-7.证明曲面r=(cos v−(u+v)sin v,sin v+(u+v)cos v,u+2v)是可展曲面，它是圆柱螺线r=(cos v,sin v,v)的切线曲面。
2-8.证明：非平面的绕曲线的主法线和从法线所生成的曲面都不是可展曲面。
2-9.证明曲线C的切线曲面S沿任意母线l的切平面就是C在切线l的切点处的密切平面。
2-10.证明直纹面上两条相邻母线之间的距离一般为一级无穷小。
而当此直纹面为非柱面的可展曲面时，这个距离至少为二阶无穷小。
1.求以下曲面的第一基本形式：(1)椭圆面r=(a cosφcosθ,b cosφsinθ,c sinφ)(2)单叶双曲面r=(a cosh u cos v,b cosh u sin v,c sinh u)(3)双叶双曲面r=(a cosh u,b sinh u cos v,c sinh u sin v)(4)椭圆抛物面r=(u,v,12(u2a2+v2b2))(5)双曲抛物面r=(a(u+v),b(u−v),2uv)(6)劈锥曲面r=(u cos v,u sin v,φ(v))(7)一般螺面r=(u cos v,u sin v,φ(u)+av)2.将曲面r=r(u,v)上的n×r u,n×r v写成r u,r v的线性组合.3.从球面x2+y2+z2=a2的北极向xy平面作球极投影.证明:可将球面的线素写成ds2=4(dx2+dy2) [1+K(x2+y2)]212曲面论部分有关第一基本形式习题而从中心向z =a 处的切平面作中心投影,可将球面线素写成ds 2=dx 2+dy 2+K (xdy −ydx )2[1+K (x 2+y 2)]2其中K =1a 2.4.证明:在螺面r =(u cos v,u sin v,ln cos u +v )上,每两条螺线(v 曲线)在任一u 曲线上截取等长的曲线段.5.设曲面上曲线C 的切线方向为(δu,δv ),求(1)C 的正交轨线的微分方程;(2)当Aδu +Bδv =0时,C 的正交轨线的微分方程.6.求曲面的参数曲线的二等分角轨线的微分方程.7.设在曲面上一点,含du,dv 的二次方程P du 2+2Qdudv +Rdv 2=0确定两个切线方向.证明:这两个方向相互正交的充要条件是ER −2F Q +GP =08.设φ(u,v )=常数以及ψ(u,v )=常数是曲面上两族正则曲线.证明:它们相互正交的充要条件是:Eφv ψv −F (φu ψv +φv ψu )+Gφu ψu =09.求球面的斜驶线(与子午线交定角的轨线)方程.10.设曲面线素为ds 2=du 2+(u 2+a 2)dv 2.求(1)曲线C 1:u +v =0,C 2:u −v =0的交角;(2)曲线C 1:u =a2v 2,C 2:u =−a 2v 2,C 3:v =1所构成三角形的边长与内角.11.设曲面参数变换为u =¯u cos θ+¯v sin θ,v =−¯u sin θ+¯v cos θ(θ为常数)，求第一基本形式系数的变换公式。
微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
曲面的第一基本形式
F EG
u-曲 线 ： dv 0， v-曲 线 ： u 0 .
推论3 曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是F=0.
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
1 a 1 a
2
2
.
微分几何 第15讲 15
作业： P
81
3，5，6
谢
谢！
微分几何 第15讲 16
2 2 2 2
sinh udv
2
2
的曲面上，
ds
dv sinh vdv cosh vdv ,
2 2
1 (sin h t ) (co sh t )
在曲线u = v上，由 v1到 v 2 的弧长为
v2 v1
co sh vd v = | sin h v 2 sin h v1 | .
2
dr r (r udu r vdv )( u r v ) r u v
= Edu u F ( du v dv u ) Gdv v
cos
E du u F ( du v dv u ) G dv v
§2.2 曲面的第一基本形式
1
主要内容
1. 曲面的第一基本形式
t1 t0
曲面上曲线的弧长
2 2 2 2 Ⅰ=d r d s E du 2 F dudv G dv
s (t )
r ( t ) d t =
t
t0
t1t1
0
EE d u ) 2 F d u d v G d v ) d t ( G( dt dt dt dt
§1 曲面的第二基本形式
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率本章将以刻画曲面的弯曲程度为中心而展开讨论．类比于讨论曲线的方式，按照微积分学的一般观点，可以选择两种直观的出发点来考虑曲面的弯曲：一者是调查曲面与其切平面在切点附近的近似程度，一者是研究曲面的切平面的变化率．从此出发而作进一步分析，一者需要考察切向微元的微分，也就是位置向量的二次微分；而另一者需要考察单位法向的微分．本章首先要说明上述两种方式是殊途同归的，并导致相关基本概念的合理引进；其次要研究所衍生出的刻画弯曲的几何量——各种曲率．在本章的学习过程中，除几何直观以外，应该注意体会所用方法的一般性．§1曲面的第二基本形式对正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2，在上一章中已经知道如何了解一些基本情况，诸如位置向量的微分 d r=r u d u+r v d v、第一基本形式Ⅰ=d s2= d r•d r=E d u2+ 2F d u d v+G d v2、单位法向n=r u×r v|r u×r v|等等．容易知道，d r•n= 0 ，d n•n= 0 ，即微分 d n=n u d u+n v d v是切向微元．下面进一步研究曲面．观察公切于一点的两张球面的弯曲程度，可见下述一般讨论是极其自然的．一．切点邻近点到切平面的有向距离在曲面S上考虑点P: r(u, v) 处的切平面T P与曲面的差异．任取邻近一点P*: r(u+d u, v+d v) ，则点P* 到切平面T P的有向距离为δ=Δr•n= [r(u+d u, v+d v) − r(u, v)]•n．而由Taylor展开式，可写图4-1Δr= d r+12 d2r+o(d u2+d v2)= (r u d u+r v d v) +12 ( r uu d u2+ 2ruvd u d v+r vv d v2) +o(d u2+d v2) ；δ=12 d2r•n+o(d u2+d v2)≈ 1 2 d 2r •n = 1 2 ( r uu •n d u 2 + 2r uv •n d u d v + r vv •n d v 2) ．而 0 = d(d r •n ) = d 2r •n + d r •d n ，故又有δ = −1 2 d r •d n + o (d u 2+d v 2)≈ −1 2 d r •d n = −1 2 [r u •n u d u 2 + (r u •n v + r v •n u ) d u d v + r v •n v d v 2) ，其中 r u •n v = − r uv •n = − r vu •n = r v •n u ．二．第二基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(1.1) Ⅱ = −d r •d n = d 2r •n = L d u 2 + 2M d u d v + N d v 2为曲面 S 的第二基本形式，其系数 L , M , N 也称为曲面的第二基本量；称矩阵 ⎝⎛⎠⎞L M M N 为曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第二基本形式系数矩阵，其行列式称为曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第二基本形式系数行列式．第二基本形式的几何意义即为切点邻近点到切平面的有向距离的二倍．其计算较为直接；但同样也是关于曲面的最基本的计算，需要熟练掌握．按照定义以及前一段计算的结果，可列出下列算式：(1.2) L = L (u , v ) = −r u •n u = r uu •n= r uu • r u ×r v |r u ×r v | = (r uu , r u , r v ) |r u ×r v | = (r uu , r u , r v ) EG − F 2; (1.3) M = M (u , v ) = −r u •n v = −r v •n u = r uv •n = r vu •n= (r uv , r u , r v ) |r u ×r v | = (r uv , r u , r v ) EG − F 2; (1.4) N = N (u , v ) = −r v •n v = r vv •n = (r vv , r u , r v ) |r u ×r v | = (r vv , r u , r v ) EG − F 2; (1.5) Ⅱ = −d r •d n = −(d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n v T ⎝⎛⎠⎞d u d v ,(1.6) ⎝⎛⎠⎞L M M N = − ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n v T = − ⎝⎛⎠⎞r u r v •(n u , n v ) ． 下例展示了具体运算的两种基本途径．例1已知圆环面r(θ, ϕ) = ((b+a cosϕ ) cosθ , (b+a cosϕ ) sinθ , a sinϕ) ，其中两个常数a, b满足条件 0 <a<b．求其第二基本形式．解：直接计算可知rθ= (b+a cosϕ ) (−sinθ , cosθ , 0) ，图4-2 rϕ=a (−sinϕ cosθ , −sinϕ sinθ , cosϕ) ，rθ×rϕ=a(b+a cosϕ ) (cosϕ cosθ , cosϕ sinθ , sinϕ) ，|rθ×rϕ|=a(b+a cosϕ ) ，n=rθ×rϕ|rθ×rϕ|= (cosϕ cosθ , cosϕ sinθ , sinϕ) ．途径①：rθθ= (b+a cosϕ ) (−cosθ , −sinθ , 0)=−(b+a cosϕ ) (cosθ , sinθ , 0) ，rϕθ=a (sinϕ sinθ , −sinϕ cosθ , 0) =a sinϕ (sinθ , − cosθ , 0) ，rϕϕ=a (−cosϕ cosθ , −cosϕ sinθ , −sinϕ) =−a n；L=rθθ•n=−(b+a cosϕ ) cosϕ，M=rϕθ•n= 0 ，N=rϕϕ•n=−a，从而第二基本形式为Ⅱ= d2r•n=L dθ 2+ 2M dθdϕ+N dϕ2=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．途径②：nθ= (−cosϕ sinθ , cosϕ cosθ , 0) = cosϕ (−sinθ , cosθ , 0) ，nϕ= (−sinϕ cosθ , −sinϕ sinθ , cosϕ) ，L=−rθ•nθ=−(b+a cosϕ ) cosϕ，M=−rϕ•nθ= 0 ，N=−rϕ•nϕ=−a，Ⅱ=−d r•d n=L dθ 2+ 2M dθdϕ+N dϕ2=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．三．在容许参数变换下的行为注意到 (1.5) 式，由一次微分形式的不变性易知，第二基本形式在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号；并且可证（留作习题）其在刚体运动下不变．下面考虑第二基本形式系数在容许参数变换下的变换规律．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，分别记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式为 J = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第二基本形式为Ⅱ = L *(u *, v *) d u *2 + 2M *(u *, v *) d u *d v * + N *(u *, v *) d v *2 ．若参数变换为保向的，则由复合求导链式法则可得(1.7) ⎝⎛⎠⎞L * M *M * N * = − ⎝⎛⎠⎞r u * r v * ⎝⎛⎠⎞n u * n v *T= − J ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n vT J T = J ⎝⎛⎠⎞L M M N J T ， (1.8) L *N * − M *2 = |J |2(LN − M 2) ．若参数变换为反向的，则 (1.7) 式右端差一负号，而 (1.8) 式仍然成立．这说明，类似于第一基本形式系数矩阵，第二基本形式系数矩阵仍然服从所谓“张量”的变换规律；其系数行列式变换规律，也与第一基本形式的相仿．特别值得注意的事实是，成立(1.9) L *N * − M *2 E *G * − F *2 = LN − M 2EG − F 2． 此式说明，利用两个基本形式的系数可以构造出曲面的几何量．(1.9) 式所确定的几何量将在后续内容中进一步得到考察．习 题⒈ 证明曲面的第二基本形式在刚体运动下不变．⒉ 对正则曲面 S ，试证： S 是平面片的充要条件为其第二基本形式恒等于零．⒊ 讨论可展曲面的第二基本形式，并用以证明：曲面的第二基本形式不是内蕴量． ⒋ 计算下列曲面 r (u , v ) 的第二基本形式系数．① r (u , v ) = (u , u 2 − 2uv , u 3 − 3uv ) ；② r (u , v ) = (u + v , u − v , 2uv ) ；③ r (u , v ) = (u , v , f (u , v )) ．⒌ 试证：正则球面片的第二基本形式是其第一基本形式的一个非零常数倍．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 的第二基本形式是其第一基本形式的一个非零函数倍，即在参数 (u , v ) 下有 Ⅱ = f (u , v )Ⅰ ，f (u , v ) ≠ 0 ．试证：① d n=−f d r； ② 函数f为常值函数；③ S为球面片.⒎设正则曲面S: r(u, v) 的两族坐标曲线都是直线，并且切平面沿v线重合．试证S是平面片．。
微分几何答案(第二章)
第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。
3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。
cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。
—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。
一曲面的概念
一 曲面的概念1 简单曲面以及参数表示（1） 主要概念若尔当曲线，初等区域、简单曲曲面的参数表示、区纹坐标、坐标曲线、区纹坐标网。
（2） 主要公式曲面的参数方程：曲面S),(v x x μ=，),(v y μ=，),(v z μ=，G v ∈),(μ 曲面的向量参数表示：曲面S==),(v u r r),,({v u x ),,(v u y )},(v u z其中G v u ∈),(，u ，v 曲面上的点的曲纹坐标。
（3） 实例：圆柱面的参数表示),(z r θ={}z R ,cos θ=即,θμ=G z v ,=是一个长方形的区域：,20πθ<<.∞<<-∞z 坐标曲线是：-θ曲线（z=常数）即=),(0z r θ{}z R R 0,sin ,cos θθ.它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。
-z 曲线（θ是常数）即:{}z R R z r ,sin ,cos ),(000θθθ= 它是原柱面上的直母线。
球面的参数表示为：),(θφr r =,cos cos {φθR = }sin ,sin cos θφθR R ， G ∈),(θφ是一个长方形区域：22πθπ<<-；.20θφ<<即φ=u ，θ=v 。
坐标曲线是-ϕ曲线（θ=常数），即),(0θϕr =ϕθcos cos {0R ，ϕθsin cos 0R ，}sin 0θR 是球面上等纬度的圆——纬线，-θ曲线，（θ=常数），即==),(0θϕr ϕθ0cos cos {R ，}sin ,sin cos 0θθϕR 它是球面上过两极的半圆——纬线（子午线）。
2光滑曲面（1）主要概念k 阶正则曲面、光滑曲面、曲面的正常点、曲面的正规坐标网、曲面的特殊参数表示、曲面的切方向、曲面的切平面、曲面的法方向、曲面的法线、曲面的正侧。
（2）主要定理命题 1 曲面在正常点的邻域中可以有形式为),(y x z z =的特殊参数表示。
§3 曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式§3 曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有d r = r u d u + r v d v = r u d u d t d t + r v d v d td t ， d r d t = ⎝⎛⎭⎫r u d u d t + r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r •d r = (r u •r u ) d u 2 + 2(r u •r v ) d u d v + (r v •r v ) d v 2图3-13= d r d t • d r d t d t 2 = [ |r u |2 ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2(r u •r v ) ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + |r v |2 ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 . 按照经常通用的记号，记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u •r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u •r v , G = G (u , v ) = r v •r v = |r v |2 ,则进一步对曲线 C 有d s 2 = d r •d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]|u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， 此时取 d s = |d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有 s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ．由此可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．注记： 曲面的第一基本形式系数也称为其第一基本量． 用进一步的几何语言来说，第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．按照定义，曲面第一基本形式d s 2 = d r •d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部（略去的是高阶无穷小）．可证（留作习题）第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变；因而确实是曲面的几何量．从定义出发，第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算，一定要熟练掌握．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a •b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r •d r = (a d u + b d v )•(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ•r ρ = (a cos θ + b sin θ)•(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ•r θ = (a cos θ + b sin θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ•r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w •r w = (T + t κ N )•(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w •r t = (T + t κ N )• T = 1 ，G (w , t ) = r t •r t = T • T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．基于第一基本形式的不变性，需要注意，第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．为了简便，可将第一基本形式 (3.2) 改写为形式矩阵，表示为(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；相关各量分别表示为(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r •d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v • (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“•”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G = EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u •r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ，称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．这两条性质是等价的；它们的证明已经隐含在定义之中．下面具体考虑它们在容许参数变换下的行为．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为(3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2 ．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T= J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r vT J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念（将在后续几何或代数课程中出现）的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E*G* -F*2=||J||EG-F2．例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u, v) 下可以表示为 d s2= d u2+ d v2．解：平面弧长参数曲线设为C: a(s*) ，设S: r(s*, v) =a(s*) +v l, l= const. , |l|= 1 ．则其第一基本形式为d s2=|d r|2=|a'(s*) d s* +l d v|2= d s*2+ 2[a'(s*)•l] d s*d v+ d v2．当直纹与准线C所在平面垂直时，a'(s*)•l≡ 0 ，则令 (u, v) = (s*, v) ，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直（想想理由并自行给出解析论证），故可转化为上一种情形．三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以 (3.2) 式确定；曲面S上的两条曲线C i: {u=u i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ，(u0, v0) = (u i(t i0), v i(t i0)) ，i= 1, 2 ．C i在点v=v i(t i)P0处的自然切向为r u(u0, v0) u i'(t i0) +r v(u0, v0) v i'(t i0) ．简记a i= u i'(t i0) ,b i= v i'(t i0) ,E0=E(u0, v0) , F0=F(u0, v0) , G0=G(u0, v0) ．则C i在点P0处的交角θ0的余弦确定为r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10) |r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10)|•r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20) |r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20)|=a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0a12E0+ 2a1b1F0+ b12G0a22E0+ 2a2b2F0+ b22G0．利用微分形式的不变性，可知(d u i : d v i )|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0=u i'(t i0) : v i'(t i0) =a i : b i，从而 cosθ0确定为E d u1d u2+F(d u1d v2+ d v1d u2) + G d v1d v2E d u12+ 2F d u1d v1+G d v12E d u22+ 2F d u2d v2+ G d v22|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0．此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u, v) 处的两个切向微元在自然基 {r u, r v} 下分别为 d u:d v和δu:δv，则其间夹角余弦确定为(3.12) cosθ=E d uδu+F(d uδv+ d vδu) + G d vδvE d u2+ 2F d u d v+G d v2Eδu2+ 2Fδuδv+ Gδv2．该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．将(3.12) 式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理．定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解(3.12) 式）在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为1:0 和0:1 ，代入 (3.12) 式即得坐标曲线夹角余弦cosθ=FEG；从而两族坐标曲线处处正交的充要条件为F≡ 0 ，即得结论．定义2对正则曲面S: r=r(u, v) ，若两族坐标曲线处处正交，则称参数(u, v) 为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数（不一定正交）的讨论，将在 §5 以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S: r=r(u, v) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．解：对于两族坐标曲线的自然切向r u和r v，二等分角向量场为r u |r u|±r v|r v|=r uE±r vG．故轨线C的切向微元r u d u+r v d v处处与该向量场平行，即沿C有d u:d v=1E:±1G，从而所求微分方程为E d u±G d v= 0 ．例4已知正则曲面S: r=r(u, v) 的第一基本形式确定为 (3.2) 式．设微分方程α(u, v) d u2+ 2β(u, v) d u d v+γ(u, v) d v2= 0 在定义区域内过点 (u0, v0)有且仅有不相切的正则解曲线Γi: {u=u i(t i)v=v i(t i)，i= 1, 2 ；两条曲面S上的曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ．试证：两条曲线C i正交于点P0的充要条件为(Eγ- 2Fβ+Gα)|(u, v) = (u0, v0)= 0 ．证明：记α0=α(u0, v0) , β0=β(u0, v0) ,γ0=γ(u0, v0) ．记两条曲线C i在点 (u0, v0) 处的两个切向微元分别为a i : b i，则由正则性可知a i2+b i2≠ 0 ；由微分方程可知α0 a i2+ 2β0a i b i+γ0b i2= 0 ．而由 (3.12) 式，C i之间正交条件写为a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= 0 ．以下分两种情形讨论．情形①：α0=γ0= 0 ，则β0≠ 0 ；否则过点 (u0, v0) 的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知a i b i= 0 ，故只能有两组解{a1= 0, b1≠ 0 ，a2≠ 0 , b2= 0 ；或{b1= 0 , a1≠ 0 ，b2≠ 0 , a2= 0 ；对应正交条件等价化为F0= 0 ，即为所论条件．情形②：α0和γ0不同时为 0 ，不妨设α0≠ 0 ；则由微分方程可知，必有b i≠ 0 ；此时，不妨规范为b i= 1 ，则方程转化为α0 a i2+ 2β0a i+γ0= 0 ．此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+a2=-2β0α0，a1a2=γ0α0，从而a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= a1a2E0+ (a1+ a2)F0+ G0=γ0α0E0+-2β0α0F0+ G0=1α0 (γ0E0-2β0F0+α0G0) ．此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证．2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面S的面积在已知第一基本形式之时的求解问题．在参数区域U内，任取矩形使其分别以点 (u, v), (u+d u, v),(u, v+d v), (u+d u, v+d v) 为顶点，则在曲面S上对应形成以点P1:(u, v), P2: (u+d u, v), P3: (u, v+d v),P4: (u+d u, v+d v) 为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形P1P2P3面积的二倍，从而就等于由向量P1P2和P1P3所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，P1P2⨯P1P3= [r(u+d u, v) - r(u, v)]⨯[r(u, v+d v) -r(u, v)]≈ [r u(u, v)d u]⨯[r v(u, v)d v] =EG-F2 d u d v n(u, v) ，故曲面的面积元素可以表示为(3.13)dσ=|r u⨯r v| d u d v=EG-F2 d u d v，其中第二个等号是根据(3.7) 式．进而，曲面上任一有界区域r(U0) 的面积A(U0) 可以表示为(3.14) A(U0) =⎰⎰U0 dσ=⎰⎰U0|r u⨯r v| d u d v=⎰⎰U0EG-F2 d u d v．v)图3-14在参数变换下，根据 (3.8) 和 (3.10) 式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的．以上结果的核心，列为如下定理．定理2 正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．习 题⒈ 证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变．⒉ 证明正则曲面的第一基本形式在 E 3 的正交标架变换下不变．⒊ 试求下列曲面的第一基本形式：① 单位球面 r (u , v ) = (2u u 2 + v 2 + 1 , 2v u 2 + v 2 + 1 , u 2 + v 2 - 1 u 2 + v 2 + 1) ； ② 悬链面 r (u , t ) = (t , cos u ch t , sin u ch t ) ．⒋ 在螺面 r = (u cos v , u sin v , ln cos u + v ) 上，试证：每两条螺线（v 线）在任一 u 曲线上截取等长的曲线段．⒌ 球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 之上有两族正则曲线 ϕ( u , v ) = a 和 ψ( u , v ) = b ，其中a 和b与 (u , v ) 无关．试证：它们互相正交的充要条件为E ϕv ψv -F (ϕu ψv + ϕv ψu ) +G ϕu ψu = 0 ．⒎ 已知曲面的第一基本形式为 d s 2 = d u 2 + (u 2 + 4) d v 2 ．试求：① 其上两条曲线 C 1: u + v = 0 与 C 2: u - v = 0 的交角；② 其上三条曲线 C 1: u = v 2 , C 2: u = - v 2 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的边长和各个内角；③ 其上三条曲线 C 1: u = v , C 2: u = - v 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的面积．。
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球面的第一第二基本形式球面是一种特殊的曲面，经常被用来描述三维空间中的形状和物体。
对于每个点P，我们可以将球面视为由该点为中心，半径为R的球体的表面。
球面有两个重要的度量表示方法：第一基本形式和第二基本形式。
第一基本形式：
球面的第一基本形式是一个张量，它用于描述Tangential to the surface of a sphere（曲面的切向）在点P处的内部几何信息。
它由曲面上两个切向（u和v，或者其他任意的切向向量）的内积构成，如下所示：g_1 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2
其中，E、F和G是函数，也就是曲面的基本形式系数。
- E和G表示切向量距离中心点P的距离的平方。
- F表示切向量之间夹角的余弦值。
第一基本形式允许我们计算沿曲面走过的距离和夹角。
例如，曲面的弧长可以通过积分式计算：
L = ∫a^b
√(E(du/dt)^2+2F(du/dt)(dv/dt)+G(dv/dt)^2) dt 这里du/dt和dv/dt是曲面上从点a到点b的切向量u和v的导数，t是曲线上的参数（例如弧长）。
第二基本形式：
球面的第二基本形式描述了曲面在 P点的法向量方向上的几何信息。
它是一个2 x 2张量，在 P点的曲面切向量域和法向量域上定义。
它的定义与高斯曲率和平均曲率以及曲面上任意法向量方向的方向导数（曲线的曲率）有关。
第二基本形式的计算公式为：
h_ij = -n · ∂^2X/∂u^i∂u^j
其中，∂^2X/∂u^i∂u^j 是曲面上的二阶偏导数，n是曲面上某一点的单位法向量。
第二基本形式的主要应用之一是计算曲面上的最小曲率半径（或曲率半径的倒数k），或者曲面上任意方向的方向导数（平均曲率H）。
在球面上，由于曲率是固定的，第二基本形式有一个很特殊的形式：
h_ij = -R^2 δ_ij
其中, R 是球面半径，δ_ij 是克罗内克δ 称为Kronecker Delta。
这意味着，针对任意法向量n的曲率半径k和平均曲率H是相等的，并且等于球面半径的倒数：k = H = 1/R
总的来说，球面的第一和第二基本形式是描述曲面性质的两个非常重要的工具。
第一基本形式表述了曲面内部的几何信息，默认我们要求曲面是平滑连续且二阶可导。
第二基本形式测量曲面形状不同部分的弯曲程度，并用于
推导曲面的基本性质，例如曲率、最小曲率半径和平均曲率。
这些重要的概念不仅在几何学和拓扑学中有广泛应用，在计算机图形学和计算机视觉领域也有重要应用。