小波分析理论简介

小波分析理论简介刘玉民（一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（JeanBaptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数)(t f ，都可以用三角级数表示：)(t f = ∑∞-∞=k iktk e C = 20a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞=1sin k k kt b (1)k C =π21⎰-π20)(dt e t f ikt= *ikt e f , (2)k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3)对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1,T为测量时间：)(t f =20a +)sin cos (121∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 22cos 21ω=∑-=10N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-==102cos2N m m k Nkmx Na π ，=k 0，1，2，…,2N (5)∑-==12sin2N m m k Nkmx N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6)∑-=-=1)/2(1N m N km i mk e xNC π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7)t N k k ∆=πω2 ，NTt =∆ (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）：⎰∞∞--=dt e t f f t i ωω)()(=t i e f ω, （9）ωωπωd e f t f t i )(21)(⎰∞∞-=(10)傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807 年开始，直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。

她在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。

其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。

所以说，傅立叶理论是万古流芳的。

数学上的插值方法。

除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。

遗憾的是，这种理论具有一定的局限性：（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。

（举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。

在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。

硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。

（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均，这从上面的（5）、（6）、（7）公式可以清楚看到。

局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来（好比吃大锅饭，平均主义）。

差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。

处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。

为了克服以上两点局限性，这就要求：（1）将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。

（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只 能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。

2 Garbor 变换—窗口 Fourier 变换在时间—频率分析中， Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数” g(t-b),其中参数 b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。

因为一个 Gaussian 函数的Fourier 变换还是Gaussian 函数，所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。

窗口 Fourier 变换简介。

对于时间局部化的“最优”窗，用任一Gaussian 函数 at a eat g 4221)(-=π （11）“Garbor 变换”的定义为⎰∞∞---=dt b t g t f e f G a t i a b)())(())((ωω （12） 由于⎰∞∞- =-db b t g a )(⎰∞∞-=dx x g a )( 1 （13）所以⎰∞∞-{⎰∞∞-dt b t g t f ea ti )())((--ω} db = )(ωf（14）令 )(,t G ab ω =)(b t g e a t i -ω （15） 利用 Parseval 恒等式，=ηωηηππηωd g f ee a aib ib )()((2141-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰∞∞--（16）这个等式说明，除去乘数项 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ωπib e a 之外，在b t = 具有窗函数a g 的f 的“窗口 Fourier 变换”，与在 ωη=具有窗函数ag 41的f的“窗口 Fourier 逆变换”一致，根据窗函数 a g 的宽度是 2a 的结论，这两个窗的宽度分别是2a 和a1这两个窗的笛卡儿积是[a b a b +-,]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯a a21,21ωω加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。

在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。

若减小时间窗（减小a ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。

总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。

3 窗口 Fourier 变换的测不准原理 对于一个非平凡函数w )(2IR L ∈，若满足tw )(2IR L ∈ （A ）条件，则w 可作为短时窗口 Fourier 变换的窗函数，若其Fourier 变换也满足上述条件，那么21≥∆∆ww （B ） 而且，等号成立，如且仅如)()(b t g ce t w a iat -= （C ）其中 IR b a a c ∈>≠,0,0和 。

小结：（1） 傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况； （2） 求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特征；（3） 加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。

由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。

（二） 小波分析将时程函数)(t f 表示为下面的小波级数：∑∑∞-∞=∞-∞=><=j k kj k j t f t f )(~,)(,,ψψ =∑∑∞-∞=∞-∞=j k k j kj t d)(,,ψ （17）)2(,k t j k j -=ψψ （18）其中， )(t ψ 是小波函数，k j d , 是小波系数，且k j d , =><kj f ,~,ψ ( 19）由公式（17）到（19） 可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标j ，而且还有时间的指标 k 。

也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 j ，在不同时刻 k ，小波系数也是不同的。

这样就克服了上面所述的第一个不足。

由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。

这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。

与有限元比较。

在这一点，小波插值要比有限元高明。

有限元虽然是局部的“单元插值”，但单元之间的公共节点上，只能保证0C 阶连续，而导数不连续。

小波插值可保证二阶导数连续，只要选三次样条小波就能做到。

第三个不足，小波分析是如何克服的呢？通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积是[ψψ∆++∆-+**a atb a at b ,]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-⨯••ψωψω a a a a 1,1 （20）其中j a -=2，时间窗的宽度为 ψ∆a 2，随着频率的增大（即j 的增大）而变窄，随着频率的减小（即j 的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式（18）中，时间变量 t 前面乘了个“膨胀系数”j 2 。

小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。

根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。

如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。

然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。

再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。

为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。

选择小波函数的“四项原则”。

在求小波系数公式（19）中，如果 )(k t -ψ 是)(2IR L 空间的正交基，则的k j ,~ψ为kj ,ψ的复共轭。

小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。

小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是1C 连续。

由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。

所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。

如果选择某个小波函数，同时满足四项指标，那真是人类的福气。

遗憾的是，上帝像是有意考验我们的数学家，没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类。

数学家们已经证明，具有正交、线性相位、紧支撑的小波函数只有 Harr 函数，而Harr 函数是间断函数，对于工程应用来说，是不理想的。

目前，一种倾向是坚持正交性。

另一种倾向是放弃正交性，另辟途径，进行艰辛的长征，前仆后继，花费了将近半个世纪的探索，才使小波分析理论成熟起来，得以在工程中应用。

作为后人，我们要忠心地感谢他们。

为了进行小波分解与重构，“四合一”的小波函数不存在，数学家们“一分为四”，选择了四个函数，巧妙地解决了这些问题。

这四个函数是：尺度函数 φ，小波函数 ψ，对偶尺度函数 φ~，对偶小波函数 ψ~。