江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

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绝密★启用前 江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．函数0()(1)2f x x x =+--的定义域为 （ ） A ．[1，+∞) B ．(1，+∞) C ．[1，2) ∪(2，+∞) D ．（1，2）∪(2，+∞) 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()U C A C B B ．()()A B B C ??? C ．()()U A C C B D ．()U C A C B ?? 3．给出下列关系式： Q ； ②{}{}1,2(1,2)=； ③2{1,2}∈； ④{0}??，其中正确关系式的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列集合中子集个数最多的是（ ） A ．{}2|320x N x x ∈++= B ．{}123x x 是边长分别为，，的三角形

C ．1x x =-

D ．?

5．下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） A ．(3)(5)(),()53x x f x g x x x +-==-+ B ．(),()f x x g x ==C ．()25,()25f x x g x x =-=- D ．(),()f x x g t ==6．已知函数2()25f x x ax =-+，且其对称轴为1x =，则以下关系正确的是（ ） A ．(3)(2)(8)f f f -<< B ．(2)(3)(8)f f f <-< C ．(3)(2)(8)f f f -=< D ．(2)(8)(3)f f f <<- 7．若()()

()()

2,106,10x x f x f x x ?-

A ．1

B ．3

C ．5

D ．7

8．设U ＝{1，2，3，4，5} ，若A B ＝{2}，{}()4U C A B ?=，

{}()()1,5U U C A C B ?=，则下列结论正确的是（ ）

A.3A ?且3B ?

B.3A ∈且3B ?

C.3A ?且3B ∈

D.3A ∈且3B ∈

9．若函数223,1

()1,1x ax x f x ax x ?++≤=?+

>?是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．[3,1]--

B ．(,1]-∞-

C ．[1,0)-

D ．[2,0)-

10．定义集合的商集运算为{|,,}A m

x x m A n B B n ==∈∈，已知集合{2,4,6}A =，

{|1,}2k B x x k A ==-∈，则集合B

B A ?元素的个数为( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

11．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ?=-=-=??， ()

()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最

值是( )

A ．最大值为3，最小值－1

B ．最大值为，无最小值

C ．最大值为3，无最小值

D ．既无最大值，又无最小值

12．已知函数1()

()0(

)x f x x ?=??为有理数为无理数，则关于函数()f x 有如下说法：

①()f x 的图像关于y 轴对称； ②方程(())f f x x =的解只有1x =； ③任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立； ④不存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ,33(,())C x f x ，使得ABC ?为等边三角形． 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

…

…

…

订

…

※

※

线

※

※

内

※

※

答

…

…

…

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…

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

13．已知集合[1,3)

A=-,(2,5]

B=,则A B=________．

14．已知集合A R

=,B R

=,:f A B

→是从A到B的一个映射，若:21

f x x

?,

则B中的元素3的原象为________．

15．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[

25

4

4

--，]，则m的取值范围是

16．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵

坐标分别为x和y，设y是x的函数，记()

y f x

=，则下列说法中：

①函数()

y f x

=的图像关于y轴对称；

②函数()

y f x

=的值域是；

③函数()

y f x

=在[6,63]()

k k k

+∈Z上是增函数；

④函数()

y f x

=与y=[2019,2019]

-上有2020个交点.

其中正确说法的序号是_______.

说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴

正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C

为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．

三、解答题

17．已知全集{|10,}

U x x x N

=≤∈，{}

0,2,4,6,8

A=，{|,5}

B x x U x

=∈<

（1）求{|

M x x A

=∈但}

x B

?；

（2）求()()

U U

C A C B

?。

U =R . （1）求()C U A B ?； （2）若A C ?=?,求实数m 的取值范围. 19．已知函数24,(0)()2,(0)12,(0)x x f x x x x ?->?==??-

(1)()f a a R +∈的值； （2）当43x -≤<时，求()f x 的值域. 20．经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足函数()802g t t =-（件），而且销售价格近似满足于()115(010)2125(1020)2t t f t t t ?+≤≤??=??-<≤??（元）. （1）试写出该种商品的日销售额y 与时间(0t 20)t ≤≤的分段函数表达式()h t ； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值. 21．已知二次函数()f x 的对称轴为1x =，且(0)(2)3f f ==. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若[,2]x t t ∈+，试求()y f x =的最小值； （3）若在区间[1,1]-上，()y f x =的图像恒在221y x m =++的图像上方，试确定实数m 的取值范围. 22．已知定义在区间(0,)+∞上的函数4()5f x x x =+-， (1)判定函数4()g x x x =+在[2,)+∞的单调性,并用定义证明； (2)设方程()f x m =有四个不相等的实根1234x x x x ． ①证明：123416x x x x =； ②在[1,4]是否存在实数,a b ，使得函数()f x 在区间[],a b 单调，且()f x 的取值范围为[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D

【解析】

本题考查函数的定义域和不等式的解法.

要使函数有意义，需使10

{2010

x x x -≥-≠-≠，解得1 2.x x >≠且故选D

2．C

【解析】

【分析】

根据集合的交集、并集、补集的概念，结合所给的韦恩图，选出正确的答案.

【详解】

由韦恩图可知：阴影部分所表示的集合为集合,A C 的并集与集合B 在全集U 中补集的交集，即为()

()U A C C B ，故本题选C.

【点睛】

本题考查了集合交集、并集、补集运算的概念，考查了韦恩图的应用.

3．C

【解析】

【分析】

根据属于关系、集合相等、子集关系的概念逐一判断即可选出正确的答案.

【详解】

是无理数，Q

Q 不正确；

②：因为集合{}1,2的元素是12，，

集合{}(1,2)的元素是(1,2)，所以{}{}1,2(1,2)=不正确； ③：因为集合{}1,2的元素是12，，所以2{1,2}∈正确；

④：因为空集是任何集合的子集，所以{0}??正确，因此有2个关系式是正确的，故本题选C.

【点睛】

本题考查了属于关系、集合相等、子集关系的概念，属于基础题.

4．D

【解析】

【分析】

分别求出四个集合的元素，然后判断出子集的个数，最后选出正确答案.

【详解】

选项A:方程2320x x ++=的解为12--，，因为12--，不是自然数，所以集合

{}

2|320x N x x ∈++=是空集，它的子集个数为1； 选项B:因为123+=，不符合三角形两边之和大于第三边，所以集合

{}123x x 是边长分别为，

，的三角形是空集，它的子集个数为1； 选项C:因为0x ≥，所以集合{}

1x x =-是空集，它的子集个数为1；

选项D:因为集合{}?的子集是：{}?和?，所以它的子集个数为2个，因此子集个数最多的集合是集合{}?，故本题选D.

【点睛】

本题考查了集合子集个数问题，确定集合元素的个数是解题的关键.

5．D

【解析】

【分析】

根据同一函数的定义逐一对四个选项中两个函数进行比较即可选出正确答案.

【详解】

选项A:因为函数()f x 的定义域为：{}|3x x ≠-，函数()g x 的定义域为全体实数，所以函数()f x 和函数()g x 不是同一函数；

选项B:因为函数()f x 的值域是全体实数，函数()g x 的值域为：{}|0y y ≥，所以函数()f x 和函数()g x 不是同一函数；

选项C:因为函数()f x 的值域是{}|0y y ≥，函数()g x 的值域为全体实数，所以函数()f x 和函数()g x 不是同一函数；

选项D:因为()()g t t t R ==∈，它与函数()()f x x x R =∈不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以函数()f x 和函数()g t 是同一函数，故本题选D.

【点睛】

本题考查了同一函数的判断方法，判断对应关系是否相同、定义域是否相同是解题的关键. 6．B

【解析】

【分析】

根据函数()f x 的对称轴，可以判断出二次函数的单调性，进而可以比较出

(2),(8),(3)f f f -之间的大小关系.

【详解】

根据题意，函数2

()25f x x ax =-+，其对称轴为1x =，其开口向上，

()f x 在[1,)+∞上单调递增，则有(2)(3)(5)(8)f f f f <-=<，故选B. 【点睛】

本题考查了二次函数的单调性，考查了二次函数的对称轴的性质.

7．D

【解析】

【分析】

把57x =代入函数()(6)f x f x =-中，利用这个等式，可以得到(57)(9)f f =，再把9x =代入()2f x x =-中，这样可以求出(57)f 的值.

【详解】

由题意得，(57)(51)(45)(9)927f f f f ===???==-=

【点睛】

本题考查了求分段函数的函数值问题，属于基础题.

8．B

【解析】

【分析】

根据题意画出韦恩图，确定出A 与B,即可作出判断.

【详解】

因为U ＝{1，2，3，4，5} ，若A B ?＝{2}，(){}4U C A B ?=，

()(){}1,5U U C A C B ?=，所以画出韦恩图：

∴ ={2,3}A ，={2,4}B ，则3A ∈且3B ?，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，集合的韦恩图，属于中档题.

9．A

【解析】

【分析】

根据分段函数单调性的性质可以得到关于a 的不等式组，解这个不等式组即可求出a 的取值范围.

【详解】

因为函数()f x 是R 上的减函数，所以有221

201231a a a a ?-≥??

，解得31a -≤≤-，故本题选

A.

【点睛】

本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.

10．A

【解析】

【分析】 根据集合的商集运算定义和并集的定义可以求出集合B B A

?，最后求出集合 B B A

?元素的个数即可. 【详解】

由题意知，{0,1,2}B =，

11110,,,,1,2463B A ??=????，则11110,,,,1,,22463B B A ???=????

，共有7个元素，故本题选A.

【点睛】 本题考查了新定义的理解与运用，考查了并集运算的定义，考查了数学阅读理解能力. 11．B

【解析】

【分析】

根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.

【详解】

如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现

()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-?=?所以选B.

【点睛】

取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合. 12．C

【解析】

【分析】

①:分类讨论有理数和无理数的相反数的属性，结合函数的奇偶性可以判断出本说法的正确性；

②：根据x 是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；

③：根据x 是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；

④：取特例，如1x =20x =，3x =，可以ABC ?为等边三角形，可以判断出本

说法的正确性.

【详解】

①：∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=，故①正确；

②：∵当x 为有理数时，()1f x =；当x 为无理数时，()0f x =

∴当x 为有理数时，(())(1)1f f x f ==；当x 为无理数时，(())(0)1f f x f ==， 即不管x 是有理数还是无理数，均有(())1f f x =，故②正确；

③：若x 是有理数，则x T +也是有理数； 若x 是无理数，则x T +也是无理数

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒 成立，故③正确；

④：取13x =-，20x =，33

x =，可得1()0f x =，2()1f x =，3()0f x =，

∴A (0,1)B ，(C ，恰好ABC ?为等边三角形，故④不正确，最后选出正确答案.

【点睛】

本题考查了分段函数的奇偶性，周期性的判断，考查了方程解的问题，考查了利用特例法进行判断.

13．[1,5]-

【解析】

【分析】

根据集合并集的定义结合数轴求出A B . 【详解】

因为集合[1,3)A =-,(2,5]B =,所以[1,5]A

B =-.

【点睛】

本题考查了集合并集的定义，利用数轴是解题的关键.

14．2

【解析】

【分析】

根据映射的定义，结合:21f x x ?，令213x -=，可以求出B 中的元素3的原象.

【详解】

令213x -=，解得2x =，所以B 中的元素3的原象是2.

【点睛】

本题考查了已知一个映射:f A B →，根据B 中的元素，求原象问题；考查了映射的定义的理解.

15．332??????，

； 【解析】

【分析】

作出函数的图象，由图象可得函数取值在[2544-

-，]上的x 的范围，由题函数的定义域为[0，m ]，即可得解．

【详解】

解：函数y ＝x 2﹣3x ﹣4的图象如图，

当x 32

=时，函数有最小值254-， 当x ＝0或x ＝3时函数值为﹣4，

原题给出函数的定义域为[0，m ]， 所以，从图象中直观看出332

m ≤≤， 故答案为332??

????

，．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．

16．①④

【解析】

【分析】

根据说明在直角坐标系内，画出点A 运动的轨迹.

根据图象可以直接判断出说法①②的正确性；

根据图象可以知道函数周期性，进而可以求出函数的增区间，从而可以判断出说法③的正确性；

先考虑当(0,6]x ∈，函数()y f x =与y =

数()y f x =与y =

[2019,2019]-上交点的个数，从而判断出说法④的正确性，最后

选出正确答案.

【详解】

点A 运动的轨迹如图所示：

则函数图像关于y 轴对称，故①正确；

()y f x =的值域为[0,2]，故②不正确；

其增区间为[6,62]()k k k Z +∈和[63,64]()k k k Z ++∈，故③正不确；

由图像可知，函数每6个单位一个循环，

当(0,6]x ∈，函数()y f x =与y =3个交点，

∴当(0,2016]x ∈，20163366=?，有33631008?=个交点，

(2016,2019]x ∈有2个交点，

∴当(0,2019]x ∈，有100821010+=个交点，

∴当[2019,2019]x ∈-，有101022020?=个交点，故④正确．故选①④．

【点睛】

本题考查了画函数图象，考查了通过函数图象判断函数的性质，运用数形结合是解题的关键. 17．（1）{}6,8；（2）{}5,7,9,10

【解析】

试题分析：（1）根据题意，用列举法表示集合B ，分析属于A 但不属于B 的元素，即可得

答案；（2）根据题意，由集合A 、B 求出U A e、

U B e，由交集的定义计算可得()()U U C A C B ，

即可得答案. 试题解析：（1）由题意知{}0,1,2,3,4B =，{}0,2,4,6,8A =，因为{|M x x A =∈但}x B ?，所以{}6,8M =.

（2）因为{}1,3,5,7,9,10U C A =，{}5,6,7,8,9,10U C B =，所以

()(){}5,7,9,10U U C A C B ?=.

18．（1） ()(1,2)(8,10]U C A B ?=?；（2） 1(,](8,)2

-∞?+∞.

【解析】

【分析】

（1）根据补集、交集的定义，结合数轴求出()C v A B ?；

（2）根据集合C 是否是空集进行分类讨论，最后结合数轴，求出实数m 的取值范围.

【详解】

（1）∵{|28}A x x =≤≤,{|110}B x x =<≤, (,2)(8,)U C A ∴=-∞?+∞

()C (1,2)(8,10]U A B ∴?=?

（2）① 若C =?,则12m m +≤,即1m ≤-,∵A C ?=?,∴1m ≤-.

② 若C ≠?,则12m m +>,即1m >-,

∵1122m m >-??+≤?或18

m m >-??>?,∴112m -<≤或8m > 综上所述,实数m 的取值范围是1(,](8,)2

-∞?+∞

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集运算，考查了已知集合的交集求参数问题，利用数轴是解题的关键.

19．（1） 242(1)23()f a a a a R +=--+∈；（2） (5,9]- 【解析】

【分析】

（1）判断21a +的正负性，然后代入分段函数的解析式中求值计算即可.

（2）把区间43x -≤<分成三个子区间，然后分别求出每个子区间上函数的值域，最后求出函数()f x 在43x -≤<上的值域.

【详解】

解：（1）当a R ∈时，2110a +≥>

所以22242

(1)4(1)23()f a a a a a R +=-+=--+∈.

（2）①当40x -≤<时，()12f x x =-，所以1()9f x <≤；

②当0x =时，()2f x =；

③当03x <<时，2()4f x x =-，所以5()4f x -<<. 故当43x -≤<时，函数()f x 的值域是(5,9]-

【点睛】

本题考查了分段函数求函数值问题，考查了分段函数在闭区间上的值域，分类讨论是解题的关键.

20．（1）22101200,(010)902000,(1020)

t t t y t t t ?-++≤≤=?-+<≤?；（2）该种商品的日销售额y 的最大值为1225

元.

【解析】

【分析】

（1）根据()()y g t f t =?可得该种商品的日销售额y 与时间()020t t ≤≤的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y 的最大值.

【详解】

（1）由已知得：

()()()115802,010*******,(1020)2t t t y t t t ???+-≤≤ ?????=????-?-<≤ ?????

()22101200,010902000,(1020)

t t t y t t t ?-++≤≤=?-+<≤? （2）由（1）知

①当010t ≤≤时，()2210120051225y t t t =-++=--+

该函数在[]0,5t ∈递增，在(]

5,10t ∈递减. max 1225y ∴=（当5t =时取得）.

②当1020t <≤时，()229020004525y t t t =-+=--

该函数在[]

10,20t ∈递减， max 1200y ∴<.

由①②知max 1225y ∴=，

答：该种商品的日销售额y 的最大值为1225元.

点睛：本题主要考查了利用数学知识解决实际问题，以及分段函数，分段函数求最值的问题，设计到了二次函数求最值，属于中档题.解决此类题目，能够理解题意，迅速将实际问题转化为数学问题是关键，对学生的计算能力，阅读理解能力要求较高，一般转化为数学问题后会涉及函数最值，要学会采用合理的方法求函数的最值.

21．（1） 2243y x x =-+；（2） 2min 2243,11,11243,1t t t y t t t t ?++≤-?=-<

； （3） (,1)-∞-

【解析】

【分析】

（1）设出二次函数()f x 的解析式，根据对称轴为1x =，(0)(2)3f f ==，可以得到一个三元一次方程组，最后求出二次函数()f x 的解析式；

（2）根据对称轴和给定区间的位置关系进行分类讨论，然后根据二次函数的单调性，求出函数()f x 在[,2]x t t ∈+时的最小值；

（3）根据题意，原问题等价于2310x x m -+->在[1,1]x ∈-上恒成立，构造新函数，利用新函数的单调性，可以求出实数m 的取值范围.

【详解】

（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为()y f x =的对称轴

为1x =，(0)(2)3f f ==，所以有1223

44233b a a c b a b c c ?-=?=???=?=-????++==???

， 因此函数()f x 的解析式为2243y x x =-+；

（2）若1t ≥，则()y f x =在[],2t t +上单调递增，2min 243y t t =-+；

若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[],2t t +上单调递减；

2min (2)243y f t t t =+=++；

若12t t <<+，即11t -<<，则min (1)1y f ==

综上2min 2243,11,11243,1t t t y t t t t ?++≤-?=-<

.

（3）由题意知，当[1,1]x ∈-时，2243221x x x m -+>++，

即2310x x m -+->恒成立.

设2()31g x x x m =-+-，

因为当[1,1]x ∈-时，()g x 单调递减，所以min ()(1)1g x g m ==--，

因此有10m -->，得1m <-,即实数m 的取值范围是(,1)-∞-.

【点睛】

本题考查了求二次函数的解析式，考查了闭区间上，二次函数的最小值问题，考查了不等式恒成立问题.

22．(1) ()g x 在[2,)+∞上单调递增.证明见解析； (2) ①见证明；②存在，m 的取值范围为1919[,)[,)325216

? 【解析】

【分析】

(1)先判断后按照定义法证明单调性的步骤进行证明即可;

(2) ①根据绝对值的性质，原方程可以转化为：

2(5)40x m x -++=或2(5)40x m x +-+=，利用一元二次方程根与系数的关系，可以证明出123416x x x x =； ②画出函数4()5f x x x

=+-的简图，结合①可以确定m 的取值范围，结合图象可以确定函数的单调性，这样可以进行分类讨论，利用构造新函数、代数式的恒等变形、二次函数的单调性，结合已知函数()f x 在区间[],a b 单调，且()f x 的取值范围为[],ma mb ，最后可以求出m 的取值范围.

【详解】

(1)()g x 在[2,)+∞上单调递增.

证明:任取,12,[2,)x x ∈+∞，且12x x <. ∵1212121212

4444()()()()()()g x g x x x x x x x x x -=+-+=-+- ()()121221121212

4()4()x x x x x x x x x x x x ---=-+= 其中120x x -<，120x x >，1240x x ->，12()()0g x g x -<

∴12()()

∴()g x 在[2,)+∞上单调递增. (2)①44()5()5x m x m x x +-=?+-=或4()5x m x +-=-

即2(5)40x m x -++=或2(5)40x m x +-+=

∵1234,,,x x x x 为方程()f x m =的四个不相等的实根

∴由根与系数的关系得12344416x x x x =?=

②如图，

可知01m <<，()f x 在区间(1,2)、(2,4)上均为单调函数

(i)当[]

,[1,2]a b ?时，()f x 在[],a b 上单调递增 则()()f a ma f b mb

=??=?,即()f x mx =,2451m x x =-+-在[1,2]x ∈有两个不等实根 而令

11[,1]2t x =∈,则2245591()4()816

t t x x ?-+-==--+ 由二次函数()t ?的单调性，可得，19216m ≤< (ii)当[]

,[2,4]a b ?时，()f x 在[],a b 上单调递减 则()()f a mb f b ma

=??=?,两式相除整理得()(5)0a b a b -+-= ∴5a b +=,∴5b a a =->,∴522

a ≤< 由45a m

b a

--+=,得24544115255(5)()24a a m a a a a --==+=+---- ∴19[,

)325m ∈