留数定理

或者另外补上一段曲线L2 ，使L1, L2 合成回路 L，L 包围
区域 D。把 f(x)解析延拓到 D（往往： f (x) → f (z) ），再 沿 L 积分。
∫ ∫ ∫ f (z)dz = f (x)dx + f (z)dz
L
L1
L2
上式左边积分：利用留数定理求
上式又边第一个积分：要求的
上式又边第二个积分：比较容易计算(往往证明为 0)
∫L f (z)dz = 2π i Re s f (∞)
⇒ 2π i Re s f (∞) + 2π i ∑ Re s f (bk ) = 0 k
⇒ ∑ Re s f (bk ) + Re s f (∞) = 0 k
——求 z = ∞处留数的另一种方法；可将求许多有限点
的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。
例：求
f
(z)
=
z
z −1
的
Resf
(∞)
。
解：
f (z)
=
z
z −1
在1
<
z
< ∞ 内解析，所以
z
=
∞为
f
(z)
的孤立
奇点， f ( z) 以 z = ∞ 为展开中心，在1< z < ∞ 的罗朗展开为
f
(z)
=
z
z −1
=
1 1− 1
=1+
1 z
+
1 z2
+ ...
z
⇒ C−1 = 1
Resf (∞) = −C−1 = −1
∴ Resf (0) = ϕ(0) = 1 = − 1
(z − 0) + z −2i 2i z=0
例：求
f
(z)
=
sin z
z −π
在奇点处的留数。
解：(1)奇点在
z
=π
是可去奇点。因为
lim
z →π
sin
z
=0
由罗比达法则：
lim f (z) = lim sin z = lim cos z = −1
是f(z)的一阶极点，且 f (z) =
1 (z − 2i)z
⇒ ϕ(z) ψ (z)
ϕ(z) = 1,ψ (z) = (z − 2i)z
满足：ϕ(2i) = 1 ≠ 0 ，即z=2i为ψ (z) 的一阶零点。
∴ Resf (2i) = ϕ(2i) = 1 (z − 2i) + z z=2i 2i
2i i z
于是：
∫ ∑ I = g(z)dz = 2π i z =1
Re s g(bk )
k
g(z) =
z + z−1
f(
,
z − z −1 )
1
2 2i i z
例： P52 [例 1] [例 2]
∞
∫ 二、 −∞ f (x)dx 型积分
∞
无穷积分 I = ∫−∞ f (x)dx 实际上应理解为：
∫ ∑ ∫ f (z)dz =
f (z)dz
L
k Lk
改变 L 的积分方向并移项：
∫ ∑ ∫ f (z)dz +
f (z)dz = 0
L
k Lk
又：
∫Lk f (z)dz = 2π i Re s f (bk )
∑ ∫ ∑ ⇒ k Lk f (z)dz = k 2π i Re s f (bk )
无穷远处的留数与f(z)沿L积分的关系：
z →π
z→π z − π z→π 1
可见有确定的极限，是可去奇点。
(2)对可去奇点，无负幂项，故 Re s f (π ) = 0
(3)如果在 z = π 展开 f(z)，则：
∑ f (z) = sin z = sin (π − z ) = − sin ( z −π ) = − 1 ∞ (−1)k (z −π )2k+1
∫ 一、 2π f (cosθ ,sinθ )dθ 0
型积分
1.特征：(1)被积函数是 cosθ , sinθ 的有理实函数；
(2)积分区间为[0,2π ]，若不是，要先变为[0,2π ]。
2.方法：(1)令 z = eiθ ——将自变量作变换：θ → z ，把被积
函数变为复变函数
cosθ = 1 (eiθ + e−iθ ) = 1 (z + 1 ) sin θ = 1 (eiθ − e−iθ ) = 1 (z − 1 )
∫ I = lim R2 f (x)dx R1 ,R2 →∞ − R1
（如果极限存在）
积分主值：有时 I
=
lim
R1 ,R2 →∞
∫ R2 − R1
f
(x)dx 当上下限分别趋于 ∞ 时，积
分的极限值不存在，但是当 R1 = R2 → ∞ 时极限存在，这一极
∞
R
限值称为积分主值，用
V
∫.P. −∞
f
证明：将 f(z)以 ∞ 点为中心展开成罗朗级数：
∞
∑ f (z) = ak zk k =−∞
(实际上：z
=
1 t
相当于在
t=0
邻域内展开)
为计算 f(z)沿 L 的积分，以原点 o 为心作一个大圆 CR，
则 f(z)在 L 与 CR 包围的闭复通区域 D内是解析的。 由柯西定理：
∫ ∫ f (z)dz + f (z)dz = 0
四、关于留数和的定理
1.定理：若函数 f(z)除有限个孤立奇点外解析，则 f(z)在所有 奇点的留数之和为零：
∑ Re s f (bk ) + Re s f (∞) = 0 k
证明：作很多小圆周 L1, L2 , 分别将有限远处奇点 b1, b2, 包围起来，然后再作一个大回路 L 将所有 Lk 包围起来，则
( x)dx
=
lim
R→∞
(3)计算 Resf(0)
方法一：
Resf
(0)
=
lim( z
z→0
− 0)
f
(z)
=
lim
z→0
z
(z
1 − 2i)z
=
−
1 2i
方法二：a2
=0
是
f(z)的一阶极点，且
f (z) = 1 (z − 2i)z
⇒ ϕ(z) ψ (z)
ϕ(z) = 1,ψ (z) = (z − 2i)z
满足：ϕ(0) = 1 ≠ 0 ，z=0 为ψ (z) 的一阶零点。
L：D 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re s f (bk )：f(z)在 D 的无心邻域 0 < z − bk < R 中的罗朗级数
的系数
a (k) −1
，称为
f(z)在
z
=
bk
的留Fra Baidu bibliotek。
a(k −1
)：f(z)在它的第
k
个孤立奇点
bk
的邻域内罗朗展开式
中 ( z − bk )−1 的系数。
z→b
−
b)
f
(z)
=
lim( z
z→b
−
b) ϕ(z) ψ (z)
由罗比达法则：
a−1
=
lim
z→b
ϕ(z)
+ (z − b)ϕ ψ '(z)
'( z )
=
ϕ (b) ψ '(b)
5.对本性奇点，没有简单的公式，要在 b 点的无心邻域将 f(z)展开成罗朗级数，求得 a−1 。
例：求
f
(z)
=
(z
CR
L
∞
∫ ∫ ∑ ∫ ⇒
L
f (z)dz = −
CR
f (z)dz = − ak
k =−∞
z k dz
CR
∞
∑ = − ak 2π iδk,−1 = −2π ia−1 = 2π iResf (∞) k =−∞
注：(1) Re s f (∞) = −a−1 与有限远处奇点的留数定义不同；
(2) 奇点 z = ∞ 是什么类型，是根据 f(z)在 ∞ 的无 心邻域的罗朗级数有没有或有多少正幂项来划分的， 所以可去奇点、极点、本性奇点都有可能有含 z −1 的 项，也都可能没有含 z −1 的项。
+ ... +
a−1 z−b
+
a0
+
a1 ( z
− b)
+ ...
怎样求 a−1？两边乘 (z − b)m 得：
(z − b)m f (z) = a−m + a−m+1(z − b) + ... + a−1(z − b)m−1 + a0 (z − b)m
两边对 z 求(m-1)阶导数：
d m−1 dz m−1
证明：在D 内，以各个奇点 bk为圆心，作小圆周 L1, L2...Lk 分 别包含各奇点⇒外边界线 L 与所有小圆周为边界构
成闭复通区域。
∫ ∑ ∫ 由柯西定理：
f (z)dz =
f (z)dz
L
k Lk
分别在各个bk 的无心邻域 0 < z − bk < R 中将 f(z)展开成罗朗 级数：
∞
z −π z −π
z −π
z −π k=0
(2k +1)!
⇒ a−1 = 0
以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留 数的概念可以推广到无穷远点的情形。
三、无穷远点的留数
若函数 f(z)在 L 的外部除 ∞ 点外解析，则
∫L f (z)dz = 2π i Re s f (∞)
其中 Re s f (∞) = −a−1 称为函数 f(z)在 ∞ 点的留数， a−1 是 f(z)在 ∞点的无心邻域 R < z < ∞的罗朗系数。
(1)
Resf
(1)
=
lim ( z
z →1
− 1)
ez z2 −1
=
e 1+ 1
=
e 2
(2)
Resf
(−1)
=
lim (z
z → −1
+ 1)
ez z2 −1
=
e−1 −1 − 1
=
−
1 2e
∑ (3)
Resf
(∞)
=
−
k
1 =0
Resf
(bk
)
=
−
1
− e2 2e
§4.2 几种典型实积分的计算
[(z
−
b)m
f
(z)]
=
(m
−1)!a−1
+
m! 1!
a0
(
z
− b)
+
(m +1)! 2!
a1
(
z
−
b)2
+ ...
两边除以(m-1)!后取 z → b 的极限：
a−1
=
1 lim (m −1)! z→b
d m−1 dz m−1
[( z
− b)m
f
( z )]
3.令 m=1，得 a−1 = lim (z − b) f (z) z→b
(1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。 留数定理：将上述两者建立了一种关系。
(2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数；
(3) 留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；
(4) bk (k = 1,2, )是 L 所包围的 f(z)的所有奇点，而不是 f(z) 所有的奇点。
二、留数的计算方法
1 − 2i)z
在其奇点的留数。
解：(1) 奇点为 a1 = 2i, a2 = 0 (均为一阶奇点)
(2) 计算Res f(2i)
方法一：
lim lim Re s f (2i) =
(z − 2i) f (z) =
(z − 2i) 1 = 1
z→2i
z→2i
(z − 2i)z 2i
方法二：a1 = 2i
∑ f (z) = an(k) (z − bk )n n=−∞
k =1, 2...m
代入积分公式：
∞
∞
∫ ∑ ∫ ∑ Lk
f (z)dz
=
a(k) n
n=−∞
Lk
(z
−
bk
)n dz
=
a(k) n n=−∞
2π
i δ n, −1
=
a(k) −1
⋅ 2π
i
=
2π
i
Re s
f
(bk
)
m
∫ ∑ ⇒ L f (z)dz = 2π i k=1 Re sf (bk )
2
2z
2i
2z
dz = deiθ = izdθ ⇒ dθ = dz
iz
[0, 2π ] → z = 1 ：沿区间 [0, 2π ] 的积分变成沿单位圆的回路 积分
(2)利用留数定理
∫ ∫ 2π
设 I = f (cosθ ,sinθ )dθ =
z + z−1 z − z−1 dz
f(
,
)
0
z =1
2
留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分
原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联 系起来。
把实变定积分联系于复变回路积分的要点：
1.定积分
b
∫a
f
(x)dx
的积分区间[a,b]可以看作是复数
平面上的实轴上的一段 L1 ；
2. 利用自变量的变换把 L1 变换成某个新的复数平面的 回路，这样就可以应用留数定理了。
4.有时 f(z)具有分式的形式：
f (z) = ϕ(z) ψ (z)
(b
是
f(z)的一阶极点，则是ψϕ
(z) (z)
的一阶零点)
式中ϕ(z) ，ψ (z) 均在 b 点解析，ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为 ψ (z) 的
一阶零点 (即 ψ (b) = 0,ψ '(b) ≠ 0)
a−1
=
lim( z
针对不同类型的奇点，有不同的计 算公式，见以下公式表。
证明：
1. f(z)以可去奇点为中心的无心邻域中的罗朗级数没有负幂项
∞
∑ f (z) = ak (z − b)k k =0
∴ a−1 = 0
2. f(z)以 m 阶极点为中心的无心邻域中的罗朗级数为：
f
(z)
=
a−m (z − b)m
+
a− m +1 (z − b)m−1
2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。
例：求
f
(z)
=
ez
z2 −1在各奇点的留数。
解：因 f(z)在1 < z < ∞ 内解析，则 z = ∞为 f(z)的孤立奇点
又∵ z = ±1 也是 f(z)的奇点
∴ f ( z) 的奇点有： z = 1, z = −1, z = ∞
第四章 留数定理及其应用
已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值 有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公 式及其推论。
本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的 积分值与函数的奇点的关系。
§4.1 留数定理
一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
m
∫ ∑ L f (z)dz = 2π i k=1 Re sf (bk )