高考培优课程秋季数学讲义：三角函数-图像与性质【讲师版】
高三数学
三角函数-图像与性质
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本讲义目的在于让同学从根本上了解三角函数的图像与性质，了解图像变换与解析式变换之间的对应关系，利用图像解决与三角函数有关的问题，并在此基础上发散思维，解决三角函数与其他知识融合的综合问题。
知识点一：由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。
知识点二：通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维
品质与解题能力，适应各种变化。
知识点三：通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程、不等式），发展用图象思考问题的能力。
知识点四：通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。
知识点五：通过解决三角函数与其他知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。
【题目来源】
【题目】已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．
【答案】
【解析】：
【知识点】
由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。
【适用场合】 当堂例题 【难度系数】3
【题目来源】
【题目】 求下列函数的最小正周期
(1))23πsin(x y -=；(2))4π
2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2
x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．
【答案】π,2, 2
π
=T ,π,π 【解析】： (1)π|
2|π
2=-=
T ．(2)22
ππ==T ．
(3)214cos 2124cos 1+=+=
x x y ，所以2π
=T . (4)1)4
π
2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．
(5)y＝｜sin x｜的图象为下图，可得，T＝π．
【知识点】
三角函数的周期性
【适用场合】
当堂例题
【难度系数】
3
【题目来源】
【题目】（2000全国，5）函数y＝－xc os x的部分图象是（）
【答案】D
【解析】：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2
π
）时，y＝－
xcosx＜0。答案为D。
【知识点】
通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维品质与解题能力，适应各种变化。
【适用场合】
当堂例题
【难度系数】
3
【题目来源】
【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=
函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
【答案】
【解析】：
【知识点】
主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
【适用场合】 当堂例题 【难度系数】 3
【题目来源】
【题目】如下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是
,t ∈[0,+∞). 画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,回答下列问题
.
(1)小球开始振动的位置在哪里?
(2)小球最高､最低点与平衡位置的距离分别为多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)?
(4)小球每1 s能往复振动多少次?
【答案】
1、h=
2、2cm
3、2π秒
4、
1 2π
【解析】
【知识点】
通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。
【适用场合】
当堂例题
【难度系数】
3
[题目]如下图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为)那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2π s
B.π s
C.0.5 s
D.1 s
【答案】D
【解析】
【知识点】
通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。
【适用场合】
当堂例题
【难度系数】
3
【题目来源】
【题目】要得到2()
3
y tan x π=-的图象,只要将y=tan2x 的图象( ) A.向左平移3
π
个单位 B.向右平移3
π
个单位 C.向左平移6
π
个单位 D.向右平移6
π
个单位
【答案】D 【解析】
【知识点】 三角函数的平移
【适用场合】 当堂练习题 【难度系数】 2
【题目来源】
【题目】若A ､B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B 【解析】
【知识点】 三角函数的应用
【适用场合】 当堂练习题 【难度系数】 2
【题目来源】
【题目】如下图,表示电流强度I 与时间t 的关系为I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为( ) A.I=300sin(50πt+3
π
) B.I=300sin(50πt-
3
π
) C.I=300sin(100πt+
3
π
) D.I=300sin(100πt-
3
π
)
【答案】C
【解析】
【知识点】
由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。
【适用场合】 当堂练习题 【难度系数】 3
【题目来源】
【题目】函数y ＝sin(
x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则和ϕ的取值是( )
A ．3π,1==ϕω
B ．3π,1-==ϕω
C ．6π,21==ϕω
D ．6
π
,21-==ϕω
【答案】C 【解析】
解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ
2π4=
=T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3
π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6π
πω，选C
【知识点】
三角函数的应用 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3
【题目来源】
【题目】在△ABC 中．Sin 2
A≤sin 2
B+sin 2
C-sinBsinC ．则A 的取值范围是 （ ） A ．06]
（，π
B ．[
),6
π
π
C ．(0,]3π
D ．[
,)3
π
π
【答案】C 【解析】
由题意及正弦定理得
a 2≤
b 2+
c 2
-bc
bc≤b 2+c 2-a
2
≥1
又由余弦定理知2cosA=≥1cosA≥
因为角A 为三角形内角,所以0 【知识点】 求值题 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（） A. 7 25 B. -7 25 C. ±7 25 D. 24 25 【答案】A 【解析】因为C=2B,所以sinC=2sinBcosB cosB= 根据正弦定理有=，所以cosB=×= 又cosC=cos(2B)=2cos2B-1，所以cosC=2cos2B-1=2×-1=,所以选A 【知识点】 三角函数的应用 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】设当θ=x 时，函数()2＝－f x sinx cosx 取得最大值，则θcos = ( ) C. - 5 D. 5 【答案】 C 【解析】 ∵f(x)=sinx -2cosx=(sinx-cosx) 令cos =,sin =-,则f(x)=(sinxcos -sin cosx)=， 当=，即=时，取最大值，此时=，∴= = =. 【知识点】 求值题 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】函数y sin( )cos( )2 6 π π =+-x x 的最大值为（ ） A. 4 B. 24+ C. 14+ D. 12 + 【答案】 B 【解析】 ∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos 2 x+ sinxcosx =(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x =+(cos2x+sin2x) =+sin(2x+) ∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为 【知识点】 求值题 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】已知函数()(2)ϕ=+f x sin x ，其中ϕ为实数，若()|()|6π≤f x f 对x∈R 恒成立，且()()2 π π>f f ，则 f(x)的单调递增区间是（ ） A.() ,k [k ]36π πππ- +∈k Z B. () ,k [k ]2 ππ π+∈k Z C. ()2 ,k 3[k ]6 πππ π+ +∈k Z D. ()[k 2 ,k ]2 ππ π-∈k Z 【答案】 C 【解析】 由函数解析式知，函数的周期为. 又f(x)≤|f()|对x∈R 恒成立,所以函数的对称轴为x=+(k∈Z). 因此函数的单调区间是[+,+]与[+,+](k∈Z). 因为函数的对称轴为x=+(k∈Z),所以x=+=为一条对称轴, 即f()=f()>f(),而,∈[+,+],所以[+,+]是函数的单调递减区间, 即[+,+]是f(x)的单调递增区间. 【知识点】 三角函数的单调性 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】设函数()()()ϕϕωω=+++f x sin x cos x ，|)0,|2 (π ϕω>< 的最小正周期为π，且f(-x)=f(x),则（ ） A.y=f(x) 在(0, )2 π 单调递减 B. y=f(x)在( ,43 )ππ 单调递减 C. y=f(x)在(0, )2π 单调递增 D. y=f(x)在( 3, 44 )ππ 单调递增 【答案】 A 【解析】 ∵函数f(x) 的最小正周期为π，∴=2 ∴f(x)=sin(2x++) 又f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,即x=0时，f(x)=,∴+=(k∈Z) 又||〈 ，∴= ∴f(x)=sin(2x++) =cos2x,不难知道，y=f(x) 在(0,)单调递减 【知识点】 综合题 【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3 A. 1 [ 2 5 , 4 ] B. 1 [ 2 3 , 4 ] C.[0 1 , 2 ] D.[0,2] 【答案】 A 【解析】 法一：赋值排除法 =1时，令Z=x+=x+，当x∈(,) 时，Z∈[，]，此时sinZ单调递减， 符合题意，排除B，C =2时，令Z=x+=2x+，当x∈(,) 时，Z∈[，]，此时sinZ单调递减不成立，不符合题意，排除D 法二：直接法令Z=x+ ∵sinZ的单调递减区间为[，]( k∈Z)， 即≤Z≤( k∈Z), 解之得≤x≤(k∈Z) 由题意知：≤且≥(k∈Z) 即(k∈Z) ∵，∴k< 又>0，∴k=0,即 【知识点】 三角函数的单调性 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 【答案】C 【解析】原方程整理为：y = x cos 21 +，因为要将原曲线向右、向下分别移动2 π个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1） c os （x － 2 π ）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。 【知识点】 三角函数的平移 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 A ． 2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ．1－ 2 2 D ．－1－ 2 2 【答案】B 【解析】：B ；22 1221)4 sin(221cos sin 21+ =-≤+++++= πx x x y 【知识点】 三角函数的极值 【适用场合】 随堂课后练习 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （cosx ）的定义域； （2）求函数y=lgsin （cosx ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx ≤1，（2）要使sin （cosx ）＞0，这里的cosx 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－ 2π≤x ≤2k π+2 π ，且x ≠2k π（k ∈Z ）。 ∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2 π ］且x ≠2k π，k ∈Z }。 （2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－ 2π，2k π+2 π ），k ∈Z }。 【知识点】 求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【题目来源】 【题目】关于x 的函数f （x ）=sin （x+ϕ）有以下命题： ①对任意的φ，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的φ，f （x ）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当φ=_____时，该命题的结论不成立。 【答案】：①，k π（k ∈Z ）；或者①， 2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2 π +k π（k ∈Z ） 【解析】：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数。当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数。当ϕ=2k π+ 2 π ，k ∈Z 时，f （x ）=c os x ，或当ϕ=2k π－ 2 π ，k ∈Z 时，f （x ）=－c os x ，f （x ）都是偶函数. 所以②和③都是正确的。无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零。所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 【知识点】 本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【题目来源】 【题目】设()sin cos (0)ωωω=+>f x a x b x 的周期π=T ，最大值()412 π =f ， （1）求ω、a 、b 的值； （2）()0tan()若、、为方程的两根，、、终边不共线，求的值αβαβαβ=+f x 。 【答案】a =2 , b =3. 2=∴ω；3 3)6 tan()tan(= +=+∴π πβαk 【解析】：(1) )sin()(22ϕω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω， 又 )(x f 的最大值。4)12 (=πf ， 2 24b a +=∴ ① ，且 122cos b 122sin a 4π+π=②，由 ①、②解 出 a =2 , b =3. (2) )3 2sin(42cos 322sin 2)(π +=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ， )3 2sin(4)3 2sin(4π βπ α+ =+ ∴， 3 223 2π βππ α+ +=+∴k ， 或 )3 2(23 2π βπππ α+ -+=+ k ， 即 βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6 π πβα+ =+k ，3 3 )6 tan()tan(= + =+∴π πβαk )(Z k ∈。 【知识点】方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。 高三数学 三角函数-图像与性质 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 本讲义目的在于让同学从根本上了解三角函数的图像与性质，了解图像变换与解析式变换之间的对应关系，利用图像解决与三角函数有关的问题，并在此基础上发散思维，解决三角函数与其他知识融合的综合问题。 知识点一：由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。 知识点二：通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维 品质与解题能力，适应各种变化。 知识点三：通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程、不等式），发展用图象思考问题的能力。 知识点四：通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。 知识点五：通过解决三角函数与其他知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。 【题目来源】 【题目】已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间． 【答案】 【解析】： 【知识点】 由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。 【适用场合】 当堂例题 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π 2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2 x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜． 【答案】π,2, 2 π =T ,π,π 【解析】： (1)π| 2|π 2=-= T ．(2)22 ππ==T ． (3)214cos 2124cos 1+=+= x x y ，所以2π =T . (4)1)4 π 2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π． 1.4—1.5 三角函数的图象与性质 一、正弦函数的图象与性质 1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线) 自变量x 函数值sin x 注意：（1）由于sin(2k π＋α)＝sin α， 因此作正弦函数图象时，我们经常采用“五 ．． 点法”：．．．．(0．．，．0)．．，．(．2π ，． 1)．．，．(．π，．0)．．，．(．23π ，－．．1)．．，．(2．．π，．0)．．；． 再通过向左、右平移(每次2π个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。 二、余弦函数的图象 1、余弦函数的图象：y ＝cosx ＝sin(x ＋2π)可将正弦函数y ＝sinx 向左平移2 π 个单位得到。 2、“五点作图法”： (0．．，．1．)．，． (．2π ，． 0．)．，． (．π，－．．1．)．，． (．23π ，．0．)．，． (2．．π，．1．)． 三、正、余弦函数的性质 f(x)＝sinx h(x)＝cosx f(x)＝sinx h(x)＝cosx 定义域 R R 值域 [－1，1] 当x ＝2k π＋ 2π 时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π－2 π 时，f(x)min ＝－1 [－1，1] 当x ＝2k π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π＋π时，f(x)min ＝－1 – – 例1：求下列函数的定义域。 （1）f(x)＝x sin （2）f(x)＝2 1cos - x 变式练习1：求下列函数的定义域 （1）f(x)＝lg(sinx) （2）f(x)＝ 3 cos 7cos 2-+x x （3）f(x)＝1sin sin 22 ++-x x 变式练习2：已知cos x ＝－ 21 ，且x ∈[0，2π]，则角x 等于( ) A ： π32或π3 4 B ：π32或π31 C ： π65或π61 D ：π65或π6 11 【解析】A 变式练习3：当x ∈时[0，2π]，满足sin( 2 π －x)≥－21的x 的取值范围是( ) A ： [0， π3 2 ] B ： [π34，2π] C ：[0，π32]∪[π34，2π] D ：[π32，π 3 4] 【解析】C 例2：下列函数图象相同的是( ) A ：y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ：y ＝cos x 与y ＝sin( 2 π －x) C ：y ＝sin x 与y ＝sin(－x) D ：y ＝－sin(2π＋x)与y ＝sin x 【解析】B 变式练习1：y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ：0 B ：1 C ：2 D ：3 解析 B 变式练习2：函数y ＝sin(－x)，x ∈[0，2π] 的简图是( ) 【解析】B 变式练习3：.函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 图象的交点________个。 安徽高考解析 1. 安徽高考中的主要考点：三角函数的概念和图像，同角的三角函数关系，诱导公式，三 角恒等变换中的和差的正余弦公式，倍角公式，降幂公式和万能公式，正弦定理和余弦定理的证明和运用。 2. 三角函数主要考查形式：选择题和填空题中较多对于三角函数图像和性质的考察，大题 目中对于三角函数的恒等变换考察较多。 （对于理科，11年理科没有单独的三角函数大题，但却将三角函数的变换与数列一同考察难度较大，09年和10年考察正余弦定理，08年考察三角恒等变换和图像，07年综合考察了三角函数和向量的性质与运算；06年为三角恒等变换和化简求值，12年考察的也是三角恒等变换，预计下一年有可能考察的是将三角函数与其它章节主要是向量和不等式以及函数综合考察，或者可能是再度回归到解三角形中。） （对于文科，安徽的三角函数大题中的文科和理科没有必然联系，09年到12年三角函数都是放在大题目的第一题考察，内容也都是解三角形；08年：三角恒等变换和三角函数的性质；07年将三角函数值域与解不等式综合考察。06为解三角形。） 考试内容： 1．任意角、弧度 （1）了解任意角的概念和弧度制的概念． （2）能进行弧度与角度的互化． 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 ,2 a a π π±± 的正弦、余弦、正切的诱导 公式，能画出简易的三角函数 的图像，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在区间[02]π， 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间()22 ππ - ，内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：2 2 sin cos 1x x += （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图像，了解参数,,A ω?对函数图像变化的影响. （6）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. “三角函数的图象与性质”教学反思 主要内容：人教版《教学必修4》第一章“1.5函数)sin(?ω+=x A y 的图象”进行教学调研，目的是因为三角函数的图象和性质有着鲜明的特征和规律性，是高考的热点，主要考查图象及图象变换，值域 (最值)，周期性，单调性，奇偶性，对称性等问题，且大部分题目需要经过三角变换后才能解决。从近几年的高考题型来看，常以选择题，填空题的形式考查)sin(?ω+=x A y 的单调区间、周期、最值及函数解析式等，难度以简单题、中档题为主，希望通过对此内容的归类讲解，对学生有所帮助。 1、错因分析 （1）学生方面 首先死记硬背结论。在顺应三角函数的平移和伸缩的综合变换时，学生的“最近发展区”出现“断层”在由解的平移变换延伸到平移伸缩综合变换过程中出现了“认识论障碍”，只能靠死记硬背书本或老师给出的结论解决问题。其次，学法没有转变。跨入高中不久的新生还没有从被动接受反复训练的学习习惯和学习方法中走出来，所以要尽快适应高中阶段主动思考理解本质的学习方式，适应自主探究，合作学习等学习活动的新要求，很少有学生主动借助于画图或分析点的坐标变化来理解函数图象的变换。 （2）老师方面 首先赶进度。由于高一上学期要完成《教学必修1》和《教学必修4》，教学进度较快，学生囫囵吞枣，没有充分体会函数变换的过程更没有理解函数变换的本质，导致不少学生只好死记结论进行解题。其次，对教材理解不透。有的老师对函数图像变换的本质理解不深不透，不能深入浅出地分析其中的变换关系，从而也就没法运用“反例”、“对比”、“铺垫”、“分层”等打造“最近发展区”的方法来突破教学难点，最后教法不当。有的老师在课堂上和盘托出“结论”没有实施图象变换的过程教学——让学生经历“从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象”的探索过程，引导和帮助学生理解图象变换的实质，总结图象变换的规律，造成学生遇到变换时云里雾里，一片混沌。 2、典型例题解析 问题1：函数)6 (π+=x f y 的图像经过怎样的变换，可以得到函数)4 32(π-=x f y 的图象？ 方案一： )4 32()4()6(πππ-=→-=→+=x f y x f y x f y 方案二： )4 32()632()6(πππ-=→+=→+=x f y x f y x f y 方案一中的第一步：由于πππ12564-=--所以函数)6 (π+=x f y 上的所有点向右移π125个单位，得到函数)4 (π-=x f y 的图像。 1 1．α是第一象限角，tan α＝3 4，则sin α＝() A.4 5 B. 3 5C．－ 4 5D．－ 3 5 解析：选B tan α＝sin α cos α＝ 3 4，sin 2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝ 3 5. 2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝() A．0 B.9 5 C. 4 3 D. 5 3 解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x sin2x＋cos2x＝ 2tan2x＋1 tan2x＋1＝ 9 5. 3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π 2＜α＜0，则sin α＝() A. 3 2B．－ 3 2 C. 1 2D．－ 1 2 解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2α cos α＝3， 即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π 2＜α＜0， 解得cos α＝1 2(cos α＝－2舍去)， 故sin α＝－ 3 2. 4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝() A.1 2B．2 C．－ 1 2D．－2 解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α ＝－25 5，cos α＝－ 5 5，∵tan α＝2. 5．化简sin ? ????π2＋α·cos ? ?? ?? π2－αcos π＋α＋ sin π－α·cos ? ?? ? ? π2＋αsin π＋α ＝________. 解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α －sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0 1．(教材改编)函数y ＝1 2 sin x ，x ∵[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B ．在????－π2，π2上是增函数，在? ???－π，－π2和????π 2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D ．在????π2，π和????－π，－π2上是增函数，在??? ?－π2，π 2上是减函数 答案 B 2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( ) A.? ??? ??x ? ? x ≠k π＋π 4，k ∵Z B.??????x ?? x ≠k π2＋π 8，k ∵Z C.? ??? ??x ? ? x ≠k π＋π 8，k ∵Z D.? ??? ??x ?? x ≠k π2＋π 4 ，k ∵Z 答案 D 解析 由2x ≠k π＋π2，k ∵Z ，得x ≠k π2＋π 4 ，k ∵Z ， ∵y ＝tan 2x 的定义域为???? ??x ?? x ≠k π2＋π 4，k ∵Z . 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∵当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π 2ω 时， y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π 2ω时， y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在????0，π3上单调递增，在????π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∵ω＝32 . 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π 3 时，函数 f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2) 三角函数图像及其性质 题型6 三角函数性质 周期性： 1. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π 4的最小正周期为( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．π 2 2. 函数y ＝|cos x |的最小正周期是( ) A.π 4 B ．π 2 C ．π D ．2π 【变式训练】 3. 若函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为2π 3，则ω的值为( ) A ．3 B ．32 C.2 3 D ．1 3 4. 函数y ＝⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎫3x －π 5的周期是( ) A ．2π B ．π C.π 3 D ．π 6 5. 已知函数y ＝12sin x ＋1 2|sin x |.求出它的最小正周期． 定义域： 6. y ＝sin x 的定义域为____________，单调递增区间为________． 7. 函数f (x )＝tan2x tan x 的定义域为( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠k π4 ，k ∈Z } B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4 ，k ∈Z } C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4 ，k ∈Z } D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π4 ，k ∈Z } 【变式训练】 8. 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________ . 9. 函数)sin(cos lg x y =的定义域为______________________________。 值域： 10. y ＝2sin x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0] D ．R 11. 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A. 2－3 B. 0 C. －1 D. －1－3 12. 已知－π3≤x ≤π4 ，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值． 【变式训练】 13. 函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 三角函数图像与性质教学设计（优秀4篇） （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! 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If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention! 高三复习——基本三角函数培优专题 导言 高三是学生们备战高考的重要阶段，掌握基本的三角函数知识对于数学成绩的提升非常关键。本文档将为高三学生提供一个基本三角函数培优专题，帮助学生们巩固和提高对基本三角函数的理解和运用能力。 一、正弦函数 1. 正弦函数图像 正弦函数图像是一条波动曲线，我们来了解一下如何绘制正弦函数图像的方法： - 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。 - 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。 - 将这些点连成曲线即可得到正弦函数的图像。 2. 正弦函数性质 正弦函数具有以下性质： - 周期性：正弦函数的图像在每个周期内重复。 - 奇函数性质：f(x) = -f(-x)，即正弦函数关于原点对称。 3. 正弦函数的应用 正弦函数在实际生活中有广泛的应用，比如： - 研究天体运动：正弦函数可以描述天体在运动过程中的周期性变化。 - 声音和音乐：音调的高低可以通过正弦函数的频率表示。 - 电流和电压的变化：交流电的电流和电压变化符合正弦函数的规律。 二、余弦函数 1. 余弦函数图像 余弦函数图像也是一条波动曲线，与正弦函数图像相似，但有一些区别： - 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。 - 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。 - 将这些点连成曲线即可得到余弦函数的图像。 2. 余弦函数性质 余弦函数具有以下性质： - 周期性：余弦函数的图像在每个周期内重复。 - 偶函数性质：f(x) = f(-x)，即余弦函数关于y轴对称。 3. 余弦函数的应用 余弦函数在实际生活中也有广泛的应用，比如： - 振动和波动现象：余弦函数可以描述物体振动和波动的变化规律。 - 交流电的电流和电压：交流电的电流和电压变化符合余弦函数的规律。 三、切线函数 1. 切线函数图像 切线函数是正弦函数的导数，它的图像与正弦函数有一定的关联，但也有一些不同： - 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。 三角函数的图像与性质教学活动和教学思路三角函数在数学教学中起到了至关重要的作用，不仅在高中阶段的 数学课程中经常出现，而且在更高层次的数学学习中也有广泛的应用。本文将探讨三角函数的图像与性质的教学活动和教学思路，帮助教师 更好地引导学生掌握这一概念。 一、引入三角函数的图像与性质 为了引起学生的兴趣，可以通过导入相关的实际问题或者生活示例 来引入三角函数的图像与性质。例如，通过讨论声音在空气中的传播 过程中的波动现象，引出正弦函数的图像及其在物理领域中的应用。 通过这样的引入，可以使学生明白三角函数的图像与性质是数学与实 际问题相结合的重要内容。 二、图像的绘制与分析 1. 绘制基本函数图像 首先，可以引导学生探究正弦函数和余弦函数的图像。教师可以利 用示波器或数学软件进行实时展示，让学生观察正弦函数和余弦函数 的波形特点，引发学生对图像的关注。 接着，教师可以引导学生尝试手绘正弦函数和余弦函数的图像，并 进行分析。通过观察、比较不同参数对图像的影响，学生可以逐渐理 解三角函数图像的特点和性质。 2. 探究正切函数和余切函数的图像 在学生熟悉正弦函数和余弦函数之后，教师可以引入正切函数和余 切函数的概念，并展示其图像。通过观察正切函数和余切函数的图像，学生可以发现其与正弦函数和余弦函数的关系，进一步了解三角函数 图像的特征。 3. 综合讨论与挑战 通过以上的探究，学生已经具备了绘制和分析基本的三角函数图像 的能力。教师可以进一步引导学生思考其他相关的问题，如三角函数 图像的平移、伸缩、反转等变换，进一步加深对图像的理解。 三、性质的探究与应用 1. 三角函数的周期性特点 引导学生观察不同三角函数的图像，并发现其周期性特点。通过具 体的示例和数学推导，教师可以帮助学生理解三角函数的周期性，并 引导学生运用周期性特点解决相关的问题。 2. 三角函数的奇偶性质 让学生观察和思考正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的奇 偶性质。通过分析函数式的对称性质，学生可以掌握三角函数的奇偶 性规律，并能运用奇偶性解决具体问题。 3. 三角函数在实际问题中的应用 三角函数图像与性质教案 【一】教学内容分析 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 【二】学情分析 对于函数性质的研究，学生已经有些经验．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用． 【三】教学目标 知识与技能： 〔1〕〝五点法〞画函数sin()y A x ωϕ=+的图像. 〔2〕．图像变换规律. 〔3〕．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 图像性质及常见问题处理 方法 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 教 学 重 点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 教学难点、关键：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时 【四】知识梳理 用〝五点法〞画sin()y A x ωϕ=+一个周期的简图时，要找出五个关键点。 三角函数图像的变化规律。向左〔右〕 平 移 个单位 横坐标变为原来的 倍 纵坐标变为原来的 倍 倍 向左〔右〕平移 个单位 纵坐标变为原来的 倍 函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义。 由函数sin()y A x k ωϕ=++图像求解析式的步骤和方法： 〔1〕A 的确定：根据图像的最高点和最低点，即A = . 〔2〕k 的确定：根据图像的最高点和最低点，即k = . 〔3〕ω的确定：结合图像，先求出周期T ，然后由2T π ω =来确定ω. 〔4〕ϕ的确定：由函数sin()y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点〔最靠近 原点〕的横坐标为ϕ ω -〔即令0,x x ϕ ωϕω +==- 〕确定ϕ. 【五】 基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为〔 〕 A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像对应的函数为〔 〕 A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4y x π =- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点 〔 〕 A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向上平移3π个单位 D 、向下平移3 π 个单位 三角函数的图象与性质 一．【课标要求】 1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性； 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）； 3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin（w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响 二．【命题走向】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测2010年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换； 三．【要点精讲】 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + - 2 2 2 2 π π π πk k，) (Z k∈， 递减区间是⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + 2 3 2 2 2 π π π πk k，) (Z k∈； x y cos =的递增区间是[]π π πk k2 2， -) (Z k∈， 递减区间是[]π π π+ k k2 2，) (Z k∈， x y tan =的递增区间是⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ + - 2 2 π π π πk k，) (Z k∈， 3．函数B x A y+ + =) sin(ϕ ω） ， （其中0 0> >ω A 最大值是B A+，最小值是A B-，周期是 ω π2 = T，频率是 π ω 2 = f，相位是ϕ ω+ x，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线) ( 2 Z k k x∈ + = + π π ϕ ω，凡是该图象与直线B y=的交点都是该图象的对称中心 4．由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sin x的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ϕ)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，再沿x轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ω ϕ| | 个单位，便得y＝sin(ωx＋ϕ)的图象。 5．由y＝A sin(ωx＋ϕ)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=A sin（ωx+ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ ω ϕ ，0）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为 2 x kπ π =+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x kπ =，对称中心为 2 (,0) kπ π+； 1 ●高考明方向 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2 ，π2内的单调性． ★备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55 二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3 函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2 的定义域为____________ 解析 要使函数有意义必须有⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ sin x >0，cos x －1 2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2k π 第2课时 三角函数的图象与性质(二) 三角函数的周期性与奇偶性(师生共研) (1)函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 (2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π 2 B ．ω＝12，θ＝π 2 C ．ω＝12，θ＝π 4 D ．ω＝2，θ＝π 4 【解析】 (1)因为f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x . 所以T ＝2π 2＝π，f (x )＝sin 2x 是奇函数． 故函数f (x )是最小正周期为π的奇函数． (2)因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2π ω ＝π得ω＝2. 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π 2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π 2，故选A. 【答案】 (1)A (2)A (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的 形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． (2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π ω 求解． 1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x 解析：选B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是T ＝π的奇函数，符合题意；同理C ，D 均不是奇函数． 2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－π2，π2上单调递增 解析：选A.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π4，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4.f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )， 所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π 4 ，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－π2，0上单调递减，故选A. 三角函数的对称性(师生共研) 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝π3对 称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( ) 三角函数的图像与性质 2 学习过程 一、复习预习 终边相同的角：具有共同始边与终边的角: 2k ,0 ,k Z}。 任意三角函数： sin y,cos x, tan 同角三角函数关系：si n 2 2 cos 1,tan 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 和和差公式 sin( sin ------ o cos )sin cos cos sin tan ta n( ) 1 mta n cos( )cos cos msin sin ； 6二倍角公式 sin 2 sin cos 7降幕公式 2 1 cos2x sin x ---------------- 2 8辅助角公式 ta n ____ 。 tan .cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 2sin 2 .ta n 2 2 tan 1 tan 2 2 ，cos x 1 cos2x asin bcos = . a 2 b 2 sin( )(tan ). 、知识讲解 函数y sin( x ) , x € R 及函数y cos( x ), x € R (A , 3,为常数，且 A 工0,3> 0)的周期 2 T ；函数 y tan( x ) , x k , k Z (A , 3,为常数，且 A #0,3> 0)的周期 T —. 2 主要知识: 1 2三角函数的周期公式 二、例题精析 考点一求函数的定义域 【例题1】：求y 1 C0S2X的定义域 COSX 【答案】:{x|x k n -,k Z} 2 n 【解析】：因为分母不为零cosx 0，定义域为{x | x k n ,k Z} 【例题2】：求y .-sin2x的定义域 【答案】：{x|k n x k n上,k Z} 2 n 【解析】：由得sin2x 0, 2k 2x 2k (k Z)，定义域为{x|k n x k n -,k Z} π 高考数学专题讲座 第6讲 三角函数的图象与性质 一、考纲要求 1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义． 3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数)sin(ϕω+=x A y )的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义． 二、基础过关 1．函数||sin x x y +=，],[ππ-∈x 的大致图象是（ ）． y y y y π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π x -π -π -π A B C D 2．（2002北京）已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 城东蜊市阳光实验学校三角函数的图 象与性质 根底梳理 1．“五点法〞描图 (1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)(π，0)(2π，0) (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 图象 值域[－1,1][－1,1]R 对称性对称轴：__x＝kπ＋ (k∈Z)___； 对称中心： _(kπ，0)(k∈Z)___ 对称轴： x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： _(kπ＋，0)(k∈Z)__ 对称中心：_(k∈Z)__ 周期2π_ 2ππ 单调性单调增区间_[2kπ－， 2kπ＋](k∈Z)___； 单调减区间[2kπ＋， 2kπ＋](k∈Z)__ 单调增区间[2kπ－π， 2kπ](k∈Z)____； 单调减区间[2kπ，2kπ ＋π](k∈Z)______ 单调增区间_(kπ－， kπ＋)(k∈Z)___ 奇偶性奇函数偶函数奇函数 3.一般地对于函数f(x)，假设存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.假设只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或者者找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期. 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sinx、cosx的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sinx或者者cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，那么y ＝(t－2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据根本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分以下两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin；(2)y＝sin. 热身练习: 1．函数y＝cos，x∈R()． A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数 2．函数y＝tan的定义域为()． A. B. C.D. 3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是() 三角函数的图像 及性质 知识讲解 一、三角函数的图像和性质 1.正弦函数图像和性质 1）图像： 2）定义域：R 3）值域：[11]， - 4）单调性：[ 22]22x k k π πππ?++，（k Z Î）增函数 3[ 22] 22x k k π π ππ?+，（k Z Î） 减函数 5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π 7）对称性：对称轴 2 x k k Z π π= +?，；对称中心(0)k k Z πÎ， ，． 2.余弦函数图像和性质 1）图像 2）定义域：R 3）值域：[11]， - 4）单调性：[22]x k k πππ?+， （k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数 5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π 7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Z π π+?，，． 3.正切函数图像和性质 1）定义域： {|} 2 x x k k Z π π? ?， 2）值域：R 3）单调性：在 ()22k k π π ππ，- ++（k Z Î）增函数． 4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π 6）对称性：对称中心( 0)2k k Z π Î，，． 二、三角函数的图像变换 三角函数的几种变换： 1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的 点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ 个单位而得到． 2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的 图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1 ω倍（纵坐标不变）而得到． 3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．高考培优课程秋季数学讲义：三角函数-图像与性质【讲师版】
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