数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》
第二十八章锐角三角函数
第25讲锐角三角函数
知识导航
1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．
2．特殊角的三角函数值．
【板块一】求锐角三角函数值
方法技巧
1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．
2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．
3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．
题型一紧扣定义求三角函数值
【例1】已知锐角α满足tanα＝1
2
，求sinα的值．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝
1
2
BC
AC
=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB
，∴sin
BC
AB
α===
【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．
【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．
【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴
AE MD
AM CD
=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝
x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM
＝CM
CE
=．
题型二等角转换求三角函数值
【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．
α
A B
C
C
B
E
A M D
【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴OD
tan∠CDO＝
OC
OD
＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC
【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．
题型三构造直角求三角函数值
【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝
5
3
，延长斜边BD到点C，使DC＝
1
2
BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．
【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝
5
3
AD
AB
=，设AD＝5x，AB＝3x，而
1
3
DE CD
AB BC
==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝
1
55
DE x
AD x
==．
【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．
题型四等比转化求三角函数值
【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值．
C
D
B
A
C
D
E
B
A
A B
D
E
C
【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ，易证AH ＝HE ，∴tan ∠ACE ＝
HE AH AE
CH CH EB
==
，设BE ＝x ，则BD ＝CD
，∴BC ＝
x ，AB ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝3x ，∴tan ∠ACE ＝AE
EB
＝3．
【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．
【解析】连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACP ＝90°，∴cos ∠APC ＝
PC
PA
，又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===，∴cos ∠APC ＝3
5
． 【点评】在直角三角形中，锐角的三角函数值等于两边的比值，当这个比值无法直接求解时，可利用相似
三角形对应线段成比例进行转化．
题型五 利用特殊角求三角函数值
【例7】利用45°角的正切，求tan 22．5°的值，方法如下：
解：构造Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，如图，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则∠D ＝
1
2∠ABC ＝22．5°，设AC ＝a ，AB ＝BD
a a ，∴CD ＝(1
)a ，∴tan 22．5°＝tan ∠D
＝AC CD =
－1．
A B
E D
H
C
A
A
C
A
请你依照此法求tan 15°的值．
【解析】构造如图所示的∠A ＝15°的直角三角形，∠C ＝90°，并过点B 作∠ABD ＝15°交AC 于点D ，则∠BDC ＝30°，设BC ＝x ，则BD ＝AD ＝2x ，CD
，∴AC ＝(2
x ，∴tan 15°＝BC AC
＝2
针对练习1
1．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A ＝
．
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝
513
，则tan B ＝ 12
5 ．
3．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠，使得点B ，C 两点折叠后重合于点G ，则tan ∠FEG ＝
1
2
．
4．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF ，EF ∥MN ，则cos ∠E ＝
1
2
． A D C
B
A
B
C
D
G F D
C
B
A E
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝
tan 2
A
的值．
解：AB
=7．延长CA 到点D ，使AD ＝AB ＝7，则CD ＝7
＋tan
2A
＝tan ∠D
＝7
－ 6．如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 内接于⊙O ，BD 交AC 于点F ，过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，若CF ＝2，AF ＝8，求sin ∠E 的值．
解：连接OB ，CD ，∵CF ＝2，AF ＝8，∴AC ＝10．∴OB ＝5．易证CD ⊥AD ，OB ⊥AD ，∴OB ∥CD ，∴△BOF ∽△DCF ．∴
32OB OF CD CF ==．CD ＝103．sin ∠E ＝sin ∠CAD ＝
CD AC ＝1
3
． 7．将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起，连接AD ，试求∠ADB 的正切值．
解：过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ，易证∠MBA ＝45°，∴设AM ＝BM ＝x
，则AB x ．∴
BC
，BD ．∴tan ∠ADB ＝
AM
DM
8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝6，AB ＝5，求tan
12∠BAC ·tan 1
2
∠CBA 的值．
A
B
C
D
E
A
A
E
D
C
B
A
B
C
D
M
解：过点C作CH⊥AB于点H，延长BA到点D，使AD＝AC，延长AB到点E，使BE＝BC，设AH
＝x，则BH＝5－x，∴42－(5－x)2＝62－x2，∴x＝9
2
．∴BH＝
1
2
，CH
∴tan
1
2
∠BAC
＝tan∠D＝CH
DH
＝2
9
6
2
+
．tan
1
2
∠CBA＝tan∠E＝
CH
HE
＝2
1
4
2
+
，∴tan
1
2
∠BAC·tan
1
2
∠CBA
＝1
3
．
方法技巧：
深刻理解三角函数的定义，画出符合题意的示意图，充分运用数形结合的思想解题．
▶题型一利用已知三角函数，求其他角的三角函数值
【例1】同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin2α＝2sinα·cosα，则当锐角a的
正切值为1
2
时，sin2a＝．
【解析】如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝α，由tanα＝BC
AC
＝
1
2
，设BC＝1，AC＝2，则AB
．sinα＝BC
AB
，cosα＝
AC
AB
，由公式sin2α＝2sinα·cosα＝2
＝
4
5
．
【点评】紧扣定义，运用公式解题．
▶题型二利用已知三角函数，求线段长
【例2】如图，点D是△ABC的边AC上一点，BD＝8，sin∠CBD＝3
4
，AE⊥BC于点E，若CD＝
2AD，求AE的长．
B
A
C
E
D
C
B
A H
C B
A
D
B
A
O O
F
A
B C
D
E
【解析】过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BD·sin∠CBD＝8×2＝6，由AE⊥B C．DF⊥BC，∴DF
∥AE．∴△CDF∽△CAE．∴CD
AC
＝
DF
AE
＝
2
3
．∴AE＝
3
2
DF＝9．
【点评】因三角函数的本质是线段比，故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起．
▶题型三利用已知三角函数，求线段比
【例3】如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别为斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b(b＞a)，若tan
∠DCE＝1
2
，求
a
b
的值．
【解析】易证△BCD∽△BAC，∴BC2＝BD·BA，又BA
，∴BD
2
，同理CD
＝DE＝BE－BD
2
22
，又∵谈∠DCE＝
DE
CD
＝
22
2
b a
ab
-
＝
1
2
，∴a2＋ab－b2＝0，∴
a
b
▶题型四利用已知三角函数，求面积
【例4】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，tan∠CAD＝
1
2
，cos∠ACD
，AC与BD交于点E，CD
BE＝2ED，求四边形ABCD的面积．
【解析】过点D作DF⊥ACC于点F，则AB∥DF．∴△ABE∽△FDE．∴
AB
DF
＝
AE
EF
＝
BE
ED
＝2，设
EF＝2a，AE＝4a．∴AF＝6a，在Rt△AFD中．tan∠F AD＝FD
AF
＝
1
2
，∴DF＝3a，在Rt△CFD中，cos∠ACD ＝
CF
CD
．∴CF＝1，DF＝3a＝3，∴a＝1，AC＝7，AB＝2DF＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△AC＝
1
2
AB·AC＋1
2
AC·DF＝1
2
×6×7＋
1
2
×7×3＝
63
2
．
针对练习2
1．在△ABC中，∠A为锐角，BC＝12．tan A＝
3
4
．∠B＝30°，则AB
2．如图，点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点，且tan∠DEC＝
3
4
，则tan∠AED的值为
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
E D
C
B
A
9
13
．
3．已知△ABC中，AB＝10，AC＝
B＝30°，则△ABC
4．如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90”，tan∠ABD＝3
4
，AB＝20，BC＝10，AD
＝13，求CD的长．
解：分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CG⊥BD于点G，∵tan∠ABD＝AH
BH
＝
3
4
，∴设AH＝3x，
BH＝4x，(3x)2＋(4
x)2＝202，∴x＝4．∴AH＝12，BH＝16．∴HD＝5，BD＝21，易证∠BCG
＝∠ABD，．．tan∠BCG＝GB
GC
＝
3
4
，又BC＝
10，∴BG＝6，CG＝8，∴
DG＝BD－BG＝15，∴CD＝＝17．
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝
3
4
．边BC的重直平分线与AB的交点为点D．求AD
DB
的值．
解：过点D作DF⊥BC于点F，连接CD，则BD＝CD，BF＝CF＝
5
2
，tan∠DBF＝
DF
BF
＝
3
4
．∴DF ＝
15
8
，在Rt△BFD中，BD＝
25
8
，∴AD＝5－
25
8
＝
15
8
，∴
AD
DB
＝
3
5
．
6．如图，已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E，∠ABC＝120°，cos∠ADC＝3
5
，CD＝5，AB＝12，ACDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
E
D
C
B
A
A
B C
D
G
H
D
C
B
A
A
B C
D
F C
B
A
解：过点C作CF⊥AD于点F，过点A作AG⊥EB于点G，在Rt△ACDF中，cos∠ADC＝DF CD
＝
3 5．又CD＝5，DF＝3，CF＝4，∵S△CDE＝
1
2
ED·CF＝6，∴ED＝3，∴EF＝6，在Rt△BAG中，∠BAG
＝30°，AB＝12，∴AG＝
EFC∽△EAG，得
EF
EG
＝
CF
AG
，可求EG＝
BE＝EG－BG＝
9 6．∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CED＝
1
2
6)×
6＝75－
E D
C
B
A A
B
C
D
E F
G
九年级数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题附详细答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题附详细答案 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数 据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，， 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中， 1.73 tan AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，0.6(m)AB =≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE；
数学九年级下册《锐角三角函数》省优质课一等奖教案
第一章直角三角形的边角关系 锐角三角函数》教学设计 （第1 课时） 一、教材分析 直角三角形中边角之间的关系在实际生活中应用广泛. 这节先从实际问题：梯子的倾斜程度引入了锐角三角函数——正切. 它是刻画物体的倾斜程度，山的坡度一个重要的量. 本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数正切的意义：直角三角形中边的比值与角的大小之间的一种内在数量关系，并能通过实际举例来说明；并能够根据直角三角形的边角关系进行计算. 本节的重点就是通过角度的变化和边的比值之间的关系理解tan A 的几何意义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是对三角函数意义的深层次理解. 所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出正切三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解. 二、教学目标 知识目标 1. 经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程；理解正切三角函数的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度
等，能够用正切进行简单的计算. 能力目标 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展学生的思维推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2. 进一步理解函数的概念：边与边比值与角大小之间的变化关系. 3. 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 会用化归思想对问题进行转换，从而解决问题，提高解决实际问题的能力 情感与价值观要求 体会客观现实世界中量与量之间的相互联系和变化关系. 教学重点 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，并能进行简单的计算. 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 三、教学过程： 一、创设问题情境，引入新课 1、通过对课件封面图片的观察，提出问题： [ 问题1] ：以前我们学习了直角三角形中的勾股定理，在直角三角形中给出 两条边的长度可以求出第三边的长度，大家也知道直角三角形的两个锐角互余，
数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》
第二十八章锐角三角函数 第25讲锐角三角函数 知识导航 1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法． 2．特殊角的三角函数值． 【板块一】求锐角三角函数值 方法技巧 1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义． 2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值． 3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解． 题型一紧扣定义求三角函数值 【例1】已知锐角α满足tanα＝1 2 ，求sinα的值． 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝ 1 2 BC AC =，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB ，∴sin BC AB α=== 【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解． 【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值． 【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴ AE MD AM CD =，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝ x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM ＝CM CE =． 题型二等角转换求三角函数值 【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值． α A B C C B E A M D
【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴OD tan∠CDO＝ OC OD ＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC 【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形． 题型三构造直角求三角函数值 【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝ 5 3 ，延长斜边BD到点C，使DC＝ 1 2 BD，连接AC，求tan∠CAD 的值． 【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝ 5 3 AD AB =，设AD＝5x，AB＝3x，而 1 3 DE CD AB BC ==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝ 1 55 DE x AD x ==． 【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中． 题型四等比转化求三角函数值 【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值． C D B A C D E B A A B D E C
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，
初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案
初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案 一、锐角三角函数 1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E e 的切线； （2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ?? ???，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】 【分析】 （1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ??，得 12 BG CF ≤，从而得解. 【详解】 （1）证明：连接DE ，则： ∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵ EB ED = ∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为E e 的切线. （2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ?? ∴11NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531 AF x == 1504333131 OF =-= 即143,031F ?? ??? 如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ?? ∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠= ==+ 解得：25 x =
九年义务教育 九年级(下册)数学 《锐角三角函数》--司马义.苏来曼
C B A C B C B A 新课标人教版初中数学九年级下册 第28章《锐角三角函数》 新疆巴州库尔勒市和什力克乡中学 司马义.苏来曼 第一课时 课题：第28章 锐角三角函数 28．1锐角三角函数（1） ——正弦 【学习目标】 ⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 ⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修 建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•
斜边c 对边a b C B (2)13 5 3C B A (1) 3 4C B A 如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比 也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念： 规定：在Rt △BC 中，∠C=90， ∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ． 在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= = a c ． sinA ＝ A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 四、学生展示： 例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数 我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、 c ，则有：sin cos a A B c = =，cos sin b A B c ==，tan a A b =，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系 由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ． 因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换． 例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1 sin 2 A =，BD ＝2，求BC 的长． 解：由于∠A ＋∠B ＝90°， 所以1 cos sin(90)sin 2 B B A =-==． 在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以21 2BC =． 所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c = ，cos b A c =， 所以22222 2 222 sin cos a b a b A A c c c ++=+=（sin 2A 、cos 2 A 分别表示sin A 、cos A 的平方）． 又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2， 所以sin 2 A +cos 2 A =2 2c c =1． 应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3 ==米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 3．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．
第25课时《 锐角三角函数》备课笔记
备课笔记 备课时间：20 年月______日 课题第25课时锐角三角函数与解直角三 角形、锐角三角函数的实际应用 课型新授课 教学设想 学习目标 1、知道锐角三角函数的定义，会用特殊锐角的三角函数值，进行计算． 2、知道直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形． 3、了解仰角、俯角，坡度等概念，能识别平面图上的方向角和根据要求画出方向角. 4、会用解直角三角形的有关知识解决和直角三角形有关的实际问题. 教学重点 1、会用特殊锐角的三角函数值，进行计算． 2、会解直角三角形． 教学难点 1、了解仰角、俯角、坡度、方向角等概念. 2、会用解直角三角形的有关知识解决和直角三角形有关的实际问题. 教学准备导学案、多媒体课件 教学内容三次备课 教学过程一 次 备 课 【教学过程】 【活动一】知识梳理 【设计意图】学生通过独立整理知识点，复习解直角三角形、锐角三角 函数的实际应用. 【活动二】基础检测 1．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC 于D，下列四个选项中，错误的是（） A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1 2．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于 . 3．在△ABC中，若∠A和∠B均为锐角，且满足等式|2sin A﹣|+（tan B ﹣1）2＝0．则∠C的度数是． 4．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为 45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m， 则大树的高度为 m． 学生活动：组内讨论， 回顾知识点,完善知 识体系. 教师活动：课堂上多 媒体展示知识点，组 织小组讨论，完善知 识体系，建构知识框 架. 学生活动1：独立思 考，自主完成. 第1题 第2题
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册 《锐角三角函数》课时培优练
华东师大版九年级数学上册24.3.1锐角三角函数 课时培优练 一、单选题 1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，若sin△A ＝ 2 3 ，则cosB ＝（ ） A ． 23 B 5 C 25 D 52．在ABC 中，90C ∠=︒，如果3 5 sinA = ，那么tanA 的值为（ ） A ． 34 B ． 54 C ． 35 D ． 43 3．在直角ΔABC 中，已知△C ＝90°， 1 sinA 3 = ，求cosA=( ) A ． 1010 B ． 24 C ． 3 3 D ．22 4．在RtΔABC 中，若△C=90°，cosA= 3 5 ，则sinA 的值为（ ） A ．35 B ． 45 C ． 34 D ． 54 5．已知sin42°≈ 2 3 ，则cos48°的值约为（ ） A ． 23 B ．13 C ． 32 D ．23 - 6．在Rt△ABC 中，△C=90°，若sinA= 2 3 ， 则tanB=（ ） A 35 B 5 C 25 D 57．tan30 的值是（ ） A ． 32 B ． 33 C 3 D ． 22 8．在 Rt ABC ∆ 中， 90C ∠=︒ ， 1 cos 2 B = ，则 sin A 的值为（ ） A ． 12 B ． 22 C ． 32 D 3
二、填空题 9．如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos BAC ∠的值为 ． 10．已知△A 为锐角，若cosA=sin65°，则△A 的度数为 ． 11．比较大小：sin 48° cos 48°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12．α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝ °. 13．已知：△A+△B ＝90°，若sinA= 3 5 ，则cosB ＝ . 14．已知tanA=1，则△A= °. 15．若tanA 3△A= ． 三、解答题 16．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，2AC =6BC =△A 的余弦值和正切值 17．如图，在Rt ABC 中，△C=90°，BC=1，3AC =tanA 与tanB 的值. 18．已知sinα=2 3 ，且α是钝角，求cosα，tanα，cotα的值． 19．在△ABC 中，△C=90°，若sinA=2 3 ，求cosB ，tanB 的值．
数学九年级下册《锐角三角函数》省优质课一等奖教案
第一章直角三角形的边角关系 《锐角三角函数》教学设计 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题．3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，
那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽． 1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？ 2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、 12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障 碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让 图1— 3 表 1 图1— 1 图1—2
苏科版九年级数学下册：《锐角三角函数》几何应用培优训练
《锐角三角函数》几何应用培优练习 1．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位．（4.1 2 ） 2．阅读下面材料： 小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，则tan22.5°＝．
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD＝CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：tan22.5°＝． 参考小天思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等腰△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值． 3．阅读下面材料： 小凯遇到这样一个问题： 如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝4，BD ＝6，∠ AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线 BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BC
D的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答： （1）△ABD的面积为（用含m的式子表示）； （2）求四边形ABCD的面积． 参考小凯思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝a，BD ＝b，∠ AOB＝α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD的面积为（用含a、b、α的式 子表示）． 4.我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的 表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）． 如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等． （1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；
锐角三角函数培优讲义
讲义编号: 组长签字: 学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题锐角三角函数 授课日期及时段 教学目标锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值 重点、难点特殊角三角函数值 教学内容 一、疑难讲解 二、知识点梳理 1.锐角三角函数定义 在直角三角形ABC^, Z 0=9(5,设BC=a CA=b AB=q锐角A的四个三角函数是： (1)正弦定义：在直角三角形中ABC锐A A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA, 即 sin A = a, c (2)余弦的定义：在直角三角行ABC锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA, 即 cos A = b, c (3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA,即 , A a tan A = 一, b 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： (1)锐角/ A必须在直角三角形中，且/ C=90; (2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系 注意：(1) sin , cos , tan 都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中前面的一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，的符号就不能省略^ （2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数， 没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。 3、锐角三角函数关系： （1）平方关系：sin 2A + cos 2A = 1 ; 4、互为余角的两个三角函数关系 若/ A+/ B=/ 90,贝^ sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数： （1）锐角的正弦值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；（2）锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）；（3）锐角的正切值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）。 三、典型例题 考点一：锐角三角函数的定义 1、在RtzXABC中，/C=90 , cosB=4,则AC BC: AB=( ) 5 A 3: 4: 5 B、5: 3: 4 C 4: 3: 5 D 3: 5: 4 2、已知锐角a , cos a = 3 , sin a =, tan a = o 5 3、在△ ABC中，/C=90 ,若4a=3c,贝U cosB=.tanA =。 1 4、在△ ABC中，/C=90 , AB=15 sinA= 1 ,则BC等于。 3
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之羊若含玉创作 【考纲领求】 锐角三角函数的界说、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，树立数学模子，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边. 同理 sin B b B c ∠ == 的对边 斜边； cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边； tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边． a b
要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中界说的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确准时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分离是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及懂得成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；别的，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的界说知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 应用三角函数的界说，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以便利地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的纪律会发明：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝， 在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可； （2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC V 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155 AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. （2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4sin 15125 CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595 AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM ∠=， 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=.
九年级数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒ =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，. （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形 （2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP 试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC ∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF ∵AD//BC ∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF ∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF ∴AB=BE AB=AF ∴AF=AB=BE ∵AD//BC ∴ABEF为平行四边形 又AB=BE ∴ABEF为菱形 （2）作PH⊥AD于H
中考数学 锐角三角函数 培优 易错 难题练习(含答案)及详细答案
中考数学锐角三角函数培优易错难题练习(含答案)及详细答案 一、锐角三角函数 1．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N， ∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题： （1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=． 【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣ 【解析】 【分析】 (1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF， NC=NM=BM进而得出结论； （2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM， ②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM； (3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，， 可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长. 【详解】 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠C=45°， ∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC， ∴BM=MN， 在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∵∠ENF=135°，， ∴∠BME=∠NMF， ∴△BME≌△NMF， ∴BE=NF，
九年级数学锐角三角函数专项培优练习题(含答案)含答案解析
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题 (含答案 )含答案分析一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆走 6m 抵达 B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点 PQ，测得杆顶端点P 的仰角是 Q 的仰角分别是60°和 30°． 45°，向前 （1）求∠ BPQ 的度数； （2）求该电线杆PQ 的高度（结果精准到1m ）．备用数据：， 【答案】（ 1）∠ BPQ=30°； （2）该电线杆 PQ 的高度约为 9m．【分析】 试题分析：（ 1）延伸 PQ 交直线 AB 于点 E，依据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设 PE=x米，在直角△ APE和直角△ BPE中，依据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，依据AB=AE-BE即可列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ 的长度即可求解． 试题分析：延伸PQ 交直线 AB 于点 E， （1）∠ BPQ=90°-60 °=30°； （2）设 PE=x米． 在直角△ APE中，∠ A=45°， 则 AE=PE=x米； ∵∠ PBE=60 ° ∴∠ BPE=30 ° 在直角△ BPE中， BE= 3 PE= 3 x米，33 ∵A B=AE-BE=6米， 则 x- 3 x=6， 3 解得： x=9+3 3 ．
则 BE=（ 3 3 +3）米． 在直角△ BEQ中， QE= 3 BE= 3 （ 33 +3）=（3+ 3 ）米．33 ∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（ 3+ 3 ）=6+2 3 ≈9（米）． 答：电线杆PQ 的高度约9 米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E 是边 BC 上一点，点 F 在射线 CM 上 ,∠ AEF=90°， AE=EF，过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为 H，连结 AC． (1)试判断 BE与 FH 的数目关系，并说明原因； (2)求证：∠ ACF=90°； (3) 连结 AF，过 A， E， F 三点作圆，如图 2. 若 EC=4，∠ CEF=15°，求的长. 图1图2 【答案】（ 1） BE="FH" ；原因看法析 （2）证明看法析 （3）=2π 【分析】 试题分析：（ 1）由△ABE≌ △EHF（ SAS）即可获得B E=FH （2）由（ 1）可知 AB=EH，而 BC=AB， FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠ FCH 为 45°，而∠ ACB也为 45°，从而可证明 （3)由已知可知∠ EAC=30°， AF 是直径，设圆心为O，连结 EO，过点 E 作 EN⊥ AC于点 N，则可得△ ECN为等腰直角三角形，从而可得 所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题分析：（ 1） BE=FH．原因以下： ∵四边形 ABCD是正方形∴∠ B=90，° ∵FH⊥ BC ∴ ∠ FHE=90 ° EN 的长，从而可得AE 的长，获得半径，获得 又∵∠ AEF=90°∴ ∠ AEB+∠ HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠ HEF=∠BAE ∴ ∠ AEB=∠ EFH 又∵ AE=EF ∴△ ABE≌ △ EHF（ SAS） ∴B E=FH (2)∵ △ ABE≌ △ EHF