完整版)锐角三角函数超经典讲义

完整版)锐角三角函数超经典讲义

锐角三角函数

锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。

具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。在用大写

字母表示角度时，一般省略“∠”符号。

在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知

∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.

另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。

解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。因此，△ABE和△DFA是全等三角形。

接下来，求sin∠EDF的值。由于∠BAC=45°，所以

∠AED=45°。由于△ABE和△DFA全等，所以

∠XXX∠BAE=45°。因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.

例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求

△ABC面积（结果可保留根号）。

解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。根据三角函数的定义，可以得到：

sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4

cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4

因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。

9、在直角三角形ABC中，CD垂直于AB于点D。已知AC=23，AB=32，求tan∠BCD的值。

答案：2

10、在坐标系中，圆A的直径CD长为10，经过点C(0,5)和点O(0,0)，点B在圆A上，且在y轴右侧。求∠XXX的余

弦值。

答案：3/4

11、在正方形网格线的交点处，有三个点A、B、C。将

△XXX绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，求XXX∠B’的值。

答案：4/5

12、在菱形ABCD中，DE垂直于AB，且sinA=3/5.已知

菱形的边长为10cm，求菱形的面积。

答案：25

13、在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，点D在BC边上，且∠ADC=45°。求∠BAD的正切值。

答案：3/4

14、在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE。求sin∠ECM的值。

答案：1/2

15、在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

1）证明：DC=BC；

2）已知∠XXX∠XXX，DE=BF，判断△ECF的形状，并证明结论；

3）在（2）的条件下，当

16、计算：

1）-9+(π-4)-sin30°；

答案：-10+π-sin30°

2）1/2-2-(3-2)+2sin30°-3；

答案：-5/2+√3

3）8-2sin45°+(2-π)-1/3；

答案：5-2√2-π/3

4）2sin45°+3cos30°-1/3；

答案：2+5√3/6

17、在直角三角形ABC中，∠B为锐角，且sinB=3/5.求cosB的值。

答案：4/5

18、在△ABC中，a=3，b=4，∠C=60°。求△XXX的面积。

答案：3√3/2

19、在Rt△ABC中，∠C为直角，c=12，tanB=3/4，则△XXX的面积为：

S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \frac{3}{4}\cdot 12=27$$

答案为B、27.

20、根据三角函数定义可知，OP与x轴正半轴的夹角为30°时，点P的坐标为$(4\cos30°,4\sin30°)=(2\sqrt{3},2)$。答案为B、$(2\sqrt{3},2)$。

21、根据切线定理可知，PA=23是⊙O的切线，则

$OP\perp PA$，且$OP=\frac{1}{2}PA=11.5$。又因为$\tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{OP}{OA}$，所以

$OA=\frac{11.5}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=11.5\sqrt{3}$。答案为11.5$\sqrt{3}$。

22、设菱形较小角为$\alpha$，则菱形的周长为$4a=16$，其中$a$为菱形的边长。又因为菱形的较短对角线长为4 cm，所以菱形的长对角线长为$2\sqrt{a^2-2^2}=2\sqrt{a^2-4}$。根据正弦定理可得：

frac{2}{\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{a^2-4}}{\sin(180°-

2\alpha)}=\frac{2\sqrt{a^2-4}}{\sin 2\alpha}$$

化XXX：

sin\alpha=\frac{\sqrt{a^2-4}}{2\sqrt{a^2-4}+\sqrt{3}(a^2-4)}$$

cos\alpha=\frac{\sqrt{3}(a^2-4)}{2\sqrt{a^2-

4}+\sqrt{3}(a^2-4)}$$

代入$4a=16$可解得$a=2\sqrt{2}$，$\alpha=45°$。所以$\sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$。答案为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

23、（1）由于OA=2，所以点A到原点的距离为2，即$A(x,y)$满足$x^2+y^2=4$。又因为$\angle AOB=60°$，所以点B在以OA为直径的圆上，即$B(-

\frac{x}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}x)$。将B的坐标代入

$x^2+y^2=4$可得$x=\frac{4}{\sqrt{13}}$，

$y=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，所以点A的坐标为

$(\frac{8}{\sqrt{13}},\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}})$。

2）直线AB的解析式为

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，与y轴交点为$(0,\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}})$。所以△AOC的底为$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，高为$\frac{8}{\sqrt{13}}$，面积为$\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\cdot

\frac{8}{\sqrt{13}}=\frac{16\sqrt{3}}{13}$。答案为

$\frac{16\sqrt{3}}{13}$。

24、将方程$x-(1+3)x+3=0$化简得$x^2-4x+3=0$，解得

$x=1$或$x=3$。因为$0°

26、将2cosA-3=0化简得$\cos A=\frac{3}{2}$，因为$-

1\leq \cos A\leq 1$，所以无解。答案为无解。

27、根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=10$，又

因为$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，所以$\cos

A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。根据余弦定理可得：cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{AC}$$

解得

$AC=\frac{10}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{15\sqrt{2}}{2}$。根

据正切的定义可得$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{10}$，所

以$\angle A=\arctan\frac{1}{10}\approx 5.71°$。答案为D、大

于30°。

29、根据三角函数定义可得$\cos^2B=1-

\sin^2B=\frac{1}{4}$，所以$\cos B=\pm\frac{1}{2}$。因为B

为锐角，所以$\cos B>0$，所以$\cos B=\frac{1}{2}$。答案为A、$\frac{1}{2}$。

30、当锐角$\alpha$大于45°时，$\sin\alpha>1/\sqrt{2}$。答案为A、大于$\frac{1}{\sqrt{2}}$。

32、当锐角∠A＜60°时，XXX的值为（）。

答案：无法确定。

33、已知sin≤1/2，则的取值范围是（）。

答案：A、＞30°。

解释：因为sin函数在0°到90°之间是单调递增的，且sin30°=1/2，所以sinα≤1/2时，α的取值范围为0°到30°之间。

34、比较大小：

1）cos18°________cos18.3°

2）tan31°_________tan32°

3）sin30°________sin89°

答案：

1）cos18°＞cos18.3°

2）tan31°＜tan32°

3）sin30°＜sin89°

35、比较大小：sin20°＜sin25°；cos50°＞cos70°。

36、若∠A与∠B互余，sinA＝cosB，则∠A＝45°。

37、已知为锐角，且sin＝4/tanA，则cos＝2/3.

38、cos（60°－）＝sin。

39、若sin10°＝cosA，则锐角A＝80°。