锐角三角函数培优讲义
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位,其大小只与角的大小有关,而与所在直角三角形无关. 2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度〔或坡比〕,即坡度等于坡角的正切.
3、锐角三角函数关系：
〔1〕平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系
若∠A+∠B=∠90,则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：
00 300
450 600
sin α
2
1 2
2 2
3 cos α 1 23 2
2 2
1 tan α
3
3 1 〔1〕锐角的正弦值随角度的增加<或减小>而增加<或减小>； 〔2〕锐角的余弦值随角度的增加<或减小>而减小<或增加>； 〔3〕锐角的正切值随角度的增加<或减小>而增加<或减小>.
三、典型例题
考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中,∠C=90°,cosB=5
4
,则AC ：BC ：AB=〔 〕
A 、3：4：5
B 、5：3：4
C 、4：3：5
D 、3：5：4
2、已知锐角α,cosα=3
5
,sinα=_______,tanα=_______.
3、在△ABC 中,∠C=90°,若4a=3c,则cosB=______.tanA = ______.
4、在△ABC 中,∠C=90°,AB=15,sinA=1
3
,则BC 等于_______.
5、在△ABC 中,∠C=90°,若把AB 、BC 都扩大n 倍,则cosB 的值为〔 〕
A 、ncos
B B 、
1
n
cosB C 、
cos n
B
D 、不变
考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 1、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE . 〔1〕求证：ABE △DFA ≌△；
〔2〕如果10AD AB =，=6,求sin EDF ∠的值.
2、如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC 面积〔结果可保留根号〕.
3、如图〔1〕,∠α的顶点为O,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一个点P 〔3,4〕,则sin α=______
4、如图〔2〕所示,在正方形网格中,sin ∠AOB 等于〔 〕 A 、
55
B 、
25
5
C 、
12
D 、2
5、如图〔3〕,在ABC △中,90ACB ∠=,CD AB ⊥于D ,若
23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为〔 〕
A 、2
B 、
2
2
C 、63
D 、
3
3
6、如图〔5〕,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’,则tanB’的值为〔〕
A、1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
2
4
7、如图〔6〕,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,
3
sin
5
A ,则这个菱形的面积=cm2.
8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=3
5
,点D在BC边上,且∠ADC=45°,DC=6,
求∠BAD的正切值.
9、如图,在正方形ABCD中,M为AD的中点,E为AB上一点,且BE=3AE,求sin∠ECM.
10、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠BCD=90°,AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
〔1〕求证：DC=BC
〔2〕E是梯形ABCD内一点,F是梯形ABCD外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,是判断△ECF的形状,并证明你的结论；
〔3〕在〔2〕的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE 的值.
考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算 1、计算：
〔1〕01
9(π4)sin 302
--+-- 〔2〕201
()(32)2sin 3032
---+︒+-
〔3〕1
0182sin 45(2)3-⎛⎫
-+-π- ⎪⎝⎭
〔4〕2sin45°＋3cos30°－
2
3
2、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角,且sinB=23,则cos 2
B
=〔 〕
A 、
2
1
B 、23
C 、
2
2
D 、
2
1 3、在△ABC 中,a =3,b =4,∠C=60°,则△ABC 的面积为________. 4、Rt△ABC 中,∠C=90°,c =12,tanB=3
3
,则△ABC 的面积为〔 〕
A 、363
B 、183
C 、16
D 、18
5、如图所示,在直角坐标系中,OP=4,OP 与x 轴正半轴的夹角为30°,则点P 的坐标为〔 〕
A 、〔2、23-〕
B 、〔23,2〕
C 、〔2,23〕
D 、〔23,－2〕
6、在菱形ABCD 中,已知其周长为16 cm,较短对角线长为4 cm,求菱形较小角的正弦值 和余弦值.
7、如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限内,点B 的坐标为〔3,0〕,OA=2,∠AOB=60°. 〔1〕求点A 坐标；
〔2〕若直线AB 交y 轴于点C,求△AOC 的面积.
考点四：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值,求相应的锐角 1、cosA=
2
2
,A 为锐角,则A=________；2cos<α-100>=1,则锐角α=________. 2、若tanA 的值是方程03)31(2=++-x x 的一个根,则锐角A=〔 〕
A 、30°或45°
B 、30°或60°
C 、45°或60°
D 、60°或90°
3、若2cosA －3=0,则锐角A=________.
4、在Rt△ABC,∠C=90°,BC=5,AC=15,则∠A 等于〔 〕
A 、90°
B 、60°
C 、45°
D 、30°
3、如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,过BC 的中点D 作DE⊥AB 于E,连结CE,求sin∠ACE 的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角,将问题转化成求线段的比．
4、如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos∠DAC, <1>求证：AC ＝BD ； <2>若sinC=
13
12
,BC=12,求AD 的长． 思路点拨 <1>把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明；
<2> sinC=
AC
AD
=
1312,引入参数可设AD=12k ,AC ＝13k ．
5、 已知：在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． <1>##数p 、q 应满足的条件；
<2>若p 、q 满足<1>的条件,方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt△ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式,注意判别式、三角函数值的有界性,建立严密约束条件的不等式,才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．
6．已知α为锐角,下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°,那么sinα>cosα；③如果cosα>2
1 ,那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有． 7．如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,BC=1,cosB=
13
5
,则这个菱形的面积为． 8．如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB＝BD,利用此图可求得tan75°=．
9．化简:
<1>263tan 27tan 22-+ =．
<2>sin 2l°+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°=．
10．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表<假设风筝线是拉直的>,则三人所放的风筝中< >
A ．甲的最高
B ．丙的最高
C ．乙的最低
D ．丙的最低 11．已知 sinαcosα=8
1
,且0°<α<45°则coα-sinα的值为< > A ．
23 B ．23- C ．4
3
D ．43-
12．在△ABC 中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,D 是AC 的中点,则ctg∠DBC 的值是< > A ．3 B ．32 C ．
23 D ．4
3 13．在等腰Rt△ABC 中．∠C＝90°,AC＝6,D 是AC 上一点,若tan∠D BA=5
1
,则AD 的长为< > A ．2 B ．2 C ． 1 D ．22
14．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦,求m 的值．
15．D 是△ABC 的边AC 上的一点,CD=2AD,AE⊥BC 于E,若BD ＝8,sin∠CBD=4
3,求AE 的长．
16．若0°<α<45°,且sinαconα=1673,则sinα=． 17．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根,α为锐角,那么α的取值X 围是．
18．已知是△ABC 的三边,a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=,且有035=-c a ,则sinA+sinB+sinC 的值为．
19．设α为锐角,且满足sinα=3cosα,则sinαcosα等于< >
A ．61
B ．51
C ．92
D ．10
3 20．如图,若两条宽度为1的带子相交成30°的角,则重叠部分<图中阴影部分>的面积是< >
A ．2
B ．23
C ．1
D ．2
1 21．如图,在△ABC 中,∠A＝30°,tanB=
23,AC=32,则AB 的长是< > A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29
22．己在△A BC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且c=35,若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根,又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6,求△ABC 的面积．
五、课后作业
1. 如图,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =,10BC =,AB=8,则
tan EFC ∠的值为 < >
Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45
2. 如图,在直角坐标系中,将矩形OABC 沿OB 对折,使点A 落在1A 处,已知3OA =,1AB =,则
点1A 的坐标是〔 〕
A D
E
C B F
〔1〕 〔2〕 <3> <4> <5> 3. 如图,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠=
,则AD 的长为< >
A ．2
B ．2
C ．1
D ．22
4. 如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,D 是直角边AC 上的点,且2AD DB a ==,15A ∠=︒ ,则BC 边的长
为 ．
5. 如图,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若4tan 3
AEH ∠=,四边形EFGH 的周长为40,则矩形ABCD 的面积为 ______．
6. 如下图所示,ABC ∆中,AB AC =,BD AC ⊥于D ,6BC =,12
DC AD =,则cos C =____． 7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半,则底角的余弦值为______.
8. 等腰三角形的三边的长分别为1、1、3,那么它的底角为
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
9. △ABC 中,∠A =60°,AB =6 cm,AC =4 cm,则△ABC 的面积是
A.23 cm 2
B.43 cm 2
C.63 cm 2
D.12 cm 2
10. 在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,AC=4,则BD 的长是 〔 〕
83A 、43B、23C、8D、
高考培优课程秋季数学讲义：三角函数-图像与性质【讲师版】
高三数学 三角函数-图像与性质 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 本讲义目的在于让同学从根本上了解三角函数的图像与性质，了解图像变换与解析式变换之间的对应关系，利用图像解决与三角函数有关的问题，并在此基础上发散思维，解决三角函数与其他知识融合的综合问题。 知识点一：由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。 知识点二：通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维 品质与解题能力，适应各种变化。
知识点三：通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程、不等式），发展用图象思考问题的能力。 知识点四：通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。 知识点五：通过解决三角函数与其他知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。 【题目来源】 【题目】已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间． 【答案】 【解析】：
【知识点】 由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。 【适用场合】 当堂例题 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π 2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2 x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜． 【答案】π,2, 2 π =T ,π,π 【解析】： (1)π| 2|π 2=-= T ．(2)22 ππ==T ． (3)214cos 2124cos 1+=+= x x y ，所以2π =T . (4)1)4 π 2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义 【知识点拨】 知识点一：锐角三角函数的概念： 锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A a sin A=c ∠的对边，即斜边 ； ∠A 的余弦=A b cos A=c ∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tan=A b ∠的对边，即∠的邻边 注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。 课堂练习： 1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关 系为（ ）． A.cosA ＝cosA ＇ B.cosA ＝3cosA ＇ C.3cosA ＝cosA ＇ D.不能确定 2. 已知 中，AC =4，BC =3，AB =5，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ） Ａ． 34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 α 图1
4.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（） A． B． C． D． 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B ＝， 6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而 变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律； ⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小 和余弦值的大小． 知识点二：特殊角三角函数值的计算
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
锐角三角函数 第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边 )( sin =A ＝______， 斜边 ) (sin = B ＝______； ②斜边 ) ( cos =A ＝______， 斜边 ) (cos = B ＝ ______； ③的邻边 A A ∠=) ( tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝ ______．
例2. 锐角三角函数求值： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝ ______， sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______， sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______． 例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3． 求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR． 对应练习: 1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA． 2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．
25 24 7C B A 3、 已知α是锐角，且cos α=34 ，求sin α、tan α的值． 4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ． 5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=5 3，那么tanA 的值等于 （ ）. A ．35 B. 45 C. 34 D. 43 6、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝ 4 ，c ＝4，则a ＝ _______． 7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _． 知识点二： 特殊角的三角函数值
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之邯郸勺丸创作【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 ； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 . 同理；；．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，
反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更规律可以总结为： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义 一、研究概念 1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系 2、明确概念：正弦 阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角 5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中， ∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的 比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA= ∠A 的对边 斜边 [特殊字母] sinA= a c sinB=b c (∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→ [表示法] cosA= ∠A 的邻边 斜边 [特殊字母] cosA= b c cosB=a c (∠A+∠B=90°) sinA= a c = cosB= cos (90°—∠A) cosA=b c = sinB= sin (90°—∠A) 定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表 示法] tanA= ∠A 的对边 邻边 特殊字母] tanA= a b tanB=b a (∠A+∠B=90°) 余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切 →[表示法] cotA= ∠A 的邻边 对边 [特殊字母] cotA= b a cotB= a b (∠A+∠B=90°) tanA= a b = cotB= cot (90°—∠A) C B A c b a
中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜 边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠==的对边斜边 ； 锐角A 的邻边与斜 边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记 号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外， 、 、 常写成 、 、 ． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就 C a b c
(完整)锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律". 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成， ， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号 “∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外, 、 、 常写成 、 、 ． (3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 锐角 C a b c
中考数学一轮复习讲义第10讲-直角三角形与锐角三角函数(培优)-学案
中考数学一轮复习讲义第10讲-直角三角形与锐角三角函数（培优）-学案 学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题 第10讲-----直角三角形与锐角三角函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握直角三角形的性质与判定；熟练掌握特殊角的三角函数值；熟练应用锐角三角函数计算高度。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一.知识梳理 二.知识概念 （一）直角三角形的性质1直角三角形的两锐角________2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的________3直角三角形斜边上的中线等于斜边的________4勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 （二）直角三角形的判定1有一个角等于________的三角形是直角三角形2有两角________的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形
（三）锐角三角函数定义在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，CA的正弦sinA________；A的余弦cosA________；A的正切tanA________.它们统称为A的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形 （四）特殊角的三角函数值 （五）解直角三角形1定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角2直角三角形的边角关系在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，C1三边之间的关系____________；2锐角之间的关系 ____________；3边角之间的关系sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tan B.3解直角三角形的几种类型及解法1已知一条直角边和一个锐角如a，A，其解法为B90A，c，b或b；2已知斜边和一个锐角如c，A，其解法为B90A，acsinA，bccosA或b；3已知两直角边a，b，其解法为c，由tanA，得A，B90A；4已知斜边和一直角边如c，a，其解法为b，由sinA，求出A，B90A （六）解直角三角形的应用（测高）1仰角与俯角在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i
九年级数学同步培优竞赛详附答案 16第十六讲 锐角三角函数
【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝13 5 ，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=13 5 =AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1 sin 21sin 21==； （2） R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC= 13 12 ，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC AD = 1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数复习讲义 一、知识性专题 专题1：锐角三角函数的定义 1. 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝3 2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35 ,则tan A 等于 ( ) A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 专题2 特殊角的三角函数值 3.计算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8． 4. 计算3 12-?? ???－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-. 专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 5. 如图28－124所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边的中点，BC ＝14， AD ＝12，sin B ＝45 ． (1)求线段DC 的长； (2)求tan ∠EDC 的值. 6.如图28－125所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证AC ＝BD ； (2)若sin C ＝1213 ，BC ＝12，求AD 的长． 7.如图28－126所示，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝30＋303，求AB 的长．
专题4 用锐角三角函数解决实际问题 8.如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量 工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB． (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (3)根据(2)中的数据计算AB． 9.如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位) 10.如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说 明谁先到达营救地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7) 11.如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由． 12.如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°， 且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(3 ≈1.73，结果保留整数)
数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲 锐角三角函数精编版
第14讲 锐角三角函数 知识纵横 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的cot tan cos sin 、、、的通用形式。 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质： 1.单调性 2.互余三角函数间的关系 3.同角三角函数之间的关系。 平方关系1cos sin 2 2 =+a a 商数关系a a a a a sin cos cot ,cos sin tan == 倒数关系1cot tan =a a 例题求解 【例1】（1）如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠,则ABM ∠tan 的值为 . （全国初中数学联赛题） (2)已知在ABC ?中，B A ∠∠、是锐角，且13 5 sin = A ，则ABC S ?= . （黄冈市竞赛题） 思路点拨 对于（1），由MBC NMB ∠=∠，分别延长MN BC 、交于T ，可构造等腰三角形，作AB TE ⊥于D ，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过C 作AB CD ⊥于 D ，这样由三角函数定义得到线段的比，135sin == AC CD A ,2tan ==BD CD B ,设n BD n CD cm A C cm C D ====,2,13,5，解题的关键是求出n m 、的值。
第八讲---锐角三角函数(一)培优竞赛
第八讲：锐角三角函数（一） 直角三角形的两个锐角互余。 2、勾股定理： 3、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=5 ，则AC ：BC ：AB=_______。 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC=_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、 1 cosB C 、 n D 、不变 F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
【知识点二】0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) （1 ）01 (π4)sin 302 - --- （2）2 01() 2sin 3032 --+?+- 2、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求： (1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ； (3)请用类似的方法，求tan22.5°．
考点二：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值，求相应的锐角 1、cosA=2 2 ，A 为锐角，则A=________；2cos(α-100)=1，则锐角α=________。 2、若tanA 的值是方程03)31(2=++-x x 的一个根，则锐角A=（ ） A 、30°或45° B 、30°或60° C 、45°或60° D 、60°或90° 3、若2cosA －3=0，则锐角A=________。 4、在Rt △ABC ，∠C=90°，BC=5，AC=15，则∠A 等于（ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° 5、在△ABC 中，锐角A ，B 满足（sinA-3）2+│cosB -3 │=0，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、等腰直角三角形 D 、直角三角形 6、若∠B 是Rt △ABC 的一个内角，sinB= 3 2 ，则cos 2B 的值是______。 考点一：锐角三角函数的增减性 1、当0°＜＜90°时，和α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 2、锐角三角函数的取值范围：0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，tan α＞0。 1、当锐角∠A ＞45°时，sin A 的值为（ ） A 、大于 22 B 、小于 22 C 、小于 32 D 、大于 32 2、当锐角A 的cos A 2 时，∠A 的值为（ ） A 、小于45° B 、小于30° C 、大于45° D 、大于30° 3、当锐角∠A ＜60°时，tan A 的值为（ ） A 3 B 3 C 3 D 34、已知sin α≤2 1 ，则α的取值范围是（ ） A 、α＞30° B 、30°＜α＜90° C 、0°＜α＜30° D 、0°≤α≤30° cos cos sin sin 89° 2、已知α为锐角，且sin 5 4 = α，则cos α=________。 2、cos （60°－β）=sin （________）（0°＜β＜90°）。 3、已知sin cos =α36°，则锐角α=________。 4、已知220sin sin 251A +=,则锐角A=_______。 6、已知tan 26°cota=1,则锐角a=______。 考点二：锐角三角函数间的转换 1、22sin cos 1A A += 2、若∠A 与∠B 互余，sin cos A B = 3、sin cos = tan A A A
数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》
第二十八章锐角三角函数 第25讲锐角三角函数 知识导航 1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法． 2．特殊角的三角函数值． 【板块一】求锐角三角函数值 方法技巧 1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义． 2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值． 3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解． 题型一紧扣定义求三角函数值 【例1】已知锐角α满足tanα＝1 2 ，求sinα的值． 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝ 1 2 BC AC =，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB ，∴sin BC AB α=== 【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解． 【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值． 【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴ AE MD AM CD =，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝ x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM ＝CM CE =． 题型二等角转换求三角函数值 【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值． α A B C C B E A M D
【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴OD tan∠CDO＝ OC OD ＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC 【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形． 题型三构造直角求三角函数值 【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝ 5 3 ，延长斜边BD到点C，使DC＝ 1 2 BD，连接AC，求tan∠CAD 的值． 【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝ 5 3 AD AB =，设AD＝5x，AB＝3x，而 1 3 DE CD AB BC ==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝ 1 55 DE x AD x ==． 【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中． 题型四等比转化求三角函数值 【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值． C D B A C D E B A A B D E C
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义 锐角三角函数 锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。 具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。在用大写 字母表示角度时，一般省略“∠”符号。 在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知 ∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5. 另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。 解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。因此，△ABE和△DFA是全等三角形。 接下来，求sin∠EDF的值。由于∠BAC=45°，所以 ∠AED=45°。由于△ABE和△DFA全等，所以 ∠XXX∠BAE=45°。因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2. 例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求 △ABC面积（结果可保留根号）。 解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。根据三角函数的定义，可以得到：
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数
第十六讲 锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论： 在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值 一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过 瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰 富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证 明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32-23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥ AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．
锐角三角函数(培优)
锐角三角函数(培优) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
知识要点 1、 锐角三角函数定义 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= tan 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300、450、600、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tanB ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式 Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900－A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ．21 B ．22 C ．2 3 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ．21 B ．3 3 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝5 4 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A.513 B. 1213 C.1013 D. 5 12 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．． 的是（ ）．
锐角三角函数培优讲义
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位,其大小只与角的大小有关,而与所在直角三角形无关. 2、坡角与坡度 坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度〔或坡比〕,即坡度等于坡角的正切. 3、锐角三角函数关系： 〔1〕平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系 若∠A+∠B=∠90,则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数： 00 300 450 600 sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 1 23 2 2 2 1 tan α 3 3 1 〔1〕锐角的正弦值随角度的增加<或减小>而增加<或减小>； 〔2〕锐角的余弦值随角度的增加<或减小>而减小<或增加>； 〔3〕锐角的正切值随角度的增加<或减小>而增加<或减小>. 三、典型例题 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中,∠C=90°,cosB=5 4 ,则AC ：BC ：AB=〔 〕 A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α,cosα=3 5 ,sinα=_______,tanα=_______. 3、在△ABC 中,∠C=90°,若4a=3c,则cosB=______.tanA = ______. 4、在△ABC 中,∠C=90°,AB=15,sinA=1 3 ,则BC 等于_______. 5、在△ABC 中,∠C=90°,若把AB 、BC 都扩大n 倍,则cosB 的值为〔 〕
A 、ncos B B 、 1 n cosB C 、 cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 1、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE . 〔1〕求证：ABE △DFA ≌△； 〔2〕如果10AD AB =，=6,求sin EDF ∠的值. 2、如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC 面积〔结果可保留根号〕. 3、如图〔1〕,∠α的顶点为O,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一个点P 〔3,4〕,则sin α=______ 4、如图〔2〕所示,在正方形网格中,sin ∠AOB 等于〔 〕 A 、 55 B 、 25 5 C 、 12 D 、2 5、如图〔3〕,在ABC △中,90ACB ∠=,CD AB ⊥于D ,若 23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为〔 〕 A 、2 B 、 2 2 C 、63 D 、 3 3
九年级(上)培优讲义：第1讲锐角三角函数
第1讲：锐角三角函数 一、建构新知 1. 请同学们回忆一下,我们已经学过哪些类型的函数？对于函数这种重要的数学模型是如 何定义的？函数与自变量之间存在着怎样的一种关系？ 2. 如图,△ABC ∽△ADE ,根据相似三角形对应边成比例的性质,我们可得 AD AE DE AB AC BC == ,你还可以得出类似也相等的比例式吗？ 请写出来,并请说明理由. 3. 如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b , c . 如此 (1)sinA =cosA =tanA = <2>sinB =cosB =tanB = <3>从上题的六个式子中,请你试着找出同一个角的不同三角函数值之间与互余两角的三角函数值之间具有怎样的数量关系. 4.阅读教材后回答： （1） 在锐角三角函数中,自变量是什么？函数是什么？ （2） 本节课本中指出锐角三角函数的值都是正实数,且0＜sin α＜1,0＜cos α＜1, 你能说明原因吗？那么 tan α的取值X 围是什 么？ 5.特殊三角函数值巧记的方法. <1> 识图记忆法 <2> 列表记忆法 角度 函数值 30︒ 45︒ 60︒ sin α cos α A E D C B B A C 45︒ 45︒60︒ 30︒22 3 1 2 2
<3> 规律记忆法 观察上述表格中的函数值,根据数值的变化特征,可以总结出如下记忆规律： ①有界性：锐角三角函数值都是正数,即当090α︒︒＜＜时,有01α＜sin ＜,01α＜cos ＜ ②增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小,即当 090A B ︒︒＜＜＜时,sin sin A B ＜,tan tan A B ＜,cos cos A B ＞.特殊地,当045A ︒︒ ＜＜时,sin cos A A ＜,当4590A ︒︒ ＜＜,如此sin cos A A ＞ 二、经典例题 例1. 如图,∠α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,另一边经过点P 〔,求 角α的三个三角函数值． Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c . 且a 、b 、c 满足等式 <2b >2 =4