九年级数学锐角三角函数(学生讲义)

锐角三角函数与解直角三角形之邯郸勺丸创作【考纲要求】

1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；

2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

同理；；．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，

反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA＞0．

考点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：

要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更规律可以总结为：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增

大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；(3)倒数关系：

或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的罕见类型及解法

已知条件解法步调

Rt△ABC 两

边

两直角边(a，b)

由求∠A，∠B=90°－

∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－

∠A，

一边一角一直角边和

一锐角

锐角、邻边(如

∠A，b)

∠B=90°－∠A，，

锐角、对边(如

∠A，a)

∠B=90°－∠A，，

斜边、锐角(如c，∠A)

∠B=90°－∠A，，

要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，

已知条件中至少有一个条件为边.

考点六、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示. 坡度(坡比)：坡面

的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做

仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)

方位角：从某点的指南方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，

245°.(4)方向角：指

北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东南方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西南方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：

3．解直角

三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然

后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.

【典型例题】

类型一、锐角三角函数的概念与性质

1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．

A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．

(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA+tanB的值．

(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等

于________．

【思路点拨】

(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三

角函数值和一条边暗示其他边．

(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数

k暗示各边．

(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．

【总结升华】

已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；

(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验考试完成．

举一反三：

【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )

(A) (B)

类型二、特殊角的三角函数值

2．解答下列各题：

(1)化简求值：；

(2)在△ABC中，∠C＝90°，化简．

．

【总结升华】

由第(2)题可得到今后经常使用的一个关系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2．

例如，若设sinα+cosα＝t，则．

举一反三：

【变式】若，，(2α，β为锐角)，求的值.

3．(1)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝30°，AC＝8，求AB和BC的长；

(2)在△ABC中，∠ABC＝135°，∠A＝30°，AC＝8，如何求AB和BC的长?

(3)在△ABC中，AC＝17，AB＝26，锐角A满足，如何求BC的长及△ABC的面积？

若AC＝3，其他条件不变呢?

【思路点拨】

第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝45°；过点C作CD⊥AB于D，则Rt△ACD是可解三角形，可求出CD的长，从而Rt△CDB可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．

类型三、解直角三角形及应用

4．如图所示，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，，，

AC+CD＝18，求tanA的值和AB的长．

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义

【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )

A．sin A＝ B．tan A＝

C．cosB＝ D．tan B＝

例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ( )

A．B．C．D．

专题2 特殊角的三角函数值

【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．

例4 计算|－3|＋2cos 45°－(－1)0．

例5 计算－＋＋(－1)2007－cos 60°．

例6 计算|－|＋(cos 60°－tan 30°)0＋．

例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－.

专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用

【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.

例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC 边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．

(1)求线段DC的长；

(2)求tan∠EDC的值.

例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的

高，tan B＝cos∠DAC.

(1)求证AC＝BD；

(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．

例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C

＝30°，BC＝30＋30，求AB的长．

专题4 用锐角三角函数解决实际问题

【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各类应用问题时要注意掌控各类图形的特征及解法．

例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动

小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河

宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝

45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)

例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨

浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三

名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号

救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD ＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达

营救地点B．(参考数据≈1.4，≈1.7)

例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速

度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测

得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后

到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．

例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告

牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点

和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条

直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(≈1.73，结果保存整数)

例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，

坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水

坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.

例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高

CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，

塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离

AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)

二、规律方法专题

专题5 公式法

【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关

键．

例19 当0°＜α＜90°时，求的值．

三、思想方法专题

专题6 类比思想

【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．

例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，解这个直角三角形．

．

专题7 数形结合思想

【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题经常使用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线

AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于 ( )

A． B．

C． D．

专题8 分类讨论思想

【专题解读】当结果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．

例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30

km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔挺的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保存根号)

专题9 转化思想

例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计

划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经丈

量，森林呵护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北

偏西45°的方向上．已知森林呵护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为什么?(参考数据：≈1.732，≈1.414)

例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)

例26 如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗

户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2

米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1

楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?

初中数学锐角三角函数综合复习讲义

初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念 1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系 2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角 5、特征：正弦 [定义] 在△ABC 中， ∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA= ∠A 的对边斜边 [特殊字母] sinA= a c sinB=b c (∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→ [表示法] cosA= ∠A 的邻边斜边 [特殊字母] cosA= b c cosB=a c (∠A+∠B=90°) sinA= a c = cosB= cos (90°—∠A) cosA=b c = sinB= sin (90°—∠A) 定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA= ∠A 的对边邻边特殊字母] tanA= a b tanB=b a (∠A+∠B=90°) 余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切 →[表示法] cotA= ∠A 的邻边对边 [特殊字母] cotA= b a cotB= a b (∠A+∠B=90°) tanA= a b = cotB= cot (90°—∠A) C B A c b a

九年级下册锐角三角函数专题讲义

1 九年级下册锐角三角函数专题讲义一．知识框架二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中: (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 2.特殊角的三角函数: A sinA cosA tanA 30° 12 32 33 45° 22 22 1 60° 32 12 3

2基础训练：例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（） A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ．不能确定例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2 sin 3 A =，则边AC 的长是（） A B ．3 C ．4 3 D 练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值 25 24 7C B A 练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB 练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= 练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝ 4 ，c ＝2，则a ＝练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（）Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．1

数学九年级培优第25讲《锐角三角函数》

第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航 1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法． 2．特殊角的三角函数值．【板块一】求锐角三角函数值方法技巧 1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义． 2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值． 3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα＝1 2 ，求sinα的值．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝ 1 2 BC AC =，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB ，∴sin BC AB α=== 【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴ AE MD AM CD =，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝ x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM ＝CM CE =．题型二等角转换求三角函数值【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值． α A B C C B E A M D

【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴OD tan∠CDO＝ OC OD ＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC 【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．题型三构造直角求三角函数值【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝ 5 3 ，延长斜边BD到点C，使DC＝ 1 2 BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝ 5 3 AD AB =，设AD＝5x，AB＝3x，而 1 3 DE CD AB BC ==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝ 1 55 DE x AD x ==．【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．题型四等比转化求三角函数值【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值． C D B A C D E B A A B D E C

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第16讲锐角三角函数

第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ；倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ，则S △ABC = ．思路点拨过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ；（2）R C c B b A a 2sin sin sin ===．【例2】如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32-23- 思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥ AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长．思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．

新人教版九年级数学锐角三角函数教案

新人教版九年级数学锐角三角函数教案新人教版九年级数学锐角三角函数教案1 一、复习巩固： 1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：AC：AB = 。 2、在△ABC中，∠C=90°。 (1)已知∠A=30°，BC=8cm， (2)已知∠A=60°，AC= cm，求：AB与AC的长; 求：AB与BC的长。二、例题学习：问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)? 拓展延伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m? 2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中? 思考与探索1：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东60°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。

概念：仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。问题2：为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°。若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢? 思考与探索(2)：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗? 三、板演练习 1、如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB'的位置时，∠BAB'=30°。问这时摆球B'较最低点B升高了多少? 2、飞机在一定高度上飞行，先测得正前方某小岛的俯角为30°，飞行10km后，测得该小岛的俯角为60°，求飞机的高度。四、小结五、课堂作业(见作业纸57) 班级__________姓名___________学号_________得分 _________

九年级(上)培优讲义：第1讲锐角三角函数

第1讲：锐角三角函数一、建构新知 1. 请同学们回忆一下,我们已经学过哪些类型的函数？对于函数这种重要的数学模型是如何定义的？函数与自变量之间存在着怎样的一种关系？ 2. 如图,△ABC ∽△ADE ,根据相似三角形对应边成比例的性质,我们可得 AD AE DE AB AC BC == ,你还可以得出类似也相等的比例式吗？请写出来,并请说明理由. 3. 如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b , c . 如此 (1)sinA =cosA =tanA = <2>sinB =cosB =tanB = <3>从上题的六个式子中,请你试着找出同一个角的不同三角函数值之间与互余两角的三角函数值之间具有怎样的数量关系. 4.阅读教材后回答：（1）在锐角三角函数中,自变量是什么？函数是什么？（2）本节课本中指出锐角三角函数的值都是正实数,且0＜sin α＜1,0＜cos α＜1, 你能说明原因吗？那么 tan α的取值X 围是什么？ 5.特殊三角函数值巧记的方法. <1> 识图记忆法 <2> 列表记忆法角度函数值 30︒ 45︒ 60︒ sin α cos α A E D C B B A C 45︒ 45︒60︒ 30︒22 3 1 2 2

<3> 规律记忆法观察上述表格中的函数值,根据数值的变化特征,可以总结出如下记忆规律： ①有界性：锐角三角函数值都是正数,即当090α︒︒＜＜时,有01α＜sin ＜,01α＜cos ＜ ②增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小,即当 090A B ︒︒＜＜＜时,sin sin A B ＜,tan tan A B ＜,cos cos A B ＞.特殊地,当045A ︒︒ ＜＜时,sin cos A A ＜,当4590A ︒︒ ＜＜,如此sin cos A A ＞二、经典例题例1. 如图,∠α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,另一边经过点P 〔,求角α的三个三角函数值． Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c . 且a 、b 、c 满足等式 <2b >2 =4, 且有5a －3c =0,求sinB 的值. 例3. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,根据勾股定理有公式 a 2+ b 2= c 2,根据三角函数的概念有sinA = a c ,cosA =b c , （1）求证：sin 2 A +cos 2 A =1, sin cos A A =tanA 〔2〕请利用〔1〕中的结论求解如下题目. ①Rt △ABC 中,∠C =90°,sinA = 3 5 ,求cosA ,tanA 的值； ②Rt △ABC 中,∠C =90°,tanA = 1 2 ,求sinA ,cosA 的值； ③∠A 是锐角,cosA = 15 17 ,求sin 〔90°－A 〕的值．例4. ：⊙O 的直径AB 为3,线段AC ＝4,直线AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A 、M ,<1>求证：点P 是线段AC 的中点； <2>求sin ∠PMC 的值. 例5.如图 ,直线AB 与x 轴,y 轴分别相交于A 、B 两点,它的解析式为y =,角α的一边为OA ,另一边为OP ⊥AB 于P ,求cos α的值. 三、根底演练 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6,3 2 sin =B ,那么AB 的长

人教版九年级数学上册知识点总结：第二十八章锐角三角函数

人教版九年级数学上册知识点总结第二十八章、锐角三角函数知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A＝ ∠A的对边斜边＝ a c 余弦: cos A＝ ∠A的邻边斜边＝ b c 正切: tan A＝ ∠A的对边 ∠A的邻边＝ a b. 2.特殊角的三角函数值度数三角函数 30°45°60° sinA 1 2 2 2 3 2 cosA 3 2 2 2 1 2 tanA 3 3 1 3 知识点二：解直角三角形 3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sin A＝=cosB= a c，cos A＝sinB= b c，tan A＝ a b. 知识点三：解直角三角形的应用

5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角． 6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.例如17年14年中考题

人教版九年级数学下册锐角三角形的应用讲义

锐角三角函数的实际应用解题技巧：设所求边为x ，根据两个直角三角形的三角函数列出方程，再解答例题讲解：例1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B 的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度（结果保留根号）例2、车辆安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载。三中初三（一）班数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：现在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道上确定点D 的同侧取点 A 、 B ，使∠CAD=30°，∠CBD=60° （1）求AB 的长（精确到0.1米，参考数据3 1.73=，2 1.41=）（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得一辆汽车从A 到B 用时2秒，判断这辆汽车是否超速？

例3、如图，河对岸有古塔AB。小明同学在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D。在D处测得A的仰角为45°，求塔高多少米？ 1、如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高。现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米。请你帮助小明同学计算树的高度（结果保留根号）

2、我市进行城区规划，工程师需测一栋大楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，求楼AB的高 3、（触礁问题）如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到点B，测得岛C在北偏东30°。已知岛C周围5海里内有暗礁，若船继续航行，有无触礁的危险？请说明理由（参考数据： 3 1.73 ≈，2 1.41 ≈）

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结

【苏教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数一、知识框架二、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边 (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边 (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边 (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边 2.特殊值的三角函数： a sina cosa tana cota 30°1 2 3 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 1 60° 3 2 1 2 3 3 3 3.互余角的三角函数间的关系

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 4. 同角三角函数间的关系平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 5.三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,

人教版九年级下册数学《锐角三角函数》精讲精练(附答案)

一、基础知识 1、余弦、正切定义：如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA= 斜边邻边A ∠=b c ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA= A A ∠∠的对边的邻边=a b 2、三角函数定义：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。二、重难点分析重点：理解余弦和正切的定义，并能利用锐角三角函数的定义进行简单的计算。难点：利用锐角三角函数的定义进行简单的计算。例1：在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．三、中考感悟 1、（义乌市）如图，点A （t ，3）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=3 2 ，则t 的值是（）

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【解析】根据正切的定义即可求解．四、专项训练（一）基础练习 1、Rt△ABC的各边长都扩大3倍，则锐角A的余弦值和正切值（） A. 都扩大三倍 B. 都缩小3倍 C. 都不变 D. 无法确定

；1 3 ； 3、若α是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值为（） D. 12 4、在Rt △ABC 中，CD 为斜边上的高，则tanA 的值可表示为（） A. AC AB B. AD AC C. CD AD D. AC BC

5、若α为锐角，sinα=3 5 ，则cosα= ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 （二）提升练习 6、如图△ABC的三个顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（） A. B. C. D. 3 4

九年级数学下册知识讲义-28锐角三角函数值的计算(附练习及答案)-人教版

学习目标一、考点突破 1. 熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。 2. 会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角。 3. 了解三角函数值随角度的变化规律，加深对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，培养逆向思维的能力。二、重难点提示重点：会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值求出这个角的度数。难点：由一个特殊锐角的三角函数值求出这个角的度数。考点精讲特殊角的三角函数值 1 2 31 2 30° 60°45° 【核心突破】当角度在0°~90°之间变化时，正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减小。【方法指导】一个锐角的三角函数值和这个锐角的度数是函数关系，已知角的度数，可求其三角函数值；反过来，已知某个三角函数值，可求角的度数。像30°、45°、60°这样的特殊角可根据上表计算；其他的角一般就要用计算器辅助计算了。典例精讲例题1在△ABC中，若︱cosA－︱＋（1－tanB）2＝0，则∠C的度数是（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 思路分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，再求A和B的度数，最后根据三角形的内角和定理得出∠C的度数。答案：由题意，得cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°，故选C。

技巧点拨：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理。例题2观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝。（1）根据上述规律，计算sin2α＋sin2（90°－α）＝__________；（2）计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°。思路分析：（1）根据已知的式子可以得到sin（90°－α）＝cosα，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解；（2）利用（1）的结论即可直接求解。答案：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°－α）＝cosα， ∴sin2α＋sin2（90°－α）＝1；（2）sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝（sin21°＋sin289）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋sin245°＝1＋1＋…1＋＝44＋＝。技巧点拨：本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数关系。例题3（1）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）若∠α＝45°，则sinα_____cosα；若∠α＜45°，则sinα_____cosα；若∠α＞45°，则sinα_____cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°。思路分析：（1）随着一个锐角的增大，若斜边不变，则它的对边在逐渐增大；若邻边不变，则斜边逐渐变大，那么邻边与斜边的比逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小；（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论；（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较。答案：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC。 ∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而， ∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC；

初中数学锐角三角函数

2021年寒假九年级数学科小班讲义第十二讲锐角三角函数：﹍﹍﹍﹍分数：﹍﹍﹍﹍ 1．=︒-2)30tan 31( [ ] A ．31-- B ．3+1 C ． 3－1 D ．1－3 2．直角三角形两锐角的正切函数的积为[ ] A ．2 B ．1 C ． 4 2 D ． 35 3．在△A BC 中,∠C =90°,AC =2,BC =1,那么c os B = [ ] A ． 52 B ． 53 C ．5 4 D ． 55 4．在△ABC 中,CD ⊥AB 于D ．那么sin ∠ACD =________;cot ∠BCD =_________ 5．在△ABC 中,∠C =90°,设AC =b ．假设b 等于斜边中线的 3 4 ,那么△ABC 的最小角的正弦=________． 6．在Rt △ABC 中,∠C =90°,假设sin A 是方程52 x -14x +8=0的一个根,求sin A ,t anA ． 7、等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底边的夹角的正弦值为 2 3 ，求该直角三角形的面积。 8、〔1〕求边长为8，一角为120°的菱形的面积。〔2〕在△ABC 中，∠A=75°，∠B=60°，AB=22，求AC 的长。

解直角三角形 1. 如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.塔基出地平面20米(即BC为20米)塔身AB的高为[ ] 2.如图,一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机到达A 点,仰角30°,那么飞机从B到A的速度是[ ]米/分.(准确到米) A.1461 B.1462 C.1463 D.1464 3. 如以下图,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测得C的仰角为45°,那么塔高CD(准确到0.1m)是[ ]m A.25.3 B.26.3 C.27.3 D.28.3 4. 如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30和60°,那么塔高是[ ]米 5. 如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°,再从B的正上方40米高层上A处,测得C的仰角是45°,那么旗杆顶点C离地CD的高度是[ ]米. 二、填空题 1. 如图：在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角60°,竖直下降10米至D,测得A点俯角45°,那么峭壁的高是_____________米.

初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 0, ∠A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，则∠ A 的正弦可表示为： sinA ∠ A 的余弦可表示为： cosA ∠ A 的正切可表示为： tanA ，它们称为∠ A 的锐角三角函数 ① sin A ( ) ＝ ______，斜边 ② cosA ( ) ＝ ______，斜边 ③ tan A ( ) ＝ ______， A 的邻边【特别提醒： 1、sinA 、cosA 、 tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。 2、取值范围例 1. 锐角三角函数求值：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，若 a ＝ 9， b ＝ 12，则 c ＝ ______， sinA ＝ ______， cosA ＝ ______， tanA ＝______ ， sinB ＝ ______， cosB ＝ ______， tanB ＝______ ．典型例题：类型一：利用直角三角形求值 1．已知：如图， Rt △TNM 中，∠ TMN ＝90°， MR ⊥ TN 于 R 点， TN ＝ 4， MN ＝ 3．求： sin ∠TMR 、 cos ∠TMR 、 tan ∠ TMR ． 2．已知：如图，⊙ 3 O 的半径 OA ＝ 16cm ， OC ⊥AB 于 C 点， sin AOC 4 求： AB 及 OC 的长．

类型二 . 利用角度转化求值： 1．已知：如图， Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°． D 是 AC 边上一点， DE ⊥ AB 于 E 点． DE ∶ AE ＝1∶ 2．求： sinB 、 cosB 、tanB ． 2．如图，直径为 10 的⊙ A 经过点 C (0，5) 和点 O (0，0) ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y 轴右侧圆弧上一点，则 cos ∠ OBC 的值为（） A ． 1 B ． 3 C ． 3 4 2 2 D ． 5 y 5 C A O B D x 第 8题图 3 ，AC 5.如图， ⊙O 是 △ ABC 的外接圆， AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙O 的半径为 2 ，则 2 sin B 的值是（） 2 3 3 4 A ． B ． C ． D ． 3 2 4 3 6. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB 8 ， BC 10 ， AB=8,则 tan ∠ EFC 的值为 ( ) A D E Ａ． 3 Ｂ． 4 Ｃ． 3 Ｄ．4 B F C 4 3 5 5 7. 如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中， C 90，AC 6，D 为AC 上一点，若 tan DBA 1 ) ，则 AD 的长为 ( 5 A ． 2 B ． 2 C ．1 D ．2 2