九年级数学同步培优竞赛详附答案 16第十六讲 锐角三角函数
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝13
5
，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．
思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=13
5
=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．
注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2
1
sin 21sin 21==；
（2）
R C
c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23-
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=
13
12
，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC
AD
=
1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ．
【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；
(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?
思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>2
1 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．
2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB
13
5
，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．
4．化简
(1)263tan 27tan 22-+ = ．
(2)sin 2
l °+sin 2
2°+…+sin 2
88°+sin 2
89°= ．
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )
A ．甲的最高
B ．丙的最高
C ．乙的最低
D ．丙的最低
6．已知 sin αcos α=8
1
，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )
A ．
23 B ．2
3
- C ．43 D ．43-
7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )
A ．3
B ．32
C ．
23 D ．4
3 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=5
1
，则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ． 1
D ．22
9．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值． 10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=4
3
，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=
16
7
3，则sin α= ．
12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．
13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．
14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．
61 B ．5
1
C ．92
D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．
2
3
C ．1
D ．21
16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=
23
，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．
2
9 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为
6，求△ABC 的面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．
19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a 与n c 的关系，并证明你的结论．
20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．
(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14) (2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数
中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．
参考答案
2023全国真题分类卷 第一部分 基础知识分点练 第十六讲锐角三角函数及其实际应用
第十六讲 锐角三角函数及其实际应用 命题点1 特殊角的三角函数值 1. (2022天津)tan 45°的值等于( ) A. 2 B. 1 C. 22 D. 3 3 命题点2 直角三角形的边角关系 2. (2022陕西)如图，AD 是△ABC 的高．若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为( ) 第2题图 A. 32 B. 35 C. 37 D. 62 3. (2021玉林)如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有( ) 第3题图 A. h 1＝h 2 B. h 1
第5题图 6. (2021上海)如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC ＝4 5 ，BF 为AD 边上的中线． (1)求AC 的长； (2)求tan ∠FBD 的值． 第6题图 命题点3 锐角三角函数的实际应用 类型一 解一个直角三角形 7. (2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC ，其中 AB ＝AC ，∠ABC ＝27°，BC ＝44 cm ，则高 AD 约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( ) A. 9.90 cm B. 11.22 cm C. 19.58 cm D. 22.44 cm 第7题图 8. (2022金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC ＝6 m ，∠ABC ＝α，则房顶A 离地面EF 的高度为( )
九年级数学同步培优竞赛详附答案 16第十六讲 锐角三角函数
【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝13 5 ，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=13 5 =AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1 sin 21sin 21==； （2） R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC= 13 12 ，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC AD = 1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
人教数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF， ∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE； （3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H， ∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠3 ∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=1 2 EK=2， ∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=1 2 PF=1，3OH=23 ∴()2 2 12362 +-=
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题 1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（） A．√10 2B．√15 3 C．√6 4 D．√10 4 2．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=3 5,那么tanB=() A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（） A．sinA=√3 2B．tanA=12C．cosB=√3 2 D．tanB=√3 4．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（） A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（） A．2海里B．2sin55°海里
C．2cos55°海里D．2tan55°海里 6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1 cos2α ，正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（） A．1 1−sinαB． 1 1+sinαC． 1 1−cosα D．1 1+cosα 8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）
备战中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 6392 ==米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos 10 B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD?AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD?AE=AF?AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF?FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ， ∴AD?AE=AF?AG=AF?（AF+FG ）=3× 10 3 =10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ， ∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°， ∴∠ADC=∠ADN ， ∵AD=AD ，CD=ND ， ∴△ADC ≌△ADN ， ∴AC=AN ，
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案 一、填空题：（30分） 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2 ，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 3、已知tan α＝12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 4、cos 2(50°＋α)＋co s 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 5、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （ 2 ） （3） 6、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正 切 值 为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 8、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=33，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题：（30分） 11、sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ 12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值 （ ） A.也扩大3倍 B.缩小为原来的1/3 C. 都不变 D.有的扩大，有的缩小 13、以原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） A.(cos α,1) B.(1,sin α) C.(sin α,cos α) D.(cos α,sin α) 14、如图4，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若 cos ∠BDC= 5 3 ，则BC 的长是（ ）A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 图4 图5 图6 15、已知a 为锐角，sina=cos500 则a 等于（ ） A.200 B.300 C.400 D.50 16、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 17、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ） A 、sin(α+β)=sin α+sin β B 、cos(α+β)= 12 时，α+β=60 C 、若α≥β时，则cos α≥cos β D 、若cos α>sin β,则α+β>900 18、如图5,小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 ( ) A ．9米 B ．28米 C ．()3 7+米 D.()3214+米 19、如图6,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a,测得C 点的俯角为β,则较 低建筑物CD 的高为( ) A.a m B.(a ·tan α)m C.tan a α m D.a(tan α－tan β)m 20、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者 想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33 ，则鱼竿转过的角度是( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90° 三、解答题：（60分） 21、计算(8分)：(1)tan30°sin60°＋cos 230°－si n 245°tan45° (2) 50cos 40sin 0cos 45tan 30cos 330sin 145tan 41222-+-+．
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数 我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、 c ，则有：sin cos a A B c = =，cos sin b A B c ==，tan a A b =，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系 由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ． 因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换． 例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1 sin 2 A =，BD ＝2，求BC 的长． 解：由于∠A ＋∠B ＝90°， 所以1 cos sin(90)sin 2 B B A =-==． 在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以21 2BC =． 所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c = ，cos b A c =， 所以22222 2 222 sin cos a b a b A A c c c ++=+=（sin 2A 、cos 2 A 分别表示sin A 、cos A 的平方）． 又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2， 所以sin 2 A +cos 2 A =2 2c c =1． 应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．
九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案
九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（ ） A ．1∶3 B ．1∶2.6 C ．1∶2.4 D ．1∶2 2．如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） A ．27海里 B ．214海里 C ．7海里 D ．14海里 3．如图，从山顶A 望地面C ．D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（ ） A ．100米 B ．350米 C ．250米 D ．)13(50+米 4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A ．a 450元 B ．a 225元 C ．a 150元 D ．a 300元 5．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB =1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为（ ） A ．1.8tan80°m B ．1.8cos80°m C ． ︒ 80sin 8 .1 m D ． ︒ 80tan 8 .1 m 6．身高相同的三个小朋友甲．乙．丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ） A ．甲的最高 B ．乙的最低 C ．丙的最低 D ．乙的最高 7．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A ．B 间的距离，在距A 点15米的C 处 （AC ⊥AB ）测得∠ACB =50°，则A ．B 间的距离应为（ ） 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第7题 第8题
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》单元复习及典型例习题(含答案)
锐角三角函数 第一部分同角三角函数 “做一做” 从表中不难得出： 130cos 30sin 0 2 2 =+ ， 00 30tan 30 cos 30sin = 145cos 45sin 0 2 2 =+ ， 0 045tan 45 cos 45sin = 160cos 60sin 0 2 2 =+ ， 00 60tan 60cos 60sin = 那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 2 2 =+B A ，A A A tan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系： 如图，在0 90,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 2 2 =+B A （平方关系） ②A A A cos sin tan = ，A A A sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系） 证明：①222,cos ,sin c b a c b A c a A =+==
1cos sin 222 222 22 2==+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 2 2 =+A A ②a b A b a A c b A c a A ==== cot ,tan ,cos ,sin A b a b c c a c b c a A A tan cos sin ==⋅==∴ A a b a c c b c a c b A A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A A A sin cos cot = ③a b A b a A ==cot ,tan 1cot tan =⋅=⋅∴a b b a A A 即 1cot tan =⋅A A 通过以上证明，可以得出以下结论： ①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 2 2 =+A A ． ②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A A A cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即A A A sin cos cot =． ④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,5 3 cos =A 求A A tan sin ，． 解：A ∠ 为锐角 1sin 0<<∴A 又 ,1cos sin 2 2 =+A A 5 3cos = A 542516531cos 1sin 2 2 ==⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=∴A A
2021年九年级数学中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应用(含答案)
2021 中考专题冲刺训练：锐角三角函数及其应 用 一、选择题 1. (2019•天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 2. 如图，有一斜坡 AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ， 若tan ∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC 为 ( ) A .75 m B .50 m C .30 m D .12 m 3. (2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， △ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为 A ．43 B ．34 C ．35 D ．45 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆 AB 的长为 ( ) A .米 B . 米 C . 米 D . 米
5. （2020·扬州）如图，由边长为 1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D .则sin ∠ADC 的值为 （ ） A. 213 13 B. 31313 C. 23 D. 32 6. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB 的垂直平分线 EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC=5 7 ，则BC 的长是 A ．10 B ．8 C ．43 D ．26 7. 如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝3 5 ，AC ＝5，则△ABC 的面积是( ) A.21 2 B ．12 C ．14 D ．21 8. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( ) A . 11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 1 1＋cos α
2021年九年级中考数学 一轮复习：锐角三角函数(含答案)
2021中考数学一轮复习：锐角三角函数 一、选择题 1. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为 () A.B.C.D. 2. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC为() A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m 3. (2019•山东威海)如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B 点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是 A．B． C．D．
4. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格 的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( ) A . 1 2 B . 1 C . 3 D . 2 5. （2020·咸宁）如图，在矩形 ABCD 中，2AB =，25BC =，E 是BC 的中点， 将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ECF ∠的值为（ ） A. 2 3 B. 104 C. 53 D. 25 5 6. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15米的旗杆ED ，从办公大楼顶 端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( ) A . 30.6 B . 32.1 C . 37.9 D . 39.4 7. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积
九年级数学上册26.1锐角三角函数(二)同步练习含答案解析
《26.1 锐角三角函数（二）》 一、选择题 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（） A．B．C．D． 2．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（） A．B．C．D． 3．在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值与余弦值（）A．都不变B．都扩大2倍C．都缩小 D．以上都不对 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（） A．B．C．D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分13分） 5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA= ． 6．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，则BC= ． 7．在△ABC中，∠B=90°，sinA=，BC=2，则AB= ． 8．如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为．
9．sin45°的值是______ 10．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（） A．4 B．4 C．5 D．5 11．已知α为锐角，且cos（90°﹣α）=，则α的度数为． 12．在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA= ． 13．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C= ． 三、解答题 14．计算： （1）+； （2）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°； （3）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°． 15．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α； （2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB 的长． 17．在如图的直角三角形中，我们知道sinα=，cosα=，tanα=，∴sin2α+cos2α=+ ===1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题16 锐角三角函数(教师版)
人教版备考2023中考数学二轮复习专题16 锐角三角函数 一、单选题 1．（2021九上·潍城期中）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=√3 2 ，tanB=√3，则△ABC的形状是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念 【解析】【解答】解：∵sinA=√3 2 ，tanB=√3， ∴∠A=60°，∠B=60°， ∴∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 故答案为：C 【分析】利用特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。 2．（2021九上·乳山期中）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=√3 2 ，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念 【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=1 2，cosB=√3 2， ∴∠A=30∘，∠B=30∘， ∴∠C=180∘−30∘−30∘=120∘， ∴△ABC是钝角三角形. 故答案为：B. 【分析】利用特殊角的三角形函数值求出∠A=30∘，∠B=30∘，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。 3．（2022九上·舟山月考）在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则tanB的值是（）
A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 【答案】C 【知识点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图， 在ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴tanB =AC BC =86=43 . 故答案为：C 【分析】利用在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB =AC BC ，代入计算可求出结果. 4．（2022九上·潞城月考）如图，在RtΔABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下 列结论中错误的是（ ） A ．a 2+b 2=c 2 B ．sinB =cosA C ．tanA =a c D ．sin 2A +cos 2A =1 【答案】C 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：A ∶在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，由勾股定 理得a 2+b 2=c 2，因此A 不符合题意； B ∶由三角函数的定义得sinB =b c =cosA ，所以B 不符合题意； C ∶ 由三角函数的定义得tanA =a b ，所以C 符合题意； D ∶ ∵sin A =a c ，cosA=b c ∴sin 2 A +cos 2 A =a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2 c 2=c 2 c 2 =1 所以D 不符合题意．
备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案
-X 锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1. 如图，山坡上有一棵树AB,树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6jj 米，山坡的坡角 为30。・小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的髙，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=I 米， 【解析】 解：・・・底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30。・ CF=I 米, ・•・ DC=9+l=10 米, /. GE=IO 米, •・・ Z AEG=45∖ ・•・ AG=EG=I0 米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF ∙tan20o =10×0.36=3.6 米， ・•・ AB=AG-BG=IO-3.6=6.4 米, 答：树髙约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直 角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2. 如图，等腰AABC 中，AB=AC, ZBAC=36。，BC=I l 点 D 在边 AC 上且 BD 平分ZABC, 设 CD=×. (1) 求证：△ ABC- ∆ BCD ： (2) 求X 的值： (3) 求 cos36o -cos72°的值. DC=BC ∙cos30o ==6√3× √3 2 【答案】6.4米 （参考
【答案】⑴证明见解析：（2） 土JE ： （3） 7近+ X. 2 16 【解析】 试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线 求出ZDBC 的度数，得到Z DBC=Z A,再由ZC 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC 与三角形BCD 相似： （2） 根据（1）结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC 表示出AC,由（1）两三角形相似得比 例求岀X 的值即可； （3） 过B 作BE 垂直于AC,交AC 于点E,在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用 锐角三角函数左义求出∞s360 与cos72o 的值，代入原式计算即可得到结果. 试题解析：（1） T 等腰AABC 中，AB=AC, Z BAC=36o , ・•・ Z ABC=Z C=72% ••・BD 平分Z ABC, ••・ Z ABD=Z CBD=36% ∙/ Z CBD=Z A=36% Ze=Z C, ・•・△ ABC - A BCD ； （2） V Z A=Z ABD=36∖ .∙. AD=BDf ∙.∙ BD=BC, ・•・ AD=BD=CD=I, 设 CD=x,则有 AB=AC=×+l, •・• △ ABc - △ BCD, AB BC _x+l 1 整理得：×2 +×-l=0, ≡= E 舍去 2 （3） IiB 作BE 丄AC,交AC 于点 E, BD = CD , i 1 ~Γ = 7
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好 278页 初中奥数辅导讲义 培优计划（星空课堂） 第一讲走进追问求根公式 第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角 2 第二十讲直线与圆 第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆 第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆 第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手 3 第一讲走进追问求根公式
形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、 因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的 最普遍、最具有一般性的方法。求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含 了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了 2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基 本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二 次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这 个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例 题求解】 【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。 【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（） A、一4 B、8 C、6 D、0 思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关 键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。【例3】解关于某的方程(a1)某22a某a0。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分a10及a10两种情况讨论。【例4】设方程某22某140，求满足该方程的所有根之和。
九年级数学锐角三角函数(带答案)
锐角三角函数与解直角三角形之杨若古兰创作【考纲请求】 锐角三角函数的定义、性质及利用，特殊角三角函数值的求法，应用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际成绩.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的常识解决成绩. 【常识收集】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边. 同理sin B b B c ∠ == 的对边 斜边； cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边； tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边． a b
要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完好的数学符号，是一个全体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习气上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有响应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地晓得0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个利用就是：如果晓得了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)细心研讨表中数值的规律会发现： sin0︒、、、、sin90︒的值顺次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3 ==米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 3．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．
2021年九年级数学中考一轮复习锐角三角函数相关填空压轴题 培优提升专题训练(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习锐角三角函数相关填空压轴题培优提升专题训练（附答 案） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内部一点，且∠ADB+∠BAC＝240°，∠ADC＝2∠ABC，若3BD＝2CD，则tan∠ADC的值为． 2．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tan B＝tan C＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为cm2． 3．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC＝+4，tan A＝，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为． 5．如图，△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD＝，BD＝，则CD＝．
6．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，tan A＝，D是AC中点，∠ABD＝∠FBD，BC＝6，CF ∥AB，则DF＝． 7．如图，C为射线AM上一点，以点C为直角顶点作∠BCD交射线AN于D，B两点，当tan A＝时，的最大值为． 8．如图，线段AC，BD交于点P，∠A＝30°，∠ACD＝120°，∠D＝15°，AB＝1，CD ＝，则BD的长为． 9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点K，若EC＝10，tan∠AED＝，则AK＝．