2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：1-2 角的概念的推广

课时作业2角的概念的推广

时间：45分钟满分：100分

——基础巩固类——

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α(D)

A．是第三象限角

B．是第四象限角

C．既是第三象限角又是第四象限角

D．不属于任何一个象限

解析：∵M(0，－3)在y轴非正半轴上，∴角α的终边在y轴非正半轴上，∴角α不属于任何一个象限．

2．与－525°角的终边相同的角可表示为(C)

A．525°－k·360°(k∈Z)

B．165°＋k·360°(k∈Z)

C．195°＋k·360°(k∈Z)

D．－195°＋k·360°(k∈Z)

解析：－525°＝－2×360°＋195°，故与－525°角的终边相同的角可表示为195°＋k·360°(k∈Z)．

3．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在(B)

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α

4．设A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于(D)

A ．{锐角}

B ．{小于90°的角}

C ．{第一象限角}

D ．{α|k ·360°<α

解析：∵A ＝{小于90°的角}＝{锐角、零度角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k ·360°<α

5．集合M ＝{α|α＝k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{β|β＝k ·45°，k ∈Z }，则集合M 与集合N 的关系是( B )

A ．M

N

B ．M N

C ．M ＝N

D ．M ∩N ＝∅

解析：如图a ，集合M 中的各类角的终边用实线(包括坐标轴)表示．图b 中的实线(包括坐标轴)表示集合N 中的各类角的终边．

比较图a 和图b ，不难得出：M N ，故选B. 6．若α是第一象限角，则－α

2是( D ) A ．第一象限角 B ．第四象限角 C ．第二或第三象限角 D ．第二或第四象限角

解析：解法一：由题意知k ·360°<α

2

当k 为偶数时，－α2为第四象限角；当k 为奇数时，－α

2为第二象

限角．

解法二：由等分象限法易知α

2为第一象限角或第三象限角，根据－α2与α2的终边关于x 轴对称，知－α

2为第四象限角或第二象限角．

7．若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是( D )

A ．α＝－β

B ．α＝(－2)×360°＋β

C ．α＝180°＋β

D ．α＝(2k ＋1)×180°＋β(k ∈Z )

解析：在选项A 中，角α与角β的终边关于x 轴对称，一般情况下，其终边不可能互为反向延长线；在选项B 中，角α与角β的终边相同，故排除；在选项C 中，β与α(α＝180°＋β)的终边虽然互为反向延长线，但题干中α、β之间的关系不仅是α＝180°＋β，还可相差360°的整数倍，即α＝k ×360°＋180°＋β＝(2k ＋1)×180°＋β(k ∈Z )．

8．已知角α与120°角的终边相同，那么α3的终边不可能落在( C )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：由题意，知α＝120°＋k ·360°(k ∈Z )，所以α3＝40°＋k ·120°(k ∈Z )．

当k ＝3m (m ∈Z )时，α

3＝40°＋m ·360°(m ∈Z )是第一象限角； 当k ＝3m ＋1(m ∈Z )时，α

3＝160°＋m ·360°(m ∈Z )是第二象限角； 当k ＝3m ＋2(m ∈Z )时，α

3＝280°＋m ·360°(m ∈Z )是第四象限角． 所以α

3的终边不可能落在第三象限．

二、填空题(每小题5分，共15分)

9．若将时针拨慢5分钟，则分针转了30度，时针转了2.5度． 解析：将时针拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向旋转，转过的角都是正角．这时，分针转过的角度是360°

12＝30°，时针转过的角度是30°

12＝2.5°.

10．90°<β<α<120°，则α＋β的范围是(180°，240°)，α－β的范围是(0°，30°)．

解析：因为90°<β<α<120°，所以90°<α<120°， 90°<β<120°，所以180°<α＋β<240°.

由90°<α<120°，－120°<－β<－90°，得－30°<α－β<30°.由α>β知α－β>0°，故0°<α－β<30°.

11．若角2α的终边在x 轴的上方，则角α的终边在第一或第三象限．

解析：因为2α的终边落在x 轴的上方，所以k ·360°<2α

三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

12．(12分)写出下图区域表示的角α的集合(包括边界)．

解：(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k ∈Z}

(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．

13．(13分)如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合．

解：由y＝3x(x≥0)与60°角的终边相同，确定y＝3x(x≤0)与240°角的终边也相同．将它们用集合的形式表示出来并求并集．终边落在y＝3x(x≥0)上的角的集合为：S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，

终边落在y＝3x(x≤0)上的角的集合为：S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．

于是，终边落在y＝3x上的角的集合为：S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋180°的偶数倍}∪{α|α＝60°＋180°的奇数倍}＝{α|α＝60°＋180°的整数倍}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

——能力提升类——

14．(5分)已知角α的终边过点P(3，3)，则与角α终边相同的x|x＝k·360°＋30°，k∈Z.

角的集合是{}

解析：因为角α的终边经过点P(3，3)，所以角α的终边在第一象限，所以满足条件的锐角是30°.故与角α终边相同的角的集合是

{}x|x ＝k ·

360°＋30°，k ∈Z . 15．(15分)如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1,0)按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，则两只蚂蚁都在第14 s 回到点A ，并且在第2 s 时均位于第二象限，求α，β的值．

解：根据题意可知，14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z .

由于两只蚂蚁在第2 s 时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而可知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n 7·180°<90°.

∴74

2. ∵α<β，∴m

又m ，n ∈Z ，∴m ＝2，n ＝3，

即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3607°，β＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5407°.

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