高中数学角的概念的推广习题有答案解析
角的概念的推广
一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.第一象限的角必是锐角
B.终边相同的角必相等
C.相等角的始边相同时,终边位置必相同
D.不相等的角终边位置必不相同
2.-1 122°角的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列各组角中,终边相同的角是( )
A.390°与690°
B.-330°与750°
C.480°与-420°
D.300°与-840°
4.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列关系中正确的是( )
A.A=B=C
B.A⫋C
C.A∩C=B
D.B∪C=C
5.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=()
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
6.已知α为第三象限角,则α
所在的象限是( )
2
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
二、填空题
7.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度.
8.设集合M={α|α=k·90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°,k∈Z},N={β|β=k·45°,k∈Z},则集合M 与集合N的关系是.
三、解答题
9.求终边在直线y=-x上的角的集合S.
10.已知α=-1 910°.
(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.
11.已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内,求α.
一、选择题
1.200°是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.若α是第四象限角,则180°-α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
二、解答题
3.已知集合A={α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z},集合
B={β|-45°+k·360°≤β≤45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
4.如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
一、选择题
1.C 可用排除法,如390°角在第一象限,不是锐角,故排除A;终边相同的角相差360°的整数倍,如390°角与30°角终边相同,但两角不相等,故排除B;390°角与30°角不相等但终边相同,故排除D.故选C.
2.D 因为-1 122°=-4×360°+318°,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.
3.B 若α与β终边相同,则α-β=k·360°,k∈Z,750°=-330°+3×360°.
4.D 由题意得
A={α|k·360°<α 5.C 由-180° -144° ∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°},故选C. 6.D 由k·360°+180°<α 当k 为奇数时,α2为第四象限角. 二、填空题 7.答案 30;2.5 解析 将时钟拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角度都是正角. 这时,分针转过的角度是 360°12=30°, 时针转过的角度是 30°12=2.5°. 8.答案 M ⫋N 解析 集合M 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②,不难得出M ⫋N. 三、解答题 9.解析 因为直线y=-x 是第二、四象限的角平分线,在0°~360°之间所对应的两个角分别是135°和315°,所以 S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}. 10.解析(1)-1 910°=-6×360°+250°, 因为250°角为第三象限角, 所以-1 910°角为第三象限角. (2)θ为-110°或-470°. 11.解析在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为30°<α<150°或210°<α<330°,所以满足题意的角 α={α|k·360°+30°<α 一、选择题 1.C 200°是第三象限角. 2.C 若α是第四象限角,则-α是第一象限角,将-α的终边逆时针转180°到第三象限,故180°-α是第三象限角. 二、解答题 3. 解析如图,集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内,集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内,因此集合 A∩B={α|30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}. 4.解析(1)终边落在OA位置上的角的集合为 {α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}. (2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为 {γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}. 角的概念的推广与任意角的三角函数 基础巩固强化 1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B [解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B. (理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角 D ．第四象限角 [答案] C [解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可． 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos α tan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． 2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ? ????sin 2π 3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5 6π B.116π C.23π D.53π [答案] B [解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝3 2， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－1 2， ∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π 6，故选B. (理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3－π 2 D.π2－3 [答案] C [解析] ∵π 2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限， ∴tan α＝－cos3sin3＝sin (3－π2) cos (3－π2)＝tan ? ? ???3－π2， ∵3－π2∈? ?? ??0，π2，∴α＝3－π2. 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B [解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2 α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4 α≠0， 第一章§2 一、选择题 1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)() A．k·360°＋220°B．k·360°＋240° C．k·360°＋60°D．k·360°＋260° 2．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是() A．185°B．－175° C．185°，－175°D．175°，－175° 3．下列说法中正确的是() A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角 C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等4．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是() A．第一象限B．第一、二象限 C．第一、三象限D．第二、四象限 5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为() A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z 6．判断下列角的集合的关系： 设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则() A．A包含于B B．B包含于 A C．A∩B＝?D．A＝B 二、填空题 7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝____________________. 8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________. 9.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是________． 三、解答题 10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)－720°到－360°的角． 做完后，请看后面答案订正 课时跟踪检测（一）角的推广 A级——学考水平达标练 1．(多选题)以下说法，其中正确的有() A．－75°是第四象限角B．265°是第三象限角 C．475°是第二象限角D．－315°是第一象限角 解析：选ABCD由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确． 2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360° 解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B. 3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为() A．150°B．210° C．30°D．330° 解析：选B与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°. 4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在() A．第一象限B．第二象限 C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上 解析：选B因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B. 5．下列说法正确的是() A．三角形的内角一定是第一、二象限角 B．钝角不一定是第二象限角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．钟表的时针旋转而成的角是负角 解析：选D A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角． 《角的概念的推广》习题 第一类：时针、分针旋转问题 1、分针转2小时15分，所转的角度是多少？若将时钟拨慢5分钟，时针、分针各转了多少度？ 2、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转多少度？ 3、自行车大轮m齿，小轮n齿，大轮转一周小轮转多少度？ 第二类：终边角问题讨论 1、若a与β的终边角相同，则a-β的终边角一定在（） A、x的非负半轴上 B、x的非正半轴上 C、y的非正半轴上 D、y的非负半轴上 2、如果a与x+450有相同的终边角,β与x-450有相同的终边角,那么a与β的关系是（） A、a+β=0 B、a-β=0 C、a+β= k?360° D、a-β=900+ k?360° 3、若a与β的终边关于直线x-y=0对称，且a=-300，则β= _______。 第三类：象限角和轴线角讨论 1、a是四象限角，则180°-a是（） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 2、判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）小于90°的角是锐角；（） （2）第一象限角小于第二象限角；（） （3）终边相同的角一定相等；（） （4）相等的角终边一定相同；（） （5）若a∈〔90°，180°〕，则a 是第二象限角．（） 3、如果a=450+ k?180°则a 是第（）象限角？ A、第一或第三象限角 B、第一或第二象限角 C、第二或第四象限角 D、第三或第四象限角 4、若a是一象限角，那么2a、分别是第几象限角？ 5．设a 是第二象限角，则的终边不在（）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知β∈｛a |a=k?180+(-1)K?450, ｝,判断a的终边所在的象限。 高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数 习题及详解 一、选择题 1．(2010·广州检测)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 [答案] C [解析] ∵sin α<0，∴α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上， ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角， ∴α为第三象限角． 2．(2010·安徽省168中学联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．? [答案] C [解析] 函数y ＝sin x 与y ＝tan x 图象的交点坐标为(k π，0)，k ∈Z . 3．(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点P ??sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5 6π B.11 6 π C.2 3π D.5 3 π [答案] B [解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32 ， sin α＝cos 2π3cos π3＝－1 2 ， ∴角α为第四象限角，∴α＝2π－π6＝11π 6，故选B. 4．(2010·山东师大附中模拟)cos ???? －523π＝( ) A ．－1 2 B ．－ 32 C.12 D. 32 [答案] A [解析] cos ????－ 52π3＝cos 52π3＝cos ??? ?17π＋π3 ＝－cos π3＝－1 2 . 5．(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.3 5 B ．－35 C.45 D ．－45 [答案] B [解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ， ∴sin α＝ 3a r ＝－3 5 ，故选B. 6．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2 ＝( ) A ．0 B.22 C ．－1 D ．1 [答案] D [解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π 2＋2k π，∴cos a ＋b 2cos2k π＝1. 7．(2010·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－1 2 B ．－32 C.12 D.32 [答案] A [解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π 3 ∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－1 2 ，故选A. 8．(2010·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12，c ＝log 1 2，则它们的 大小关系为( ) A ．a 角的概念的推广 一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.第一象限的角必是锐角 B.终边相同的角必相等 C.相等角的始边相同时,终边位置必相同 D.不相等的角终边位置必不相同 2.-1 122°角的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列各组角中,终边相同的角是( ) A.390°与690° B.-330°与750° C.480°与-420° D.300°与-840° 4.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列关系中正确的是( ) A.A=B=C B.A⫋C C.A∩C=B D.B∪C=C 5.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=() A.{-36°,54°} B.{-126°,144°} C.{-126°,-36°,54°,144°} D.{-126°,54°} 6.已知α为第三象限角,则α 所在的象限是( ) 2 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 二、填空题 7.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度. 8.设集合M={α|α=k·90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°,k∈Z},N={β|β=k·45°,k∈Z},则集合M 与集合N的关系是. 三、解答题 9.求终边在直线y=-x上的角的集合S. 10.已知α=-1 910°. (1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°. 11.已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内,求α. 一、选择题 1.200°是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 二、解答题 3.已知集合A={α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z},集合 B={β|-45°+k·360°≤β≤45°+k·360°,k∈Z},求A∩B. 4.如图所示. (1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 第5章 第一节 课时1 角的概念的推广 一、单选题 1．如图，圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈，24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ） A ．864- B ．432 C ．504 D ．864 【答案】D 【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈， 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为 360 3610 =， 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=， 故选：D ． 2．下列各角中与60终边相同的角是（ ） A ．300- B ．240- C ．120 D ．390 【答案】A 【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项. 【详解】30060360-=-，24060300-=-，0106602=+，39060330=+， 因此，只有A 选项中的角与60终边相同. 故选：A. 3．下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是 A ．37- B ．143 C ．379 D ．143- 【答案】D 【分析】根据与37角的终边在同一直线上的角可表示为()37180k k Z +⋅∈，然后对k 赋值可得出正确选项. 【详解】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅，k Z ∈， 当1k =-时，37180143-=-，所以，143-角的终边与37角的终边在同一直线上. 故选D ． 【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系，熟悉结论：与角α的终边在同 一直线上的角为()180k k Z α+⋅∈，属于基础题. 4．若角2α与240角的终边相同，则α= A ．120360,k k Z +⋅∈ B ．120180,k k Z +⋅∈ C ．240360,k k Z +⋅∈ D ．240180,k k Z +⋅∈ 【答案】B 【分析】由题意得出()2240360k k Z α=+⋅∈，由此可计算出角α的表达式. 【详解】因为角2α与240角的终边相同，所以()2240360k k Z α=+⋅∈， 则120180k α=+⋅，k Z ∈. 故选B. 【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在． A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A 【分析】可用终边相同的公式表示,αβ，再作差根据范围判断即可 【详解】设122,2,αa k πβa k πk Z =+=+∈，则()122,k k k Z -=-∈αβπ，终边在x 轴的非负半轴上 故选A 【点睛】本题考查任意角的概念，终边相同的角的表示方法，属于基础题 6．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α A ．是第三象限角 B ．是第四象限角 C ．是第三或第四象限角 D ．不是象限角 【答案】D 【分析】根据点P 的位置，可判断出角α终边的位置. 【详解】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选D. 【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置，考查对任意角概念的理解，属于基础题. 7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 §2角的概念的推广 课后拔高提能练 一、选择题 1．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则有( ) A．α＝β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β，k∈Z D．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z 解析：选D 在同一周期内，α与β的差为180°. 2．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α( ) A．是第三象限角B．是第四象限角 C．是第三或第四象限角D．不是任何象限角 解析：选D ∵点P(0，－3)在y轴的非正半轴上，不在任何象限，∴角α不是任何象限角． 3．若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( ) A．90°－αB．90°＋α C．360°－αD．180°＋α 解析：选C α为第一象限角，－α为第四象限角，360°－α终边与－α终边相同．∴选C． 4．与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析：选C －457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°可知C正确． 二、填空题 5．下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中，正确结论的序号为________(把正确结论的序号都写上)． 解析：①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角， §2任意角 2.1角的概念推广 2.2象限角及其表示 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选)下列说法不正确的是() A.终边在x轴非负半轴上的角是零角 B.钝角一定大于第一象限的角 C.第二象限的角不一定大于第一象限的角 错,终边在x轴非负半轴上的角为k·360°,k∈Z,显然不只是零角;B错,390°是第一象限的角,大于任一钝角;C对,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°;D错,285°为第四象限角,但不是负角. 可以是() 2.(多选)已知角α是第四象限角,则角-α 2 A.第一象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 α是第四象限角, 所以k×360°-90°<α {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z},而选项 ,故选项D正确. 5.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是() ° B.143° C.379° D.-143° 37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1 时,37°-180°=-143°,故选D. 6.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为() A.B⫋A B.A⫋B D.A⊆B A中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数 时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B. °角的终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是. 2016°终边相同的角为2016°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,216°为最小正角;当k=-6时,-144°为绝对值最小的角. °-144° α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=. -90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为 15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z. 30°+k·360°,k∈Z 9.在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由. 0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,本题为追及问题. (1)一昼夜有24×60=1440(分钟),时针和分针每重合一次间隔的时间为360 6-0.5 分钟,所以一昼夜 时针和分针重合1440 360 6-0.5 =22(次). (2)假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是一共有24×2-4=44(次)时针与分针垂直. (3)秒针与分针每重合一次间隔时间为360 360-6分,而由于360 360-6 与360 6-0.5 的最小公倍数为720分钟, 即12个小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合. 能力提升练 1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是() A.B=A∩C B.B∪C=C D.A=B=C B⊂A∩C,故A错误;B⊂C,所以B∪C=C,故B正确;A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误. （新课标）最新北师大版高中数学必修四 §2 角的概念的推广 课时目标 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限． 1．角 (1)角的概念：角可以看成平面内__________绕着______从一个位置______到另一个位置所成的图形． (2) 2．象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是____________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和． 一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z)，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝ B B ．B ＝ C C ．A ＝C D ．A ＝D 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪ ⎫x|x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅ 6．已知α为第三象限角，则α 2 所在的象限是( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 二、填空题 7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在 ________________________________________________________________________． 8．经过10分钟，分针转了________度． 9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 ______________________________． 高中数学必修四角的概念的推广同步练习习题（含答案） 高一三角同步练习1（角的概念的推广） 一．选择题 1、下列角中终边与330°相同的角是（） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ．{}Z k k ∈±?=,90360| αα={} Z k k ∈+?=,90180| αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、 B 、 C 关系是（） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 7、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是（） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 8、若α是第四象限的角，则α- 180是．(89上海) A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角二．填空题 1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________． 2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________． 3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________． 4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为． 三．解答题 1、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-；（2）731484'- ． 2、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 高一数学角的概念的推广试题 1.如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（）。 A．B．－C．D．－ 【答案】A 【解析】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π 将分针拨慢是逆时针旋转 ∴分针拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为×2π= 【考点】本题主要考查弧度制，集合的关系。 点评：分针转过的角是负角，但这里是将分针拨慢。 2.若，则的范围是。 【答案】 【解析】因为，所以，，故。 【考点】本题主要考查弧度制，不等式的性质。 点评：易错题，注意本题限定了。 3.把化成的形式是（） A．B． C．D． 【答案】D； 【解析】除以360，商为负整数且比被除数是正角是绝对值大1，商为k，余数为，故选D。 【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。 点评：简单题，注意认识。中对各种符号的要求。 4.在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为（） A．B． C．D． 【答案】D； 【解析】因为角与的终边互相垂直,则有=+90°或者=+90°， 由终边相同角的关系，=+90°+k*360°或=+90°+k*360°，， 即，，故选D 【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。 点评：简单题，数形结合，注意化简合并。可作为结论使用。 5.若是第三象限的角，则是（） A．第一、二、三象限角 B．第一、二、四象限角 C．第一、三、四象限角 D．第二、三、四象限角 【答案】 C 【解析】∵α是第三象限角，∴k•360°+180°＜α＜k•360°+270°，k∈Z， 所以， 当k=3n时：是第一象限角； 当k=3n+1时：是第三象限角； 当k=3n+2时：是第四象限角。 故选C。 【考点】本题主要考查象限角的概念及表示方法，不等式性质的应用。 点评：通过讨论角满足的不等关系，判断角的终边所在的象限。 6.角终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角的集合是。 【答案】 【解析】在范围内，终边落在第二、四象限的角的平分线上的角有，所以和它们终边相同的角为， 即， 所以。 【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。 点评：简单题，注意化简合并。可作为结论使用。 7.已知，角的7倍角的终边和角的终边重合，试求这个角。 【答案】 【解析】由题设，得， ∴ 又，即， ∴且（）， ∴ 故 【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。 点评：简单题，记住统一公式，在统一表达式下，确定某范围内的角，可利用令k为某些整数值的方法，也可通过解不等式定k的范围。 8.已知角α的终边与－120°角的终边关于y轴对称．求α. 【答案】α＝k·360°＋300°，k∈Z 【解析】∵180°－(－120°)与－120°的终边关于y轴对称． ∴α的终边与300°的终边重合． 故角α的集合是S＝{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． 【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。 点评：简单题，记住统一公式，本题特别注意终边关于y轴对称这一条件。 9.在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－720°～720°内的角． 【答案】(1) 150°.(2)－210°.(3)－570°，－210°，150°，510°. 【解析】(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°， ∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°. (2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)， ∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°. (3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°， ∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同． 课时分层作业（一) 角的推广 （建议用时：40分钟) 一、选择题 1．下列说法正确的是() A．［0°，90°)的角是第一象限的角 B．第一象限的角都是锐角 C．平角跟周角不是象限内的角 D．钝角是大于第一象限的角 C[选项A,0°角不是第一象限的角；选项B显然错误;选项C,平角跟周角是轴线角，它们不是象限内的角，显然正确；选项D 显然错误．] 2．若α为第一象限的角,则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为（） A．第一象限B．第一或第二象限 C．第一或第三象限D．第一或第四象限 C[若k为偶数，则k·180°＋α的终边在第一象限；若k为奇数，则k·180°＋α的终边在第三象限．］ 3．与－420°角终边相同的角是(） A．－120°B．420° C．660°D．280° C［与－420°角终边相同的角为k·360°－420°,k∈Z。 当k＝3时,3×360°－420°＝660°。］ 4．已知集合M＝｛x｜x＝k·90°＋45°，k∈Z｝，集合N＝{x|x ＝k·45°＋90°，k∈Z｝，则有(） A．M＝N B．N M C．M N D．M∩N＝∅ C［由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角,所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图（1）) 又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y ＝±x上8个位置的角(如图（2))，因而M N，故正确答案为C．］5．终边在第二象限的角的集合可以表示为（) A．{α|90°〈α<180°｝ B．｛α｜90°＋k·180°<α<180°＋k·180°,k∈Z｝ C．{α｜－270°＋k·180°<α〈－180°＋k·180°，k∈Z} D．{α｜－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°,k∈Z} D［终边在第二象限的角的集合可表示为{α｜90°＋k·360°〈α<180°＋k·360°,k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故 同步练习角的概念的推广以及弧度制 ______ 姓名： _________________ 班级： _______________ 一、选择题 I. 下列各角罟终边相同的角是( 2•半径为1的扇形而积为则扇形的圆心角为( 8 3•已知角a 的终边经过点P(&-6),贝iJsina-cosQ 的值是() A. 3 C. 学校: A. 3 兀 16 B. D. 3TT T A. B.-- D. 4. cos(-2040°)=() A.週 B. 1 2 2 5. 若a 是第一象限角，则7r-a 是( A •第一象限角 〃•第二象限角 c - -f ) C •第三象限角 D •第四象限角 6•三角函数值$加- 血2,血3的大小顺序是( ) A. > sin2 > sin3 B ・ sin2 > sin\ > sin3 C. sinl > sin3 > sin2 7.已知sin(+)p 则cos(a-^)=( ) 八冷 c.並 2 D. sin3 > sin2 > sin\ & 一个半径为R 的扇形，周长为4R,则这个扇形的而积是() A. 2R 2 B. 2 C •丄 R? 2 D 」 2 D. R 2 二、填空题 9. 已知角a 的终边经过点P(12,5),则sin (7r+a)+cos(—a)的值是 _____________ . 10. 终边落在直线y = x 上的角的集合 _____________ •终边落在第二象限的角的集合 ____________ 三、解答题 11•求下列各式的值： (l )sin(-1395°)cosl 110o +cos(-1020°)sin750°； .(11兀) (2)sin| _「一 | + cos 12兀 12.若嚨-象限角,那么加、扌分别是第几象限角? 4 5 高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.1角的概念的推 广（1） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1． －435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2． 终边在第二象限的角的集合可以表示为( ) A ．{α|90°<α<180°} B ．{α|90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z } C ．{α|－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z } D ．{α|－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z } 3．若α是第四象限角，则πα-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 4． 集合M ＝{α|α＝k ·90°，k ∈Z }中各角的终边都在( ) A ．x 轴非负半轴上 B ．y 轴非负半轴上 C ．x 轴或y 轴上 D ．x 轴非负半轴或y 轴非负半轴上 5．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为（ ） A ．· 360k k αβ+=︒∈Z ， B ．· 360180k k αβ+=︒+︒∈Z ， C ．· 360180k k αβ-=︒+︒∈Z ， D ．· 360k k αβ-=︒∈Z ， 二、填空题 6． 已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________． 7． 已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是第________象限角． 三、双空题 8．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度． 四、解答题 9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值． 10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合． 1.1 周期现象 1.2 角的概念的推广 典题精讲 例1走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？思路分析：由于每隔一定时间，手臂来回摆动，此现象是周期现象. 答案：如图1-（1，2）-1，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON 为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ. 图1-（1，2）-1 绿色通道：如果一个现象每隔相同的一段，总是来回重复出现，那么这个现象是周期现象，就可以用周期函数来刻画. 变式训练“春去春又回”是周期现象吗？若是，请说出其周期. 思路分析：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象.设春天是否到来为变量y，时间为t，则y是t的周期函数，一年是一个周期，也是最小正周期. 答案：“春去春又回”是周期现象，周期为一年. 例2在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角. （1）908°28′；（2）-734°. 思路分析：将题中角化成α+k·360°（k∈Z），α∈［0°，360°）的形式即可. 解：（1）908°28′=188°28′+2×360°,则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限角. （2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角. 绿色通道：一般地，化角β为α+k·360°(k∈Z)时，可由β除以360°来确定k及α的值，对不合要求的α可以通过修正k来进一步求解. 变式训练在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S. 思路分析：先写出所有与60°角终边相同的角，然后确定在-720°—720°之间的角. 解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，令-720°≤60°+k·360°≤720°，得k＝-2，-1,0， 1.相应的角为-660°,-300°,60°,420°，从而S={-660°,-300°,60°,420°}. 例3在角的集合{α|α=k·90°+45°，k∈Z}中， （1）有几类终边不相同的角？ （2）有几个属于区间（-360°，360°）内的角？ 思路分析：从代数角度看，取k=…，-2，-1，0，1，2，…，可以得α为…，-135°，-45°，45°，135°，225°，…，从图形角度可以看成是以45°角为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，如图1-（1，2）-2所示. 一、复习巩固 1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为() A．1B．2 C．3 D．4 解析：①－15°在第四象限； ②180°<185°<270°，在第三象限； ③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°在第二象限； ④－350°＝－360°＋10°，是第一象限角． 所以四个结论都是正确的． 答案：D 2．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在() A．第一或第三象限B．第一或第二象限 C．第二或第四象限D．第三或第四象限 解析：当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选A. 答案：A 3．在坐标系中，下列说法中错误的是() A．锐角是第一象限角 B．顺时针方向旋转生成的角是负角 C．始边与终边重合的角是零角 D．相等的角终边相同 解析：因为锐角范围为(0°，90°)，是第一象限角，故A正确；根据负角定义知B对；因为始边与终边重合的角为k·360°(k∈Z)．故C错；因坐标系中相等的角终边一定相同，故D正确． 答案：C 4．下列说法正确的是() A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是第一象限角 C．180°是第二象限角 D．330°是第四象限角 解析：由第一象限角和小于90°的角的概念知A，B错误，180°不是象限角，故C错．答案：D 5．在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是() A．30°B．150° C．210°D．330° 解析：因为－1 050°＝－1 080°＋30°＝－3×360°＋30°，所以在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是30°，故选A. 答案：A 6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为__________． 解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时，β＝300°，与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°. 答案：120°，300° 7．若角α与角β终边相同，则α－β＝__________. 解析：根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z)． 答案：k·360°(k∈Z) 8．设集合A＝{x|k·360°＋60°角的概念的推广与任意角的三角函数随堂练习(含答案)
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