函数的对称性应用
函数的对称性应用（一）
──含绝对值函数的图象
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军
在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类：
已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：；
③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：；
⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：
①对自变量取绝对值：
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于
轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。
【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留时函数的图象；
（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
②对应变量取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于
轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。
【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留时函数的图象；
（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
③对全都取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、
与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。
【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留（第一象限）时函数的图象；
（3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
④对整个函数取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，当时；当时。
函数的图象在时不变，在时图象关于轴对称。
【作图步骤：】
（1）做出的图象；
（2）保留的函数图象（轴上方图象）不变；
（3）当时，利用对称性作出轴下方图象关于轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
⑤对都取绝对值：
【特征分析：】
已知函数，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝对
值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令（偶函数），则。
【作图步骤：】
（1）利用的方法步骤作出函数的图象；
（2）利用的方法步骤作出函数的图象。
【作图展示：】作函数的图象
⑥部分自变量取绝对值：。
【特征分析：】已知函数
，这种类型的函数没有统一的特点，必须
先利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。
对称性应用（二）
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军
在高中阶段，函数是数学的主干知识和重要内容，图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对“对称”这个函数的基本性质，利用函数自身的对称和不同函数之间的对称来探讨其对作函数图象的巨大帮助。
（1）一个函数图象自身关于点对称：
①函数关于点对称；
②函数关于原点
对称
；
③函数关于轴上的点对称；
④函数
关于
轴上的点
对称
。
（2）两个不同函数图象关于点对称： ①函数与函数关于任意点对称；
②函数与函数关于原点
对称；
③函数与函数关于轴上的点对称； ④函数
与函数
关于
轴上的点
对称。
以上分类，无论函数图象自身关于点对称还是不同函数图象之间关于点对称，若是不结合函数的其它性质，则对用数形结合解决函数图象问题没有多大帮助。因此，在此只列出分类而不加以更多应用的阐明。
（3）一个函数图象自身关于直线对称：
①函数关于直线对称；
②函数
关于
（
轴）对称
。
（4）两个不同函数图象关于直线对称：
①函数与函数关于直线对称；
特例：函数与函数关于直线对称；
②函数与函数关于直线对称；
特例：函数与函数关于直线对称（互为反函数）；
③函数与函数关于直线对称。
【例题：】若函数，尝试作出函数的图象。
【解析：】由函数的对称性知道函数与函数关于直线对称，首先，我们作出函数的图象：
然后，利用图像关于直线对称作出函数图象（红线）：
最后，得函数图象为：
不用求新函数的解析式，直接利用对称性解题，会给许多函数问题的解决带来极大的方便。
二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)
1 建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案 【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应如下，从表可知： x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， ②函数的最大值为 6 ③抛物线 1 的对称轴是直线 x= ，④在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，正确的有 2 【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表： x … - 1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 则下列判断:①抛物线开口向上， ②抛物线与 y 轴交于负半轴， ③当 x ＝4 时， y ＞ 0 ， ④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的是 （只填写序号） 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）中，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表： 请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 【巩固练习】 1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ，0)，B (3，0) 两点，则线段 AB 的长 度为（ ） 2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标 是( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，若 y > 0 ，则的取值范围是（ ） A . - 4 < x < 1 B . - 3 < x < 1 C . x < -4 或 x > 1 D . x < -3 或 x > 1 4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 x … 0 1 2 3 2 5 2 … y … 1 7 4 7 4 - 1 4 …
《函数对称性的解题方法归纳》
函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
函数的对称性
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-
二次函数对称性的专题复习
二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。
y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 巧用二次函数图象的对称性解题解析 新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。 分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式 来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题 目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此 我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一 个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的 交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。 二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。 例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（） A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 函数的对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。 ①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：； ③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：； ⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： ①对自变量取绝对值： 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ②对应变量取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ③对全都取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留（第一象限）时函数的图象； （3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。 函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 二次函数的对称性的应用 展示讨论 1、（1）如图，抛物线的顶点坐标为（0，4），与x 轴的一个交点坐标 为M （－2，0），请写出抛物线与x 轴的另一个交点坐标N( ) （2）若抛物线上有一点A 的横坐标为1-，则A 点坐标为（1-， ），在抛物线上与其对称点B 的坐标是( ).你是怎样求出来的？请说明理由； （3）如果有一点C 的横坐标为x ，则C 点坐标怎么表示？ C （ ） 则抛物线上与C 点对称点的D 的坐标是D （ ） （4）观察以上各组对称点 M （ ） A （ ） C （ ） N （ ） B （ ） D （ ） 对称点的坐标有何特点？ 2、（1）如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象与x 轴的一个交点坐标为M （1，0）， 请写出抛物线与x 轴的另一个交点坐标N （ )； （2）若抛物线上有一点A 的横坐标为2，则A 点坐标为( ).你是怎样求出A 点坐标的？写出A 点在抛物线上的对称点B 的坐标，B ( ) . （3）如果有一点C 在抛物线上，其横坐标为x ，则C 点怎样表示？C （ ） 其对称点D 怎样表示？D （ ） （4）M （ ） A （ ） C （ ） N （ ） B （ ） D （ ） 对称点的坐标与抛物线的对称轴之间有什么关系？ 二、知识应用： 1、如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的函数值y 与自变量x 的对应值. 根据表格你能找出抛物线图象上的对称点吗？ 你能写出抛物线的对称轴吗？ 抛物线与x 轴的交点坐标为 ， 如果有一个点为 ),(n m ，则其图象上的对称点为 . 2、（1）若M 是函数 图象上对称轴右侧x 轴上方的一个动点，其横坐标为x ， 42 +-=x y 高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图 运用平移、对称、旋转求二次函数解析式 一、运用平移求解析式 1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 22314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+ 2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()2 33y x =-- 所以可得6b =-，6c = 3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -， ，可得1a =-， 所以()()()2 2134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++ 二、运用对称求解析式 4．将抛物线()214y x =--沿直线32 x = 翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式． 【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833 y x x = ++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式． 【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843??-- ?? ?，，关于y 轴对称后顶点为 843??- ?? ?，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式 6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 2211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =-- 二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④ 二次函数的对称变换 学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 二、新课探究 类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法： 问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法： 问题三：请确定新抛物线的解析式 方法一：一般式 方法二：顶点式 问题四：观察两个解析式的区别与联系 角度一：一般式 角度二：顶点式 问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像） 问题一：选取关于某条直线对称 问题二：选取关于某一点对称 总结：研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导 一、学生常见问题： （一）、认知层面的问题： 这个问题是在高一学习函数时就一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学时产生困难的原因，首先要了解学生的数学认知结构。即学生在对数学对象、数学知识和数学经验感知和理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说：数学认知结构就是人们按照自己的经验与理解，根据自己的感知、记忆、思维的特点，把数学知识在大脑中组合而成的具有内部规律的整体结构。数学认知结构受个体认知特点的制约，具有浓厚的认知主体性与鲜明的个性色彩。高一新生在学习数学时的困难正是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学习高中数学时，碰到的困难比如无法理解函数的概念，无法建立对应的观念，对集合的概念理解不够透彻等问题，导致高中数学的学习存在很大的困难。 （二）、基础知识层面的问题： 在进行高三复习的时候，同学们普遍的反映都不太好。原因在于，同学们感觉学校老师复习得很快。学校老师的讲课思路是先大致的把知识点串讲一遍，接着在课上做一些例题，课后给同学发一些卷子以做为练习，这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解，知识点的落实也不太扎实。因此同学感觉老师的复习很快。（因此这里学生会出现的问题就是基础知识不扎实）那么我们在具体的操作中，首先应该了解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性，所以可以先了解一下学生是否有一个整体的框架。（框架的作用是帮助PEC检查学生的知识体系是否完善） 函数被分成了两块：横轴和纵轴。（参见策略库函数基本概念第一部分） 接下来，就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。（框架完善了，就要看基础知识点是否真的落实） 二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加元，日均销量减少40瓶； 当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大最大日均毛利润为多少元 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－2 080 2×（－80）＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1 (一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式（a≠０已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点） ④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点） ⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大 ?当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0） 当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大； 当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。 2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D) 3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。 4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ） A、0 B、－1 C、 1 D、２ 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为 ( ) (A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与ｙ ２ 得大小关系就是( ) Ａ．y 1 <ｙ 2 Ｂ、 y １ =y ２ Ｃ、 y 1 ＞y ２ Ｄ、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1 对称性 一、有关对称性的常用结论 （一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =- ?()(2)f x f a x -=+； （3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的 图象关于直线对称。 2、中心对称 （1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =-- ?)2()(x a f x f +=-； （3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数）， 则函数)(x f y =的图象关于点 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系（减法） 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线 对称。 推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对 称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点 对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2 ( a b -对称。 类型一：双对称问题 1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时， 2 a b x -= )2 ,2( c a b -2 b a x += )2 ,2(c b a + 高一数学《函数的对称性》知识点总结 高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：巧用二次函数图象的对称性解题解析
二次函数的对称轴(学练结合)
函数的对称性应用
函数的对称性82459
二次函数的对称性的应用(学生) (2)
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运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版
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