第21讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)
第21讲 利用导数研究函数的单调性
【基础知识回顾】
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．
函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．
(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；
函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．
1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1
e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e
D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞
【答案】 B
【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1
x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得
0＜x ＜1
e
，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c
3
的单调递增区间是( )
第2题图
A . (－∞，－2]
B . ⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞
【答案】D
【解析】 由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由
图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－3
2
，c ＝－18. ∴y ＝
x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[9
8，＋∞).
故选D .
3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1
a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )
【答案】A
【解析】 由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0 ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭ ⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2) 【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 考向一 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－1 2x 2－2x ＋3； (2)g(x)＝x 2 －2ln x. 【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭ ⎫－2 3，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭ ⎫－2 3，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1） x ，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或 x ＝－1(舍去)，列表： x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0 ＋ g (x ) 减 极小值 增 变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－x D.f (x )＝－x ＋ln x 【答案】 B 【解析】 由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意； 对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意； 对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意； 对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－1 2＜0，不符合题意. (2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭ ⎫1 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫1 2，＋∞ 【答案】 C 【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝ 4x 2－1x ＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋1 2x . 由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1 2， ∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭ ⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π 2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0， 则其在区间(－π，π)上的解集为 ⎝ ⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π 2. 变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __． （2） 函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __． （3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ． 【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0， 即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1 （3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a 3 ∴减区间为⎝⎛⎭ ⎫a 3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号． 考向二 给定区间求参数的范围 例2、设函数()32 1 32 a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求, b c 的值； (2)若0a >，求函数()f x 的单调区间； (3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩ ⎪⎨⎪⎧ c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2 x 即x ＝－2时等号成立． 所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)． 变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －a x . (1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －a x (x >0)， g ′(x )＝2＋1x ＋a x 2(x >0). ∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋1x ＋a x 2≥0在[1，2]上恒成立， ∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3， 所以a ≥－3. ∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间， 则g ′(x )＞0在[1，2]上有解， 即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ， 又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10. 变式2、若函数f (x )＝x －1 3sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.[－1，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣ ⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C 【解析】 ∵f (x )＝x －1 3 sin 2x ＋a sin x ， ∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋5 3. 由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则－43t 2＋at ＋5 3≥0， 在t ∈[－1，1]上恒成立. ∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5， 则⎩ ⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤ 13 方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力． 2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵． 考向三 函数单调区间的讨论 例3、已知函数．当时，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为. ， 因为，所以， ①当，即时， 由得或，由得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数； ③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知： 当时在，上是单调递增，在上是单调递减； 当时，在.上是单调递增； 当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝1 3 x 3＋ax 2－3a 2x . 【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， ()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫ =+ -+∈ ⎪⎝⎭ 1m ()f x ()f x (0,)+∞' 21()1m m f x x x -=+-222 1(1)[(1)] x mx m x x m x x -+----== 1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m - x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ， g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )， 当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增． 当a >0时， x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 当a <0时， x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增； a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减． 变式2、已知函数f (x )＝x －2 x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性． 【解析】 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2 x 2， 设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－8 2，0 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞) f ′(x ) ＋ － ＋ f (x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时f (x )在⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫0，a －a 2－82上单调递增， 在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫a －a 2－82， a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ a ＋a 2－82，＋∞上单调递增． 方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因． 2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因． 考向四 构造函数研究单调性 例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )>x D ．f (x ) (2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x ) A ．(－∞，1) B ．(－1,1) C ．(－∞，0)∪(0,1) D ．(－1,0)∪(0,1) 【答案】 (1)A (2)D 【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3 ＝x [2f (x )＋xf ′ (x )－x 2 ]， 当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2 f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0； 当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2 f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0； 当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0. 法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2 ， ∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ， 不妨令f (x )＝x 2 ＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2 成立，但f (x )>x 不一定成立， 故C 也是错误的，故选A. (2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )． 对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2 f (x )， ∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2 f ′(x )>0. ∵ g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减． 若g (x ) 故g (x ) A ． B ． C ． D ． 【答案】CD 【解析】令，，则， 因为， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递减， 因此，即，即，故A 错； 又，所以，所以在上恒成立， 0, 2π⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ ()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫ ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ln 03f π⎛⎫ > ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()cos f x g x x = 0,2x π⎡⎫ ∈⎪⎢⎣⎭ 2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'= <0,2π⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x = 0,2π⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ 64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos 64 f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g = =()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 因为，所以，故B 错； 又，所以，即，故C 正确； 又，所以，即，故D 正确； 故选：CD. 变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1) 【解析】 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ） x ， 则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡ ⎦⎤f （x ）x ′ ＝xf ′（x ）－f （x ）x 2 ＜0， 故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增. 所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ） x ＞0，所以f (x )＞0； 在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得 f （x ） x ＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1). 变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0， 所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数， 所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0). ln 0,32π π⎡⎫ ∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫ < ⎪⎝⎭ 63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63 cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43 cos cos 43 f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3). 方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或 g x (g (x )≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝ f x x (x ≠0)． 1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ． 2、设函数()e e x x f x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ） 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1 ,0--∞ 【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用 ()0f x '≥可得a 的取值范围. 若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+， 即()( )1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-. 若函数()e e x x f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立， 即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(] ,0-∞. 3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120 x x >>时（ ） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-| B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->- C ．1221| ()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221| ()()||()()|f x g x f x g x ->- 【答案】C 【解析】令()ln h x x x =-，则()111x h x x x -'=-=， 当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()110h x h ≤=-<， 则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误； 由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<， 令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---， 则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-， 当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<； 当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+， ()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<， 综上，1221| ()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误. 故选：C. 4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()2 2g x x x b =-+的递增区间上也 单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞ C ．(] [),10,-∞-+∞ D ．(]1,0- 【答案】B 【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞， 则由题意()f x 在[)1,+∞递增， 而()1ax f x x +'= ， 所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立， ()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意； 当0a <时，由()10ax f x x +'= >，解得1 0x a <<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭，不合题意. 综上，0a ≥. 故选：B 5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有1221 21 ln ln 2x x x x x x -<-， 则m 的最小值是（ ）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1 e B ．e C ．1 D ．3e 【答案】A 【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->， 则 1221 21 ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-， 即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+， 所以 2121 ln 2ln 2 x x x x ++<， 令()ln 2 x f x x += ，可得2 1f x f x ， 又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数， 所以()2 ln 10x f x x --'=≤，解得1x e ≥，则1 m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A. 6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足 ()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有 ()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ） A ．函数()f x 是偶函数 B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增 C ．3x =是函数()f x 的对称轴 D ．函数()f x 的最小正周期是12 【答案】BCD 【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误； 因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-， 所以函数的对称轴为60 32 x += =，故C 选项正确； 因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确； 因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+， 则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数， 又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数. 因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19 a >- 【解析】：()' 22f x x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭ ，使得()' 0f x ≥，即 ()212a x x ≥-，只需()2min 12a x x ⎡⎤ ≥-⎢⎥⎣⎦，而()2 21122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，所 以1 9 a >- 第21讲 利用导数研究函数的单调性 【基础知识回顾】 1. 利用导数研究函数的单调性 在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减． 2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间． 函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间． (2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)； 函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根． 1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1 e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 【答案】 B 【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1 x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得 0＜x ＜1 e ，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3 的单调递增区间是( ) 第2题图 A . (－∞，－2] 利用导数探究函数的单调性 一.求单调区间 例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞， 单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11 32 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+- 因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132 （，）上有解 所以''11 ()()032 f f < 又*a N ∈ 解得： 5542 a << 所以正整数a 的取值集合{2} 利用导数研究函数的单调性（一） 编辑：赵辉、李勤涛、王芳 学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.会求单调区间 复习回顾 定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 或（ ），那么函数f (x )就是区间I 上的 或（ ）函数. 自主、合作学习： 探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？ 探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。 思考 如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题 之后再解决 （1） 利用导数判断单调性的法则： 设函数y=f(x) 在某个区间（a,b ）内有导数， 如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在 ； 如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在 （2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则: 当切线斜率为正时 ； 当切线斜率为负时 。 （3）若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是增函数； 若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是减函数。 探究3：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ 典型例题 例1 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1）x x x f 3)(3+= （2） ()sin f x x x =-+ ),0(π∈x (3) x e x f x -=)( (4) x x x f ln )(-= 反思：用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。 例2 已知导函数)('x f 的下列信息； 当–2 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧条件 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 f′(x)>0 图象 形如山峰形如山谷 极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值 极值点x0为极大值点x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( ) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( ) A.1 e B. 2 e C.e D.e2 4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( ) A.4 B.2或6 C.2 D.6 利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/ y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内/ y ≤0。 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。） 疑难点、易错点剖析： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令 '()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒 等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。 直击考点 题型一：利用导数研究函数的单调性 1、讨论函数的单调性（或区间） 1．已知函数211()(1)ln (,0)22 f x x a x a a =-+-∈≠R ． （1）讨论函数的单调性； 【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤. 【详解】 解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x -++=-= 当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增； 当10a +>，即1a >-时，x =或x =所以()f x 在(上单调递减，在 )+∞上单调递增. 所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 1a >-时，()f x 在(上单调递减，在) +∞上单调递增. （2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立； 当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立； 若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立. 所以综上所述：0a ≤. 2．已知函数32()f x x x mx =+-. （1）若函数()f x 在2x =处取到极值，求曲线()y f x =在(1,())f x 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）113y x =--；（2）()f x 在⎛ -∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝ ⎭上单调递增，在 ⎝⎭ 上单调递减. 【详解】 （1）依题意，2()32f x x x m '=+-， (2)1240f m '=+-=，解得16m =， 经检验，16m =符合题意； 故32()16f x x x x =+-，2()3216f x x x '=+-， 高三数学利用导数研究函数的单调性试题 1.函数在内单调递减，则实数a的范围为． 【答案】． 【解析】∵函数f（x）=x3-ax2+4在（0，2）内单调递减， ∴f′（x）=3x2-2ax≤0在（0，2）内恒成立， 即在（0，2）内恒成立， ∵∴，答案为． 【考点】利用导数研究函数的单调性. 2.设函数，其中 （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，求取得最大值和最小值时的的值. 【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当 时，在处取得最小值. 【解析】（1）对原函数进行求导，，令，解得 ，当或时；从而得出，当 时，.故在和内单调递减，在内单调递增.（2）依据第（1）题，对进行讨论，①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增， 在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当 时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当 时，在处取得最小值. （1）的定义域为，.令，得 ，所以.当或时 ；当时，.故在和内单调递减，在内单调递增. 因为，所以. ①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得 最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递 减，因此在处取得最大值.又，所以当时， 在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时， 在处取得最小值. 【考点】1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. 3.设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且 g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围． 【答案】(e，＋∞) 【解析】解：令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a －1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数． 同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1， ＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x 高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝ f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e) 【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·) ＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0， 令y′>0，则1－ln x>0，所以0 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2 ()(5)6l n ,f x a x x a R = -+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 第1课时 利用导数研究函数的单调性 【教材回扣】 1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若________，则f (x )在这个区间上单调递增． (2)若________，则f (x )在这个区间上单调递减． (3)若________，则f (x )在这个区间内是常数． 2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f ′(x )>0(<0)是f (x )在区间(a ，b )内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f ′(x )≥0(≤0)是f (x )在区间(a ，b )内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于零，则f ′(x )≥0(≤0)是f (x )在区间(a ，b )内单调递增(减)的充要条件． 【题组练透】 题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) 2．如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )≥0，则f (x )在此区间内单调递增．( ) 3．在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( ) 题组二 教材改编 1．函数f (x )＝sin x －x ，在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数 D ．减函数 2．设x >0，f (x )＝ln x ，g (x )＝1－1 x ，h (x )＝e x 三个函数的图象如图所示，则f (x )、g (x )、 h (x )的图象与C 1，C 2，C 3对应关系正确的是( ) A ．f (x )→C 1，g (x )→C 2，h (x )→C 3 B ．f (x )→ C 2，g (x )→C 1，h (x )→C 3 C ．f (x )→C 3，g (x )→C 1，h (x )→C 2 D ．f (x )→C 2，g (x )→C 3，h (x )→C 1 3．(一题两空)函数f (x )＝x 3－x 2－x 的单调增区间为________________________，单调减区间为________． 题组三 易错自纠 1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( ) 专题3.3 利用导数研究函数的单调性-重难点题型精讲 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导 f ′(x )>0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0 f (x )在(a ，b )内是常数函数 【思考】 “f ( x ) 在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是： 可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任一非空子区间内都不恒为零． 【题型1 不含参函数的单调性】 【方法点拨】 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )． (3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【例1】（2021春•鞍山期末）函数f（x）= x x2+1 的单调递减区间为． 【解题思路】根据题意，求出函数的导数，解f′（x）≤0，利用导数与函数单调性的关系分析可得答案． 【解答过程】解：根据题意，函数f（x）= x x2+1 ，其导数f′（x）= (x2+1)−x×(2x) (x2+1)2 =1−x 2 (x2+1)2 ， 若f′（x）≤0，即1−x2 (x2+1)2 ≤0， 解可得：x≤﹣1或x≥1， 即函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）； 故答案为：（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）． 【变式1-1】（2021春•资阳期末）函数f（x）=√x•lnx的递增区间为（） A．(1 e2 ，+∞)B．( 1 e，+∞)C．(0， 1 e2 )D．(0，1e) 【解题思路】对f（x）求导，令f′（x）＞0，即可求得函数的递增区间．【解答过程】解：f（x）=√x•lnx的定义域为（0，+∞）， f′（x）= 1 2√x lnx+ √x x =1 √x （ 1 2 lnx+1）， 令f′（x）＞0，解得x＞1 e2， 即函数f（x）=√x•lnx的递增区间为（1 e2 ，+∞）．故选：A． 【变式1-2】（2021春•修水县期末）已知函数f(x)=(x−1)e x x2+1 ．求函数f（x）的单调区间． 【解题思路】对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解； 【解答过程】解：f′（x）=xe x(x2+1)−(x−1)e x(2x) (x2+1)2 =x(x 2−2x+3)e x (x2+1)2 ， 令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得x＜0， ∴（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增． 【变式1-3】（2021•全国四模）已知f（x）＝e x．求关于x的函数g（x）＝f（x）﹣4f（﹣x）﹣5x的单调区间． 【解题思路】依题意，得g（x）＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣4），由g′（x）＞0可得g（x）的增区间，g′（x）＜0可得g（x）的减区间； 【解答过程】解：g（x）＝e x﹣4e﹣x﹣5x，g′（x）＝e x+4e﹣x﹣5＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣4）， ∴g′（x）＞0⇔x＞ln4或x＜0，g（x）的增区间为（﹣∞，0），（ln4，+∞）； 利用导数研究函数的单调性题型分析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间． (1)y ＝2x 3－3x (2)f (x )＝3x 2 －2ln x . 解：(1)由题意得y ′＝6x 2 －3. 令y ′＝6x 2 －3＞0，解得x ＜－22或x ＞22， 当x ∈(－∞，－ 22)时，函数为增函数，当x ∈(2 2 ，＋∞)时，函数也为增函数． 令y ′＝6x 2 －3＜0， 解得－ 22＜x ＜2 2 ， 当x ∈(－ 22，2 2 )时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－ 22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，2 2 )． (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2 －1 x . 令f ′(x )＞0，即2·3x 2 －1 x ＞0.且x ＞0，可解得x ＞ 33； 令f ′(x )＜0，即2·3x 2 －1 x ＜0，由x ＞0得，0＜x ＜ 33 ， ∴f (x )的增区间为( 33，＋∞)，减区间为(0，3 3 )． 规律总结： 1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写． 2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间． 变式训练：求下列函数的单调区间： (1)求函数f (x )＝2x 3－9x 2 ＋12x －3的单调区间； (2)求函数y ＝x 3－2x 2 ＋x 的单调区间． 【解】(1)此函数的定义域为R ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 令6(x －1)(x －2)＜0，解得1＜x ＜2， 所以函数f (x )的单调递减区间是(1,2)． 令6(x －1)(x －2)＞0，解得x ＞2或x ＜1， 所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)． (2)此函数的定义域为R . y ′＝3x 2－4x ＋1， 令3x 2 －4x ＋1＞0，解得x ＞1或x ＜13 . 因此y ＝x 3－2x 2 ＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13 )． 再令3x 2 －4x ＋1＜0，解得13 ＜x ＜1. 《利用导数研究函数的单调性》教案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函 数．相应地，'()()0v t h t =>． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函 数．相应地，' ()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的， 这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的， 这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 教学设计 -------利用导数判断函数的单调性 一．教学目标 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透 数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、 善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主 学习的学习习惯。 二．教学重难点 对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 三．教法分析： 1．教学方法的选择： 为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。通 过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。 2．教学手段的利用： 本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。 3．教学课堂结构 知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置 四．学法分析： 为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。 五．教学过程： （一）知识回顾 从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣。 设计意图：通过复习回顾，巩固旧知，学生疑惑，逐步浮现本节课的探讨任务。 (二)问题情境 专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试） 一、单选题 1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2y x B ．sin y x x =+ C ．||2x y = D ．tan y x = 【答案】B 【解析】 【分析】 根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】 容易判断()3 R y x x =∈是奇函数，且在R 上是增函数，而2||,2x y x y ==是偶函数，tan y x =在R 上不是增函 数，所以排除A,C,D. 对B ，函数()sin R y x x x =+∈是奇函数，且1cos 0y x '=+≥，则函数在R 上是增函数. 故选：B. 2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：函数 的定义域为 ，关于原点对称， ，因此函数 是奇函数， 不恒等于0，函数 是增函数，故答案为B ． 3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项； 当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D. 4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ） A ． B ． C ． 提升训练3.2 函数的单调性 一、选择题 1．函数y=（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵函数y＝（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数， ∴2k﹣1＜0， 解得k． 故选：A． 2．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有( ) A．k1 ∵函数在上单调递增 ∴ 5 ∴k≤40 故选B. 4．直线与在同一直角坐标系中的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 直线y=x+a是一次函数，斜率k=1，b=a，可判断从左到右图象上升，B,D不满足题意; 当b=a＞0时，y=x+a的图象在y轴上的交点在正半轴，没有选项， 所以a＜0，则直线y=ax表示直线过原点，且斜率为小于0， 所以选项A错误，C正确．故选：C 5．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数； B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数； C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数； D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数 故选：D． 6．已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，则不等式() ()2142f x f x +>-的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃-+∞ C ．()3,1-- D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】A 【解析】 依题意，2142x x +<-，所以()()130x x --<，解得13x <<．故选A 7．若函数y ＝ax ＋1(a ＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝( ). A ．2 B ．3 C ．1 D ．-1 【答案】C 【解析】 因为a ＞0，所以一次函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上单调递增， 所以当x=3时，函数y ＝ax ＋1取得最大值， 故3a ＋1=4，解得a ＝1. 故选C. 8．已知函数f （x ）=x 2-kx -6在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣kx ﹣6的对称轴为x ， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有 2或8， 解可得：k ≤4或k ≥16， 即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）； 故选：D ． 9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- 专题4.2 利用导数研究函数的单调性 【考纲解读与核心素养】 1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养. 3. 高考预测： （1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． 4.备考重点： （1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础； （2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 【知识清单】 1．利用导数研究函数的单调性 在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数． '()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数． 【典例剖析】 高频考点一 ：判断或证明函数的单调性 【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； 【答案】（1）当0, 3x π⎛⎫∈ ⎪ ⎝⎭ 时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 时，()()'0,f x f x >单调递增. 【解析】 导数及其应用 专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） 一、知识储备 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 二、例题讲解 1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】 （1）求导可得()a f x x x '-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()a f x x x '-= ，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =， ()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增； 综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间， 当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞； 2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】 （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， (1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x '+-=--- = 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x > ，由()0f x '<，得02 a x <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减； 综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()32 2f x x x ax =++， （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】第21讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)
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