导数研究函数的单调性
导数研究函数的单调性
用导数证明、划分函数的单调性是导数最基本的应用，其他性质如极值，最值都必须用到单调性，它比用单调性的定义证明简单。
一、利用导数求函数的单调区间
例1、研究函数ax x y +=3的单调性
解：因为ax x y +=3，所以a x y +=23'，a>0时，0'>>a y ，函数在),(+∞-∞上是增函数；
a=0时，3x y =在),(+∞-∞上增函数；
a<0时，设)3
')(3'(3'3','2a x a x a x y a a -+=-=-=， 当3'a x -<或3
'a x >时，函数是增函数；当3'3'a x a <<-时，函数是减函数， 所以ax x y +=3，这时有三个区间。
二、利用导数比较大小
例2、已知a ，b 为实数，且b>a>e ，其中e 为自然数对数的底，求证：a b b a >.
分析：通过考察函数的单调性来证明不等式也是常用的一种方法。根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导好判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)('>x F ，则函数F （x ）在（a ，b ）上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即).()(x g x f >
三、根据单调性求参数
例3、已知1)(--=ax e x f x
。
（1）求f （x ）的单调区间；
（2）若f （x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；
（3）是否存在a ，使f （x ）在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
分析：函数的增区间是0)('≥x f 恒成立的区间，函数的减区间是0)('≤x f 恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。
解：（1）因为1)(--=ax e x f x ，所以a e x f x -=)('，令0)('≥x f ，得a e x ≥， 当0≤a 时，有0)('>x f 在R 上恒成立；当a>0时，有a x ln ≥，
综上情况，当0≤a 时，f （x ）的单调增区间为R ，当a<0时，f （x ）的单调增区间为).,[ln +∞a
（2）因为1)(--=ax e x f x ，所以a e x f x -=)('，因为f （x ）在R 上单调递增，所以0)('≥-=a e x f x （等号只能在有限个点取得）恒成立，即R x e a x ∈≤,恒成立，所以R x ∈时，),0(+∞∈x e ，所以0≤a .
（3）由已知f （x ）在]0,(-∞上单调递减，在区间),0[+∞上单调递增，可知f （0）是f （x ）的极值，所以0)0('0=-=a e f ，所以a=1，所以存在a=1满足条件。
点评：利用导数研究函数的单调性时，应注意在（a ，b ）内0)('>x f （或0)(' 利用导数求函数的单调性 例讨论下列函数的单调性： 1．x x a a x f --=)(0>a 且1≠a ； 2．) 253(log )(2-+=x x x f a 0>a 且1≠a ； 3．)0,11(1 )(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数 )(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号,来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性． 解：1．函数定义域为R ． 当1>a 时,.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． 当10<+<-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数． 2．函数的定义域是3 1>x 或.2- 利用导数探究函数的单调性 一.求单调区间 例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞， 单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11 32 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+- 因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132 （，）上有解 所以''11 ()()032 f f < 又*a N ∈ 解得： 5542 a << 所以正整数a 的取值集合{2} 导数与函数的单调性 导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。 一、导数的定义与意义 导数描述了函数在某一点的变化率。对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示： f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗 其中，h表示自变量x的增量。导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。 二、导数与函数的单调性 导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。 三、通过导数确定函数的单调性 要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤： 1. 求取函数的导数。 2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。 3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。 4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。 5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。 举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤： 1. 求取导数： f'(x) = 2x 2. 解方程 f'(x) = 0： 2x = 0 解得 x = 0。 3. 在数轴上画出导数的零点x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。 4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1， 取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。 5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值： f(-1) = (-1)^2 = 1 f(1) = (1)^2 = 1 根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论： 在小区间 (-∞，0) 上，函数递增； 在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。 利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方 便地求解。导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函 数的单调性和极值。本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。 1. 导数的定义 首先，我们需要了解导数的定义。对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h 其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。 导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。 2. 利用导数求函数的单调性 函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。利用导数可以判 断函数在某个区间上的单调性。 若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1 当x1 第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结 【考点总结】 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连 续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒 负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【题型目录】 题型一：导函数为一次函数型 题型二：导函数为准一次函数型 题型三：导函数为二次可分解因式型 题型四：导函数为二次不可因式分解型 题型五：导函数为准二次函数型 【典型例题】 题型一：导函数为一次函数型 【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 【分析】（1）对函数求导，讨论0a 和0a >两种情况，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）由题知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a a x f x x x -'=-= ①当0a ≤时，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递； ②当0a >时，令()0f x '>，得02a x <<；令()0f x '<，得2a x >， 所以函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 导数及其应用 专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） 一、知识储备 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 二、例题讲解 1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】 （1）求导可得()a f x x x '-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()a f x x x '-= ，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =， ()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增； 综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间， 当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞； 2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】 （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， (1)(2) ()2(2)a x x a f x x a x x '+-=--- = 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x > ，由()0f x '<，得02 a x <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减； 综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫ +∞ ⎪ ，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪. 利用导数研究函数的单调性（一） 编辑：赵辉、李勤涛、王芳 学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.会求单调区间 复习回顾 定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 或（ ），那么函数f (x )就是区间I 上的 或（ ）函数. 自主、合作学习： 探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？ 探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。 思考 如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题 之后再解决 （1） 利用导数判断单调性的法则： 设函数y=f(x) 在某个区间（a,b ）内有导数， 如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在 ； 如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在 （2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则: 当切线斜率为正时 ； 当切线斜率为负时 。 （3）若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是增函数； 若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是减函数。 探究3：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ 典型例题 例1 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1）x x x f 3)(3+= （2） ()sin f x x x =-+ ),0(π∈x (3) x e x f x -=)( (4) x x x f ln )(-= 反思：用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。 例2 已知导函数)('x f 的下列信息； 当–2 高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.已知 (1)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式； (2)对一切的,恒成立,求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）(3)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）（2） 试题解析：解:(1) 由题意的解集是 即的两根分别是． 将或代入方程得． ．……4分 (2)由题意:在上恒成立 即 可得 设, 则 令,得(舍) 当时,;当时, 当时,取得最大值, =-2 ． 的取值范围是． 【考点】(1)利用函数的单调性求函数解析式；（2）利用导数解决横成立的问题． 2.函数的单调递增区间是（）. A．B．C．D． 【答案】C 【解析】，；令，得 ，即函数的单调递增区间是. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 3.已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集 为． 【答案】 【解析】因为为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立，所以 在上恒成立，即在上为减函数；可化为 ，所以，解得. 【考点】解抽象不等式. 4.已知函数f(x)是偶函数，在上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是( ). A．f(-3) 高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝ f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e) 【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·) ＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0， 令y′>0，则1－ln x>0，所以0 3.2利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数， /y=f(x) 在这个区间内为减函数。 / 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。） 疑难点、易错点剖析： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立， 且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间 上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x ) 的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。 直击考点 考点一 求不含参数的函数的单调区间 考例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。 解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x ) 令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜ 52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0， 5 2) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52 且x ≠1. ∵1x =为拐点， ∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(5 2 ，+∞) 其函数的大致图像如下图： 锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f ’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，而12,5⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ 。 举一反三： 1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ） A ．),(1 +∞-e B ．),(1 --∞e C ．),0(1 -e 答案：C 2.(05年广东高考题)函数3 2 ()31f x x x =-+是减函数的区 第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结 【考点分析】 考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）； ①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式； ①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负； ④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题 ①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）． 【题型目录】 题型一：利用导数求函数的单调区间 题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围 【典型例题】 题型一：利用导数求函数的单调区间 【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ） A ．(),3-∞- B ．()0,3 C ．()3,0- D ．()3,-+∞ 【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln x y x =的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛ ⎫-∞ ⎪⎝ ⎭ B ．()e,+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()0,e 【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数2 1()ln 2 f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(0,2) 【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2 ()ln 1 f x x x =--的单调增区间为_________. 利用导数研究含参函数单调性 在数学中，单调性是指函数随着自变量的变化而变化的趋势。如果函 数在区间上递增，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果函数在 区间上递减，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。利用导数研究含 参函数的单调性，是一种非常常用且有效的方法。 对于含参函数，其导数是关于自变量的函数，通过研究导数的符号来 判断函数的单调性。具体来说，如果导数在区间上恒大于0，那么函数在 该区间上是递增的；如果导数在区间上恒小于0，那么函数在该区间上是 递减的。这可以通过导数的定义和性质来证明。 下面以一个简单的例子来说明如何利用导数研究含参函数的单调性。 假设我们要研究含参函数 f(x;a) = ax^2 的单调性，其中 a 是参数。 首先，我们计算函数f的导数。由于a是参数，我们将其视为常数。 根据导数的定义，有： f'(x;a) = lim[h->0] (f(x+h;a) - f(x;a)) / h = lim[h->0] (a(x+h)^2 - ax^2) / h = lim[h->0] (2axh + ah^2) / h = lim[h->0] (2ax + ah) = 2ax 因此，函数 f 的导数是 f'(x;a) = 2ax。 接下来，我们通过研究导数的符号来判断函数f的单调性。 当 a > 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 < 2ax2，即 f'(x1;a) < f'(x2;a)。因此，函数 f 在区间上是递增的。 当 a < 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 > 2ax2，即 f'(x1;a) > f'(x2;a)。因此，函数 f 在区间上是递减的。 当a=0时，函数f(x;a)=0，因此函数f在任意区间上是常数，既不 递增也不递减。 综上所述，当 a > 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递 增的；当 a < 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递减的；当 a = 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 是常数。 这个例子展示了利用导数研究含参函数单调性的基本方法。对于更加 复杂的函数，我们仍然可以通过计算导数和分析导数的符号来确定函数的 单调性。对于一些特殊的函数，我们还可以利用导数的性质来简化分析过程，例如使用高阶导数、极值点等。但总体来说，导数是研究含参函数单 调性的重要工具，它能够提供丰富的信息来帮助我们理解函数的变化趋势。 用导数研究含参函数的单调性 导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含 参函数的单调性。含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。研究 含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数 的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。 一、固定参数的值，研究含参函数的单调性： 对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数 $\theta$的值，将其视为常数。此时，可将含参函数简化为仅含有变量 $x$的函数$f(x)$。然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数 $f(x)$的单调性。 具体步骤如下： 1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。 这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例 如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。 2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。这些零点对 应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。 3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。若$f'(x)>0$，表示 函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。 4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根 据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。 通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。 二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性： 对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。 具体步骤如下： 1. 求出函数$f(x,\theta)$对于参数$\theta$的偏导数，即计算$\dfrac{\partial f}{\partial \theta}$。这一步可以通过求偏导数的定义，或者利用常见函数的偏导数公式来计算。 2. 利用偏导数的符号来研究函数$f(x,\theta)$的单调性。若 $\dfrac{\partial f}{\partial \theta}>0$，表示函数$f(x,\theta)$关于参数$\theta$的变化率为正，则函数$f(x,\theta)$随着参数 $\theta$的增加而单调递增；若$\dfrac{\partial f}{\partial \theta}<0$，表示函数$f(x,\theta)$关于参数$\theta$的变化率为负，则函数$f(x,\theta)$随着参数$\theta$的增加而单调递减。 3. 可以将参数值$\theta$放在数轴上，根据偏导数的符号，划分函数$f(x,\theta)$在不同参数取值下的单调区间。 通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在不同参数取值下的单调性。 导数知识点单调性公式总结 导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。在求导过程中，我们经常会遇到单调性的问题，即函数在某一区间上的变化趋势。 导数的单调性公式提供了一种判断函数在某一区间内单调性的方法。为了帮助大家更好地理解和应用这些公式，本文将对导数的单调性公式进行总结和归纳，并提供相关的例题说明。 一、单调性概念 在开始介绍导数的单调性公式之前，我们首先来了解一下单调性的概念。在数学中，如果函数在某一区间内的取值随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小，那么我们说该函数在该区间内是递增的；如果函数在某一区间内的取值随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大，那么我们说该函数在该区间内是递减的。 二、导数的单调性公式 在学习导数的单调性公式之前，我们首先回顾一下导数的定义。设函数f(x)在点x0附近有定义，如果存在常数A，当x趋于 x0时，有以下关系成立： f(x) - f(x0) = A(x - x0) + o(x - x0) 其中，o(x - x0)表示当x趋近于x0时，与x - x0的差 比x - x0本身趋于零得更快。 接下来，我们将根据函数的单调性，分别介绍导数的单调性公式。 2.1 递增函数的导数单调性 如果函数f(x)在区间I上连续，在开区间I上可导，且对于 任意x1、x2∈I，当x2 > x1时，有f'(x2) > f'(x1)，那么 函数f(x)在区间I上是递增的。 2.2 递减函数的导数单调性 如果函数f(x)在区间I上连续，在开区间I上可导，且对于 任意x1、x2∈I，当x2 > x1时，有f'(x2) < f'(x1)，那么 函数f(x)在区间I上是递减的。 2.3 涉及极值点的导数单调性 （1）若函数f(x)在区间(a, b)上单调递增，在(b, c)上单调 递减，则在x=b处取得极大值。 （2）若函数f(x)在区间(a, b)上单调递减，在(b, c)上单调 递增，则在x=b处取得极小值。 2.4 导数为零的导数单调性 如果函数f(x)在区间I上连续，在开区间I上可导，且对于 任意x∈I，有f'(x) = 0，则在区间I上函数f(x)的单调性 可能是递增的、递减的或者常数函数。 三、例题说明 下面通过几个例题来说明导数的单调性公式的具体应用。 例题1：对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的 单调区间。 解题思路： 首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。根据导数的定义，我们求得： f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 接下来，我们需要求出f'(x)的零点。解方程3x^2 - 6x + 2 = 0，得到x1 ≈ 0.77，x2 ≈ 2.23。 根据导数的单调性公式，我们可以得出以下结论： 当x < 0.77时，f'(x) < 0，即f(x)在区间(-∞, 0.77)上是 递减的； 利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间 内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内/y ≤0。 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间 的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减 函数。） 考点一 求不含参数的函数的单调区间 例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 举一反三： 1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ） A ．),(1+∞-e B ．),(1--∞e C ．),0(1-e D ．),(+∞e 2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 考点二 求含参数的函数的单调区间 考例2 ．设函数f (x )=a x －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。 举一反三：设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值. 考点三 利用导数证明不等式 考例3. 当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x . 举一反三: 1.已知x>1，证明不等式x>1n(1+x) 利用导数研究函数的单调性 1．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集 的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集 的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0 的根； （4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确 定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为 （） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：f（x）＞2x+4， 即f（x）﹣2x﹣4＞0， 设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4， 则g′（x）＝f′（x）﹣2， ∵对任意x∈R，f′（x）＞2， 1/ 3 ∴对任意x∈R，g′（x）＞0， 即函数g（x）单调递增， ∵f（﹣1）＝2， ∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0， 则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得 x＞﹣1， 即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数和函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数푔(푥)= 푥3+푥2[푓′(푥) +푚 2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围； 푙푛2（Ⅲ）求证： 2× 푙푛3 3 × 푙푛4 4 ×⋯× 푙푛푛1 푛(푛≥2，푛∈ 푁∗)． ＜ 푛 解：（Ⅰ）푓′(푥) =푎(1―푥) 푥(푥＞0)（2 分） 当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ）푓′(2) =― 푎 2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 푚 ∴푔(푥)=푥3+(2―2푥， 2+2)푥 ∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2 导数的应用函数的单调性 1. 导数与函数的单调性 在数学中，导数是函数的重要性质之一，它描述了函数在每个点的 变化率。函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，可以是递增、递减或者保持不变。 通过导数的概念，我们可以研究函数的单调性。在导数为正的区间上，函数递增；在导数为负的区间上，函数递减；在导数为0的点处，函数可能存在极值。 2. 导数与函数的单调性的关系 函数的单调性与其导数之间存在重要的关系。具体而言，对于一个 可导函数，我们可以根据其导数的正负性来判断函数在哪些区间上单调。 •如果函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上严格递增； •如果函数的导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上严格递减； •如果函数的导数在某个区间上恒大于等于0，则函数在该区间上递增； •如果函数的导数在某个区间上恒小于等于0，则函数在该区间上递减； •如果函数的导数在某个区间上恒等于0，则函数在该区间上保持不变。 通过以上性质，我们可以通过计算导数来研究一个函数在定义域上的单调性。 3. 导数的应用函数的单调性 导数的应用函数的单调性是指通过对函数求导，来研究函数在定义域上的变化趋势。具体而言，我们可以通过计算函数的导数来判断函数在哪些区间上是递增、递减或者保持不变。 下面通过几个例子来展示导数的应用函数的单调性。 3.1 一次函数的单调性 考虑一个一次函数f(x)=ax+b，其中a和b是实数。 对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=a。 根据导数的正负性，我们可以得出以下结论： •如果a>0，则函数f(x)在整个定义域上是递增的； •如果a<0，则函数f(x)在整个定义域上是递减的； •如果a=0，则函数f(x)在整个定义域上保持不变。 教学设计 -------利用导数判断函数的单调性 一．教学目标 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透 数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、 善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主 学习的学习习惯。 二．教学重难点 对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 三．教法分析： 1．教学方法的选择： 为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。通 过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。 2．教学手段的利用： 本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。 3．教学课堂结构 知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置 四．学法分析： 为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。 五．教学过程： （一）知识回顾 从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣。 设计意图：通过复习回顾，巩固旧知，学生疑惑，逐步浮现本节课的探讨任务。 (二)问题情境利用导数求函数的单调性
利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
导数与函数的单调性
利用导数求函数的单调性和极值
导数研究函数单调性5种题型总结- 高考数学常考题型(新高考专用)
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
(完整版)利用导数研究函数的单调性
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
利用导数判断函数的单调性理
利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)
利用导数研究含参函数单调性
用导数研究含参函数的单调性
导数知识点单调性公式总结
利用导数判断函数的单调性
利用导数研究函数的单调性-高中数学知识点讲解
导数的应用函数的单调性
高中数学_利用导数研究函数单调性教学设计学情分析教材分析课后反思