专题32利用导数研究函数的单调性

专题32利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性是微积分中的重要内容。通过求解函数的导数，可以得到函数在定义域内的增减情况，进而求出函数在各个区间的单调性。

要研究函数单调性的话，首先需要了解什么是导数。函数f(x)在点x 处的导数，可以看作是函数在该点的斜率，表示为f’(x)或df/dx。导数的正负可以反映函数的增减性质。

一.导数的定义和计算方法

(1)导数的定义：设函数f(x)在点x处有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应的函数值的增量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。若极限lim(Δx→0) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx

存在，就称函数f(x)在点x处可导，此极限值为函数f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或df/dx。

(2)计算导数的一般方法：根据导数的定义可知，要计算一个函数在其中一点的导数，可以先将函数的表达式写出，然后使用导数的定义计算极限即可。

二.导数与函数的单调性的关系

函数f(x)在点x处的导数f’(x)的取值可以反映函数f(x)在该点的变化规律，进而可以研究函数在各个区间的单调性。

举例说明：

1.若在区间[a，b]上f’(x)>0,则函数f(x)在该区间上是增函数。

2.若在区间[a，b]上f’(x)<0,则函数f(x)在该区间上是减函数。

3.若在区间[a，b]上f’(x)≥0,则函数f(x)在该区间上是不减函数。

4.若在区间[a，b]上f’(x)≤0,则函数f(x)在该区间上是不增函数。

三.求函数的单调区间的步骤

1.求出函数的导数f’(x)。

2.解出方程f’(x)=0的所有解，得到可能的极值点。

3.将整个定义域分成刚刚得到的极值点所在的各个区间和开区间，以

及这些区间的端点。

4.在每个区间内选择一个代表点进行函数值的判断，若代表点函数值

与导数的符号相同，则该区间是单调的。

需要注意的是，为了保证函数的单调性，需要满足函数是在一个连续

的区间上可导的。

接下来，我们以一个具体的函数为例进行详细的解析。

例题：研究函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在定义域内的单调性。

步骤一：求导数f’(x)

f’(x)=3x^2-6x-9

步骤二：求导数f’(x)的零点

3x^2-6x-9=0

化简得：x^2-2x-3=0

解方程得：x=-1,x=3

步骤三：将整个定义域[-∞，+∞]分成三个区间：

区间1：(-∞，-1)

区间2：(-1，3)

区间3：(3，+∞)

步骤四：选择代表点进行函数值的判断

对于区间1：(-∞，-1)

选取x=-2，代入原函数f(x)，得到f(-2)=1

代入求得的导数f’(-2)=-9，符号相同，说明区间1上函数单调。

对于区间2：(-1，3)

选取x=0，代入原函数f(x)，得到f(0)=5

代入求得的导数f’(0)=-9，符号相同，说明区间2上函数单调。

对于区间3：(3，+∞)

选取x=4，代入原函数f(x)，得到f(4)=9

代入求得的导数f’(4)=33，符号相同，说明区间3上函数单调。

综上所述，可知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在定义域内的三个区间上都是单调的。

通过以上的例子，我们可以发现利用导数研究函数的单调性是一种简便有效的方法。只需要计算函数的导数，并结合导数的正负号，就可以得到函数在各个区间上是否单调。这种方法不仅可以帮助我们更好地理解函数的变化规律，还可以为解决实际问题提供参考。