练习 1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( ) 答案 C 解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当00时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2. 4.函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 答案 D
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用 专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） 一、知识储备 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 二、例题讲解 1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】 （1）求导可得()a f x x x '-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()a f x x x '-= ，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =， ()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增； 综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间， 当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；
2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】 （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， (1)(2) ()2(2)a x x a f x x a x x '+-=--- = 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x > ，由()0f x '<，得02 a x <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减； 综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫ +∞ ⎪ ，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.
(完整版)利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性（一） 编辑：赵辉、李勤涛、王芳 学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.会求单调区间 复习回顾 定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 或（ ），那么函数f (x )就是区间I 上的 或（ ）函数. 自主、合作学习： 探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？ 探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。 思考 如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题 之后再解决 （1） 利用导数判断单调性的法则： 设函数y=f(x) 在某个区间（a,b ）内有导数， 如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在 ； 如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在 （2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则: 当切线斜率为正时 ； 当切线斜率为负时 。 （3）若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是增函数； 若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是减函数。 探究3：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ 典型例题 例1 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1）x x x f 3)(3+= （2） ()sin f x x x =-+ ),0(π∈x (3) x e x f x -=)( (4) x x x f ln )(-= 反思：用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。 例2 已知导函数)('x f 的下列信息； 当–22或x<–2时)('x f >0；当x=2或x=–2时)('x f =0。 试画出函数f(x)图像的大致形状。（能画对各区间的增减即可）
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝ f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e) 【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·) ＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0， 令y′>0，则1－ln x>0，所以00时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·； 当00， 则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)； ②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－， 由f′(x)<0，解得x<－， 则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)， f(x)的单调递减区间为(－∞，－)； ③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－， 由f′(x)<0解得，x>－， 则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)， f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)． (2)①当时，)上是减函数， 在(－，0)上是增函数， 则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·； ②当时，即当01时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；
2022年高考数学利用导数研究函数的单调性专项练习含答案
专题10 利用导数研究函数的单调性 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2− x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,e 2] B. (−∞,−e 2] C. [0,e 2] D. [−e 2,0] 2. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ， b ，若a 0时，xf′(x)−f(x)< 0，若a = f(e)e ,b = f(ln2)ln2 ,c = f(−3)−3 ，则a,b,c 的大小关系正确的是( ) A. a 0的解集为( ) A. (2,+∞) B. (−∞,−1) C. (−∞,−1) ∪(1,2) D. (−1,1)∪(2,+∞) 6. 已知函数f(x)=e x − x 22 −1，若f(x)≥kx 在x ∈[0,+∞)时总成立，则实数k 的取值范 围是( ) A. (−∞,1] B. (−∞,e] C. (−∞,2e] D. (−∞,e 2] 7. 设点P 为函数f(x)=1 2x 2+2ax 与g(x)=3a 2lnx +b(a >0)的图像的公共点，以P 为 切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A. 23 e 2 3 B. 32 e 2 3 C. 23 e 3 2 D. 32 e 3 2
高三数学利用导数研究函数的单调性试题
高三数学利用导数研究函数的单调性试题 1.函数在内单调递减，则实数a的范围为． 【答案】． 【解析】∵函数f（x）=x3-ax2+4在（0，2）内单调递减， ∴f′（x）=3x2-2ax≤0在（0，2）内恒成立， 即在（0，2）内恒成立， ∵∴，答案为． 【考点】利用导数研究函数的单调性. 2.设函数，其中 （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，求取得最大值和最小值时的的值. 【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当 时，在处取得最小值. 【解析】（1）对原函数进行求导，，令，解得 ，当或时；从而得出，当 时，.故在和内单调递减，在内单调递增.（2）依据第（1）题，对进行讨论，①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增， 在上单调递减，因此在处取得最大值.又，所以当 时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当 时，在处取得最小值. （1）的定义域为，.令，得 ，所以.当或时 ；当时，.故在和内单调递减，在内单调递增. 因为，所以. ①当时，，由（1）知，在上单调递增，所以在和处分别取得 最小值和最大值.②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递 减，因此在处取得最大值.又，所以当时， 在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时， 在处取得最小值. 【考点】1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. 3.设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且 g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围． 【答案】(e，＋∞) 【解析】解：令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a －1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数． 同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1， ＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当xln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e. 综上，a的取值范围为(e，＋∞)．
利用导数研究函数单调性
2022年高考数学总复习：利用导数研究函数单调性 例： 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x . (1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间； (2)若g (x )＝f (x )＋2x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝2x －2x ， 令f ′(x )>0，得x >1； 令f ′(x )<0，得00是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0. 2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性． G 跟踪训练en zong xun lian (文)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43 处取得极值． (1)确定a 的值； (2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． [解析] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43 处取得极值，所以f ′(－
导数运用单调性(含答案)
单调性 一、基础过关 1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的______条件． 2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调增区间是________． 3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是______． ①y ＝sin x ；②y ＝x e 2； ③y ＝x 3－x ；④y ＝ln x －x . 4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)、f (e)、f (3)的大小关系为________． 5．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为______． 6．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是________．(填序号) 7．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭ ⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________． 二、能力提升 8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1，2]，则b ＝________，c ＝________. 9．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则a 的取值范围为________． 10．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，试画出函数y ＝f (x )的大致图象．
11．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x . 12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方 程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2 (m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与 x 轴平行． (1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 【答案】B 【解析】∵f（x）=x3+ax-2， ∴f′（x）=3x2+a， ∵函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数， ∴f′（1）=3+a≥0， ∴a≥-3． 故选B．. 【考点】利用导数研究函数的单调性．. 2.已知函数 （1）若，试确定函数的单调区间； （2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； 【答案】(1)详见解析（2）. 【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性； （2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零． 试题解析：解：（1）由得，所以． 由得，故的单调递增区间是， 由得，故的单调递减区间是． 4 （2）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立． 由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当变化时的变化情况如下表： 单调递减极小值单调递增 由此可得，在 依题意，，又． 综合①，②得，实数的取值范围是． 【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．. 3.已知函数f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R． （1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间； （2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）． 【答案】（1）f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。
（2） ⅰ. 7分 ⅱ.当时，若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点；有 极大值点。若时， f(x)有极大值点,无极小值点。 【解析】（1）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。 所以，， 故，f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。 （2）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。 所以，， =0有实根的条件是。 ⅰ. ⅱ.当时，若 f(x)有极小值点；有极大值点。若 时， f(x)有极大值点,无极小值点。 【考点】应用导数研究函数的单调性、极值。 点评：中档题，研究函数的单调性、极值、最值等，是导数应用的基本问题。求函数的单调区间，主要研究导函数非负，确定增区间；利用导函数值非正，确定减区间。求函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。本题（2）需要对a进行分类讨论，易出错。 4.（本小题满分14分） 已知函数 （1）判断的单调性并证明； （2）若满足，试确定的取值范围。 （3）若函数对任意时，恒成立，求的取值范围。 【答案】解：（1）在上为增函数。（2） （3）在上为增函数，所以最小值为。所以。 【解析】本试题主要是考查了函数的最值，和单调性的综合运用，以及不等式的恒成立的问题的 综合运用。 （1）利用定义法设出变量，然后代入函数解析式得到差值，然后变形定号，下结论得到。 （2）在第一问的基础上得到不等式的求解。 （3）要证明不等式恒成立，构造新函数利用函数的最小值大于等于零得到证明。 解：（1）由题得：，设， 则 ，又，得 ，即在上为增函数。 （2）由（1）得：在上为增函数，要满足 只要，得 （3），由得：，即 ①，那么①式可转化为所以题
高中数学二轮复习利用导数研究函数的单调性教案含答案 (江苏专用)
第17课利用导数研究函数的单调性[最新考纲] 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.() (2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．() (3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．() [答案](1)×(2)√(3)× 2．(教材改编)如图17-1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是________．(填序号) 图17-1
①函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数； ②函数f (x )在区间(1,3)上是减函数； ③函数f (x )在区间(0,2)上是减函数； ④函数f (x )在区间(3,4)上是增函数． ① [当x ∈(－3,0)时，f ′(x )＜0，则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 3．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为________． (0,1] [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1) x ， 令y ′≤0，则可得0＜x ≤1.] 4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图17-2所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( ) 图17-2 ① ② ③ ④ ③ [由y ＝f ′(x )的图象可知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0. 从而f (x )在(0,1)及(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递增．] 5．(2017·泰州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ 12，＋∞ [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2mx ＋1 x －2，由题意可知f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即2mx ＋1 x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立．
高考数学利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析版)题型一：利用导数研究函数的单调性
题型一：利用导数研究函数的单调性 1、讨论函数的单调性（或区间） 1．已知函数211()(1)ln (,0)22 f x x a x a a =-+-∈≠R ． （1）讨论函数的单调性； 【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤. 【详解】 解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x -++=-= 当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增； 当10a +>，即1a >-时，x =或x =所以()f x 在(上单调递减，在 )+∞上单调递增. 所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 1a >-时，()f x 在(上单调递减，在) +∞上单调递增. （2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立； 当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立； 若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立. 所以综上所述：0a ≤. 2．已知函数32()f x x x mx =+-. （1）若函数()f x 在2x =处取到极值，求曲线()y f x =在(1,())f x 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）113y x =--；（2）()f x 在⎛ -∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝ ⎭上单调递增，在 ⎝⎭ 上单调递减. 【详解】 （1）依题意，2()32f x x x m '=+-， (2)1240f m '=+-=，解得16m =， 经检验，16m =符合题意； 故32()16f x x x x =+-，2()3216f x x x '=+-，
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
导数讨论含参单调性习题(含详解答案) 1．设函数当若函数 时，函数 与 ．在 处的切线互相垂直，求的值； 的取值范围； 在定义域内不单调，求 是否存在正实数，使得 满足条件的实数；若不存在，请说明理． 2．已知函数讨论当当 的单调性；时，证明：时，判断函数 ； 是 对任意正实数恒成立？若存在，求出 的导函数，为自然对数的底数． 零点的个数，并说明理． 3．已知函数当当 时，若 . 在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
时，不等式 恒成立，如果存在， ）. 时，是否存在实数，使得当 求的取值范围，如果不存在，说明理讨论函数 ，其中为常数. 的单调性； 若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 是 5．已知函数区间 上的减函数. 是实数集上的奇函数，函数 求的值；若 在 及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围； 讨论关于的方程的根的个数. 试卷第1页，总2页 6．已知函数f?x??ax?lnx,F?x??ex?ax，其中x?0,a?0. 若f?x?和F?x?在区间?0,ln3?上具有相同的单调性，求 实数a的取值范围；若a,?最小值. 7．已知函数f(x)?ex?m?lnx. 如x?1是函数f(x)的极值点，求实数m的值并讨论的单 调性f(x)；
若x?x0是函数f(x)的极值点，且f(x)?0恒成立，求实数m的取值范围. 1?，且函数g?x??xeax?1?2ax?f?x?的最小值为M，求M的2?e?x2?mx，其中0?m?1．8．已知函数f?x??ln?1?mx??2x3当m?1时，求证：?1?x?0时，f?x??； 3试讨论函数y?f?x?的零点个数． 9．已知e是自然对数的底数,F?x??2ex?1?x?lnx,f?x??a?x?1??3. 1设T?x??F?x??f?x?,当a?1?2e时, 求证：T?x?在?0,上单调递增；若?x?1,F?x??f?x?,求实数a的取值范围. 10．已知函数f?x??e?ax?2 x若a??1，求函数f?x?在区间[?1,1]的最小值；若a?R,讨论函数f?x?在(0,??)的单调性；若对于任意的x1,x2?(0,??),且x1?x2, 求a的取值范围。都有x2?f(x1)?a??x1?f(x2)?a?成立，试卷第2页，总2页 本卷系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 参考答案 1．【解析】 ;；． 试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，， 可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与
高二数学利用导数研究函数的单调性试题
高二数学利用导数研究函数的单调性试题 1.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为() A．1B．C．D． 【答案】B 【解析】设P，点P到直线y＝x－2的距离==，设=（），所以==，当＜0时，＜0，当＞0 时，＞0，则在（0,1）是减函数，在（1，+）上是增函数，则当=1时，取极小值也是最小值=2，此时=，故选B. 考点:点到直线的距离公式，导数的综合运用 2.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D． 【答案】A 【解析】得列表: x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ ) ++ y 画出大到图象可得：-2=a≤-1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意． 当a≥1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＝0，∴x＝函数在（0，）上单调递减，在（,+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为g()＝+ ，解得：a≥∴实数a 取值范围是[，+∞),故答案为. 【考点】导数知识的运用，函数的单调性与最值，分类讨论的数学思想，函数恒成立问题. 5.函数的单调减区间为___________. 【答案】 【解析】因为，解得，因此函数的单调减区间为.【考点】导数求单调区间 6.设函数 （1）试问函数能否在处取得极值，请说明理由; （2）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）函数不能在处取得极值，理由详见试题解析; （2）的取值范围是. 【解析】（1）先对函数求导，因为函数在实数上单调递增，故函数不可再 处取得极值. （2）函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两 解，结合函数的单调性可求的取值范围. （1），当时，， 而此时，函数在实数上单调递增，故函数不可再 处取得极值. （2）当时，，函数与的图像在有两个公共点，即方程 在有两解， 方程可转化为，设， 则，令， 解得，所以函数在递增，在上递减. ，所以要使得方程有两解需 . 【考点】导函数的综合应用、构造思想、转化与化归思想. 7.已知若,使得成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】由题可知的最大值为，又，当时，减函数，当时，，为增函数，所以有最小值为.若,使得成立,只需.
(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a, b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)求f'χ( (2)在定义域内解不等式f'x)>0或f'刈<0. ⑶根据结果确定f(x)的单调区间. 3.函数的极大值 在包含x0的一个区间(a, b)内，函数y= f(x)在任何一点的函数值都___________ x0点的函数值, 称点X o为函数y= f(x)的极大值点，其函数值f( X o)为函数的极大值. 4.函数的极小值 在包含x o的一个区间(a, b)内，函数y = f(x)在任何一点的函数值都__________ X o点的函数值, 称点X o x o为函数y= f(x)的极小值点，其函数值f( X。)为函数的极小值•极大值与极小值统称为_______ ,极大值点与极小值点统称为极值点. 5.函数的最值与导数 1.函数y= f(x)在［a, b］上的最大值点X o指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 __________ f( X o). 2 •函数y= f(x)在［a, b］上的最小值点X o指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 __________ f( X o ). 二、自我查验 1 .函数f(x) = X + elnx的单调递增区间为( ) A . (0, + ∞) B . (—∞ , 0)
C . (—∞, 0)和(0,+ ∞) D . R 2.若函数f(x)= X3+ X2+ mx+ 1是R上的单调增函数，则m的取值范围是__________ .
3•函数f(x)的定义域为开区间(a , b),导函数f '(X)在(a , b)内的图 象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a , b)内有极小值点( ) 【典型例题】 考点一 利用导数研究函数的单调性 (1)讨论f(x)的单调性; 【变式训练1】已知f X x 3 ax 2 a 2x 2. (1) 若a 1时，求曲线y f X 在点1,f 1处的切线方程; (2) 若a 0,求函数f X 的单调区间. 4.若函数 f(x)= X 3 + ax 2 + 3x — 9在 X = —3时取得极值, A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 5•函 数 y In X X 的最大值为 X ( ) A . 1 e B. e C . 2 e D. 10 T C . 3个 D . 4个 则 a 等于( 【例1】(2015髙考全国卷∏ )已知函数 f(x)= In x + a(1 — x). ⑵当f(x)有最大值，且最大值大于 2a — 2时，求a 的取值范围.
专题14：导数中的单调性及极值最值问题高考真题(理科)(解析版)
专题14：导数中的单调性及极值最值问题高考真题（理科）（解析版） 1．已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥ 12 x 3 +1，求a 的取值范围. 【来源】2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时， ()()'0,f x f x >单调递增.（2）27,4e ⎡⎫ -+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围. 【详解】 (1)当1a =时，()2 x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-， 由于()20x f x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故： 当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2)由()3 112f x x ≥ +得，23112 x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意； ②.当0x >时，分离参数a 得，32 1 1 2x e x x a x ---- ， 记()3 2112x e x x g x x ---=-，()()23 1212x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-， 令()()2 1102 x e x x h x x - --≥=， 则()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=-≥， 故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=， 故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）.
4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若 在 及所在的取值范围上 恒成立，求的取值范围； （3）讨论关于的方程的根的个数. 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若2 1,a e ⎛⎤ ∈-∞- ⎥⎝ ⎦ ，且函数()() 1 2ax g x xe ax f x -=-+的最 小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0 x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成 立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足 ln 1 a a =）. 8．已知函数 ()()2 ln 1x f x mx mx =++-，其中01m <≤．
