高考数学之利用导数研究函数单调性
高考数学之利用导数研究函数单调性
一．知识点睛
1.函数的导数与单调性之间的联系：
①一般地，设函数y=f （x ）在某个区间内可导，如果在这个区间内有f ′(x)＞0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f ′(x)＜0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的减函数。
②反过来，如果可导函数y=f （x ）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f ′(x)≥0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f ′(x)≤0恒成立
2.利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导
3.令f ′(x)＞0，解不等式得增区间；令f ′(x)＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。
二．方法点拨
1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间
2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：①分离参数，转化为 f ′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论
3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：①二次项系数的正负②f ′(x)=0根的个数③f ′(x)=0根的大小④f ′(x)=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根
4.已知函数有n 个单调区间，求参数范围，等同于方程f ′(x)=0在此区间上有n -1个根，并且根不是重根。
5.已知函数在给定区间上不单调 f ′(x)在此区间上有异号零点 f ′(x)=0有根（且根不是重根）
6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f ′(x) ＞0或f ′(x) ＜ 0在给定区间上有解 常考题型：⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题
三．跟踪练习
1.已知函数f （x ）=kx 3+3（k -1）x 2-k 2+1（k ＞0）的单调减区间是（0,4），则k 的值是 .
2.（2016全国卷Ⅰ）若函数f （x ）=x -
31sin2x+asinx 在（-∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是
A.[-1，1]
B.[-1，31]
C.[-31，31]
D.[-1，-3
1] 3.(2015四川)如果函数f （x ）=
21（m -2）x 2+（n -8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[21,2]上单调递减，那么mn 的最大值为
A.16
B.18
C.25
D.2
81 4.（2014新课标全国Ⅱ）若函数f （x ）=kx -lnx 在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范
围是
A.(-∞，-2]
B.(-∞，-1]
C.[2，+∞)
D.[1，+∞]
5.(2016全国卷⒈第一小题)已知函数f （x ）=（x -2）e x +a （x -1）2，讨论函数f （x ）的单调性.
6.设函数f （x)=ax 2+bx+k(k ＞0)在x=0处取得极值，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0.
（Ⅰ）求a ，b 的值
（Ⅱ）若函数g （x ）=)
(x f x
e ，讨论g （x ）的单调性. 7.已知函数
f （x ）=x 3+（1-a ）x 2-a （a+2）x+b （a ，b ∈R ）
（Ⅰ）若函数f （x ）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值. （Ⅱ）若函数f （x ）在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围.
8.设a 为实数，函数f （x ）=ax 3-ax 2+（a 2-1）x 在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a 的取值范围.
9. 设f （x ）=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这3个单调区间.
10.已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x ）=f(x)+2
1x 2-bx (1).求实数a 的值
(2).若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b 的取值范围(3).设x 1，x 2（x 1＜ x 2）是函数 g （x ）的两个极值点，若b ≥2
7，求g （x 1）-g （x 2）的最小值
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.已知函数f（x）=x2+2alnx． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当a≥0时，递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，递减区间是(0，)；递增区间是(，＋∞)；（Ⅱ）． 【解析】 解题思路：（Ⅰ）求定义域与导函数，因含有参数，分类讨论求出函数的单调区间；（Ⅱ）利用“函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立”，得到不等式恒成立；再分离参数，求函数的最值即可. 规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立. 试题解析：（Ⅰ）f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a＜0时，f′(x)＝． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： x(0，)(，＋∞) －0＋ 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)． （Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋， 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立． 令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0， ＝h(2)＝－，所以a≤－． 所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x) min 故实数a的取值范围为{a|a≤－}. 【考点】1.利用导数求函数的单调区间；2.根据函数的单调性求参数. 2.函数的部分图象大致为( ). 【答案】D 【解析】，为奇函数，图像关于原点对称，排除选项Ｂ；
利用导数求函数的单调性
利用导数求函数的单调性 例讨论下列函数的单调性： 1．x x a a x f --=)(0>a 且1≠a ； 2．) 253(log )(2-+=x x x f a 0>a 且1≠a ； 3．)0,11(1 )(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数 )(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号,来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性． 解：1．函数定义域为R ． 当1>a 时,.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． 当10<+<-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数． 2．函数的定义域是3 1>x 或.2-
利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
利用导数探究函数的单调性 一.求单调区间 例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞， 单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11 32 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+- 因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132 （，）上有解 所以''11 ()()032 f f < 又*a N ∈ 解得： 5542 a << 所以正整数a 的取值集合{2}
高考数学之利用导数研究函数单调性
高考数学之利用导数研究函数单调性 一．知识点睛 1.函数的导数与单调性之间的联系： ①一般地，设函数y=f （x ）在某个区间内可导，如果在这个区间内有f ′(x)＞0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f ′(x)＜0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的减函数。 ②反过来，如果可导函数y=f （x ）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f ′(x)≥0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f ′(x)≤0恒成立 2.利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导 3.令f ′(x)＞0，解不等式得增区间；令f ′(x)＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。 二．方法点拨 1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间 2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：①分离参数，转化为 f ′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论 3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：①二次项系数的正负②f ′(x)=0根的个数③f ′(x)=0根的大小④f ′(x)=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根 4.已知函数有n 个单调区间，求参数范围，等同于方程f ′(x)=0在此区间上有n -1个根，并且根不是重根。 5.已知函数在给定区间上不单调 f ′(x)在此区间上有异号零点 f ′(x)=0有根（且根不是重根） 6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f ′(x) ＞0或f ′(x) ＜ 0在给定区间上有解 常考题型：⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题 三．跟踪练习 1.已知函数f （x ）=kx 3+3（k -1）x 2-k 2+1（k ＞0）的单调减区间是（0,4），则k 的值是 . 2.（2016全国卷Ⅰ）若函数f （x ）=x - 31sin2x+asinx 在（-∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是 A.[-1，1] B.[-1，31] C.[-31，31] D.[-1，-3 1] 3.(2015四川)如果函数f （x ）= 21（m -2）x 2+（n -8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[21,2]上单调递减，那么mn 的最大值为 A.16 B.18 C.25 D.2 81 4.（2014新课标全国Ⅱ）若函数f （x ）=kx -lnx 在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范
利用导数求函数的单调性和极值
利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方 便地求解。导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函 数的单调性和极值。本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。 1. 导数的定义 首先，我们需要了解导数的定义。对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h 其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。 导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。 2. 利用导数求函数的单调性 函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。利用导数可以判 断函数在某个区间上的单调性。 若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1
当x1
14导数、利用导数研究函数的单调性(含答案)
14导数:利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 2.确定不含参数的函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式． (3)令f′(x)＝0， ①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0. ②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0 练习 1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( ) 答案 C 解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0 导数及其应用 专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） 一、知识储备 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 二、例题讲解 1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】 （1）求导可得()a f x x x '-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()a f x x x '-= ，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =， ()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增； 综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间， 当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞； 2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】 （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， (1)(2) ()2(2)a x x a f x x a x x '+-=--- = 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x > ，由()0f x '<，得02 a x <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减； 综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫ +∞ ⎪ ，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪. 利用导数研究函数的单调性（一） 编辑：赵辉、李勤涛、王芳 学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.会求单调区间 复习回顾 定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 或（ ），那么函数f (x )就是区间I 上的 或（ ）函数. 自主、合作学习： 探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？ 探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。 思考 如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题 之后再解决 （1） 利用导数判断单调性的法则： 设函数y=f(x) 在某个区间（a,b ）内有导数， 如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在 ； 如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在 （2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则: 当切线斜率为正时 ； 当切线斜率为负时 。 （3）若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是增函数； 若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是减函数。 探究3：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ 典型例题 例1 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1）x x x f 3)(3+= （2） ()sin f x x x =-+ ),0(π∈x (3) x e x f x -=)( (4) x x x f ln )(-= 反思：用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。 例2 已知导函数)('x f 的下列信息； 当–2 高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析 1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝ f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e) 【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·) ＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0， 令y′>0，则1－ln x>0，所以0 3.2利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数， /y=f(x) 在这个区间内为减函数。 / 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。） 疑难点、易错点剖析： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立， 且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间 上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x ) 的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。 直击考点 考点一 求不含参数的函数的单调区间 考例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。 解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x ) 令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜ 52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0， 5 2) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52 且x ≠1. ∵1x =为拐点， ∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(5 2 ，+∞) 其函数的大致图像如下图： 锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f ’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，而12,5⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ 。 举一反三： 1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ） A ．),(1 +∞-e B ．),(1 --∞e C ．),0(1 -e 答案：C 2.(05年广东高考题)函数3 2 ()31f x x x =-+是减函数的区 第11节利用导数研究函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2．求函数单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导． (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间． 1.f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2．若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x≤0))是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．() (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．() (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．() (4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√ [小题查验] 1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是() A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：A[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 2．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是() A．单调递增B．单调递减 C．先增后减D．先减后增 解析：A[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．] 3．(2019·和平区模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x20＋x0－2)x＋(y0－x30－x20＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为() A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，－2) D．(1，＋∞) 解析：A[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x20＋x0－2)x＋(y0－x30－x20＋2x0)， 知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2， 令f′(x)＜0，解得：－2＜x＜1，故选A.] 4．(教材改编)函数f(x)＝e x－x的减区间为________. 答案：(－∞，0) 5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________. 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 考点一利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研) 逻辑推理——分类与整合思想研究函数的单调性 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较 第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结 【考点分析】 考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）； ①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式； ①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负； ④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题 ①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）． 【题型目录】 题型一：利用导数求函数的单调区间 题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围 【典型例题】 题型一：利用导数求函数的单调区间 【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ） A ．(),3-∞- B ．()0,3 C ．()3,0- D ．()3,-+∞ 【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln x y x =的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛ ⎫-∞ ⎪⎝ ⎭ B ．()e,+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()0,e 【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数2 1()ln 2 f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(0,2) 【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2 ()ln 1 f x x x =--的单调增区间为_________. 利用导数判断函数的单调性的方法 利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下： 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则 )(x f 为减函数。如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。 要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。 1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。 由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。 2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。 若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。 3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。 由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，特别是研究以下问题时。 二．函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数在 b x f =)(处连续，因此)(x f 在),( c a 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性 相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。 【例】用导数求函数3 )(x x f =（R x ∈）的单调区间。 解：（用第一种关系及单调区间的合并）2 3)(x x f ='，当032>x ，即0 第10节 利用导数研究函数的单调性 导数作为研究函数的重要工具，在函数研究的诸多方面都有着重要作用，探究函数单调性就是其中重要应用之一，其中尤以研究含参函数的单调性最为常见．本节，将对此展开研讨． 【实验1】研讨函数单调性与导数的关系 【探究步骤】 1.在GGB 中作出函数的函数图象； 2.令，把函数式化简为； 3.在图象上任取一点，作出函数在该点处的切线.根据上节研究结果可知：函数在点处的切线斜率即为函数在处的导数； 4.拉动点A ，观察可以发现：在的单调递减区间的任意一点，其切线斜率均小于0，即对于内任意的，都有；而对于它的增区间的任意一点，其切线斜率均大于0，即对于内任意的，都有． 由上述实验结果，可以得出以下结论： 设函数的导函数为，在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减，反之也成立． 以上判断揭示了导函数的正负和原函数单调性之间的关系，也为研究函数单调性提供了另一重要途径． 【说明】 为了使函数的单调性与导数的符号关系更加明显，可以在原有的基础上增加以下步骤． 【探究步骤】 1.测量函数在点A 处的切线斜率m ； 2.在GGB 课件中添加以下文本“函数在点A 处的切线斜率=”，然后在文本输入框的“对象”点击黑小角，找到m ，得到“函数在点A 处的切线斜率m =”； 3.在这行文本后另建文本，内容为“0>”，在文本属性中设置显示条件为“0>m ”； 4.在文本“0>”的同一位置，另建文本“0<”，显示条件为“0 课时规范练16 利用导数研究函数的单调性 基础巩固组 1.(2022重庆八中高三检测)函数f (x )=e -x cos x (x ∈(0,π))的单调递增区间为( ) A.0,π 2 B.π 2,π C.0,3π4 D.3π 4,π 2.函数y=13x 3+x 2+mx+2是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 3.已知函数f (x )=2x 2-ln x ,若f (x )在区间(2m ,m+1)内单调递增,则实数m 的取值范围是( ) A.1 4,1 B.1 4,+∞ C.12,1 D.[0,1) 4.若2a + ln22=3b +ln33=5c +ln5 5 ,则( ) A.a ln 2>b ln 3>c ln 5 B.c ln 5>b ln 3>a ln 2 C.a ln 2>c ln 5>b ln 3 D.c ln 5>a ln 2>b ln 3 5.(多选)已知函数f (x )=2x 3+a (x-1)e x 在区间[0,3]上不单调,则实数a 的值可以是( ) A.4 e B.-4 e C.-1 e D.1 e 6.(2022山东日照高三月考)已知函数f (x )=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0),若f (x )的单调递减区间是(0,4),则实数k 的值为 . 7.已知函数f (x )=x (2x -2-x ),则不等式2f (x )-3<0的解集为 . 综合提升组 8.(2022河北唐山三模)已知函数f (x )={e x -x -1,x ≤0,-f (-x ),x >0,则使不等式f (ln x )>-1 e 成立的实数x 的取值范围 为( ) A.0,1 e B.1 e ,+∞ C.(0,e) D.(e,+∞) 专题14 利用导数研究函数的单调性 基础知识要夯实 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； (3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数． 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2.常用结论汇总——规律多一点 (1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 基本技能要落实 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.() (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．() (3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．() 【答案】(1)×(2)√(3)√ (二)选一选 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是() A．先增后减B．先减后增 C．增函数D．减函数 【答案】D 【解析】∵f′(x)＝－sin x－1＜0， ∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D. 2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为() A．(0,1)B．(0，＋∞) C．(1，＋∞)D．(－∞，0)，(1，＋∞) 【答案】A 【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1 x ＝ 1 x x - ，令f′(x)<0，得0 专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 【知识点展示】 （一）导数与函数的单调性 1.在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数． '()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数． 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ′(x)；③由f ′(x)>0（或f ′(x)<0）解出相应的x 的取值范围，当f ′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数. 特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． （二）常用结论 1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零． 【常考题型剖析】 题型一：判断或证明函数的单调性例1.（2017·山东·高考真题（文））若函数()e x f x (e=2.71828 ,是自然对 数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（ ）专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
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