利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
利用导数探究函数的单调性
一.求单调区间
例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,
故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，
变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间
解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增
当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增
由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，
单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间
当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，
二.函数单调性的判定与逆用
例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11
32
（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-
因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132
（，）上有解 所以''11
()()032
f f <
又*a N ∈ 解得：
5542
a << 所以正整数a 的取值集合{2}
三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln x
f x ax x
=-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln x
f x ax x
=-在1+?（，）上是减函数 所以'2
ln 1
()0(ln )
x f x a x -=
-?在1+?（，）上恒成立 即2
ln 1
(ln )x a x -³
在1+?（，）上恒成立
令ln ,(1)t x x =>，则0t >
2
1
()(0)t h t t t -=
> 则max ()a h t ³
因为222111111
()=()()24
t h t t t t t -=
-+=--+ 所以max 1
()=(2)4
h t h =
所以1
4
a ³
变式：若函数3211
()(1)132
f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）
上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'()=1f x x ax a -+-
因为函数()y f x =在区间1,4（）
上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数 所以''
()0(1,4)()0,(6,)
f x x f x x ìï
??ïí
ï???ïî
，恒成立
即2210(1,4)10,(6,)
x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî， 所以221
1,(1,4)
111,(6,)
1
x a x x x x a x x x ì-ïï?+"?ïï-í
ï-ï?+"??ïï-
ïî
所以4161
a a ì?ïïí
ï?ïî
所以57a ＃
四.比较大小
例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与221x ax -+的大小关系. 解：令2()21(0)x f x e x ax x =-+-> 则'()=22x f x e x a -+ 令'()()g x f x = 则'()e 2x g x =- 令'()0g x =得：ln 2x =
当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x <
所以ln2min ()()=(ln2)2ln2222ln22g x g x g e a a ==-+=-+极小值 因为ln 21a >- 所以'()()0g x f x =>
所以()f x 在0+?（，）上单调递增
所以()(0)0f x f >= 即2210x e x ax -+-> 所以221x e x ax >-+
变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与2(3)f 的大小关系.
解：因为'(3)()0x f x ->
所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f >
当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式
例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.
证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kx G x k x x x
-=
-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.
故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.
当 01k << 时，令'()=0G x ，得1
1x k
=
>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1
(1,)k
上单调递增
当1
()x k
∈+∞，
时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01
x k
=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增
所以()G(1)0G x >= 即()()f x g x >
综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >.
变式：已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+ 证明：因为2(1)x x e ax a --=
所以2(1)1x
x e a x -=+
令2(1)()1
x
x e f x x -=+
则222222
(23)[(1)2]()11x x
x x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）
当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减 当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增
因为关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、
所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞ 要证：120x x <+ 只需证：21x x <-
因为210x x -∈+∞（，）
，且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x 所以只需证：11()()f x f x >-
即证：11
112211(1)(1)11
x x x e x e x x --+>
++ 即证：(1)(1)0x x x e x e ---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x x x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，）
则g ()()x x x x e e -'=-
因为0x ∈-∞（，）
所以0x x e e -->
所以g ()()0x x x x e e -'=-<恒成立
所以g()(1)(1)x x x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减
所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值
例6.已知函数2()()x f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)x x x x f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或
当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去
当2a <时，2a ->-
由表可知：
2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值 解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-
由表可知：
22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -= 所以：=3a a e 令()3(2)a g a e a a =-> 则'2()31310a g a e e =->->
所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增
又2(2)320g e =->
所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点
即方程=3a a e 无解
综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值
例7. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1
f x f x -≥-
（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可
又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:
所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值
()()m i n 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.
因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++,
令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121
()1(1)0g a a a a '=-=->+,
所以1
()2ln g a a a a
=--在()0,a ∈+∞上是增函数.
而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-
所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;
当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a
+-≥,函数1ln y a a
=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得
1
0e
a <≤.
综上可知,所求a 的取值范围为1
(0,][e,)e
a ∈∞+ 我
变式：已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值.
解：1
()=x a f x e x a
-'-+ 令()()g x f x '=
则2
1
()=0(x a g x e x a -'+
>+）
所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增
所以存在唯一的00x ∈+∞（，）
，使得0001
()0x a g x e x a
-=-=+ 即001=
x a e x a
-+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减
当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x a f x f x e x a -==-+ 由001
=
x a e x a
-+得：00=ln()x a x a --+ 所以0min 00001
()()ln()=
x a f x f x e x a x a x a
-==-++-+
001
=
()2222x a a x a
a a
++-+≥=- 当且仅当
001
=x a x a
++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01
=2
x ，满足条件 所以12
a =
八.解不等式
例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e 解：令()()x x g x e f x e =-
则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-
因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ， 所以()0g x '>，
所以()y g x =为R 上的单调递增函数 又(0)(0)11g f =-=
所以当1)(+>x x e x f e 即()1x x e f x e -> 所以()(0)g x g > 所以0x >
即不等式：1)(+>x x e x f e 的解集为0+∞（，）
变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.
解：令()()g x f x x =- 则()()1g x f x ''=- 因为'()1f x <
所以()()10g x f x ''=-<
所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m -->- 得：(12)()f m m f m m ---（1-2)> 即(12)()g m g m -> 所以12m m ->
即1
3
m <
九.函数零点个数（方程根的个数）
例9. 已知2
()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间
[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.
解： '2
()21f x x x a
=
--+ 因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2
(0)1=0f a
=
-， 即2a =，检验知2a =符合题意.
令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，
'52()
22()21(11)
x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值
因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根
所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪
+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln 3b -<≤-
所以实数b 的取值范围是：
2ln 222ln3]--（， 变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ¹时，有'()
()0f x f x x
+>，判断函数13
()()F x xf x x
=+的零点个数
解：当0x ¹时，有'()
()0f x f x x
+> 即
'()()
0xf x f x x
+> 令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ¢=+
所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ¢=+>，函数()y g x =在
0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >
所以当0x >时，13()()0F x xf x x
=+>恒成立，函数()y F x =无零点 当0x <时，'()()()0g x xf x f x ¢=+<，函数()y g x =在
0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立 所以13()()F x xf x x
=+
在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ®，所以13()0F x x
? 当x →-∞时，10x
®，所以()()0F x xf x ? 所以13()()F x xf x x
=+在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x =+在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像
例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .
解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，
上先增后减再增 所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，
上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合.
变式：已知函数ln(2)()x f x x =
，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围. 解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2
e x = 所以当02
e x <<时，()0,()
f x f x '>单调递增 当2
e x >时，()0,()
f x f x '<单调递减 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >
（1）
（2）
（3）
（4）
作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>
（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；
（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）
（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解， 所以()f x a >-有两个整数解
因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2
e +∞上单调递减 所以()
f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =
所以ln 6ln 23
a ≤-< 所以ln 6ln 23
a -<≤-
导数用于单调性和极值问题
专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性 1.证明：函数f (x )＝sin x x 在区间??? ?π2，π上单调递减． 题型二 利用导数求函数的单调区间 2.求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1. ！ 3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间． 题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围． 5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围． … 题型四 用单调性与导数关系证不等式 6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －1 2x 2. 7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜1 6x 3. ； 题型五、函数的极值问题 8．下列函数存在极值的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝1x C ．y ＝3x －1 D ．y ＝x 2 9．设函数f (x )＝2 x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝1 2为f (x )的极大值点 B ．x ＝1 2为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 … 10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________． 12．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________． 题型六、利用极值求参数范围 13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π 4－x )是( ) A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称 … B ．偶函数且图象关于点(3π 2，0)对称 C ．奇函数且图象关于点(3π 2，0)对称 D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性． (1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围． 题型七、导数用于解决实际问题 15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) ? A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 16．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________
利用导数求单调区间的一些大题(含答案)
例1.已知函数3 21()3 f x x ax b = -+在2x =-处有极值. （1） 求函数()f x 的单调区间； （2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。 例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3 1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）、求实数k 的取值范围； （2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
解：(1) 由3 21()3 f x x ax b = -+，得22'()32f x x ax a =-- 令222a '()320,=-,(0)3 f x x ax a x a a =--==>1得x 当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表： 由上述表格可知，3223 ()=()()()()1133 3327 f x f a a a -=-----+= +极大值 3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值 (2)由（1）可知()(,)(,)3 a f x a -∞-+∞在和上单调递增，在-a （,a ）3 上单调递减， 当3 3501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327 a a f x f a f x <≤-= +>≥极大值极小值 a ()-y f x ∴=∞在（,+） 3 上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得 又()y f x =在(,)3a -∞-上单调递增，且2 (1)(1)0f a a a a -=-=-≤ ()--y f x ∴=∞a 在（，）3上最多有一个实数根 于是，当01a <≤时，函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数 根。 解：（1）由题意x k x x f )1()(2 +-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数， ∴0)1()(2 >+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立 即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
导数10 大题(单调性)中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编
导数——大题——单调性4： 1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(e x x k f x k += 为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行． 2. （1）求k 的值； 3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；） 4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2 ()1e g x -<+． 5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x =-+． 6. （1）当34 a = 时，求()f x 的单调区间；（② ）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明． 8. ①()()21212f x f x x x a -<--； ②()22 2ln 223f x a <+-． 9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2 ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R . 10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③ ） 11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围. 12. （单调性，最值，中下；第二问，未；） 13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin x f x x =⋅. 14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④） 15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ ，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围； 16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22x F x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）
专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)
专题02 利用导数求函数单调区间与单调性 专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性 一、多选题 1．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（ ） A ．()2 sin f x x x =+ B ．()2 f x x = C ．()1cos f x x =+ D ．()2 ln f x x x =+ 【解析】A ：由()()2 sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-， 因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意； B ：由()()2 2f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数， 所以符合题意； C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意； D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()1 2g x f x x x '==+， 则()222 1212x g x x x -'=-= ，当2 x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题 2．已知函数()() 21e x f x x x a -=++-． (1)讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 至少有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】(1)由2()(21)e (1)e (1)e x x x f x x x x x x ---'=+-++=-， 在(,0)-∞，(1,)+∞上()0f x '<，在(0,1)上()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,1)上递增，(1,)+∞上递减. (2)由（1）知：()f x 极小值为(0)1f a =-，极大值为3 (1)e f a =-， 要使()f x 至少有两个零点，则10 30e a a -≤⎧⎪ ⎨-≥⎪⎩，可得31e a ≤≤.
利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
利用导数探究函数的单调性 一.求单调区间 例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞， 单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11 32 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+- 因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132 （，）上有解 所以''11 ()()032 f f < 又*a N ∈ 解得： 5542 a << 所以正整数a 的取值集合{2}
函数单调性讨论16种题型(解析版)
第6讲 函数单调性含参讨论16类 【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参） 【典例分析】 已知函数()()ln 1f x a x x a R =+-∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()e 1x y f ax =-+与()e ln a y x a =+的图像有两个不同的公共点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）()1,+∞ 【分析】（1）、先求出()f x '，对a 分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间; （2）、由题意将问题转化为()e e ln x a x a =+有两个不同的实根，构造()e x g x x =，判断()g x 的单调性；要使 ()()ln g x g x a =+有两个不同的实根，则需ln x x a =+有两个不同的实根；构造()ln h x x x a =--，对a 分类 讨论判断()h x 的单调性，判断()h x 的零点，得出a 的取值范围. 解（1） ()()ln 1f x a x x a R =+-∈，()1a x a f x x x +'∴= +=，()0x >. ①、当0a ≥，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增； ①、当0a <，令()0f x '=，得x a =-，∴()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 综上所述：当0a ≥，()f x 的单调递增为()0,+∞，无单调递减区间； 当0a <，()f x 的单调递增为(),a -+∞，()f x 的单调递减为()0,a -. 【变式演练】 1.已知函数()ln a f x x x =+ ，()sin x g x e x =+，其中a ∈R . （1）试讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，证明：() ()g x f x x < . 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用 专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） 一、知识储备 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 二、例题讲解 1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】 （1）求导可得()a f x x x '-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()a f x x x '-= ，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =， ()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增； 综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间， 当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；
2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】 （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， (1)(2) ()2(2)a x x a f x x a x x '+-=--- = 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x > ，由()0f x '<，得02 a x <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减； 综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫ +∞ ⎪ ，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.
(完整版)利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性（一） 编辑：赵辉、李勤涛、王芳 学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.会求单调区间 复习回顾 定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 或（ ），那么函数f (x )就是区间I 上的 或（ ）函数. 自主、合作学习： 探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？ 探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。 思考 如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题 之后再解决 （1） 利用导数判断单调性的法则： 设函数y=f(x) 在某个区间（a,b ）内有导数， 如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在 ； 如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在 （2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则: 当切线斜率为正时 ； 当切线斜率为负时 。 （3）若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是增函数； 若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是减函数。 探究3：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ 典型例题 例1 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1）x x x f 3)(3+= （2） ()sin f x x x =-+ ),0(π∈x (3) x e x f x -=)( (4) x x x f ln )(-= 反思：用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。 例2 已知导函数)('x f 的下列信息； 当–2
利用导数研究函数的单调性专题
利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧条件 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 f′(x)>0 图象 形如山峰形如山谷 极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值 极值点x0为极大值点x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( ) A.1 e B. 2 e C.e D.e2 4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( ) A.4 B.2或6 C.2 D.6
2021年高考导数与函数的单调性题型归纳
专题 导数与函数的单调性问题 类型一 求无参函数的单调区间 解题模板 第一步计算函数()f x 的定义域； 第二步求出函数()f x 的导函数' ()f x ； 第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若' ()0f x <，则()f x 为减函数 例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln x x a f x e +=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性； 【解析】（1）当1a =时，()ln 1 x x f x e += ， 第一步，计算函数()f x 的定义域：()0,+∞. 第二步，求出函数()f x 的导函数' ()f x ： ()1 ln 1 x x x f x e --'= 第三步，令()1 ln 1g x x x = --，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g = 所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞ 【变式演练1】函数()()ln 1x f x x e -=++的单调递增区间为（ ）
A ．()1,-+∞ B ． () 0,+∞ C ．(),e +∞ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】由题意，函数()()ln 1x f x x e -=++的定义域为()1,-+∞，且()() () 1'1x x e x f x x e -+=+， 令()()1x m x e x =-+，()1x >-，则()'1x m x e =-，由()'0m x =，得0x =， 可得，当()1,0x ∈-时，()'0m x <；当()0,x ∈+∞时，()'0m x >， 所以()m x 在 1,0上是减函数，在0, 上是增函数，所以()()0 010m x m e ≥=-=， 即()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上是增函数，即()f x 的增区间为()1,-+∞.故选：A. 【变式演练2】【湖北省金字三角2020届高三下学期高考模拟】已知函数()||2 2x f x x =+，设2 1log 3m f ⎛ ⎫= ⎪⎝⎭ ，()0.17n f -=，()2log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m p n >> B ．p n m >> C ．p m n >> D ．n p m >> 【解析】因为函数()|| 2 2x f x x =+，其定义域为R ，且()()|| 2 2x f x x f x -=+=， 所以函数()f x 为偶函数，则()()2 221log log 3log 33m f f f ⎛⎫ ==-= ⎪⎝ ⎭ ， 在区间[)0,+∞上，()2 2x f x x =+，其导数()2ln220x f x x '=+>，所以()f x 在区间[)0,+∞上为增函 数，又0.1 227 1log 32log 25-<<<<，所以p m n >>；故选：C. 【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+， 若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<
完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳
完整版)利用导数求函数单调性题型全归 纳 利用导数求函数单调性题型全归纳 一、求单调区间 例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。 解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。令 $g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。 变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。 解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，
$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时， $f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(- \infty,\ln a)$。 二、函数单调性的判定与逆用 例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。 解：$f'(x)=3x+2ax-2$。因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。所以 $f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。令$f'(x)=0$，解得：$x=\dfrac{2}{3+2a}$。又$a\in \mathbb{N}$，解得：$1< a< \dfrac{5}{2}$。所以正整数$a$的取值集合为$\{2,3,4\}$。 三、利用单调性求字母取值范围
五十三期：导数单调性十种题型归纳
五十三期：导数单调性十种题型归纳 导数单调性是微积分中重要的概念之一，是指函数在定义域上的 单调性特征。在解题过程中，常常会遇到与导数单调性相关的题型， 这里将十种常见的题型归纳总结如下。 一、直接利用导数的正负判别 这种题型要求我们利用导数的正负来判断函数的单调性。具体来说， 我们需要计算函数的导函数，然后通过求解导数的符号来确定函数的 单调性。当导数恒大于零时，函数单调递增；当导数恒小于零时，函 数单调递减。 二、利用导数的正负变化 这种题型要求我们通过导数的正负变化来判断函数的单调性。具体来说，我们需要找出函数的导函数，然后观察导函数的正负变化情况。 当导数先减小后增大时，函数存在极值点，在极值点附近函数单调性 发生变化；当导数先增大后减小时，函数存在极值点，在极值点附近 函数单调性发生变化。 三、应用导数的加减法则 这种题型要求我们利用导数的加减法则来判断函数的单调性。具体来说，我们需要将函数表示为若干个函数之和或之差，并进一步求出每 个函数的导数。然后，根据导数的正负判断每个函数的单调性，并结 合加减法则得出函数整体的单调性。 四、应用导数的乘法法则 这种题型要求我们利用导数的乘法法则来判断函数的单调性。具体来说，我们需要将函数表示为若干个函数之积，并求出每个函数的导数。然后，根据导数的正负判断每个函数的单调性，并结合乘法法则得出 函数整体的单调性。 五、应用函数的单调性判别法 这种题型要求我们利用函数的单调性判别法来判断函数的单调性。具 体来说，我们需要根据函数的定义和性质，结合导数的正负判别，来
判断函数在给定区间上的单调性。 六、应用导数的奇偶性 这种题型要求我们利用导数的奇偶性来判断函数的单调性。具体来说，如果函数以奇对称或偶对称的方式分布，则可以通过导数的奇偶性来 判断函数的单调性。 七、综合利用多种方法 这种题型要求我们综合利用多种方法来判断函数的单调性。具体来说，我们可以应用前述的各种方法和技巧，结合具体题目的条件和要求， 来判断函数的单调性。 八、应用导数的辅助函数 这种题型要求我们通过引入辅助函数来判断函数的单调性。具体来说，我们可以将函数表示为辅助函数的导数形式，并通过对辅助函数的分析，得出函数的单调性。 九、利用函数的图像 这种题型要求我们观察函数的图像，通过对函数图像的性质进行分析，来判断函数的单调性。具体来说，我们可以观察函数的增减趋势、极 值点和拐点等特征，进而得出函数的单调性。 十、利用导数的极值点 这种题型要求我们通过导数的极值点来判断函数的单调性。具体来说，我们可以找出导数的极值点，并观察函数在极值点附近的变化趋势， 进而得出函数的单调性。 以上十种题型是导数单调性问题中常见的题型，掌握了这些题型 的解题方法和技巧，可以帮助我们更好地理解和应用导数单调性的概念。通过大量的练习和思考，我们可以提升自己的解题能力，更好地 应对相关考试和竞赛中的问题。希望本文对大家的学习有所帮助！
(完整版)利用导数研究函数地单调性地题型分析报告
利用导数研究函数的单调性题型分析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间． (1)y ＝2x 3－3x (2)f (x )＝3x 2 －2ln x . 解：(1)由题意得y ′＝6x 2 －3. 令y ′＝6x 2 －3＞0，解得x ＜－22或x ＞22， 当x ∈(－∞，－ 22)时，函数为增函数，当x ∈(2 2 ，＋∞)时，函数也为增函数． 令y ′＝6x 2 －3＜0， 解得－ 22＜x ＜2 2 ， 当x ∈(－ 22，2 2 )时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－ 22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，2 2 )． (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2 －1 x . 令f ′(x )＞0，即2·3x 2 －1 x ＞0.且x ＞0，可解得x ＞ 33； 令f ′(x )＜0，即2·3x 2 －1 x ＜0，由x ＞0得，0＜x ＜ 33 ， ∴f (x )的增区间为( 33，＋∞)，减区间为(0，3 3 )． 规律总结： 1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写． 2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间． 变式训练：求下列函数的单调区间： (1)求函数f (x )＝2x 3－9x 2 ＋12x －3的单调区间； (2)求函数y ＝x 3－2x 2 ＋x 的单调区间． 【解】(1)此函数的定义域为R ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 令6(x －1)(x －2)＜0，解得1＜x ＜2， 所以函数f (x )的单调递减区间是(1,2)． 令6(x －1)(x －2)＞0，解得x ＞2或x ＜1， 所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)． (2)此函数的定义域为R . y ′＝3x 2－4x ＋1， 令3x 2 －4x ＋1＞0，解得x ＞1或x ＜13 . 因此y ＝x 3－2x 2 ＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13 )． 再令3x 2 －4x ＋1＜0，解得13 ＜x ＜1.
导数与函数的单调性考点及题型
第二节 导数与函数的单调性 ❖ 基础知识 函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导， (1)若f ′(x )>0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递增函数； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递减函数； (3)若恒有f ′(x )＝0，则f (x )在区间(a ，b )内是常数函数． 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. ❖ 常用结论 (1)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零． 考点一 利用导数研究函数的单调性 [典例] 已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1 a (a ∈R 且a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性． [解] f ′(x )＝ax －1 ax 2 (x >0)， ①当a <0时，f ′(x )>0恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，由f ′(x )＝ax －1ax 2 >0，得x >1 a ； 由f ′(x )＝ax －1ax 2<0，得0
(山东专用)高考数学一轮复习 专题13 导数的应用(1)研究函数的单调性(含解析)-人教版高三全册数
专题13 导数的应用（1）—研究函数单调性 一、【知识精讲】 函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则： (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数. 注意：函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件. 二、【典例精练】 考点一 求函数的单调区间 【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2 (a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值； (2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2 ＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432 ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－8 3 ＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1
2022年高考数学利用导数研究函数的单调性专项练习含答案
专题10 利用导数研究函数的单调性 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2− x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,e 2] B. (−∞,−e 2] C. [0,e 2] D. [−e 2,0] 2. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ， b ，若a 0时，xf′(x)−f(x)< 0，若a = f(e)e ,b = f(ln2)ln2 ,c = f(−3)−3 ，则a,b,c 的大小关系正确的是( ) A. a 0的解集为( ) A. (2,+∞) B. (−∞,−1) C. (−∞,−1) ∪(1,2) D. (−1,1)∪(2,+∞) 6. 已知函数f(x)=e x − x 22 −1，若f(x)≥kx 在x ∈[0,+∞)时总成立，则实数k 的取值范 围是( ) A. (−∞,1] B. (−∞,e] C. (−∞,2e] D. (−∞,e 2] 7. 设点P 为函数f(x)=1 2x 2+2ax 与g(x)=3a 2lnx +b(a >0)的图像的公共点，以P 为 切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A. 23 e 2 3 B. 32 e 2 3 C. 23 e 3 2 D. 32 e 3 2
高二数学利用导数研究函数的单调性试题
高二数学利用导数研究函数的单调性试题 1.设函数，则（） A．为的极大值点B．为的极小值点 C．为的极大值点D．为的极小值点 【答案】D． 【解析】首先求出导函数，然后令，解得，且当时，；当时，；由极值定义知，函数在处取得极小值，即 是的极小值点．故选D． 【考点】利用导数求函数的极值． 2.已知函数在区间上单调递减，则的最大值是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】∵f（x）=ax-x3, ∴f′（x）=a-3x2∵函数f（x）=ax-x3在区间[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=a-3x2≤0在区间[1，+∞）上恒成立， ∴a≤3x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3．故选D． 【考点】运用导数研究函数的单调性及恒成立问题. 3.设是函数的一个极值点. (1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间； (2）设，在区间[0，4]上是增函数.若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1）b＝－3－2a , 当a<－4时f (x) 的减区间有（－∞，3）和（―a―1，＋∞）,增区间 为（3，―a―1）; 当a>－4时f (x) 的减区间有（－∞，―a―1）和（3，＋∞）,增区间为 （―a―1，3）; (2）（0，）. 【解析】(1）由是函数的一个极值点,可得 ,从而就可用用 表示出来；这样就可以用a的代数式将表达出来，令其等于零解得两个实根，注意由已知 这两个实根应该不等而得到：a≠－4 ，然后通过讨论两根的大小及的符号就可确定函数的单调区间；(2）由（1）可求得当当a>0时，在区间[0，4]上的最大值和最小值，由已 知也可求得在区间[0，4]上的最大值的最小值；而存在使得成立等 价于，解此不等式就可求得的取值范围. 试题解析：(1）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由，得－[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2 ＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以，那么a≠－4. 当a<－4时，x 2>3＝x 1 ，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x 2<3＝x 1 ，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f (x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. (2）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.
6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ⎛⎤ ∈-∞- ⎥⎝⎦ ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1 2ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当1 12a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ∀≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立， 求a 的取值范围。