导数与函数的单调性
第2节导数在研究函数中的应用
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.
3.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
第1课时导数与函数的单调性
考点一 求函数的单调区间
【例1】 (经典母题)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间.
解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，
因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0，
解之得－1 所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 【迁移探究1】 若本例中函数f (x )变为“f (x )＝ln x －12x 2＋x ”，试求f (x )的单调区 间. 解 因为f (x )＝ln x －12x 2＋x ，且x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x . 令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去). 由f ′(x )>0，得0 由f ′(x )<0，得x >1＋5 2. 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52，单调递减区间为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1＋52，＋∞. 【迁移探究2】若本例的函数变为“f(x)＝x2 2－a ln x，a∈R”，求f(x)的单调区间. 解因为f(x)＝x2 2－a ln x，所以x∈(0，＋∞)， f′(x)＝x－a x＝ x2－a x. (1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a>0时，f′(x)＝（x＋a）（x－a） x，则有 ①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a). ②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞). 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). 规律方法求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间. 【训练】已知函数f(x)＝x 4＋ a x－ln x－ 3 2，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于直线y＝1 2x. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 解(1)对f(x)求导得f′(x)＝1 4－ a x2－ 1 x， 由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝1 2x知f′(1)＝－ 3 4－a＝－2，解得a＝ 5 4. (2)由(1)知f(x)＝x 4＋ 5 4x－ln x－ 3 2(x>0). 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去. 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点二 证明(判断)函数的单调性 【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ). ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立. ②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，0]. 规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数. 【训练】 (2015·全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性. 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 考点三 导数在函数单调性中的应用 【例3】 (1)(2018·武汉模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )， 当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f （e ）e ，b ＝f （ln 2）ln 2，c ＝f （－3）－3 ，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A.a B.b C.a D.c 解析 设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2 ， ∵当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数. 由f (x )为奇函数，知g (x )为偶函数，则g (－3)＝g (3)， 又a ＝g (e)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－3)＝g (3)， ∴g (3) 答案 D 【训练】.已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( ) A.f (2)>f (3)>f (π) B.f (3)>f (2)>f (π) C.f (2)>f (π)>f (3) D.f (π)>f (3)>f (2) (2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . ①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； ②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 ①h (x )＝ln x －12 ax 2－2x ，x >0. ∴h ′(x )＝1x －ax －2. 若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解， 即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min .(*) 又G (x )＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1. 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). ②由h (x )在[1，4]上单调递减， ∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716. 当a ＝－716时， h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝（7x －4）（x －4）16x ， ∵x ∈[1，4]， ∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0， 当且仅当x ＝4时等号成立.(***) ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫－716，＋∞. 规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围. 2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解. 3.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 【训练】 (2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递 减，则实数a 的值为________. (2018·兰州模拟)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x . (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ， 则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝（x －1）（x －2）x . 当0 ∴f (x )的单调增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调减区间为(1，2). (2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数， ∴g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0恒成立. 即x 2－2x －2a x ≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立. ∴x 2－2x －2a ≥0当x >0时恒成立， ∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立. 又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12. ∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立. 又当a ＝－12，g ′(x )＝（x －1）2x 当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0. 故当a ∈⎝ ⎛⎦ ⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增. 解析 因为f (x )＝1＋x －sin x ，所以f ′(x )＝1－cos x ， 当x ∈(0，π]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，π]上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2). 答案 D 9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭ ⎪⎫23. (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间. 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1. 当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋13(x －1)， 令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13； 令f ′(x )<0，解得－13 所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－13，1. 函数的单调性与导数(教学设计) 教学设计：函数的单调性与导数 本节课的主要内容是函数的单调性与导数。在研究本节课之前，学生已经研究了导数、函数及函数单调性等概念，对导数的几何意义与函数单调性有了一定的感性和理性的认识。 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。在以前的研究中，学生已经研究了如何利用函数单调性的定义和函数的图像来研究函数的单调性。而在研究了导数之后，学生可以利用导数来研究函数的单调性，这是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。学好本课时的知识对接下来要研究利用导数研究函数的极值奠定知识基础，因此，研究本节内容具有承上启下的作用。 在本节课之前，学生已经研究了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，研究了用导数求曲线的切线方程。因此，本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。 本节课的教学目标包括以下几点： 1.知识与能力： 1) 理解函数单调性与导数的关系：函数f(x)在区间(a,b)内可导，若f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在区间(a,b)内单调递减。 2) 探究函数的单调性与导数的关系，利用导数与函数单调性的关系求函数的单调区间、画函数的简单图像。 2.过程与方法： 通过利用导数研究单调性问题的研究过程，引导学生养成自主研究的研究惯，体会知识的类比迁移，体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。 3.情感态度与价值观： 1) 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识 间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。 2) 通过导数研究单调性，使学生知道用导数判断函数的 单调性比用单调性的定义更容易，知道导数作为研究函数的工具的实用价值。 本节课的教学重点是利用导数判断函数的单调性，并求函数的单调区间。教学难点在于如何将导数与函数的单调性联系起来。 本节课的教学方法为启发引导式，课时安排为1课时。教学准备包括多媒体平台和课件。 函数单调性是高中数学课程中最基本、最重要的性质之一。它可以从形和数两个方面来研究。图像的上升或下降可以直观地显现函数变化的趋势，而单调性的定义则从数量上反映函数的变化趋势。现在，我们可以用导数的性质来研究单调性，从而结合数与形来更加深入地研究函数的变化趋势和变化快慢。本节课的知识目标包括：探索并应用函数的单调性与导数的关 利用导数求函数的单调性 例讨论下列函数的单调性： 1．x x a a x f --=)(0>a 且1≠a ； 2．) 253(log )(2-+=x x x f a 0>a 且1≠a ； 3．)0,11(1 )(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数 )(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号,来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性． 解：1．函数定义域为R ． 当1>a 时,.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． 当10<+<-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数． 2．函数的定义域是3 1>x 或.2- 利用导数探究函数的单调性 一.求单调区间 例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞， 单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11 32 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+- 因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132 （，）上有解 所以''11 ()()032 f f < 又*a N ∈ 解得： 5542 a << 所以正整数a 的取值集合{2} 导数与函数的单调性 导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。 一、导数的定义与意义 导数描述了函数在某一点的变化率。对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示： f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗 其中，h表示自变量x的增量。导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。 二、导数与函数的单调性 导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。 三、通过导数确定函数的单调性 要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤： 1. 求取函数的导数。 2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。 3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。 4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。 5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。 举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤： 1. 求取导数： f'(x) = 2x 2. 解方程 f'(x) = 0： 2x = 0 解得 x = 0。 3. 在数轴上画出导数的零点x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。 4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1， 取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。 5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值： f(-1) = (-1)^2 = 1 f(1) = (1)^2 = 1 根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论： 在小区间 (-∞，0) 上，函数递增； 在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。 利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方 便地求解。导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函 数的单调性和极值。本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。 1. 导数的定义 首先，我们需要了解导数的定义。对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h 其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。 导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。 2. 利用导数求函数的单调性 函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。利用导数可以判 断函数在某个区间上的单调性。 若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1 当x1 导数与函数单调性的关系 教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。若函数)(x f y =在某个区间I 上可导（对于区间端点，只要求它存在左（或右）导数）则称)(x f 为区间I 上的可导函数。那么区间I 上的可导函数与函数单调性有什么关系呢？ 一、 0>)('x f （或0<)('x f ）是)(x f y =在某个区间I 上为增（或减）函数的充分不必要条件 设函数)(x f y =在某个区间I 上可导，如果0>)('x f ，则)(x f 为增函数；如果 0<)('x f ，则)(x f 为减函数。 （参考书目（1）第127页） 但当)(x f y =在某个区间I 上为增（或减）函数时，并不能得到0>)('x f （或 0<)('x f ） 。例如：3x x f y ==)(在),(+∞-∞上单调递增，但032≥=x x f )('。即0>)('x f （或0<)('x f ）是)(x f y =在某个区间I 上为增（或减）函数的充分不必要条件。 二、若函数)(x f y =为区间(a,b)内的可导函数，则0≥)('x f （或0≤)('x f ）是)(x f y =在区间（a ，b ）内为增（或减）函数的必要不充分条件。 证明：设x 为区间(a,b)内任一点，当x ?充分小时仍有),(b a x x ∈?+，由于)(x f y =在区间（a ，b ）内为增函数，所以0>?-?+x x f x x f )()(，即0≥)('x f 。 但0≥)('x f 时，)(x f y =在区间（a ，b ）内不一定为增函数。 例如：???≥-<=) ()()()(b x b x b x x f 20则0≥)('x f 但)(x f 在),(+∞-∞上不是增函数。 三、 函数)(x f y =在某个区间I 上可导，则)(x f y =在区间I 上为增（或减）函数的充要条件为： （1）对一切I x ∈都有0≥)('x f （或0≤)('x f ） （2）使得0=)('x f 的点x 不连续。 证明见参考书目（2）第187页。 值得注意的是单调函数可以在无穷多个点处使得0=)(' x f 。 第11讲导数与函数的单调性 ◆高考导航·顺风启程◆ [知识梳理] 函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＞0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＜0，则在这个区间上，函数y ＝f(x)是减少的． [知识感悟] 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)． [知识自测] 1．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为() A．(0,4)B．(0,2) C．(4，＋∞) D．(－∞，0) [解析]f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)， 由f′(x)＜0，得0＜x＜4，∴单调递减区间为(0,4)． [答案]A 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是() A．先增后减B．先减后增 C．增函数D．减函数 [解析]∵f′(x)＝－sin x－1＜0. ∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D. [答案]D 3．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________. [解析]f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. [答案]3 题型一判断或证明函数的单调性(基础拿分题，自主练透) (高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋ x 2(a ∈R )在x ＝－4 3 处取得极值． (1)确定a 的值； (2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－4 3处取得极值，所以f ′????－43＝0， 即3a ·169＋2·????－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝1 2. (2)由(1)得g (x )＝????12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝????32x 2＋2x e x ＋????1 2x 3＋x 2e x ＝????12x 3＋52x 2＋2x e x ＝1 2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4 导数的应用函数的单调性 1. 导数与函数的单调性 在数学中，导数是函数的重要性质之一，它描述了函数在每个点的 变化率。函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，可以是递增、递减或者保持不变。 通过导数的概念，我们可以研究函数的单调性。在导数为正的区间上，函数递增；在导数为负的区间上，函数递减；在导数为0的点处，函数可能存在极值。 2. 导数与函数的单调性的关系 函数的单调性与其导数之间存在重要的关系。具体而言，对于一个 可导函数，我们可以根据其导数的正负性来判断函数在哪些区间上单调。 •如果函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上严格递增； •如果函数的导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上严格递减； •如果函数的导数在某个区间上恒大于等于0，则函数在该区间上递增； •如果函数的导数在某个区间上恒小于等于0，则函数在该区间上递减； •如果函数的导数在某个区间上恒等于0，则函数在该区间上保持不变。 通过以上性质，我们可以通过计算导数来研究一个函数在定义域上的单调性。 3. 导数的应用函数的单调性 导数的应用函数的单调性是指通过对函数求导，来研究函数在定义域上的变化趋势。具体而言，我们可以通过计算函数的导数来判断函数在哪些区间上是递增、递减或者保持不变。 下面通过几个例子来展示导数的应用函数的单调性。 3.1 一次函数的单调性 考虑一个一次函数f(x)=ax+b，其中a和b是实数。 对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=a。 根据导数的正负性，我们可以得出以下结论： •如果a>0，则函数f(x)在整个定义域上是递增的； •如果a<0，则函数f(x)在整个定义域上是递减的； •如果a=0，则函数f(x)在整个定义域上保持不变。 导数与函数的单调性 一 函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b 内，如果函数()y f x =的导数()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增，如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 注：()0f x '>能推导出()f x 为增函数，但反之不一定.所以()0f x '>是()f x 为增函数的充分不要条件. 二 利用导数求函数单调性的具体步骤 1.求出函数的定义域. 2.求出导函数()f x '. 3.解不等式()0f x '>，得()f x 的单调递增区间，解不等式()0f x '<，得()f x 的单调递减区间. 例1 函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是______.(2,)+∞. 例2 若3()f x x ax =+单调递减区间是(1,1)-，则a =_____. 例1函数21ln 2 y x x = -的单调递减区间为______. 练习 2已知函数2()32ln f x x x x =+-则函数()f x 的单调递减区间为_______.1(0,]2 三 参数取值范围的问题 例1 若3()f x x ax =+在区间(1,1)-单调递减，则a 的取值范围为______. 练习2 若24()1 x f x x = +在区间(,21)m m +内是增函数，则m 的取值范围为_____.(1,0]- 例2 已知2(,)2 x x a e x =+-，(1,)b t =，若()f x a b =在区间(1,1)-上存在增区间，则t 的取值范围为_________.(,1)e -∞+ 例3 若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函 数，则k 的取值范围为_______.3[1,)2 练习1 若函数1()2ax f x x += +在区间(2,)-+∞上单调递减，则a 的取值范围为_______. 练习2 若函数21()2x f x x a += +在区间(2,)-+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______.[1,)+∞ 练习3 若函数4()mx f x x m += +在区间[3,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为_____. (2,)(3,2)+∞-- 导数与函数单调性和极值最值的关系 一、知识点梳理导学 1.函数的单调性与导数的关系 在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(' 函数单调性与导数教学设计（共4篇） 第1篇：函数单调性与导数教案 3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。【教学重点难点】 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。【教 具】多媒体【教学方法】问题启发式【教学过程】一．复习回顾 复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法） 问题提出：判断y=x的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 2那么如何判断f(x)sinx x,x0,;的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数二．新知探究 探究任务一：函数单调性与其导数的关系： 问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t) 4.9t 6.5t10的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度V(t)h’(t)9.8t 6.5h的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现h(t)和h’(t)这两个函数图像有什么联系吗? 启发:函数h’(t)在(0,a)上是大于0，函数h(t)在(0,a)上有何特点呢？函数h’(t)在(a，b)上是小于0，那么函数h(t)在(a,b)上有何特点呢？ 问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？ 问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f’(x)0，那么函数y f(x)在这个区间内单调递增；如果f’(x)0，那么函数y f(x)在这个区间内单调递减．） 问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？ 探究任务二：f’x0与函数单调性的关系： 问题5：若函数f x的导数f’x0，那么f x会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果）f’(x)0，那么函数y f(x)在这个区间内是常值函数．问题6：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？ 例1:已知某函数的导函数的下列信息: 时，f’(x)0; 当1x4时，f’(x)0;当x4,或x1时，f’(x)0.试画出函数f x图像的大致形状.当x4,或x 1跟踪练习 1、设y f(x)是函数y f(x)的导数, y f(x)的图象如图所示, 则y f(x)的图象最有可能是( ) 问题7：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？ 例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间: （1）f(x)sinx x,x0,;（2）f(x)2x33x224x1; （3）f(x)x33x;（4）f(x)x22x3; （5）f(x)＝x＋ln x 利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间 内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内/y ≤0。 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间 的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减 函数。） 考点一 求不含参数的函数的单调区间 例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 举一反三： 1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ） A ．),(1+∞-e B ．),(1--∞e C ．),0(1-e D ．),(+∞e 2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 考点二 求含参数的函数的单调区间 考例2 ．设函数f (x )=a x －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。 举一反三：设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值. 考点三 利用导数证明不等式 考例3. 当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x . 举一反三: 1.已知x>1，证明不等式x>1n(1+x) 导数与函数的单调性 【知识回顾】 1.导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值的增量；若极限存在，则在点处可导， 这个极限叫做在处的导数，记作或，即=。 2. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切 线的斜率，即：曲线在点P 处切线的斜率是，切线方程为 3.基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1 ;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=;④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '= ; ⑧a x x a ln 1)(log ='. 4.导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -= ≠. 5. 复合函数的求导法则：或 6.函数的单调性与导数 （1）在区间],[b a 内，)(' x f >0,⇔f (x )为单调递增；)(' x f <0,⇔f (x )为单调递减。 （2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求的导数()f x '； ③令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间；④令()0f x '<解不等式，得x 的 范围就是递减区间。 （3）求单调性的步骤：①求函数的导数()f x '；②判断()f x '的符号；③下结论。 （4）“若函数单调递增，则f ′(x )≥0恒成立；若函数单调递减，则f ′(x )≤0恒成立”。 7.利用导数讨论函数的单调性的方法： （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。 （2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点。 （3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数。 （4）所求函数的单调区间多个时，这些区间之间不能用∪及或连接，只能用“，”“和”字隔开。 8.含参数函数的单调性讨论：函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 （1）先求函数的定义域， （2）求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， （3）先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， （4）再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， （5）导函数正负的相应区间由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。 0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0' x f x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 000 )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-)()())(('''x u f x f x ϕϕ=x u x u y y ''' ⋅=)(x f )(x f 导数与函数的单调性 知识梳理 1．函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数； 如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数． 二者关系： (1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件，这是因为f′(x)>0能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要. (2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)． 典例剖析 题型一利用导数证明函数的单调性 例1求证函数y＝x＋1 x在[1, ＋∞)内为增函数． 解析y′＝1－1 x2＝ x2－1 x2 当x>1时，x2－1>0，∴y′>0， ∴函数y＝x＋1 x在[1, ＋∞)内为增函数． 变式训练求证函数y＝x3＋x2＋x在R上是增函数． 解析y′＝3x2+2x＋1=3(x＋1 3) 2＋ 2 3 显然对任意x∈R，均有y′>0， ∴函数y＝x3＋x2＋x在R上是增函数．题型二求函数的单调区间 例2已知函数f(x)＝ln x＋k e x(k为常数，e＝2.718 28…是自然 对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． 解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x， 得f′(x)＝1－kx－x ln x x e x，x∈(0，＋∞)， 由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝ 1 x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又e x>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 函数的单调性与导数 一、知识点 1．函数的单调性与其导数的关系 在某个区间(,)a b内，如果 ___________，那么函数() =在 y f x 这个区间内单调递增；如果 ___________，那么函数() =在 y f x 这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，()0 '> f x （()0f x'<）是函数()f x在此区间内 单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数()f x在(,)a b 内单调递增（减）的充要条 件是()0f x'≥（()0f x'≤）在(,)a b内恒成立，且()f x'在(,)a b的任意子区间内都 不恒等于0． '之间的关系 2．函数图象与() f x 一般地，如果一个函数在某 一范围内导数的绝对值较 ___________，那么函数在这个 范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 二、课前练习 1．函数3y x=的单调递增区间是A．(,0)-∞B．(0,)+∞C．R D．(,0]-∞ 2．函数()ln x=-在区间(1,)+∞上单调递 f kx x 增，则实数k的取值范围是 A．(,2]-∞-B．(,1]-∞-C．[2,)+∞ D．[1,)+∞ 3．函数()y f x=的图象如图，则导函数()y f x'=的图象可能是 5．若函数2l =-在其定义域内的 ()2n f x x x 一个子区间(1,1) -+内不是单调 k k 函数，则实数k的取值范围是 A．[1,)+∞B．3[1,)2C．[1,2) D．3[,2)2 6．函数cos =-为R上的减函数，则 y ax x 实数a的取值范围为______________． 二、例题选讲 例1.求下列函数的单调区间： （1）3()23 =-． f x x x =-；（2）2()ln f x x x 练习1．函数()(23)e x =-的单调递增区 f x x 间是函数的单调性与导数(教学设计)
利用导数求函数的单调性
利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
导数与函数的单调性
利用导数求函数的单调性和极值
导数与函数单调性的关系
最经典总结-导数与函数的单调性
导数的应用函数的单调性
导数与函数的单调性
导数与函数单调性和极值最值的关系系
函数单调性与导数教学设计(共4篇)
利用导数判断函数的单调性
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
导数与函数单调性