动量定理

动量定理动量守恒定律及其应用

知识点一、动量、动量定理

1．动量

(1)定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p来表示。

(2)表达式：p＝mv。(3)单位：kg·m/s。

(4)标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同。

2．冲量

(1)定义：力和力的作用时间的乘积叫做这个力的冲量。

(2)表达式：I＝Ft。单位：N·s。

(3)标矢性：冲量是矢量，它的方向由力的方向决定。

3．动量定理

知识点二、动量守恒定律

1．内容：一个系统不受外力或者所受合外力为零，这个系统的总动量保持不变。

2．表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′或p＝p′。

3．适用条件

(1)理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒。

(2)近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒。

(3)分方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒。

知识点三、弹性碰撞和非弹性碰撞

1．碰撞

碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短，而物体间的相互作用力很大的现象。

2．特点

在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒。

3．分类

题组一动量、冲量、动量定理的理解

1．下列说法正确的是( )

A．速度大的物体，它的动量一定也大

B．动量大的物体，它的速度一定也大

C．只要物体的运动速度大小不变，物体的动量就保持不变

D．物体的动量变化越大则该物体的速度变化一定越大

2．质量为m的物体放在光滑水平地面上，在与水平方向成θ角的恒力F作用下，由静止开始运动，经过时间t，速度为v，在此时间内推力F和重力的冲量大小分别为( ) A．Ft，0 B．Ft cos θ，0 C．mv，0 D．Ft，mgt

3．(多选)质量为m 的物体以初速度v 0开始做平抛运动，经过时间t ，下降的高度为h ，速度变为v ，在这段时间内物体动量变化量的大小为( )

A ．m (v －v 0)

B ．mgt

C ．m v 2

－v 2

0 D ．m 2gh 题组二 动量守恒定律的理解及应用

5．滑雪运动是人们酷爱的户外体育活动，现有质量为m 的人站立于雪橇上，如图1所示。人与雪橇的总质量为M ，人与雪橇以速度v 1在水平面上由北向南运动(雪橇所受阻力不计)。当人相对于雪橇以速度v 2竖直跳起时，雪橇向南的速度大小为( ) A.

Mv 1－Mv 2M －m B.Mv 1M －m C.Mv 1＋Mv 2

M －m

D ．v 1 6．A 球的质量是m ，B 球的质量是2m ，它们在光滑的水平面上以相同的动量运动。B 在前，A 在后，发生正碰后，A 球仍朝原方向运动，但其速率是原来的一半，碰后两球的速率比v A ′∶v B ′为( )

A ．1∶2

B ．1∶3

C ．2∶1

D ．2∶3 考点一 动量定理的理解与应用 1．应用动量定理时应注意

(1)动量定理的研究对象是一个质点(或可视为一个物体的系统)。

(2)动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 2．动量定理的应用 (1)用动量定理解释现象

①物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。 ②作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。 (2)应用I ＝Δp 求变力的冲量。

(3)应用Δp ＝F ·Δt 求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化量。

【例1】 如图2所示，质量为m ＝2 kg 的物体，在水平力F ＝16 N 的作用下，由静止开始沿水平面向右运动。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，若F 作用t 1＝2 s 后撤去，撤去F 后又经t 2＝2 s ，物体与竖直墙壁相碰，若物体与墙壁作用时间t 3＝0.1 s ，碰撞后反

向弹回的速度v ′＝6 m/s ，求墙壁对物体的平均作用力大小。(g 取10 m/s 2

)

图2

【变式训练】

1．物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间t 1内动能由零增大到E k1，在时间t 2内动能由E k1增加到2E k1，设合力在时间t 1内做的功为W 1，冲量为I 1，在时间t 2内做的功是W 2，冲量为I 2则( )

A ．I 1

B ．I 1>I 2，W 1＝W 2

C ．I 1>I 2，W 1

D ．I 1＝I 2，W 1

(1)前提条件：存在相互作用的物体系。 (2)理想条件：系统不受外力。

(3)实际条件：系统所受合外力为0。

(4)近似条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于系统所受的外力。 (5)方向条件：系统在某一方向上满足上面的条件，则此方向上动量守恒。

2．动量守恒定律的表达式

(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。

(2)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。

(3)Δp＝0，系统总动量的增量为零。

【例2】如图3所示，两块厚度相同的木块A、B，紧靠着放在光滑的桌面上，其质量分别为2.0 kg、0.9 kg，它们的下表面光滑，上表面粗糙，另有质量为0.10 kg的铅块C(大小可以忽略)以10 m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面，由于摩擦，铅块C最后停在木块B 上，此时B、C的共同速度v＝0.5 m/s。求木块A的最终速度和铅块C刚滑到B上时的速度。

图3

【变式训练】

2．[2014·江苏卷，12C(3)]牛顿的《自然哲学的数学原理》中记载，A、B两个玻璃球相碰，碰撞后的分离速度和它们碰撞前的接近速度之比总是约为15∶16。分离速度是指碰撞后B 对A的速度，接近速度是指碰撞前A对B的速度。若上述过程是质量为2m的玻璃球A以速度v0碰撞质量为m的静止玻璃球B，且为对心碰撞，求碰撞后A、B的速度大小。

考点三碰撞模型的规律及应用

1．碰撞的特点和种类

(1)碰撞的特点

①作用时间极短，内力远大于外力，满足动量守恒；②满足能量不增加原理；

③必须符合一定的物理情境。

(2)碰撞的种类

①完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒，质量相等的两物体发生完全弹性碰撞时交换速度；

②非完全弹性碰撞：动量守恒、动能不守恒；

③完全非弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒，碰后两物体共速，系统机械能损失最大。2．碰撞现象满足的规律

(1)动量守恒定律。(2)机械能不增加。(3)速度要合理。

①若碰前两物体同向运动，则应有v后＞v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。

②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。

【例3】[(2014·新课标全国卷Ⅰ，35(2)]如图4，质量分别为m A、m B的两个弹性小球A、B静止在地面上方，B球距离地面的高度h＝0.8 m，A球在B球的正上方。先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放。当A球下落t＝0.3 s时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰。碰撞时间极短，碰后瞬间A球的速度恰为零。已知m B＝3m A，重力加速度大小g＝10 m/s2，忽略空气阻力及碰撞中的动能损失。求：

(1)B球第一次到达地面时的速度；

(2)P点距离地面的高度。

碰撞问题解题策略

(1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。

(2)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：

v 1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 0、v 2＝2m 1

m 1＋m 2

v 0。

(3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两球质量相等时，两球碰撞后交换速度；当m 1≫m 2，且v 20＝0时，碰后质量大的速率不变，质量小的速率为2v 。当m 1≪m 2，且v 20＝0时，碰后质量小的球原速率反弹。 【变式训练】

3．三个完全相同的小球A 、B 、C ，质量满足m A ＝m B ＝m C ＝2 kg ，静止在光滑地面上并沿“一”字形依次排开，如图5所示。用锤子轻轻敲击A 球，使之获得一个向右的速度v 0＝4 m/s ，A 、B 两球碰撞后粘合在一起，再与C 球碰撞，最后C 球获得v C ＝2 m/s 的向右的速度。 (1)求第一次碰撞后A 、B 两球粘合在一起的共同速度； (2)第二次碰撞是不是弹性碰撞？

(3)求两次碰撞过程，系统损失的能量ΔE 。 考点四 动量观点和能量观点的综合应用 动量守恒定律与机械能守恒定律的比较

定律名称

比较项目 动量守恒定律 机械能守恒定律 相同点 研究对象 相互作用的物体组成的系统

研究过程

某一运动过程 不

同点 守恒条件

系统不受外力或所受外力的矢量和为零

系统只有重力或弹力做功

表达式 p 1＋p 2＝p 1′＋p 2′

E k1＋E p1＝E k2＋E p2

表达式的矢标性 矢量式

标量式

某一方向上应用

情况

可在某一方向上独立使用

不能在某一方向独立使用

运算法则

矢量运算

代数运算

【例4】 [(2014·山东卷，39(2)]如图6所示，光滑水平直轨道上两滑块、用橡皮筋连接，A 的质量为m 。开始时橡皮筋松弛，B 静止，给A 向左的初速度v 0。一段时间后，B 与A 同向运动发生碰撞并粘在一起。碰撞后的共同速度是碰撞前瞬间A 的速度的两倍，也是碰撞前瞬间B 的速度的一半。求： (1)B 的质量；

(2)碰撞过程中A 、B 系统机械能的损失。 利用动量和能量的观点解题的技巧

(1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)。

(2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理。 【变式训练】

4.如图7所示，半径为R 的1/4的光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m 2的小球B 静止在光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m 1的小球A 从D 点以速度2gR 向右运动，重力加速度为g ，试求：

(1)小球A 撞击轻质弹簧的过程中，弹簧最短时B 球的速度是多少； (2)要使小球A 与小球B 能发生二次碰撞，m 1与m 2应满足什么关系。