2 第2节 动量和动量定理

第2节动量和动量定理

学习目标核心素养形成脉络

1.理解动量的概念，知道动量和动量的变化量均为矢量；

会计算一维情况下的动量变化量．

2．理解冲量的概念，知道冲量是矢量．

3．理解动量定理的确切含义及其表达式．

4．会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活中的现象.

一、动量

1．动量

(1)定义：物体的质量和速度的乘积．

(2)定义式：p＝m v．

(3)单位：在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒，符号为kg·m/s.

(4)方向：动量是矢量，其方向与物体的速度方向相同．

2．动量的变化量

(1)定义：物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差(也是矢量)，Δp＝p′－p(矢量式)．

(2)动量始终保持在一条直线上时的运算：选定一个正方向，动量、动量的变化量用带正、负号的数值表示，从而将矢量运算简化为代数运算(此时的正、负号仅表示方向，不表示大小)．

二、动量定理

1．冲量

(1)定义：力与力的作用时间的乘积．

(2)定义式：I＝F(t′－t)．

(3)物理意义：冲量是反映力的作用对时间的积累效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大．

(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为N·s.

(5)矢量性：如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同；如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同．

2．动量定理

(1)内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量．

(2)公式：F(t′－t)＝m v′－m v，或p′－p＝I.

1．判断下列说法是否正确．

(1)物体的速度大小不变，动量一定不变．()

(2)物体动量大小相同，动能一定相同．()

(3)动量相同的物体，运动方向一定相同．()

(4)用力推物体但没推动，则这个力对物体的冲量为零．()

(5)一个物体的动能改变，它的动量一定改变．()

提示：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√

2．某人跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于()

A．人跳在沙坑的动量比跳在水泥地上小

B．人跳在沙坑的动量变化比跳在水泥地上小

C．人跳在沙坑受到的冲量比跳在水泥地上小

D．人跳在沙坑受到的冲力比跳在水泥地上小

提示：选D.人跳远从一定高度落下，落地前的速度一定，则初动量相同；落地后静止，末动量一定，所以人无论落到沙坑里还是落到水泥地上，在下落过程的动量变化量Δp一样，但因落在沙坑里作用的时间长，落在水泥地上作用的时间短，根据动量定理FΔt＝Δp，Δp 一定，Δt长，则F小，故选项D正确．

3．鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破．这是为什么？

提示：碰地或泡沫垫瞬间，鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程中鸡蛋的动量变化相同．根据FΔt＝Δp，第一次与地板作用的时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破．

探究一动量和动量的变化

1．对动量的理解

(1)状态量：通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，动量的大小可用p ＝m v表示．

(2)矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同．

(3)相对性：因物体的速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关．

2．动量的变化量是矢量，其表达式Δp＝p2－p1为矢量式，运算遵循平行四边形定则，当p2、p1在同一条直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算．3．动量与动能的区别与联系

(1)区别：动量是矢量，动能是标量．

(2)联系：动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，大小关系为E k ＝p 22m

或p ＝2mE k . 某物体动量变化量的大小为 5 kg·m/s ，这说明( )

A ．该物体的动量一定在减小

B ．该物体的动量一定在增大

C ．该物体的动量大小也可能不变

D ．该物体的动量大小一定变化

[解析] 某物体动量变化量的大小为5 kg·m/s ，则该物体的动量可能是增大了5 kg·m/s ，也可能减小了5 kg·m/s ，也可能动量由＋2.5 kg·m/s 变化到了－2.5 kg·m/s ，即动量大小不变，C 正确．

[答案] C

质量为1 kg 的篮球竖直向下以6 m/s 的速度落至水平地面，再以4 m/s 的速度反向弹回．取竖直向上为正方向，在篮球与地面接触的时间内，关于篮球动量变化量Δp 和合外力对篮球做的功W ，下列说法正确的是( )

A ．Δp ＝－10 kg·m/s W ＝－10 J

B ．Δp ＝10 kg·m/s W ＝－10 J

C ．Δp ＝－2 kg·m/s W ＝－10 J

D ．Δp ＝－2 kg·m/s W ＝10 J

[解析] 取竖直向上方向为正方向，则小球与地面碰撞过程中动量的变化为

Δp ＝m v 2－(m v 1)＝1×(4＋6) kg·m/s ＝10 kg·m/s

方向竖直向上．

由动能定理得W ＝12m v 22－12

m v 21 代入数据得W ＝－10 J.

[答案] B

探究二 冲量的理解和计算

1．冲量是过程量：冲量描述的是力的作用对时间的积累效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量．

2．冲量是矢量：冲量的方向与力的方向相同，与相应时间内物体动量变化量的方向相同．

如图所示，质量为m 的物体在一个与水平方向成θ角的恒力F 作用下，沿水平面向右匀速运动，则下列关于物体在时间t 内所受力的冲量正确的是( )

A ．拉力F 的冲量大小为Ft cos θ

B ．摩擦力的冲量大小为Ft sin θ

C ．重力的冲量大小为mgt

D ．物体所受支持力的冲量是mgt

[解析] 拉力F 的冲量大小为Ft ，故A 错误；物体做匀速直线运动，可知摩擦力f ＝F cos θ，则摩擦力的冲量大小为ft ＝Ft cos θ，故B 错误；重力的冲量大小为mgt ，故C 正确；支持力的大小为N ＝mg －F sin θ，则支持力的冲量为(mg －F sin θ)t ，故D 错误．

[答案] C

探究三 动量定理的理解及简单应用

1．对动量定理的理解

(1)适用对象：在中学物理中，动量定理的研究对象通常为单个物体．

(2)因果关系：合外力的冲量是原因，物体动量的变化量是结果．

(3)适用范围：动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用于微观物体的高速运动．不论是变力还是恒力，不论几个力作用时间是同时还是不同时，不论物体的运动轨迹是直线还是曲线，动量定理都适用．

2．动量定理的应用

(1)定性分析

由F ＝Δp Δt

可知：物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大，反之力就越小．

由Δp ＝F ·Δt 可知：作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大，反之动量变化量就越小．

(2)定量计算

选定研究对象，明确运动过程→进行受力分析，确定初、末状态→选取正方向，

列动量定理方程求解

随着交通日益拥堵、车辆速度越来越快，事故的发生更为频繁，所以汽车安全性变得尤其重要．安全气囊成了不可或缺的汽车被动安全设备，它的性能也是衡量车辆安全性能的重要指标．发生交通事故时，汽车安全气囊有助于减轻胸、头和面部在碰撞时受伤的严重性．在碰撞过程中，关于安全气囊对驾驶员保护作用的说法正确的是( )

A ．减小了驾驶员的动量变化量

B．减小了驾驶员受到撞击力的冲量

C．减小了驾驶员的动量变化率

D．减小了驾驶员的动量

[解析]在碰撞过程中，人的动量的变化量是一定的，而用安全气囊后增加了作用的时间，根据动量定理Ft＝Δp可知，可以减小驾驶员受到的冲击力，即减小了驾驶员的动量变化率．

[答案] C

如图所示，一个质量为0.5 kg的铁锤，以v＝5 m/s的速度竖直打在木桩的钉子上，经0.1 s后铁锤速度减小到0，g取10 m/s2，在这0.1 s内()

A．钉子对铁锤的作用力的冲量大小为25 kg·m/s

B．钉子对铁锤的平均作用力大小为30 N

C．铁锤对钉子的平均作用力大小为5 N

D．铁锤对钉子的平均作用力大小为25 N

[解析]对铁锤分析可知，其受重力与钉子的作用力．设向下为正方向，则有(mg－F)Δt ＝0－m v＝－2.5 kg·m/s

＝30 N

解得F＝mg＋m v

Δt

钉子对铁锤的作用力的冲量大小为I＝FΔt＝3 N·s，故B正确，A、C、D错误．

[答案] B

1．质量为m的质点以速度v绕半径为R的圆周轨道做匀速圆周运动，在半个周期内动量的改变量大小为()

A．0B．m v

C．2m v D．条件不足，无法确定

解析：选C.质点转动半个周期，正好转动180°，初、末速度方向相反，设末速度方向为正方向，则速度变化量为Δv＝v－(－v)＝2v，则动量的变化量为Δp＝m·Δv＝2m v，A、B、

D错误，C正确．

2．关于动量，下列说法正确的是()

A．做匀速圆周运动的物体，动量不变

B．做匀变速直线运动的物体，它的动量可能不变

C．物体的动能变化，动量也一定变化

D．物体做匀加速直线运动时，动量变化率可能变化

解析：选C.做匀速圆周运动的物体，速度方向时刻改变，故动量时刻改变，故A错误；做匀变速直线运动的物体，由于速度大小时刻改变，故它的动量一定在改变，故B错误；若物体动能变化，则速度大小一定变化，根据p＝m v知，动量一定变化，故C正确；由公

＝F合，由于做匀加速直线运动的物体合力恒定，则动量式F合Δt＝Δp可知，动量变化率Δp

Δt

变化率一定不变，故D错误．

3．下列对几种物理现象的解释正确的是()

A．泥工师傅贴瓷片时为了使瓷片平整用橡皮锤敲打瓷片，而不是用铁锤，是因为橡皮锤轻

B．小朋友用力推门而没推动，但推力的冲量并不为零

C．动量相同的两个物体受到相同的阻力的作用时，速度小的物体先停下来

D．竖直向上抛出的物体上升到一定高度后又落回抛出点，不计空气阻力，则此过程中重力的冲量为零

解析：选B.由于橡皮锤有弹性，作用时间长，根据动量定理Ft＝Δp知，用橡皮锤敲打时产生的力小，瓷片不易碎，故A错误；用力推门但没有推动，是因为推力小于最大静摩擦力，推力的冲量I＝Ft不为零，故B正确；动量相同的两个物体受到相同的阻力的作用，根据动量定理Ft＝Δp知，两个物体将同时停下来，故C错误；竖直向上抛出的物体上升到一定高度后又落回抛出点，不计空气阻力，此过程中重力的冲量I＝mgt，不为零，故D错误．

4．在行车过程中，遇到紧急刹车，乘客可能受到伤害，为此人们设计了如图所示的安全带以尽可能地减轻猛烈碰撞．假定乘客质量为70 kg，汽车车速为100 km/h，从踩下刹车到车完全停止需要的时间为5 s，安全带对乘客的作用力大小最接近()

A．200 N B．300 N

C．400 N D．500 N

解析：选C.对人的减速过程，设初速度方向为正，根据动量定理有Ft＝m v2－m v1，可得F≈－389 N，负号表示方向与初速度方向相反，作用力的大小最接近400 N，C正确．

[基础巩固]

1．下列说法正确的是()

A．动能不变，物体的动量一定不变

B．动量为零时，物体一定处于平衡状态

C．物体受到恒力的冲量也可能做曲线运动

D．物体所受合外力大小不变时，其动量大小一定要发生改变

解析：选C.动能不变说明速度的大小不变，但是速度的方向可以变化，故动量可以改变，A错误；动量为零时，物体的速度为零，但是物体可以有加速度，不一定处于平衡状态，如物体在竖直上抛的最高点时，B错误；物体受到恒力时，可以做曲线运动，如平抛运动，故受恒力的冲量时物体可以做曲线运动，C正确；物体所受合外力大小不变时，合外力一定有冲量，由动量定理可知动量一定改变，但动量大小不一定变化，如匀速圆周运动，D错误．2．以下说法正确的是()

A．合外力对物体做功为0，则该物体动量一定不变

B．合外力对物体冲量为0，则该物体动能一定不变

C．做变速运动的物体，动能一定变化

D．做变速运动的物体，动量可能不变

解析：选B.合外力对物体做功为0，物体动能不变，速度方向可能改变，它的动量可能要改变，故A错误；由动量定理可知，合外力对物体冲量为0，则物体的动量不变，即物体的速度不变，所以物体的动能一定不变，故B正确；做变速运动的物体，动能不一定变化，

如匀速圆周运动的速度大小不变，动能不变，故C 错误；做变速运动的物体，速度一定变化，则物体的动量一定变化，故D 错误．

3．某物体由静止开始做匀加速直线运动，经过时间t 1后，在阻力作用下做匀减速直线运动，又经时间t 2速度减小为0，若物体一直在同样的水平面上运动，则加速阶段的牵引力与阻力大小之比为( )

A ．t 2∶t 1

B ．(t 1＋t 2)∶t 1

C ．(t 1＋t 2)∶t 2

D ．t 2∶(t 1＋t 2)

解析：选B.设牵引力为F ，阻力为F f ，整个运动过程对物体由动量定理得(F －F f )t 1－F f t 2

＝0，解得F F f ＝t 1＋t 2t 1

，B 正确． 4．(多选)质量为m 的小球在竖直光滑圆形内轨道中做圆周运动，周期为T ，则以下说法正确的是( )

A ．每运转一周，小球所受重力的冲量的大小为0

B ．每运转一周，小球所受重力的冲量的大小为mgT

C ．每运转一周，小球所受合力的冲量的大小为0

D ．每运转半周，小球所受重力的冲量的大小一定为mgT 2

解析：选BC.由冲量的定义式可知I G ＝mgt ，故小球每运转一周，其所受重力的冲量大

小为mgT ，A 错误，B 正确；由于运转半周的时间不一定是T 2

，故D 错误；由动量定理得，每运转一周，小球所受合力的冲量大小等于动量的增量的大小，等于0，故C 正确．

5．(多选)关于冲量和功，下列说法正确的是( )

A ．在某一过程中，作用于物体的合力的冲量为零，则合力的功也一定为零

B ．在某一过程中，作用于物体的合力的功为零，则合力的冲量也一定为零

C ．合力的冲量不为零时，合力的功也一定不为零

D ．合力的功不为零时，合力的冲量也一定不为零

解析：选AD.在某一过程中，作用于物体的合力的冲量为零，则物体的动量不变，速度不变，动能不变，则合力的功也一定为零，A 正确；在某一过程中，作用于物体的合力的功为零，只能说明物体动能不变，速度大小不变，速度方向可能变化，则物体的动量变化，合力冲量不一定为零，B 错误；合力的冲量不为零时，物体的速度大小可能不变，动能不变，则合力的功也可能为零，C 错误；合力的功不为零时，物体的动能一定变化，动量一定变化，

合力的冲量也一定不为零，D 正确．

6．将一物体以某一初速度沿竖直方向向上抛出．p 表示物体的动量，Δp Δt

表示物体的动量变化率，取竖直向下为正方向，忽略空气阻力．则下图中正确的是( )

解析：选C.取竖直向下为正方向，动量p ＝m v ＝m (－v 0＋gt )＝－m v 0＋mgt ，m v 0、mg 是定值，故动量和时间的关系图应为截距为负、斜率为正的直线，故A 、B 错误；动量的变化量Δp ＝mg Δt ，解得Δp Δt ＝mg ，mg 是定值，故Δp Δt

的值随时间的变化始终保持恒定，为mg ，故C 正确，D 错误．

7．2020年新型冠状病毒主要传播方式为飞沫传播，打喷嚏可以将飞沫喷到10 m 之外．研究得出打喷嚏时气流喷出的速度可达40 m/s ，假设打一次喷嚏大约喷出5×10－5m 3的空气，用时约0.02 s ．已知空气的密度为1.3 kg/m 3，估算打一次喷嚏人受到的平均反冲力为( )

A ．0.13 N

B ．0.68 N

C ．2.6 N

D ．13 N

解析：选A.打一次喷嚏喷出的空气质量为

m ＝ρV ＝1.3×5×10－5 kg ＝6.5×10－5 kg

设打一次喷嚏喷出的空气受到的作用力为F ，根据动量定理得F Δt ＝m v

解得F ＝m v Δt ＝6.5×10－5×400.02N ＝0.13 N 根据牛顿第三定律可得人受到的平均反冲力为

F ′＝F ＝0.13 N

故A 正确，B 、C 、D 错误．

8．一颗质量为m ＝0.1 kg 的小钢球从离地面高为h 1＝0.8 m 处从静止开始下落，与地面作用t ＝0.1 s 后反弹上升到离地面最高为h 2＝0.2 m ．规定竖直向下为正方向，钢球对地面

作用过程中受到地面的平均作用力为F，钢球的动量变化为Δp，忽略空气阻力，g取10 m/s2，下列正确的是()

A．F＝7 N，Δp＝0.4 kg·m/s

B．F＝－7 N，Δp＝－0.6 kg·m/s

C．F＝－6 N，Δp＝0.4 kg·m/s

D．F＝6 N，Δp＝－0.6 kg·m/s

解析：选B.小钢球下落到地面的速度v21＝2gh1

解得v1＝4 m/s

反弹离开地面的速度v22＝2gh2

解得v2＝2 m/s

钢球的动量变化为

Δp＝m v2－m v1＝0.1×(－2)kg·m/s－0.1×4 kg·m/s＝－0.6 kg·m/s

根据动量定理F′t＋mgt＝Δp

解得F′＝－7 N

钢球对地面作用过程中受到地面的平均作用力F为－7 N，故B正确．

[能力提升]

9．(多选)一质量为4 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动．F随时间t变化的图线如图所示，则()

A．t＝1 s时物块的速率为4 m/s

B．t＝2 s时物块的动量大小为2 kg·m/s

C．t＝3 s时物块的动量大小为3 kg·m/s

D．t＝4 s时物块的速度为零

解析：选BD.前2 s内，根据牛顿第二定律a＝F

m

＝－0.25 m/s2，则t＝1 s的速度为v1＝at2＝－0.25 m/s，A错误；t＝2 s时，速度为v2＝－0.5 m/s，则动量为p2＝m v2＝－2 kg·m/s，B正确；2～4 s，力开始反向，物体减速，根据牛顿第二定律，a＝0.25 m/s2，所以t＝3 s时的速度为v3＝v2－at＝－0.25 m/s，动量为p3＝m v3＝－1 kg·m/s，4 s时速度为v4＝0，C错

误，D 正确．

10．一位质量为m 的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt 时间，身体伸直并刚好离开地面时速度为v .已知重力加速度为g ，则在此过程中，地面对运动员的平均作用力大小为( )

A ．0

B.m v Δt

C.m v Δt ＋mg

D.m v Δt

－mg 解析：选C.选竖直向上为正方向，人的速度原来为零，起跳后变化为v ，则由动量定理可得I －mg Δt ＝m Δv ＝m v

故地面对人的冲量为I ＝m v ＋mg Δt

则地面对人的平均作用力F ＝m v Δt

＋mg 故C 正确，A 、B 、D 错误．

11．人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，经常出现手机砸伤眼睛的情况．若手机质量为120 g ，从离人眼约20 cm 的高度无初速掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间约为0.2 s ，重力加速度g 取10 m/s 2.下列分析正确的是( )

A ．手机与眼睛作用过程中手机动量变化约为0.48 kg·m/s

B ．手机对眼睛的冲量大小约为0.48 N·s

C ．手机对眼睛的冲量方向竖直向上

D ．手机对眼睛的作用力大小约为0.24 N

解析：选B.根据自由落体运动公式v ＝2gh ＝2×10×0.2 m/s ＝2 m/s ，选取向上为正方向，手机与眼睛作用后手机的速度变成0，所以手机与眼睛作用过程中动量变化为Δp ＝0－(－m v )＝0.12×2 kg·m/s ＝0.24 kg·m/s ，故A 错误；手机与眼睛接触的过程中受到重力与眼睛的作用力，选取向上为正方向，则I y －mgt ＝Δp ，代入数据可得I y ＝0.48 N·s ；手机对眼睛的作用力与眼睛对手机的作用力大小相等，方向相反，作用的时间相等，所以手机对眼睛的冲量大小约为0.48 N·s ，方向竖直向下，故B 正确，C 错误；由冲量的定义：I y ＝Ft ，代

入数据可得：F ＝I y t ＝0.480.2

N ＝2.4 N ，故D 错误． 12．一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车车身因相互挤压，皆缩短了0.5 m ，据测算两车相撞前速度均约为30 m/s.

(1)假设两车相撞时人与车一起做匀减速运动，试求车祸中车内质量约60 kg 的人受到的平均冲力．

(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1 s ，则这时人体受到的平均冲力为多大？

解析：(1)两车相撞时认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0.5 m ，设运动的时间为t ，则

由x ＝v 02t 得，t ＝2x v 0＝130

s ， 根据动量定理Ft ＝Δp ＝m v 0

解得F ＝m v 0t ＝60×301

30

N ＝5.4×104 N. (2)若人系有安全带，则

F ′＝m v 0t ′＝60×301

N ＝1.8×103 N. 答案：(1)5.4×104 N (2)1.8×103 N

13．在水平力F ＝30 N 的作用下，质量m ＝5 kg 的物体由静止开始沿水平面运动．已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，若F 作用6 s 后撤去，撤去F 后物体向前运动多长时间才能停止？(g 取10 m/s 2)

解析：方法一：用动量定理求解，分段处理．选物体作为研究对象，对于撤去F 前物体做匀加速直线运动的过程，受力情况如图甲所示，始态速度为0，终态速度为v .取水平力F 的方向为正方向，根据动量定理有

(F －μmg )t 1＝m v －0

对于撤去F 后物体做匀减速直线运动的过程，受力情况如图乙所示，始态速度为v ，终态速度为0.根据动量定理有－μmgt 2＝0－m v

以上两式联立解得

t 2＝F －μmg μmg t 1＝30－0.2×5×100.2×5×10

×6 s ＝12 s.

方法二：用动量定理求解，研究全过程．选物体作为研究对象，研究整个运动过程，这个过程的始、终状态的物体速度都等于0.

取水平力F 的方向为正方向，根据动量定理得 (F －μmg )t 1＋(－μmg )t 2＝0

解得t 2＝F －μmg μmg t 1＝30－0.2×5×100.2×5×10

×6 s ＝12 s. 答案：12 s