动量定理和动量守恒(教师)

动量定理动量守恒定律

【知识梳理】

一、动量、动量定理

1．动量

（1）定义：运动物体的质量与速度的乘积。

（2）表达式：。

（3）矢量性：动量是矢量，方向与速度方向相同。运算遵守平行四边形定则。

（4）动量的变化量：是矢量，方向与一致。

特别提醒：

①物体动量的变化是个矢量，其方向与物体速度的变化量的方向相同。在合外力为恒力的情况下，物体动量变化的方向也是物体加速度的方向，也即物体所受合外力的方向，这一点，在动量定理中可以看得很清楚。

②有关物体动量变化的运算，一定要按照矢量运算的法则（平行四边形定则）进行。如果物体的初、末动量都在同一条直线上，常常选取一个正方向，使物体的初、末动量都带有表示自己方向的正负号，这样，就可以把复杂的矢量运算化为简单的代数运算了。

（5）动量与动能的关系：。

2．冲量

（1）定义：力与力的作用时间的乘积。

（2）表达式：。

（3）冲量是矢量：它由力的方向决定。

▲疑难导析

1．动量、动能、动量变化量的比较

动量动能动量的变化量定义物体的质量和速度的乘积物体由于运动而具有的能量物体末动量与初动量的矢量差

定义式

矢标性矢量标量矢量

特点状态量状态量过程量

关联方程

特别提醒：

（1）当物体的速度大小不变，方向变化时，动量一定改变，动能却不变，如：匀速圆周运动。（2）在谈

及动量时，必须明确是物体在哪个时刻或哪个状态所具有的动量。（3）物体动量的变化率等于它所受的力，这是牛顿第二定律的另一种表达形式。

2．对动量、冲量概念进一步的理解

（1）动量是状态量，对应于物体运动的某个状态；冲量是过程量，是力对时间的累积效应。它们都是矢量，必须大小、方向都相同，才能说两物体的动量、冲量相同。

（2）冲量的方向由力的方向决定，在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就是力的方向。若力的方向变化，冲量的方向与动量变化方向相同。如：匀速圆周运动中，质量为m的物体，线速度大小为v，运动半个周期向心力的冲量方向如何？

（3）仅适用于恒力的冲量计算，计算中I的大小与物体运动状态无关，力与时间要一一对应，变力的冲量应用动量定理计算。

【例1】一个质量为1 kg的物体，放在水平桌面上，受到一个大小为10 N，与水平方

向成角的斜向下的推力作用，如图所示。g取10，则在5s内推力冲量大小为

_______，支持力的冲量大小为_______。

解析：推力F和桌面对物体的支持力皆为恒力，且＝16 N，

则推力的冲量，支持力的冲量

二、动量定理

1．动量定理

（1）内容：物体所受的合外力的冲量等于它的动量的变化量。

（2）表达式：或

（3）根据，得，即。这是牛顿第二定律的另一种表达形式：作

用力F等于物体动量的变化率。

特别提醒：都是矢量运算，所以用动量定理解题时，应首先确定研究对象，根据各已知量的方向确定它们的正负，再代入运算。

2．应用动量定理解题的步骤

（1）选取研究对象；

（2）确定所研究的物理过程及其始、末状态；

（3）分析研究对象所研究的物理过程中的受力情况；

（4）规定正方向，根据动量定理列式；

（5）解方程，统一单位，求解结果。

▲疑难导析

1．对动量定理的几点说明

（1）动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统。对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力。系统内力的作用不改变整个系统的总动量。

（2）用牛顿第二定律和运动学公式能求解恒力作用下的匀变速直线运动的间题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力。对于变力，动量定理中的F应当理解为变力在作用时间内的平均值。

（3）用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定哪个量变化搞清楚。

2．动量定理的应用技巧

（1）应用求变力的冲量。如果物体受到变力作用，则不直接用求变力的冲量，这时可以求出该力作用下的物体动量的变化，等效代换变力的冲量I。

（2）应用求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化。曲线运动中物体速度方向时刻在改变，

求动量变化需要应用矢量运算方法，比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。

【例2】物体A和B用轻绳相连接，挂在轻弹簧下静止不动，如图（a）所示，A的质量

为m，B的质量为M。当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大

小为v．这时，物体B的下落速度大小为u，如图（b）所示。在这段时间里，弹簧的弹

力对物体A的冲量为（）

A． B． C． D．

答案：D

解析：由题意可知，虽然整个过程所用的时间可以直接求出，但弹簧的弹力是一变力，要求它的冲量只能用动量定理来计算。以物体A为研究对象，取竖直向上为正方向，

根据动量定理有：①在t时间内，物体B做自由落体运动，则：②

由①②两式可得弹力的冲量所以正确的选项为D。

【典型例题透析】

题型一——动量、动量变化量的计算

关于动量变化量的计算：

（1）动量的变化量，式中p为初始时刻的动量，为末时刻的动量。由于动量是矢量，动量的变化量也是矢量，动量的运算应遵循平行四边形定则。

（2）如果初动量p、末动量在同一直线上，动量的运算可以简化为代数运算。即规定

一个正方向。p和中凡是方向和正方向一致的取正值，相反的取负值，由求

得。

（3）如果初末动量p和不在同一直线上，可根据三角形定则作图求得。即若垂直可根据

求得。

【例3】将质量为0. 10kg的小球从离地面20 m高处竖直向上抛出，抛出时的初速度为15 m/s，g取10，求当小球落地时：

（1）小球的动量；

（2）小球从抛出至落地过程中动量的增量；

（3）若其初速度方向改为水平，求小球落地时的动量及动量变化量。

思路点拨：计算动量、动量变化量时应首先判断初、末速度的方向。对于动量，由定义式，可直接计算；对于动量变化，此式是矢量式，计算时应遵循平行四边形定则。

解析：（1）由可得小球落地时的速度大小m/s。取向下为正，则小球落

地时的动量，方向向下。

（2）小球从抛出至落地动量的增量

，方向向下。

（3）小球落地时竖直分速度为，则由得：

落地时的速度为：

则小球落地时动量为，方向与水平方向夹角向下

抛出后，小球在水平方向上动量变化在竖直方向动量变化

所以，方向竖直向下。

总结升华：由于动量是矢量，动量的变化量也是矢量，动量的运算应遵循平行四边形定则。题型一——对动量定理的理解及计算

（1）动量定理是矢量方程：合外力的冲量与物体的动量变化不仅大小相等，而且方向相同。应用动量定理解题时，要特别注意各矢量的方向，先规定正方向，再把矢量运算化为代数运算。

（2）对系统运用动量定理列式求解尽管系统内各物体的运动情况不同，但各物体所受的

冲量之和仍等于各物体总动量的变化量。应用这个处理方法能使一些繁杂物理题的运算更

为简便。

【例4】滑块A和B用轻细线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使

A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动。如图，已知滑块A、B与水平面间的滑动摩擦因数均为，在力F 作用t秒后，A、B间连线突然断开，此后力F仍作用于B。试求：滑块A刚好停住时，滑块B的速度多大

（滑块A、B的质量分别为）

思路点拨：细绳断开前后，若取A、B作为一个系统，取全过程来研究，系统受的合外力不变，即

，可用动量定理对系统来研究较为简便。

解析：取滑块A、B为研究对象，研究A、B整体作加速运动的过程。

根据动量定理，有

由此可知A、B在线断开时的共同速度为

研究滑块A在线断开后做匀减速运动的过程，根据动量定理，有

将上式，代入此式可得滑块A做匀减速运动的时间为

研究滑块A、B整体，研究从力F作用开始至A停止的全过程。

此过程中系统受合外力始终不变，根据动量定理，有

将代入此式可求得B滑块的速度为。

总结升华：动量定理的研究对象一般为单一的物体，但也可以是一个物体系，且动量定理可以在某一分过程中使用，也可以对全过程使用。

二、动量守恒定律

1．动量守恒定律

相互作用的一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

（1）表达式：

①，表示作用前后系统的总动量相等。

② (或)，表示相互作用物体系总动量增量为零。

③，表示两物体动量的增量大小相等方向相反。

特别提醒：正确区分内力和外力

外力指系统外物体对系统内物体的作用力；内力指研究系统内物体间的相互作用力。

（2）动量守恒是对某一系统而言的

划分系统的方法一旦改变，动量可能不再守恒。因此，在应用动量守恒定律时，一定要弄清研究对象，把过程始末的动量表达式写准确。在某些问题中，适当选取系统使问题大大简化。

2．动量守恒定律的条件

（1）系统不受外力或系统所受的合外力为零。

（2）系统所受的合外力不为零，但比系统内力小得多。如爆炸过程中的重力比相互作用力小很多，可忽略重力，认为爆炸过程符合动量守恒定律。

（3）系统所受的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统总动量的分量保持不变。3．动量守恒定律解题的基本思路

（1）确定研究对象并进行受力分析，过程分析；

（2）确定系统动量在研究过程中是否守恒；

（3）明确过程的初、末状态的系统动量的量值；

（4）选择正方向，根据动量守恒定律建立方程。

4．动量守恒定律的适用范围

动量守恒定律是从实验中总结出来的，并且它是人们在自然界中寻找“守恒”的产物。动量守恒定律也可以利用牛顿定律和运动学公式推导出来，但它的适用范围却比牛顿定律广得多。牛顿定律的适用范围是：低速、宏观，动量守恒定律却不受此种限制。动量守恒定律是自然界中最重要、最普遍的规律之一。

▲疑难导析

1．应用动量守恒定律列方程时应注意以下四点

（1）矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负。若方向未知，可设正方向列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向。

（2）瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定。列方向

时，等号左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等号右侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和。不同时刻的动量不能相加。

（3）相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度。一般以地面为参考系。

（4）普适性：它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，对微观粒子组成的系统也适用。

2．多个物体组成的系统动量守恒

系统的动量守恒不是系统内所有物体的动量不变，而是系统内每个物体动量的矢量和不变，而且每个物体的动量都是相对同一参照系的。因此，根据题目的要求，要善于应用整体动量守恒，巧妙选取研究系统，合理选取相互作用过程来研究，问题就会迎刃而解。

3．当动量不守恒时，可利用某一方向守恒求解

如果相互作用的物体所受外力之和不为零，外力也不远小于内力，系统总动量就不守恒，也不能近似认为守恒，但是，只要在某一方向上合外力的分量为零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒。

4．动量守恒定律应用中的临界问题

在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题。这类临界问题的求解关键是充分利用反证法、极限法分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程，运用动量守恒定律进行解答。

【例5】如图所示，带四分之一圆弧轨道的长木板A静止于光滑的水平面上，其曲面部分MN是光滑的，水平部分NP是粗糙的，现有一小滑块B自M点由静止下滑，设NP足够长，则下

列叙述正确的是（）

A．A、B最终以同一速度(不为零)运动

B．A、B最终速度都为零

C．A先做加速运动，再做减速运动，最后静止

D．A先做加速运动，后做匀速运动

答案：BC

解析：由于木板与滑块组成的系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒，初动量为零，故末动量也为零，即最终木板与滑块将静止，故A错B对；物块在光滑圆弧上下滑时，木板A受压力在水平方向有分力，故此时A向左加速，当滑块B到NP上时，A受向右摩擦力又减速最终静止。

三、碰撞、爆炸和反冲

1、碰撞与爆炸

（1）碰撞与爆炸具有一个共同特点：即相互作用的力为变力，作用的时间极短，作用力很大，且远远大于系统受的外力，故均可用动量守恒定律来处理。

（2）爆炸过程中，因有其他形式的能转化为动能，所以系统的动能会增加。

（3）由于碰撞(或爆炸)的作用时间极短，因此作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，即认为碰撞(或爆炸)后还是从碰撞(或爆炸)前瞬间的位置以新的动量开始运动。

（4）碰撞的种类及特点

分类标准种类特点

能量是否守恒弹性碰撞动量守恒，机械能守恒

非完全弹性碰撞动量守恒，机械能有损失

完全非弹性碰撞动量守恒，机械能损失最大

碰撞前后动量是否共线对心碰撞（正碰）碰撞前后速度共线非对心碰撞（斜碰）碰撞前后速度不共线

2、反冲运动

（1）反冲运动是相互作用的物体之间的作用力与反作用力产生的效果。如射击时枪身的后坐，发射炮弹时，炮身的后退，火箭因喷气而发射，水轮机因水的冲刷而转动等都是典型的反冲运动。

（2）反冲运动的过程中，如果没有外力作用或外力的作用远小于物体间的相互作用力，可利用动量守恒定律来处理。

（3）研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律，求反冲速度的关键是确定相互作用的对象和各物体对地的运动状态。

（4）反冲运动中距离、移动问题的分析

一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟随运动，若现象中满

足动量守恒或某个方向上满足动量守恒，则有，有。物体在这一方向上有速度，

经过时间的累积，物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样满足

，则它们之间的相对距离

。

（5）火箭的反冲问题

火箭内部装有燃料和氧化剂，它们经过输送系统进入燃烧室，燃烧生成炽热气体向后喷射，获得向后的动量，按动量守恒定律，火箭必获得向前的动量。燃料不断燃烧，连续地向后喷出气体，火箭不断地受到向前的推力作用，从而获得很大速度。火箭飞行所能达到的最大速度，也就是燃料燃尽时获得的速度。最大速度主要取决于两个条件：一是喷气速度；二是火箭开始飞行时的质量与燃料燃尽时的质量比。喷气速度越大，质量比越大，最终速度越大。 ▲疑难导析

1、弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非弹性碰撞的对比

种类 弹性碰撞 完全非弹性碰撞 非弹性碰撞

产生条件 碰撞后不保留形变 碰撞后形变完全保留

碰撞后保留部分形变

过程特点

系统动量守恒，机械能守恒

系统动量守恒，机械能不守恒

数学表达式

末速度计算式

当

时

解方程求出 特别提醒：弹性碰撞的规律

两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒。 以质量为速度为

的小球与质量为

的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有

解得 结论：

（1）当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度。

（2）当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动。

（3）当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来。 2、散射

在粒子物理和核物理中，常常使一束粒子射入物体，粒子与物体中的微粒碰撞。研究碰撞后粒子的运动方向，可以得到与物质微观结构有关的很多信息。与宏观物体碰撞不同的是，微观粒子相互接近时并不发生直接接触，因此微观粒子的碰撞又叫做散射。由于粒子与物质微粒发生对心碰撞的概率很小，所以多数粒子在碰撞后飞向四面八方。如图所示。 3、解析碰撞问题的三个依据

（1）动量守恒，即

（2）动能不增加，即或

（3）速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即，否则无法实现碰撞．碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在

后的物体的速度，即，否则碰撞没有结束．如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零．

4、平均动量守恒

若系统在全过程中的动量守恒(包括单方向动量守恒)，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒，如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由动量守恒定律，

。得推论：。使用时应明确必须是相对同一参照物位移的大小。常见的“人船模型”符合此特点。

【例6】如图所示，一颗质量为m、速度为的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续

上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T。那么当子弹射穿木块后，木

块上升的最大高度是_________。

解析：当子弹射穿木块的过程中，系统受到重力的作用，

但由于时间太短，内力远大于外力，因此作用过程中，仍可以认为动量守恒。

子弹射穿木块后速度；根据动量守恒有；解得

根据可得。

【典型例题透析】

题型一——碰撞问题的处理

在处理碰撞问题时，通常要抓住3项基本原则，即

（1）碰撞过程中动量守恒原则。

（2）碰撞后系统总动能不增加原则。

（3）碰撞前后状态的合理性原则：碰撞过程的发生必须符合客观实际，如甲追上乙物并发生碰撞，碰前甲的速度必须大于乙的速度，碰后甲的速度必须小于等于乙物的速度，或甲反向运动。

【例7】如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。

两球质量关系为，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为

6，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 ，则

A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5

B．左方是A球．碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10

C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5

D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10

思路点拨：根据碰撞的三项基本原则（即碰撞过程中动量守恒原则、碰撞后系统总动能不增加原则和碰撞前后状态的合理性原则）分析求解。

解析：由两球的动量都是6，知运动方向都向右，且能够相碰，说明左方是质量小速度大的小球，故左方是A球，碰后A球的动量减少了4，即A球的动量为2，由动

量守恒定律得B球的动量为10，故可得其速度比为2:5，故选项A是正确的。

答案：A

总结升华：本题主要考查了学生的分析能力和判断能力。解决此问题的关键在于首先

根据动量的大小，判断出速度谁大谁小，然后利用动量守恒定律，解决问题即可。

题型二——平均动量守恒

注意公式的成立条件：系统由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动。

使用时应明确必须是相对同一参照物位移的大小。

【例8】如图所示，长为L，质量为M的小船停泊在静水中，一个质量为m的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少?

解析：选人和船为一系统，由于系统在水平方向不受外力作用，所以系统在水平方向上动量守恒，设某一

时刻人对地速度大小为，船对地面速度大小为，选人的运动方向为正方向，由动量守恒定律，得

在人与船相互作用过程中，任何时刻上式始终成立。船的运动受人运动的制约，人动船动，人停船停。

设人从船头到船尾的过程中，人对地位移的大小为，船对地位移大小为，

由于上式在整个过程中都成立，所以

又从图中可知所以可解得。

题型三——多个物体组成的系统动量守恒

求解这类问题时应注意：

（1）正确分析作用过程中各物体状态的变化情况，建立运动模型；

（2）分清作用过程中的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量；

（3）合理选取研究对象，即要符合动量守恒的条件，又要方便解题。

动量守恒定律是关系质点组（系统）的运动规律，在运用动量守恒定律时主要注重初、末状态的动量是否守恒，而不太注重中间状态的具体细节，因此解题非常便利，凡是碰到质点组的问题，可首先考虑是否满足动量守恒的条件。

【例9】如图所示，两只小船平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每一只船上各投质量m=50kg 的麻袋到对面另一只船上去，结果载重较小的一只船停下来，另一只船则以v=8.5m/s的速度向原方向航

行，设两只船及船上的载重分别为=500㎏和=1000kg，问在交换麻袋前两只船的速率各为多少?

思路点拨：两船在相互丢给对方麻袋的过程中，同时存在着相互作用，即载重为的船投过来的麻袋和

载重为的船的相互作用，载重为的船投过来麻袋和载重为的船的相互作用。因此，应该分别选择这两个相互作用的系统为研究对象，由于水的阻力不计，这两个系统的动量守恒。另外，两只船和两只麻袋这4个物体在相互作用过程中，总动量也守恒。

解析：设小船和在交换麻袋前的速率分别为和，方向为正方向。选取和从投过的麻

袋为系统，根据动量守恒定律，有①

选取和从投过的麻袋为系统，根据动量守恒定律，有②

联立式①②，解得=1 m/s，=9 m/s。总结升华：正确应用动量守恒定律的一个重要环节是准确地选取系统，必须根据相互作用物体的受力情况及运动特征确定系统，在同一物理问题中，针对不同的运动阶段，有时还需交换系统，在系统确定后，写动量守恒式时，还应特别注意总动量与系统的对应性。

题型四——动量守恒定律应用中的临界问题

这类临界问题的求解关键是分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程，运用动量守恒定律进行解答。

【例10】两磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动。已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg，乙车和磁铁的总质量为1.0kg。两磁铁的N极相对，推动一下，使两车相向运动。某时刻甲的速率为2m/s，乙的速率为3m/s，方向与甲相反。两车运动过程中始终未相碰。求：

（1）两车最近时，乙的速度为多大？

（2）甲车开始反向运动时，乙的速度为多大？

思路点拨：应用动量守恒定律解决临界问题时，明确临界条件是解题的前提：两车相距最近的含义是两车的速度相同，甲车开始反向时的速度为零。在此基础上规定正方向，再利用动量守恒定律列式求解。

解析：（1）两车相距最近时，两车的速度相同，设该速度为，取乙车的速度方向为正方向。由动量守恒定律得

所以两车最近时，乙车的速度为

（2）甲车开始反向时，其速度为0，设此时乙车的速度为

，由动量守恒定律得

－

得 总结升华：处理动量守恒定律中的临界问题：

（1）寻找临界状态：题设情景中看是否有相互作用的两物体相距最近，避免相碰和物体开始反向运动等临界状态。

（2）挖掘临界条件：在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等。

正确把握以上两点是求解这类问题的关键。

【真题演练】

1、小球A 和B 的质量分别为m A 和 m B 且m A ＞＞m B 在某高度处将A 和B 先后从静止释放。小球A 与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放出距离为H 的地方恰好与正在下落的小球B 发生正幢，设所有碰撞都是弹性的，碰撞事件极短。求小球A 、B 碰撞后B 上升的最大高度。

答案：2

3A B A B m m H m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭

解析：小球A 与地面的碰撞是弹性的，而且AB 都是从同一高度释放的，所以AB 碰撞前的速度大小相等于设为0v ，根据机械能守恒有201

2

A A m gH m v =

化简得02v gH = ①

设A 、B 碰撞后的速度分别为A v 和B v ，以竖直向上为速度的正方向，根据A 、B 组成的系统动量守恒和动能守恒得00A B A A B B m v m v m v m v -=- ②

2222001111

2222

A B A A B B m v m v m v m v +=+ ③ 联立②③化简得2

3A B B A B m m v H m m ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭

④

设小球B 能够上升的最大高度为h ，由运动学公式得

2

2B v h g = ⑤ 联立①④⑤化简得H m m m m h B

A B A 2

)3(

+-= ⑥ 2、如图所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，右方有一竖直的墙.重物质量为木板质量的2倍，重物与木板间的动摩擦因数为μ.使木板与重物以共同的速度0v 向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短.求木板

从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间.设木板足够长，重物始终在木板上.重力加速度为g.

解析：木板第一次与墙碰撞后，向左匀减速直线运动，直到静止，再反向向右匀加速直线运动直到与重物有共同速度，再往后是匀速直线运动，直到第二次撞墙。木板第一次与墙碰撞后，重物与木板相互作用直到有共同速度，动量守恒，有：v m m mv mv )2(200+=-，解得：3

v v =

木板在第一个过程中，用动量定理，有：102)(mgt v m mv μ=--

用动能定理，有：

mgs mv mv 22

1212

02μ-=- 木板在第二个过程中，匀速直线运动，有：2vt s =

木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间t=t 1+t 2=

g v μ320+g v μ320=g

v μ340

。 3、如图所示，小球A 系在细线的一端，线的另一端固定在O 点，O 点到水平面

的距离为h 。物块B 质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O 点的正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为

16

h

。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g ，求物块在水平面上滑行的时间t 。

解析：设小球的质量为m ，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为1v ，取小球运动到最低点重力势能为零，根据机械能守恒定律，有211

2

mgh mv =

①

得：12v gh =设碰撞后小球反弹的速度大小为1'v ，同理有：211'162h mg mv = 得：1'8

gh v = 设碰撞后物块的速度大小为2v ，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有112'5mv mv mv =-+

得28

gh v =

④

物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小5F mg μ=

⑤ 设物块在水平面上滑行的时间为t ，根据动量定理，有205Ft mv -=-

⑥

得 24gh

t g

μ=

⑦

4、如图所示，一个木箱原来静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个小木块。木箱和小木块都具有一定的质量。现使木箱获得一个向右的初速度

0v ，则 。

（填选项前的字母） A ．小木块和木箱最终都将静止

B ．小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动

C ．小木块在木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动

D ．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动

解析：系统不受外力，系统动量守恒，最终两个物体以相同的速度一起向右运动，B 正确。 5、如图所示，滑块A 、C 质量均为m ，滑块B 质量为

3

2

m 。开始时A 、B 分别以12v v 、的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动，现将C 无初速地放在A 上，并

与A 粘合不再分开，此时A 与B 相距较近，B 与挡板相距足够远。若B 与挡板碰撞将以原速率反弹，A 与B 碰撞将粘合在一起。为使B 能与挡板碰撞两次，12v v 、应满足什么关系？

解析：将C 无初速地放在A 上后，112'mv mv =，1

1'2

v v =

， A 与B 碰撞后粘合在一起，使B 能与挡板碰撞两次，1232'()2mv mv +-

＞0得： 1v ＞232

v