第9次课-平面图形及其位置关系

平面图形及其位置关系

一、知识点：

一、线段、射线、直线

1、线段、射线、直线的定义

（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。

（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。

2、线段、射线、直线的表示方法

（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。

3、直线公理：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。

4、线段的比较

（1）叠合比较法；（2）度量比较法。

5、线段公理：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的

中点。若C是线段AB 的中点，则：AC=BC= 1

2

AB 或AB=2AC=2BC

二、角

1、角的概念：

（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。

（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。

2、角的表示方法：角用“∠”符号表示

（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间）

（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。

（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。

（4）直接用一个大写英文字母来表示。

3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。

4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、〃表示，角的单位是 60 进制与时间单位° ′ 〃是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60〃。

5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小

（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。

（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。

（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。

6、画两个角的和，以及画两个角的差

（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。

（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。

7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。若 BD 是

∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD= 1

2

∠ABC; ∠ABC=∠ABD=2∠CBD

三、平行线和垂线

1、平行线的定义：

（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。

（2）平行线用“‖”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。

2、平行的公理及推论：

（1）平行公理：若经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）平行公理的推论：两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也相互平行。（平行于同一直线的两直线平行）

3、画已知直线的平行线的方法用直尺和三角板画平行线。

4、垂直的概念：

（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

（2）两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。

（3）两条直线垂直用“⊥”来表示，如直线 AB 与直线 CD 垂直，记作：AB⊥BC

5、垂线段的概念：

（1）过一点 A 做直线 a 的垂线，垂足为 B，则线段 AB 叫直线 a 的垂线段。

（2）直线外一点 A 到直线 a 的垂线段长度叫点 A 到直线 a 的距离。

6、垂直的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

四、七巧板

七巧板的制作：七巧板由 5 块三角形，1 块正方形，一块平行四边形组成。

补充结论：

平面内n条直线，最多

．．可有

()

2

1

-

n

n

个交点；

过平面上n个点中的两个点，最多

．．可画

()

2

1

-

n

n

条直线；

n个班进行单循环比赛，共比赛

()

2

1

-

n

n

场；

n个人相互握手的总次数为

()

2

1

-

n

n

次；

直线上有n个点，则一共有

()

2

1

-

n

n

条线段；

有公共端点的n条射线共可组成

()

2

1

-

n

n

个角；

平面内n条直线最多

．．可将平面分成22

2+

+n

n

个部分.

图（6）D '

图（4

）

东

图（2）

第19题图

时钟的时针与分针的夹角公式：设为a 点b 分。 |30o a-5.5o b| 注意：我们所求的角指不超过180o 的角，当所求的度数大于180度时，就用360度减去这个度数。

二、典型例题：

1、 图（1）中有______条线段，分别表示为___________

2、 时钟表面3点30分时，时针与分针所夹角的度数是______。

3、 已知线段AB,延长AB 到C ，使BC=

3

1

AB ，D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。

4、如图（2），点D 在直线AB 上，当∠1＝∠2时， CD 与AB 的位置关系是 。

5、如图（3）所示，射线ＯＡ的方向是北偏_________度。

6、将一张正方形的纸片，按如图（4）所示对折两次，相邻两折痕间的夹角的度数为 度。

7、如图（6），把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点

处，若得∠AOB ′=700

, 则∠B ′OG 的度数为 。

8、下列说法中正确的个数为（ ）

①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

9、如图，已知∠AOB 内有一点P ，过点P 画MN ∥OB 交OA 于C,过点P 画PD ⊥OA,垂足为D,并量出点P 到OA 距离。

图（1）

第23题图

第20题图

B

C E 10、如图已知点C 为AB 上一点，AC ＝12cm, CB ＝3

2

AC ，D 、E 分别为AC 、AB 的中点求DE 的长。

21、如图，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ，且AB ⊥CD ，∠COE=350

，

求∠DOF 、∠BOF 的度数。

9、如图已知∠AOB=2

1

∠BOC, ∠COD=∠AOD=3∠AOB, 求∠AOB 和∠COD 的度数。

三、过关测试：

一、填空题：（每小题3分，共30分）

1. 过平面内一点，能画________条直线；过平面内两点，能画________条直线.

2. 下面说法：①直线AB 与直线BA 是同一条直线；②射线与射线BA 是同一条

射线；③线段AB 与线段BA 表示同一条线段；④直线、射线和线段上有无限多个点. 其中错误的是_________（填序号）.

3. 0.15°=_________′=_________″，60°=________平角=_________周角.

4. 如图4-1，∠AOB =114°15′，则∠AOC =________________.

5. 小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8∶00出发，中午

12∶30到家，则出发时和到家时时针和分针的夹角分别为________度和________度.

6. 已知一条射线OA ，再引射线OB 和OC 使∠AOB =80°∠

A O

C

B

图4-1

A

AOC =30°，则∠BOC 的度数是___________________.

7. 如图4-2，以O 为顶点的角是___________________________，以B 为顶点

的角（不含平角）是___________________________________.

8. 已知如图4-3，从A 地到B 地有四条路线，其中最近的是________，其理由

是___________________________________________.

9. 在直线l 上顺次取A 、B 、C 三点，AB =6，BC =4，取AC 的中点O ，则AO =_______，

OB =____________.

10. 如图4-4，指出其中的平行线，并表示出来

_________________________________.

二、选择题：（每小题3分，共30分）

11. 图4-5各直线的表示法中，正确的是（ ）

12. 如图4-6，∠AOB =∠COD =90°，∠BOC =42°，

则∠AOD =（ ） A. 48° B. 148° C. 138°

D. 128°

13. ∠AOB 内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存

在（ ） A. ∠AOB >∠AOC B. ∠AOC >∠BOC C. ∠BOC >∠AOC D. ∠AOC =∠BOC

14. 栽树时，只要确定两个树坑的位置，就可以确定同一行树坑所在的位置，其

理由是（ ）

A. 过两点有且只有一条直线

B. 两点之间所有连线中，线段最短

A

B

C

D E

F

O

图4-2 ①

②

③

④

图4-3

A

B B

A C E

F

G

图4-4

直线A 直线AB

直线ab

直线aB

A

B

C

D

图4-5

C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15. 如图4-7，在方格纸上给出的线中，平行和垂直各有

（ ） A. 2对，1对 B. 3对，3对 C. 3对，1对

D. 2对，2对

16. 点B 在线段AC 上，在下列条件下，不能确定点B 是

线段AC 的中点的是（ ） A. AB =BC B. AC AB 2

1 C. 2AB=AC D. AB +BC =AC 17. 若∠1=25°12′，∠2=25.12°，∠3=25.2°，则下面说法正确的是（ ）

A. ∠1=∠2

B. ∠2=∠3

C. ∠1=∠3

D. ∠1、∠2、∠3互不相等 18. 在同一平面内，直线a ∥b ，b ∥c ，则直线a 与直线c 的关系为（ ）

A. 一定互相平行

B. 一定相交

C. 可能平行也可能相交

D. 重合

19. 如图4-8，直线l 、线段a 及射线OA 能相交的图形是（ ）

20. 观察图4-9中点划分直线的情况，结合实践进行比较可发现，n 个点可把直

线分成__________部分.

三、解答题：（满分60分）

21. （6分）把一根木条钉在墙上，在只钉了一颗钉子的时候，这根木条还可以

转动，为什么？如果在这根木条的其他地方再钉上一颗钉子，这根木条就不会动了，这是为什么？

22. （8分）计算：

（1）19°23′×4

（2）56°÷6

图4-7

a

A

a

O

A

B

l

O

A

C l

a

D

图4-8

图4-9

23. （10分）已知点A 、B 、C 都在直线l 上，且AB =6cm ，BC =2cm ，则A 、C

两点的距离是多少？

24. （14分）图4-10是由一副三角尺拼成的图案，试确定图中各角的度数.

25. （10分）如图4-11，一只蚂蚁从O 点出发，沿北偏东45°的方

向爬行2.5cm ，碰到障碍物（记做B ）后，折向北偏西60°的方向爬行3cm （此时的位置记作C ）. （1）画出蚂蚁爬行路线； （2）求出∠OBC 的度数.

26. （12分）利用图4-12可以制作七巧板.

（1）分别找出三组互相平行的线段及互相垂直的线段，

1

2

3

4

图

4-10

A

D E L O

并用符号表示出来；

（2）找出一个锐角、一个钝角、一个直角，将它们表示出来，并说明分别是多少度角.

（3）请你用这副七巧板设计一个图形.

1.如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600, OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.

(1)求∠EOF的度数；

(2)若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝ x0，∠EOF＝y0，其它条件不变.

①则请用x的代数式来表示y.②如果∠AOB+∠EOF＝1560.则∠EOF是多少度？

2.若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？

3.如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：

∠EDF=∠BDF．

4.如图甲用边长10cm的正方形ABCD纸板做了一套七巧板．拼成一座桥（如图乙），

阴影部分的面积是（）cm2

A、25

B、50

C、75

D、100

O B

C

E

A

F