导数构造函数13种题型(解析版)

第7讲 导数构造函数13类

【题型一】 利用x n

f （x ）构造型

【典例分析】

函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)

52016

x f x f x ++<+的解集为

A ．{}2011x x -

B ．{}|2011x x <-

C ．{}|20110x x -<<

D ．{}|20162011x x -<<-

【答案】D 【详解】

设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式

(2016)(2016)5(5)

52016

x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，

解得20162011x -<<-．

点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系

判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()

()f x g x x

=，()()x g x e f x =，()

()x

f x

g x e =

，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．

【变式演练】

1.已知定义域为

的奇函数

的导函数为()f x '，当

时，()()0f x f x x

'+

>，若

，则的大小关系正确的是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

分析：构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性． 详解：设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x +

>，即'()()'()

0xf x f x g x x x

+=>，∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1

()(ln 2)(2)2

g g g <<，即a c b <<．

故选C ．

2.已知()f x 的定义域为0,

，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式

()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）

A ．0,1

B ．2,

C ．1,2

D ．1,

【答案】B 【分析】

根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】

根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<， 所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.

又因为()()()

2

111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，

所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.

所以不等式()()()

2

111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.

故选：B.

3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（ ） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤ C ．(x)x f ≥ D ．()f x x ≤

【答案】A 【分析】

根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【详解】

依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>， 从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，

因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0， 所以()0f x ≥恒成立.故选：A

【题型二】 利用f （x ）/x n

构造型

【典例分析】 函数()f x 在定义域0,内恒满足：①()0f x >，①()()()23f x xf x f x '<<，其中f x 为()f x 的导函数，

则

A ．()()111422

f f << B ．

()()11

11628f f << C ．()()111

322

f f <

< D ．()()111

8

24

f f <

< 【答案】D 【详解】令()()2

f x

g x x =

，()0,x ∈+∞，()()()

3

2xf x f x g x x '-'=

，

∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，∵()0f x >，0g x

，

∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，

()()

1124

f f <

， 令()()3

f x h x x =

，()0,x ∈+∞，()()()

4

3xf x f x h x x '-'=

，

∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<， ∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218

f f >

，()()

1182f f <，故选D.

【变式演练】

1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()1

9

f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-

C ．(3,0)(0,3)-⋃

D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞

【答案】A

【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2

()

()f x g x x =

， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()1

9

f x x <，1()9

g x <

，当0x < 时，即2()19f x x >，1

()9

g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x =

,43

'()2()'()2()

'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，2

1y x =

为偶函数，所以2()

()f x g x x =为偶函数，在

,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -==

=（）;()1

9

f x x x <， 当0x > 时，即

2()19f x x <，1

()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即

2()19f x x >，1

()(3)9

g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A

2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦

，则不等式()1x

f x e -≥的解集为（ ） A ．(],1-∞

B ．(],e -∞

C ．[)1,+∞

D ．[),e +∞

【答案】C 【分析】

由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()x

g x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数

()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.

【详解】

解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.

令()()x

g x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等

式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1x

f x e -≥的解集为[)1,+∞.

故选：C.

【题型三】 利用e nx f （x ）构造型

【典例分析】

已知函数()f x 在R 上 可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦

>0，()()222x f x e f x -=-，则下列判断一定正确的是

A ．()()10f f <

B ．()()4

40e f f <

C ．()()20ef f >

D ．()()3

30e f f >

【答案】D 【分析】

构造函数()()x

g x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即

可. 【详解】

构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()x

e f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,

()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而

()()()()()2x 2x x 22x

f x

g 2x f 2x e e f x e g x e

----=-=

⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故

()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.

【变式演练】

1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121x

e

f x f x -->-的解集为（ ）

A ．1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

B ．1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

C ．(),0-∞

D ．()0,∞+

【答案】B

【分析】构造函数2

()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()

0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可． 【详解】由题意：不等式()()121x

e

f x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，

两边同乘以2

(1)x e -得：2

2

(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2

()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数， 因为[]2

()()2()x

h x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>

所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，

故22(1)x x ->，解得：1

2

x <

．故选：B ． 2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21

x e +的解集是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,1)

【答案】A 【分析】

构造函数()()1()x

g x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.

【详解】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''

=++，

因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()

()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '

++>，

即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >

21

x

e +，化简得()1()2x

e f x +>， 因为()()0202g f ==，()()1()x

g x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，

所以不等式2

()1

x

f x e >

+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，

则不等式()1x

f x e -≥的解集为（ ） A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．[)1,+∞ D ．[),e +∞

【答案】C 【分析】

由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()x

g x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数

()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.

【详解】

解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.

令()()x

g x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等

式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1x

f x e -≥的解集为[)1,+∞.

故选：C.

【题型四】 用f （x ）/e nx 构造型

【典例分析】

已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有 A ．()()()()2017

201720170,20170e f f f e f -

B ．()()()()2017

201720170,20170e

f f f e f -<< C ．()()()()2017

201720170,20170e

f f f e f ->>

D ．()()()()2017

201720170,20170e

f f f e f -><

【答案】D 【分析】

通过构造函数()()x f x g x e =

，研究()

()x

f x

g x e =函数的单调性进而判断出大小关系．

【详解】因为()()'f x f x >。所以()()'?

f x f x -<0，即()

()

2

'()'()

0x x x e f x e f x e -<

构造函数()()x f x g x e =

，所以)'(0g x <，即()

()x

f x

g x e =在R 上为单调递减函数

所以

20170(2017)(0)f f e e --> ，化简得2017(2017)(0)e f f ->。同理2017

0(2017)(0)f f e e

<，化简得2017(2017)(0)f e f < 所以选D

【变式演练】

1.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()20f x f x -<'（其中f

x 为()f x 的导函数），若

()2f e =，则())

x

f x e

>

的解集为（ ）

A ．()2,2-

B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭

C ．1,22⎛⎫

- ⎪⎝⎭

D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】A 【分析】 由[

()()x x e e '=||

()x e [0,)+∞上单调减，(,0)-∞上单调增，再由 ||2

1()()x e e >=即可求解集. 【详解】由[

()()x x e e '=()()20f x f x -<'()x

e [0,)+∞上单调减， 而()2

f e =，即

(2)

1f e

=，又()()

x

f x e

>||2

1()()x e e >=

∵在[0,)+∞上有02x ≤<，又()f x 是定义在R ||

()x e R 上为偶函数， ||()x e (,0)-∞||2

()()x e e >，可得20x -<<，

综上，有22x -<<，故选：A

2.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有 A ．()()()()2017

201720170,20170e f f f e f -

B ．()()()()2017

201720170,20170e

f f f e f -<<

C ．()()()()2017

201720170,20170e f f f e f ->> D ．()()()()2017

201720170,20170e

f f f e f -><

【答案】D 【分析】

通过构造函数()()x f x g x e =

，研究()

()x

f x

g x e =函数的单调性进而判断出大小关系．

【详解】因为()()'f x f x >。所以()()'?

f x f x -<0，即()

()

2

'()'()

0x x x e f x e f x e -<

构造函数()()x f x g x e =

，所以)'(0g x <，即()

()x

f x

g x e =在R 上为单调递减函数

所以

20170(2017)(0)f f e e --> ，化简得2017(2017)(0)e f f ->。同理2017

0(2017)(0)f f e e

<，化简得2017(2017)(0)f e f < 所以选D

3.已知定义在R 上的可导函数()f x 满足：'()()0f x f x +<，则

221

()m m f m m e

-+-与(1)f 的大小关系是

A ．

221

()(1)m m f m m f e

-+-> B ．

221

()(1)m m f m m f e

-+-< C ．

221

()(1)m m f m m f e

-+-≥ D ．不确定

【答案】A

【详解】

令()()x g x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '+'=<，所以函数()g x 在R 上单调递减.

因为2

10m m -+>，所以2

2222

21

1

()1()(1)()(1)(1)m m m m f m m m m g m m g e

f m m e f f e

--+--⇒-⇒->⇒

>，选A.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()

()x f x g x e

=

，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()

()f x g x x

=

，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等

【题型五】 利用sinx 与f （x ）构造型

【典例分析】

已知定义在(0,)2π

上的函数，'

()f x 为其导函数，且'()()

sin cos f x f x x x

<

恒成立，则 A ．()2()26

f f ππ

>

B 3()2()43ππ

>

C 3()()63f ππ<

D ．(1)2()sin16

f f π

<

【答案】C

【详解】令()()sin f x g x x =

,则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x g x x -''=>,所以()g x 在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递增,因此

ππ()()ππππ63()()3()()ππ6363sin sin 63f f g g f <⇒<⇒< , ππ()

()ππππ34()()3()2()ππ4343sin sin 43f f g g <⇒<⇒<

ππ()()

ππππ62()()2()()ππ6262sin sin 62

f f

g g f f <⇒<⇒<

π()

π(1)π6()(1)2sin1()(1)π6sin16sin 6

f f

g g f f <⇒<⇒<,所以选C.

【变式演练】

1.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上恒有()cos ()sin 0f x x f x x '-<成立，则下列不等

式成立的（ ） A 264f ππ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

B ．336f ππ⎛⎫⎛⎫

-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C 3243ππ⎛⎫⎛⎫

-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．

23234f ππ⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】B 【分析】

构造函数()()sin f x F x x =

，由已知可得出()F x 在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出()F x 为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.

【详解】构造函数()()sin f x F x x =

，由()f x 在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上恒有()sin ()cos 0f x x f x x '->， 2

()sin ()cos ()0(sin )f x x f x x F x x '-'∴=

>，()F x ∴在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上为增函数， 又由()()()()sin()sin f x f x F x F x x x ---=

==--，()F x ∴为偶函数，64ππ<，64F F ππ⎛⎫⎛⎫

∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，64sin sin 64f f ππππ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭∴<， 264f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误.偶函数()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭

上为增函数，()F x ∴在,02π⎛⎫

- ⎪⎝⎭上为减函数，

36ππ-<-，36F F ππ⎛⎫⎛⎫∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36sin sin 36f f ππππ⎛⎫⎛⎫

-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭∴>⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

336f ππ⎛⎫⎛⎫

∴-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，336f

ππ⎛⎫⎛⎫

∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故B 正确；

43F F ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin sin 43f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭∴<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3243ππ⎛⎫⎛⎫

∴--<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3243ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；

34ππ>，34F F ππ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34sin sin 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭∴>，2334ππ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.

故选：B.

2.已知偶函数()f x 是定义在[1,1]-上的可导函数，当[1,0)x ∈-时，()cos ()sin 0f x x f x x '+>，若

cos(1)()(1)cos a f a f a a +≥+，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．[2,1]--

B ．[2

11

,]--

C ．1[,0]2

-

D ．1

[,)2

-+∞

【答案】C 【分析】 构造函数()

()cos f x F x x

=

，可得()F x 是偶函数，求导可得出()F x 在[1,0)-上单调递增，在(0,1]上单调递减，由cos(1)()(1)cos a f a f a a +≥+可得(||)(|1|)F a F a ≥+，列出不等式即可求解.

【详解】 令()

()cos f x F x x

=

，[1,1]x ∈-，则当11x -≤≤时，()()()()cos()cos f x f x F x F x x x --=

==-， 所以函数()F x 是定义在[1,1]-上的偶函数． 当[1,0)x ∈-时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x

F'x x

'+=

>，

所以函数()F x 在[1,0)-上单调递增，在(0,1]上单调递减． 又cos(1)0a +>，cos 0a >，

所以由cos(1)()(1)cos a f a f a a +≥+，可得()

(1)

cos cos(1)f a f a a a +≥+，

即()(1)F a F a ≥+，所以(||)(|1|)F a F a ≥+，所以111111

a a a a ⎧≤+⎪-≤≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得1

02a -≤≤，

所以实数a 的取值范围为1

[,0]2

-，故选：C ．

3.设()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，当0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，()()cos 0sin x f x f x x '-<，则不等式()23sin 3f x f x π⎛⎫

⎪⎝⎭

的解集为（ ） A ．,00,33ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

B ．,0,332πππ⎛⎫⎛⎫

-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】B 【分析】 令()()sin f x h x x =

，易得()()sin f x h x x =是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫

-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，因为()()cos 0sin x f x f x x '-<，可知()h x 在0,2

π⎛⎫ ⎪⎝

⎭

上单调递减，在,02π⎛⎫

- ⎪⎝⎭上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.

【详解】 令()()sin f x h x x

=

，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫

-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，

∵()()sin f x h x x

=

是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫

-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．

当0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，sin 0x >，由()()cos 0sin x f x f x x '-<，得()()sin cos 0f x x f x x '⋅-⋅<， ∵()()()2

sin cos 0sin f x x f x x h x x

'⋅-⋅'=

<，则()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．

将()23sin 3f x f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为()3

sin sin 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪

⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则32x ππ<<．

又()()sin f x h x x

=

是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫

-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．

∵()h x 在,02π⎛⎫

- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，将()23sin 3f x f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为()3

sin sin

3

ππ⎛⎫

⎪

⎝⎭>f f x x ，

即()33h x h h ππ⎛⎫⎛⎫

>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则03x π-<<．综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．故选：B

【题型六】 利用cosx 与f （x ）构造型

【典例分析】

已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式

3()2cos 6x f x π⎛⎫

< ⎪⎝⎭

的解集为（ ）

A ．,32

ππ

⎛⎫ ⎪⎝

⎭

B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

D ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

【答案】B 【分析】 令()()cos f x F x x

=

，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x

=

在,22ππ

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

内的单调递减函数，再

把不等式化为

()6

cos cos 6f f x x ππ

⎛⎫ ⎪

⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，

令()()cos f x F x x

=

，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x x

F x x

+=

<

函数()()cos f x F x x

=

是定义域,22

ππ

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x 的不等式

3()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ

⎛⎫ ⎪

⎝⎭<，

即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>， 3()2cos 6x f x π⎛⎫

< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.故选：B

【变式演练】

1.已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，其导函数为()'f x ，当02

x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，

则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫

<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）

A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】B

【分析】由题意，设()()cos f x g x x =

，利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减，且为偶函数，再把不等式()2cos 4f x x π⎛⎫

< ⎪⎝⎭

，转化为()()4g x g π<，结合单调性，即可求解.

【详解】由题意，设()()cos f x g x x =

，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x

'+'=， 当02x π

<<

时，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减， 又因为()f x 在,22ππ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上是偶函数，可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --=

==-，所以()g x 是偶函数， 由()2cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭

，可得

()2()cos 4f x x π<，即()()4cos cos 4

π

π

又由()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭

上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，

解得2

4

x π

π

-

<<-

或

4

2x π

π

<<

，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫

--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故选：B. 2.已知函数()f x 的定义域为,22

ππ

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，其导函数为()'f x .若()tan [()]f x x f x x '=⋅+，且(0)0f =，则下列结论

正确的是 A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是减函数 C ．()f x 有极大值 D ．()f x 有极小值

【答案】A

【分析】对()()tan f x x f x x ⎡⎤=⋅+⎣'⎦

化简可得sin ()[()]cos x

f x f x x x

'=+，即为()cos sin ()sin f x x xf x x x '-=•，设函数()()cos g x f x x =•，研究函数 ()y g x =的性质，从而得到

()y f x =的单调性与极值，从而得到答案.

解：设函数()()cos g x f x x =•因为()()tan f x x f x x ⎡⎤=⋅+⎣'⎦

化简可得sin ()[()]cos x

f x f x x x

'=+， 即为()cos sin ()sin f x x xf x x x '

-=•，故()sin g x x x '=•，因为(,)x 2

2

ππ∈--

所以()sin g x x x 0'

=•≥恒成立，所以()y g x =在(,)x 2

2

ππ∈--

上单调递增，又因为(0)0f =，

所以()()cos g 0f 000=•=，所以当(,0)2

x π

∈-

时，()0

当(0,)2x π∈时，()0>g x ，()()cos ()sin ()[]cos cos 2g x g x x g x x

f x x x

'•+''==，

当(,0)2

x π

∈-

时，()0，cos 0x >，sin 0x <，

故()()cos ()sin ()[]cos cos 2

g x g x x g x x

f x 0x x

'•+'

'==>恒成立； 当(0,)2

x π

∈时，()0>g x ，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x >， 故()()cos ()sin ()[]cos cos 2g x g x x g x x

f x 0x x

'•+'

'==>恒成立；

所以()y f x 0''

=≥在(,)x 2

2

ππ∈--

上恒成立，

故()y f x =在(,)x 2

2

ππ∈--

上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减。所以选A.

3.

【题型七】 复杂型：e n

与af （x ）+bg(x)等构造型

【典例分析】

设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式

()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0+∞，

B ．()2019+∞，

C ．()0-∞，

D ．()()02019-∞+∞，，

【答案】C

【分析】根据条件构造函数()()2x

g x e f x =-⎡⎤⎣⎦，分析()g x 的单调性并计算()g 0的值，将

()22019x x e f x e >+转化为()2019g x >，由此求解出不等式的解集.

【详解】设()()2x g x e f x =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()2x g x e f x f x ''=+-⎡⎤⎣⎦，

因为()()'2f x f x +<，所以()()()20x g x e f x f x ''=+-<⎡⎤⎣⎦，

所以()g x 在R 上单调递减，且()()()01022019g f =⨯-=，

又因为()22019x x

e f x e >+等价于()2019g x >，所以解集为(),0-∞，故选：C.

【变式演练】

1.函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()'f x 为其导函数，若()()(2)x xf x f x e x '+=-且(3)0f =，则不等式()0f x <的解集为__________. 【答案】(0,3) 【分析】

构造函数()()F x xf x =，由题知 ()(2)x e F x x '=-得到()F x '在(0,)+∞的最小值为0，得到()()F x xf x =在(0,)+∞单增，在(0,)+∞上，()0f x <等价于()0xf x <，利用()()F x xf x =单调性可解. 【详解】

构造函数()()F x xf x =，在(0,)+∞上，()0f x <等价于()()0F x xf x =<，()()(2)x xf x f x e x '+=-, )2)((x e x F x ∴=-',(0())2x x e x F '=->得2x > ，()F x 在(2,)+∞上单增，在(0)2，

上单减， 在(02]，

上，()()00x F F <=恒成立，又(3)0f =，则(3)=0F 又在(2,)+∞上，()0f x <等价于()()0F x xf x =<，即()(3)F x F <，则23x <<

∴ 不等式()0f x <的解集为(0,3)故答案为：(0,3)

2.函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()'f x 为其导函数，若()()(1)x xf x f x x e '+=-，且(2)0f =，则()0f x >的解集为（ ） A ．(0,1

?) B ．(0, 2) C ．(1, 2) D ．(1, 4)

【答案】B

【分析】设()()()2x

g x xf x x e =+-，则()'0g x =，()20g =，故()0g x =，即()

()2x x e f x x

-=

，解不等式

得到答案.

【详解】设()()()2x g x xf x x e =+-，则()()()''(1)0x

g x f x xf x x e =+--=，

(2)0f =，故()20g =，故()0g x =，即()

()2x x e f x x

-=

，

()0f x >，即

()20x x e x

->，(0,)x ∈+∞，故02x <<.故选：B .

3.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，()02020f =，则不等式

()22018x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为

A ．()0,∞+

B ．()2018,+∞

C ．()2020,+∞

D ．()

(),02018,-∞+∞

【答案】A 【分析】

构造函数()()2x x

g x e f x e =-，则可判断()'0g x >，故()g x 是R 上的增函数，结合()02018g =即可得出答

案.

解：设()()2x x g x e f x e =-，则()()()''2x x x

g x e f x e f x e =+-()()'2x e f x f x =+-⎡⎤⎣⎦，

∵()()'2f x f x +>，0x e >，∵()()()''20x g x e f x f x =+->⎡⎤⎣⎦，∵()g x 是R 上的增函数，

又()()0022018g f =-=，∵()2018g x >的解集为()0,∞+，

即不等式()22018x x

e f x e >+的解集为()0,∞+.故选A.

【题型八】 复杂型：（kx+b ）与f （x ）型

【典例分析】

已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点

1,0中心对称，其导函数f x ，当1x <-时，

()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为

A ．1,

B ．(),1-∞-

C ．()1,1-

D ．()(),11,-∞-⋃+∞

【答案】C

【详解】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++，当1x <-时，

()()()()11'0x f x x f x ⎡⎤+++<⎣⎦，∴当1x <-时，()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，

函数

()f x 的定义域为R ，其图象关于点

1,0中心对称，∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数

()1f x -是奇函数，令()()()()11,h x g x xf x h x =-=-∴是R 上的偶函数，且在

,0递增，由偶函数的性

质得：函数()h x 在0,

上递减，()()10,h f =∴不等式()()10xf x f ->化为：()()1h x h >，即1x <，

解得11x -<<，∴不等式解集是()1,1-，故选C.

【变式演练】

1.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()(2)f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若()()246f a f a a -≤--+，则实数a 的最小值是（ ）

A ．1

B ．1-

C ．1

2

D ．12

-

【答案】A 【分析】

构造函数()()2

g x f x x x =--，根据等式()()2f x f x x -=+可得出函数()y g x =为偶函数，利用导数得知函

数()y g x =在(),0-∞上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在()0,∞+上单调递增，由

()()242f a f a a -≤--+，得出()()2g a g a -≤-，利用函数()y g x =的单调性和偶函数的性质解出该不等

式即可. 【详解】

构造函数()()2

g x f x x x =--，对任意实数x ，都有()()2f x f x x -=+，

则()()()()()()()2

222g x f x x x f x x x x f x x x g x =--=--+-=-+---=-， 所以，函数()y g x =为偶函数，()()g x g x ∴=.

当0x <时，()()210g x f x x ''=--<，则函数()y g x =在(),0-∞上单调递减， 由偶函数的性质得出函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，

()()246f a f a a -≤--+，即()()()()()()2

2

222f a a a f a a a -----≤-----，

即()()2g a g a -≤-，则有()()2g a g a -≤，

由于函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，2a a ∴-≤，即()2

22a a -≤，解得1a ≥，

因此，实数a 的最小值为1，故选A.

2.已知定义域为R 的函数()f x 满足11,()4022f f x x ⎛⎫

'=--> ⎪⎝⎭

，其中()f x '为()f x 的导函数，则当[]0,2x π∈时，不等式()cos cos 20f x x -≥的解集为（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦