导数的综合应用题型及解法

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；

题型二：利用导数几何意义求切线方程

2．求下列直线的方程：

（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2

x y =过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

3．已知函数

))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；

（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围

4．已知三次函数

32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式；

(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；

5．设函数()()()f x x x a x b =--．

（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．题型四：利用导数研究函数的图象

6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）

（A ）（B ）（C ）（D ）

7．函数的图像为14313+-=x x y ( A )

8．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

9．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f

（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.

（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.

10．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2

3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间

（2）若对x ?〔－1，2〕，不等式f （x ）?c2恒成立，求c 的取值范围。

题型六：利用导数研究方程的根

11．已知平面向量a =(3,－1). b =(21,23).

（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ，试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况.

题型七：导数与不等式的综合

12．设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设0x ≥1，，)(x f ≥1，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.

13．已知a 为实数，函数23()()()2f x x x a =++

（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围

（2）若'(1)0f -=，求函数()f x 的单调区间

题型八：导数应用题

14．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤

已知甲、乙两地相距100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？题型九：导数与向量的结合

1．设平面向量3113(),().2222a b =-=，，若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ，使，且y x b t a s y b k t a x ⊥+-=-+=,,)(2

（1）求函数关系式()S f t =；

（2）若函数()S f t =在[)∞+，

1上是单调函数，求k 的取值范围。？

导数大题20种主要题型总结及解题方法

导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。 1.求函数在某点的导数。对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。 2.求函数的导数表达式。已知函数表达式，要求其导数表达式。可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。 3.求高阶导数。如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。

4.求导数的导函数。导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。 5.利用导数计算函数极值。当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。可以利用导数求函数的极值。 6.利用导数判定函数的增减性。根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。 7.利用导数求函数的最大最小值。当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。 8.利用导数求函数的拐点。

如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。可以使用导数的二阶导数判定。 9.利用导数求函数的弧长。曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。 10.利用导数求函数的曲率。曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。 11.利用导数求函数的速度和加速度。在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。速度是位移随时间的导数，而加速度是速度随时间的导数。可以通过求导的方法求取速度和加速度。 12.利用导数求函数的斜率。函数在某一点的斜率可以通过导数求取。斜率表示函数在该点的变化率。

导数的综合应用

3.3 导数的综合应用 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．( √ ) (2)函数f (x )＝x 2－3x ＋2的极小值也是最小值．( √ ) (3)函数f (x )＝x ＋x －1和g (x )＝x －x －1都是在x ＝0时取得最小值－1.( × ) (4)函数f (x )＝x 2ln x 没有最值．( × ) (5)已知x ∈(0，π 2 )，则sin x >x .( × ) (6)若a >2，则方程1 3 x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．( × ) 1．(2014·湖南)若0－－ B ．12 21e e ln ln x x x x <－－

C ．1221e e x x x x > D ．1221e e x x x x < 答案 C 解析设f (x )＝e x －ln x (0g (x 2)， ∴1221e e x x x x >. 2．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．?x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点答案 D 解析 A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．D 对，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点． 3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52 D.2 2 答案 D 解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x (x >0)的最小值， h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2 －1 x ，

导数的综合应用

§3.3导数的综合应用 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根据(2) 的结果确定函数f(x)的单调区间. 2.求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. 3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值； (3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b) 的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：优化问题―→用函数表示数学问题 ↓ 优化问题答案用导数解决数学问题 5.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去； (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值； (3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间. [难点正本疑点清源] 1.实际问题常要求解出最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方

导数常见题型方法总结

导数题型总结例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，假设在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数〞，实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- 〔1〕假设()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，求m 的取值围；〔2〕假设对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=--2()3g x x mx ∴=-- 〔1〕()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：别离变量法： ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233 x m x x x ->=-的最大值〔03x <≤〕恒成立，而3 ()h x x x =-〔03x <≤〕是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立〔视为关于m 的一次函数最值问题〕 30110x >⇒-<<> 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2+a 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值围. 解：〔Ⅰ〕()()2 2 ()433f x x ax a x a x a '=-+-=--- 令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为〔a ,3a 〕令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为〔－∞，a 〕和〔3a ，+∞〕 ∴当*=a 时，)(x f 极小值=;4 33 b a +- 当*=3a 时，)(x f 极大值=b. 〔Ⅱ〕由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 22 43a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a ≤⎧⎨ ≥-⎩22()43g x x ax a =-+的对称轴 2x a =01,a <<12a a a a +>+=〔放缩法〕即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 3a a a 3a

导数的综合应用题型及解法

精心整理导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2) ()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；题型二：利用导数几何意义求切线方程 (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则 f （x ）的图象只可能是（ D ）（D ）根（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围. 10．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2 3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对x ?〔－1，2〕，不等式f （x ）?c2恒成立，求c 的取值范围。

题型六：利用导数研究方程的根 11．已知平面向量a =(3,－1). b =(21 ,23). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ，试求函数关系式38(0120). 12800080y x x x = -+<≤ 已知甲、乙两地相距100千米。（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数的综合应用知识点+例题全面分类

∵函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调， ∴当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)． [巩固] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. （1）求f (x )的单调区间；（2）若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0， ∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a . 由f ′(x )<0，解得－a 0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1， f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. ∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)．题型三：生活中的优化问题 [例] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式 y ＝a x －3 ＋10(x －6)2，其中3

导数常见题型及解题方法总结

导数题型总结 1、别离变量-----用别离变量时要特别注意是否需分类讨论〔>0,=0,<0〕 2、变更主元-----谁的围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----〔1〕对称轴〔重视单调区间〕与定义域的关系〔2〕端点处和顶点是最值所在一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进展解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元〔即关于*字母的一次函数〕-----〔谁的围就把谁作为主元〕。例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，假设在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数〞，实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- 〔1〕假设()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，求m 的取值围；〔2〕假设对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 〔1〕 ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：别离变量法： ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立

高考数学-《导数的综合应用》题型归纳与训练

高考数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数3()12f x ax x =-，导函数为()f x '，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若(1)6,()f f x '=-求函数在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ）22()3123(4)f x ax ax '=-=-，（下面要解不等式23(4)0ax ->，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当0,()0,()(,)a f x f x '≤<-∞+∞时在单调递减；当0,,(),()a x f x f x '>时当变化时的变化如下表： x 2 (,)a -∞- 2a - 22(,)a a - 2a 2 ( ,)a +∞ ()f x ' + 0 — 0 + ()f x 极大值极小值此时，()(,),()6f x a -∞+∞在单调递增，在(a a 单调递减；（II ）由(1)3126, 2.f a a '=-=-=得由（I ）知，()(2)2f x -在单调递减,在(,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例1 已知函数3 21()53 f x x x ax =++-，若函数在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围【答案】

导数的综合应用题型及解法

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2)()(2=-== x c x x x f y 在处有极大值，则常数 c ＝ 6 ；题型二：利用导数几何意义求切线方程 2．求下列直线的方程：（1）曲线123 ++=x x y 在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 3．已知函数 ))1(,1()(,)(2 3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 4．已知三次函数 32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/ x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ）

导数综合应用(含答案)

y = f （X ）在点（0, f （0 ））处的切线方程为2x (n)当X 气0, 1)时, f (x )〉2(x +J V. 3 / X 3 ，即不等式f （x ） - 2x + —）> 0，对 3 P X €（0,1）成立，设 F(x) In 亠-NX 1 - X x 3 x 3 + —)= ln(1 + X)- In(1 - X)- 2(x + ——)，则 3 3 F(x) 2x 4 ----- ，当^（0, 1 ）时，F （x ） A 0,故F （x ）在（0, 1）上为增函数，则 1 - X F(x) > F(0) = 0,因此对 V x 忘(0,1)， 11.导数的综合应用（含答案）（高二） 1 + X 1. (15北京理科)已知函数 f (x )=ln ------- 1 -X （I ）求曲线y=f （x ）在点（0, f （o ））处的切线方程; （n ）求证：当 X 气0,1 ）时，f （x ）：>2（x + X Z 3 A （川）设实数k 使得f （x y>k l x +工 '）I 3丿【答案】（I ） 2x -y =0, （n ）证明见解析，（川）k 的最大值为2. 【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在X = 0处的函数值及导数值，再用直g 辛右程的点斜式写出直线方程，第二歩要证明不等式心）>2”十+在20, ii 成立，可用作差法构诘座懺 F3 =止三加+ F 利用导数研究函数F 伽区间（。，上的单调性,由干E > 0. 尸（£在（①1）上为増函数，刚FG ） > 7C0） = 6问题得证；第三步与第二歩韦法类（儿均造函馥研究函数单调性，1■旦需要对参数作讨论，首先比e Dxa 符合题意，其次当g > 201,不满足题意舍去，得出七的最丈值为二试题解析：（I ）对x w （0，1 ）恒成立，求k 的最大值. 1 + X f (x ^|n _-，x e (_ 1,1),f (x) . —^,f (0) = 2,f(0) = 0，曲线 1 - X 2

导数综合应用(含答案)

11.导数的综合应用（含答案）（高二） 1.（15北京理科）已知函数()1ln 1x f x x +=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫ >+ ⎪⎝ ⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫ >+ ⎪⎝⎭ 对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 试题解析：（Ⅰ） 2 12 ()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x +''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫ >+ ⎪⎝ ⎭，即不等式3 ()2()03x f x x -+>，对 (0,1)x ∀∈成立，设 33 1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133 x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则

4 2 2()1x F x x '=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈， 3 ()2()3 x f x x >+ 成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫ >+ ⎪⎝⎭ 成立，()01x ∈，，等价于 3 1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，； 42 22 22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x ' ≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402 ()0,(0,1)k F x x k -' ==∈， ()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 2．（15年安徽理科）设函数2 ()f x x ax b =-+. （1）讨论函数(sin )22 f x ππ 在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2 0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22 ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2000,D 14 a a b z b ===-≤求满足时的最大值。

导数的综合应用

§3.3导数的综合应用 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答. 2.不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题. (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题. 1.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________. 答案 2 2 解析MN 的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值， h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2 －1 x ，显然x ＝ 2 2 是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝ 22 . 2.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________. 答案(－2,2) 解析由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可.f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，

得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2). 3.若f (x )＝ln x x ，00，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，e)上为增函数，又∵0 0.设两曲线y ＝ f (x )，y ＝ g (x )有公共点，且在该点处的切线相同. (1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0). 思维启迪(1)设公共点为(x 0，y 0)，则f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)可得a ，b 的关系； (2)构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，求F (x )的最值. (1)解设两曲线的公共点为(x 0，y 0)，