导数难题(含答案)

一、单选题

1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x

f x e <的解集为（）

A. ()0,+∞

B. 21,e ⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭ C. 21,e ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（）

()()2

f e f e

B. ()()931f f >

()()2

f e f e

()()2

f e f e

3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()2

10x f f x x ⎛⎫

⎪⎝⎭

的解集为（）

A. ()1,+∞

B. (),1-∞

C. ()2,+∞

D. (),2-∞

二、解答题

4．已知函数()()2

ln f x ax x a R =-+∈ .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.

5．设函数()()

222ln f x x ax x x x =-++-．（1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；

（2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值．

6．已知函数()()()1ln ,a

f x x a x

g x a R x

+=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值；

设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；

若在区间[]

()1, 2.71828e e =⋯上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.

7．已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈ . （1）当0a =时，求函数()f x 的极小值；

（2）若函数()f x 在()0,+∞上为增函数，求a 的取值范围.

8．已知函数()()

2x f x x ax a e =--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()0,2a ∈，对于任意[]

12,4,0x x ∈-，都有()()2124a f x f x e me --<+恒成立，求m 的取值范围

参考答1．A

【解析】令()()()()()

()0,02018x

f x f x f x

g x g x g e

-<'=

='=

∴

因此()2018x

f x e < ()()()201800x

f x

g x g x e

⇒

<⇒⇒，选A.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x

f x

g x e

， ()()0f x f x '+<构造

()()x

g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x

， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等

2．D

【解析】根据题意，设g （x ）=x 2f （x ），

其导数g′（x ）=（x 2）′f （x ）+x 2•f （x ）=2xf （x ）+x 2•f （x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]，又由当x ＞0时，有2f （x ）+xf'（x ）<0成立，则数g′（x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]<0，则函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数，

若g （x ）=x 2f （x ），且f （x ）为偶函数，则g （-x ）=（-x ）2f （-x ）=x 2f （x ）=g （x ），即g （x ）为偶函数，所以()()2g e g < 即

()()2

f e f e

因为()f x 为偶函数，所以()()2f 2f -=,

所以

()()2

f e f e -<

故选D

点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g （x ）并分析g （x ）的单调性与奇偶性． 3．A

【解析】令()()f x g x x

，则()()()

xf x f x g x x

∵()()f x xf x >'

∴()()0xf x f x -<'，即()()()

0xf x f x g x x '-=

'<在()0,+∞上恒成立

∴()g x 在()0,+∞上单调递减

∵()2

10x f f x x ⎛⎫

⎪⎝⎭

∴()11f f x x x x

⎛⎫ ⎪

⎝⎭>，即()1g g x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭

∴

x x

<，即1x >

故选A

点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.

4．（1）()f x 在

⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎭

上递减.；（2）1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导，再根据a 分类讨论，即可求出()f x 的单调性；（2）将()f x a >-化简得()21ln 0a x x --<，

再根据定义域()1,x ∈+∞，对a 分类讨论， 0a ≤时，满足题意， 0a >时，构造()()21ln g x a x x =--，求出()g x 的单调性，可得()g x 的最大值，即可求出a 的取值

范围.

试题解析：（1）()2

1122ax f x a x x

-='=-+，

当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增，

当0a > 时，令()0f x '=，得

x =

，令()0f x '>，得

x ⎛∈ ⎝；令()0f x '<，得x ⎫

∈+∞⎪⎭

，

所以()f x 在

⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎭

上递减. （2）由()f x a >-，得()

21ln 0a x x --<，因为()1,x ∈+∞，所以2ln 0,10x x --，当0a ≤时， ()

21ln 0a x x --<满足题意，

当12

a ≥时，设()()

()22

211ln (1),0ax g x a x x x g x x -'=-->=

>，所以()g x 在()1,+∞上递增，所以()()10g x g >=，不合题意，

当10

2a <<

时，令()0g x '>，得x ⎫∈+∞⎪⎭，令()0g x '<，得⎛

⎝

，

所以()()

max 10g x g g =<=，则()()1,0x g x ∃∈+∞<，综上， a 的取值范围是1,

2⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭

. 点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 5．(1) f （x ）递增区间为（0，

12），（1，+∞），递减区间为（12

，1）；(2)1. 【解析】试题分析：（1）求出函数f （x ）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a>x-2（x-1）lnx 恒成立，令g （x ）=x-2（x-1）lnx ，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．试题解析：

（1）由题意可得f （x ）的定义域为（0，+∞），

当a=2时，f （x ）=﹣x 2+2x+2（x 2﹣x ）lnx ，

所以f′（x ）=﹣2x+2+2（2x ﹣1）lnx+2（x2﹣x ）•=（4x ﹣2）lnx ，

由f'（x ）＞0可得：（4x ﹣2）lnx ＞0，

所以或，

解得x ＞1或0＜x ＜；

由f'（x ）＜0可得：（4x ﹣2）lnx ＜0，

所以或，

解得：＜x ＜1．

综上可知：f （x ）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．

（2）若x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0恒成立，

即a ＞x ﹣2（x ﹣1）lnx 恒成立，

令g （x ）=x ﹣2（x ﹣1）lnx ，则a ＞g （x ）max ．

因为g′（x ）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx ﹣1+，

所以g'（x ）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，

故存在x 0∈（1，2）使得g （x ）在（0，x 0）上为增函数，在（x 0，+∞）上是减函数， ∴x=x 0时，g （x ）max =g （x 0）≈0， ∴a ＞0，又因为a ∈Z ，所以a min =1．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;

（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.

6．（1）极小值为()11f =；（2）见解析（3）2121

e a e +-≤≤-

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论1a +与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点0x ,

使得()()00f x g x <成立时实数a 的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数a 的取值范围，最后取补集得结果

试题解析：解：（I ）当1a =时， ()()1

ln '01x f x x x f x x x

-=-⇒=

>⇒>，列极值分布表 ()f x ∴在（0,1）上递减，在

1+∞（，）上递增，∴()f x 的极小值为()11f =；（II ）()1ln a h x x a x x

+=-+ ()()()2

11'x x a h x x ⎡⎤+-+⎣⎦∴=

①当1a ≤-时， ()()'0,h x h x >∴在0+∞（，）上递增； ②当1a >-时， ()'01h x x a >⇒>+，

∴()h x 在0,1a +（）

上递减，在()1,a ++∞上递增；（III ）先解区间[]

1,e 上存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立

()()()0h x f x g x ⇔=-<在[]1,e 上有解⇔当[]1,x e ∈时， ()min 0h x <

由（II ）知

①当1a ≤-时， ()h x 在[]

1,e 上递增， ()min 1202h h a a ∴==+<⇒<- ∴2a <- ②当1a >-时， ()h x 在0,1a +（）

上递减，在()1,a ++∞上递增当10a -<≤时， ()h x 在[]

1,e 上递增， ()min 1202h h a a ∴==+<⇒<- a ∴无解当1a e ≥-时， ()h x 在[]

1,e 上递减

()2min

1101a e h h e e a a e e ++∴==-+⇒-，∴21

e a e +>-；

当01a e <<-时， ()h x 在[]

1,1a +上递减，在()1,a e +上递增 ()()min 12ln 1h h a a a a ∴=+=+-+

令()()

()2ln 121ln 1a a a F a a a

a +-+=

+-+，则()221'01F a a a

=--<+ ()F a ∴在()0,1e -递减， ()()2

101

F a F e e ∴>-=

>-， ()0F a ∴<无解，即()min 2ln 10h a a a =+-+<无解；

综上：存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立，实数a 的取值范围为： 2a <-或21

e a e +>-.

所以不存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，实数a 的取值范围为

点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.

7．（1）1

-（2）21,e ⎛⎤-∞-

⎥⎝⎦

【解析】试题分析：（1）当0a =时，得出函数的解析式，求导数，令()'0f x =，解出x 的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；

（2）求出()'f x ，由于函数()f x 在()0,+∞是增函数，转化为()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，分类参数，利用导数()ln g x x x x =+的最小值，即可求实数a 的取值范围．试题解析：

（1）定义域为()0,+∞．

当0a =时， ()ln f x x x =， ()'ln 1f x x =+．令()'0f x =，得1x e

．当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时， ()'0f x <， ()f x 为减函数；

当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭

时， ()'0f x >， ()f x 为增函数．

所以函数()f x 的极小值是11f e e

⎛⎫=- ⎪⎝⎭

．

（2）由已知得()'ln x a

f x x x

-=+

．因为函数()f x 在()0,+∞是增函数，所以()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，由()'0f x ≥得ln 0x a

x x

≥，即ln x x x a +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立．设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立”，只要()min a g x ≤. 因为()'ln 2g x x =+，令()'0g x =，得21x e

．当210,

x e ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时， ()'0g x <， ()g x 为减函数；

当21,x e ⎛⎫∈+∞

⎪⎝⎭

时， ()'0g x >， ()g x 为增函数．所以()g x 的最小值是22

1g e

e ⎛⎫=-

⎪⎝⎭

．故函数()f x 在()0,+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21,e ⎛

⎤-∞-

⎥⎝

⎦

．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数()f x 在()0,+∞是增函数，所以()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立是解答的关键．

8．（1）见解析；（2）2

1e m e +>.

【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分三种情况讨论，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知，

所以

()()()2

m a x

24f x f a e -=-=+，

()()()

443+160f a e a f --=>-=，

()()2124a f x f x e me --<+恒成立，即()

222144a a e e e me ---++<+恒成立，即()

a m e e ->

+恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出

()

a e e -+的最大值，即可得结果. 试题解析：（1）()()()2x

f x x x a e '=+-

①若2a <-，则()f x 在(),a -∞， ()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减；

②2a =-，则(),-∞+∞在上单调递增；

③若2a >-，则()f x 在(),2-∞-， (),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减；

（2）由1知，当()0,2a ∈时， ()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-单调递减，所以()()()2

max 24f x f a e -=-=+， ()()()4

43+160f a e

a f --=>-=，

故()()()()12max

20f x f x f f -=--= ()()

222414a e a a e e ---++=++，

()()2124a f x f x e me --<+恒成立，

即()

222144a a e e e me ---++<+恒成立

即()

a m e e ->

+恒成立，令()(),0,2x

g x x e =∈，

易知()g x 在其定义域上有最大值()11g e

，

所以2

1e m e +>

导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -* (Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R . (Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2 ()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数 ()1x f x x ae -=-。〔I 〕求函数()f x 单调区间；〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,n n a a a a a a A n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a i A a e i n A -≤=⋅⋅⋅〔2 〕求证：A ≥ 4、函数 b x x a x a x f +++-=2 32 13)(，其中,a b ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数 2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数). (I)当时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数 2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==. 〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足 0'2 0()2(1)3 x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数. 7、函数2 ()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2 [,]a a 上的最大值． 8、函数2 2 1()()ln 2 f x ax x x ax x =-- +.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕；〔II 〕求函数()f x 的单调区间. 9、函数()(1)e (0)x a f x x x =->，其中e 为自然对数的底数. 〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5 e ，求 a 的值. 10、函数36)2(2 3 )(23-++- =x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。 11、函数()x f x e =，()1 g x ax =+〔a 是不为零的常数且a R ∈〕。〔1〕讨论函数()()()F x f x g x =⋅的单调性；〔2〕当1a =-时，方程()()f x g x t ⋅=在区间[]1,1-上有两个解，数t 的取值围；〔3〕是否存在正整数N ，使得当n N + ∈且n N >时，不等式 ()1111201123f f f f n n ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫ -+-+ -++-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，假设存在，找出一个满足条件的N ，并证明；假设不存在，说明理由。 12、设函数()(1)ln(1)(1).f x ax a x a =-++>- 〔1〕求()f x 的单调区间；

高考数学专题：导数恒成立问题(含答案)

1、设函数f(x)＝1 3x 3－ a 2x 2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 2、已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x21. 4、已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x，其中a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围； (3)若?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

导数练习题及答案

导数练习题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案，欢送阅读。 1．函数在某一点的导数是( ) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，那么在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332 ＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt. 当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，

∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2 ∴ΔyΔx＝2＋Δx 当Δx→0时，ΔyΔx→2 ∴f′(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，假设它所经过的路程与时间的关系为 s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，那么t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38 C．39 D．40 [答案] D [解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D. 5．函数y＝f(x)，那么以下说法错误的选项是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量 B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx 之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C. 6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx

导数的练习题及答案

导数的练习题及答案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。掌握导数的概念对于解决各种数学和物理问题至关重要。在这篇文章中，我们将给出一些关于导数的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和应用导数。练习题一：求函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数。解答一：根据导数的定义，我们知道导数可以通过函数的极限来求解。在这个例子中，我们可以使用直接求导的方法来计算导数。首先，我们对每一项使用求导法则。对于 $2x^3$，它的导数是 $6x^2$；对于 $-5x^2$，它的导数是 $-10x$；对于 $3x$，它的导数是 $3$；对于常数项 $-1$，它的导数是 $0$。然后，将这些导数相加，得到函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。所以， $f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$。接下来，我们求函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处的导数。将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = 28$。所以，函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数为 $f'(2) = 28$。练习题二：求函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数。解答二：这个问题涉及到两个函数的乘积，所以我们需要使用乘积规则来求解。

首先，我们将函数 $y = e^x \sin(x)$ 分解为两个函数的乘积：$y = u(x) v(x)$，其中 $u(x) = e^x$，$v(x) = \sin(x)$。然后，我们求出每个函数的导数。对于 $u(x) = e^x$，它的导数仍然是 $e^x$；对于 $v(x) = \sin(x)$，它的导数是 $\cos(x)$。根据乘积规则，函数 $y$ 的导数为 $y' = u'v + uv'$。将以上结果代入，我们得到 $y' = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$。所以，函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数为 $y' = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$。通过这两个例子，我们可以看到导数的计算方法和使用导数解决实际问题的重要性。在数学和物理学中，导数被广泛运用于求解极值、优化问题、速度和加速度等各种变化率相关的问题。通过不断练习导数的计算，我们可以更好地理解和应用这个概念。在学习导数的过程中，我们还可以使用图形、实际问题和其他数学工具进行练习。这样可以更加全面地掌握导数的概念和技巧。希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用导数，提高数学解决问题的能力。

高考压轴题：导数题型及解题方法归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

导数典型例题(含答案)

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f ＇(0)=x f x f x ∆-∆+→∆) 0()0(lim = x x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0 )100()2)(1(lim =lim 0 →∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 1121221 +++++ + ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim = . 解 ∵ x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim =2x f x f x ∆-∆+→∆2) 2()22(lim + []x f x f x ∆--∆-+→∆-) 2()(2lim =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆) ()(000 lim ，也可以是 00 )()(lim x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

(完整版)导数难题(含答案)

一、单选题 1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x f x e <的解集为（） A. ()0,+∞ B. 21,e ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭ C. 21,e ⎛ ⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（） A. ()()2 24 f e f e > B. ()()931f f > C. ()()2 39 f e f e -< D. ()()2 24 f e f e -< 3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()2 10x f f x x ⎛⎫ -> ⎪⎝⎭ 的解集为（） A. ()1,+∞ B. (),1-∞ C. ()2,+∞ D. (),2-∞ 二、解答题 4．已知函数()()2 ln f x ax x a R =-+∈ . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.

5．设函数()() 222ln f x x ax x x x =-++-．（1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值． 6．已知函数()()()1ln ,a f x x a x g x a R x +=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值；设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；若在区间[] ()1, 2.71828e e =⋯上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.

高中数学导数难题练习题带答案

高中数学导数难题一．选择题（共20小题） 1．对于任意的x∈[0，]，总存在b∈R，使得|sin2x+a sin x+b|≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣1，1] 2．设k，b∈R，若关于x的不等式ln（x﹣1）+x≤kx+b在（1，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e﹣1 3．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e 4．已知曲线在x＝x1处的切线为l1，曲线y＝lnx在x＝x2处的切线为l2，且l1⊥l2，则x2﹣x1的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D． 5．若对任意的a∈R，不等式e2a+a2+b2﹣2ab≥20恒成立，则实数b的取值范围是（） A．b B．b≥3+ln2C．b≥4+ln2D．b≥5+ln2 6．已知曲线f（x）＝lnx+ax+b在x＝1处的切线是x轴，若方程f（x）＝m（m∈R）有两个不等实根x1，x2，则x1+x2的取值范围是（） A．（0，）B．（0，1）C．（2，+∞）D．（4，+∞） 7．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（） A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点 B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点 C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点 D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞1 8．定义在R上的函数f（x）满足e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），且对任意的x≥1都有f'（x）+2f（x）＞0（其中f'（x）为f（x）的导数），则下列一定判断正确的是（） A．e4f（2）＞f（0）B．e2f（3）＜f（2） C．e10f（3）＜f（﹣2）D．e6f（3）＜f（﹣1） 9．已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0，则（）A．a＜0B．a＞0C．b＜0D．b＞0 10．已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为（） A．B．C．D． 11．已知函数y＝f（x）在R上的图象是连续不断的，其导函数为f'（x），且f'（x）＞﹣f（x），若对于∀x＞0，不等式xf（lnx）﹣e ax f（ax）≤0恒成立，则实数a的最小值为（）

高考数学真题导数专题及答案

2019年高考真题导数专题一.解答题(共12小题) 1.已知函数f (x) =ae2x+ (a - 2) e x - x. (1)讨论f (x)的单调性； (2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围. 2.已知函数f (x) =ax2 - ax - xlnx, 且f (x)三0. (1)求a； (2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0, 且e-20, b£R)有极值，且导函数f' (x) 的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b2>3a； (3)若f (x) , f’ (x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求a的取 2 值范围. 5.设函数f (x) = (1 - x2) e x. (1)讨论f (x)的单调性； (2)当x N0时， f (x)W ax+1, 求a的取值范围. 6.已知函数f (x) = (x- -..-iTT) e-x (x^L). 2 (1)求f (x)的导函数； (2)求f (x)在区间［工 +8)上的取值范围. 2 7.已知函数f (x) =x2+2cosx, g (x) =e x (cosx - sinx+2x - 2), 其中e - 2.17828…是自然对数的底数. (I )求曲线y=f (x)在点(n, f (n))处的切线方程； (口)令h (x) =g (x)-a f (x) (a£R), 讨论h (x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 8.已知函数f (x) =e x cosx - x.

数学导数专题练习题及答案

数学导数专题练习题及答案一、单选题 1．若对任意的12,(,)x x m ∞∈+，且1221 1221 ln ln , 2x x x x x x x x -<<-，则m 的最小值是（） A ．2e B ．1e C ． 21e D ．e 4 2．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y （件）与商品售价x （元）的关系为e x y -=，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x （元）为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．下列求导错误的是（） A ．'= B ．222 21(1)'⎛⎫+= ⎪++⎝⎭x x x x x C ．()2113e 23e x x x x --'+=+ D ．(cos )cos sin x x x x x '=- 4．若曲线()e x f x x =-在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b +的最大值为（） A ．e 1- B ．1 C ．e 1+ D ．e 5．函数2()e ln x f x x x x -=--的零点个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．下列各式中正确的是（） A ．()1ln 22 '= B ．()33x x '= C ．若()21 f x x =，则()2327f '=- D ．()21 log ln 2x x '= 7．函数3 1226 y x x =-+的极小值点是（） A ．2 B ．（2， 2 3 -） C ．-2 D ．（-2， 143 ） 8．已知函数2()()f x x x m =-在1x =-处有极小值，则实数m 的值为（） A ．3 B ．－1或－3 C ．－1 D ．－3 9．已知函数()2e x f x x =+，则不等式()()21f x f x -<的解集为（） A ．(),1-∞ B ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．1 ,12 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ 10．已知函数ln ()3x f x x =+，则0(1)(12) lim x f f x x →-+=（） A ．12 - B ．1 4 - C ．1 2 D ．14 11．已知正项数列{}n a 满足1 *()n n a n n =∈N ，当n a 最大时，n 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

导数难题

重点、难点、经典导数习题教案例1 已知函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . (1)求函数f (x )的单调区间； (2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【解答】 (1)因为f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，从而f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 有极大值有极小值所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－13，1. (2)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x . 因为函数g (x )在区间[－3,2]上单调递增，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0即可，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．【点评】 (1)含有参数的动态函数中若参数出现在函数的常数项，则不影响函数的单调性； (2)函数g (x )在[a ，b ]上单调递增，等价为g ′(x )≥0在[a ，b ]上恒成立． (3)在解决本题的第二问中，不难发现形如g (x )＝f (x )·e x 或g (x )＝f (x )e x 再求导后，所得导函数方程与e x 无关．例2. 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x (a 为实常数)． (1)若a ＝－2，求证：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 值．【解答】 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x . 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝2(x 2－1)x >0，故函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (2)f ′(x )＝2x 2＋a x ，当x ∈[1，e]时，2x 2＋a ∈[a ＋2，a ＋2e 2]．若a ≥－2，f ′(x )在[1，e]上非负(仅当a ＝－2，x ＝1时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是增函数，此时[f (x )]min ＝f (1)＝1. 若－2e 2