导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*

(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .

(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；

〔Ⅲ〕设2

()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，

求a 的取值围. 3、设函数

()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；

〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,n

n a a a a a a A n

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记

〔1〕求证：()11,2,i a i

A

a e i n A

-≤=⋅⋅⋅〔2

〕求证：A ≥

4、函数

b x x a x a x f +++-=2

32

13)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数

2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).

(I)当时，求函数()f x 的极值；

(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数

2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.

〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；

〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；

〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足

0'2

0()2(1)3

x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.

7、函数2

()ln (2)f x x ax a x =-+-．

〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2

[,]a a 上的最大值． 8、函数2

2

1()()ln 2

f x ax x x ax x =--

+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.

9、函数()(1)e (0)x

a f x x x

=->，其中e 为自然对数的底数.

〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；

〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5

e ，求

a 的值.

10、函数36)2(2

3

)(23-++-

=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；

〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

11、函数()x

f x e =，()1

g x ax =+〔a 是不为零的常数且a R ∈〕。 〔1〕讨论函数()()()F x f x g x =⋅的单调性；

〔2〕当1a =-时，方程()()f x g x t ⋅=在区间[]1,1-上有两个解，数t 的取值围； 〔3〕是否存在正整数N ，使得当n N

+

∈且n N >时，不等式

()1111201123f f f f n n ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

-+-+

-++-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

恒成立，假设存在，找出一个满足条

件的N ，并证明；假设不存在，说明理由。 12、设函数()(1)ln(1)(1).f x ax a x a =-++>-

〔1〕求()f x 的单调区间；

〔2〕当0a >时，设()f x 的最小值为(),()g a g a t <若恒成立，数t 的取值围。 13、设函数f (*)=a*3

-(a +b )*2

+b*+c ，其中a ＞0，b ，c ∈R ．

(1)假设1

()3

f '=0，求函数f (*)的单调增区间；

(2)求证：当0≤*≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．(注：ma*{a ，b }表示a ，b 中的最大值)

14、函数()11ln )(2

+-+=x p x p x f .

〔Ⅰ〕讨论函数)(x f 的单调性；

〔Ⅱ〕当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，数k 的取值围； 〔Ⅲ〕证明：n

n 1

31211)1ln(++++

<+ )(*N n ∈. 15、)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ，2

)1()(x x f x f ++='恒成立．

(Ⅰ)求)(x f 的解析表达式；

(Ⅱ)设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值． 16、设函数2()ln f x x a x =-

与1

()g x x a

=

1x =于点A ，

B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行。 〔1〕求函数(),()f x g x 的表达式；

〔2〕当1a >时，求函数()()()h x f x g x =-的最小值； 〔3〕当12a =

时，不等式()()f x m g x ≥⋅在11

[,]42

x ∈上恒成立，数m 的取值围。 1.设函数321

()(1)4243

f x x a x ax a =--++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(*)的单调性;

(Ⅱ)假设当*≥0时，f(*)>0恒成立，求a 的取值围。

2、三次函数c bx ax x x f +++=23)(在y 轴上的截距是2，且在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，在〔－1，2〕上单调递减. (Ⅰ)求函数f (*)的解析式；

(Ⅱ)假设m >－1，设函数)ln()1()

2(3)

()(m x m x x f x h ++--'=

，求)(x h 的单调区间.

3、a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++． (1) 假设(1)0f '-=，求函数y =

()f x 在[－

3

2

，1]上的最大值和最小值； (2)假设函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值围． 4、设函数x x f ln )(=，x

b ax x g +=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函

数)(x g 的图象上，且在此点有公切线. 〔1〕求a 、b 的值；

〔2〕证明：当10≤x 时，)()(x g x f <. 5、向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，〔其中实数y 和x 不同时为零〕，当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．

(1) 求函数式()y f x =；〔2〕求函数()f x 的单调递减区间；

〔3〕假设对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，数m 的取值围． 6、函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++

〔1〕如3a b ==-，求()f x 的单调区间；

〔2〕假设()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明

βα->6.

7、函数b

x ax

x f +=

2

)(在1=x 处取得极值2. 〔1〕求函数)(x f 的表达式；

〔2〕当m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增？ 〔3〕假设),(00y x P 为b x ax x f +=

2)(图象上任意一点，直线l 与b

x ax

x f +=2

)(的图象切于点P ，求直线l 的斜率k 的取值围。

8、函数f 〔*〕=a*+ln *，其中a 为实常数，设e 为自然对数的底数. 〔Ⅰ〕假设f 〔*〕在区间〔0，e ]上的最大值为－3，求a 的值； 〔Ⅱ〕当a =－1时，试推断方程| f 〔*〕|=2

1

ln +x x 在〔0，2〕是否有实数解.

函数与导数解答题

1、解：〔I 〕x

x

e k kx x e k x x

f ---+-+-=)1)(2()4()(2

'

=x x

e x k

x e

k x k x -----=-++-)2)(2

(2]2)4(2[2

………………3分

)(,0)2()(42'x f e x x f k x ∴≤--==∴-时，在R 上单调递减，

所以，f(*)无极值…………………………6分 〔II 〕当4≠k 时，令0)2)(2(2)('

=--

-=-x e x k x x f ，得2,2

21==x k

x （1） k<4时，22

，有

令0)2(=k f ，得02

)2(22=+⨯-⨯k k

k k ，即k=0.……………………9分

〔2〕k>4时，

22

>k

，有 令0)2(=f ，得k=8所以，由〔1〕〔2〕知，k=0或8时，)(x f 有极小值0

2、解：(Ⅰ)由1

()2(0)f x x x

'=+>，………………2分

(1)213f '=+=.

故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.………………4分 (Ⅱ)11

'()(0)ax f x a x x x

+=+

=>.………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………6分

②当0a <时，由'()0f x =，得1

x a

=-.

在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1

(,)a -+∞上()0f x '<，

所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1

(,)a

-+∞.

………………7分

〔Ⅲ〕由，转化为max max ()()f x g x <.………………8分

max ()2g x =………………9分

由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意.

(或者举出反例：存在33

(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)………………10分

当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1

(,)a -+∞上单调递减，

故()f x 的极大值即为最大值，1

1

()1ln()1ln()f a a a

-=-+=----，………11分 所以21ln()a >---， 解得31

e

a <-

.………………12分 3、解：〔I 〕1

()1x f x ae

-'=-………………1分

当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上是增函数…………2分 当0a >时，令()0f x '=得1ln x a =-……………………3分

假设1ln x a <-则()0f x '>，从而()f x 在区间(,1ln )a -∞-上是增函数 假设1ln x a >-则()0f x '<，从而()f x 在区间(1ln ,)a -+∞上是减函数 综上可知：当0a ≤时，()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数。当0>a 时，在区间

(,1ln )a -∞-上是增函数，()f x 在区间(1ln ,)a -+∞上是减函数…………4分

〔II 〕由〔I 〕可知：当0a ≤时，()0f x ≤不恒成立…………5分 又当0a >时，()f x 在点1ln x a =-处取最大值， 且ln (1ln )1ln ln a

f a a ae a --=--=-………………6分

令ln 0a -≤得1a ≥

故假设()0f x ≤对x R ∈恒成立，则a 的取值围是[)1,+∞……7分 〔III 〕证明：〔1〕由〔II 〕知：当1a =时恒有1

()0x f x x e

-=-≤成立

即1

x x e

-≤1i

a i

A a e A

-∴≤………………9分 〔2〕由〔1〕知：111a A a e A -≤；2

12a A a e A -≤；……；1n a n A

a e A -≤ 把以上n 个式子相乘得12121n

a a a n

n

A

n

a a a e A

++

+-≤=12

n

n

A a a a ∴≥

故2n A a ≥

(12)

4、解：〔Ⅰ〕2

()(1)1f x ax a x '=-++，------------1分

由导数的几何意义得(2)5f '=，于是3a =．-----------------3分

由切点(2,(2))P f 在直线54y x =-上可知26b +=，解得4b =．-----5分 所以函数()f x 的解析式为3

2

()24f x x x x =-++．------------6分

〔Ⅱ〕2

1()(1)1()(1)f x ax a x a x x a

'=-++=--，------------------7分

当01a <<时，11a >，函数()f x 在区间(, 1)-∞及1

(, )a

+∞上为增函数； 在

区

间1

(1, )

a

上为减函数；

--------------------------------------------------------9分

当1a =时，

1

1a =，函数()f x 在区间(,)-∞+∞上为增函数；------------------10分 当1a >时，11a <，函数()f x 在区间1

(, )a -∞及(1, )+∞上为增函数；

在区间1

(, 1)a

上为减函数．--------------------------12分

命题意图：此题考察了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。

5、解：〔I 〕当1=a 时，x

e

x x x f -⋅+-=)12()(2

，

x x x e x x e x x e x x f ---⋅---=⋅+--⋅-=')3)(1()12()22()(2………………2分

当x 变化时，)(x f ，)(x f '的变化情况如下表：

所以，当1=a 时，函数)(x f 的极小值为0)1(=f ，极大值为3

4)3(-=e f .……………5分

〔II 〕]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---x ax ax e e x ax e

ax x f x x x

令3)1(2)(2

++-=x a ax x g

①假设0=a ，则32)(+-=x x g ，在)11(，-，0)(>x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在区间]11

[，-上单调递减.………………7分

②假设0>a ，则3)1(2)(2

++-=x a ax x g ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为

11

>+=

a

a x ，

当且仅当0)1(≥g ，即10≤

(，-0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11

[，-上单调递减.………………9分 ③假设0

++-=x a ax x g ，其图象是开口向下的抛物线，

当且仅当⎩

⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，即035

<≤-a 时，在)11

(，-0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11

[，-上单调递减.………………………11分 综上所述，函数)(x f 在区间]11

[，-上单调递减时，a 的取值围是13

5

≤≤-a ．…12分 6、解：〔Ⅰ〕因为2()(33)(23)(1)x x x

f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅--------------1分 由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,

所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减--------------3分 要使)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤-------------4分 〔Ⅱ〕因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减，

∴()f x 在1x =处有极小值e -------------5分

又213

(2)f e e

-=<，

∴()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f --------------7分 从而当2t >-时,(2)()f f t -<，即m n <-------------8分 〔Ⅲ〕证：∵0'2000

()x f x x x e =-，又∵0'2

0()2(1)3x f x t e =-， ∴22

002(1)3x x t -=-,

令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程22

2()(1)3

g x x x t =---=0在(2,)t -上

有解,并讨论解的个数-------------9分

∵222

(2)6(1)(2)(4)33

g t t t -=-

-=-+-, 221

()(1)(1)(2)(1)33

g t t t t t t =---=+-,----------------10分

① 当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,

所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解----------------11分

②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22

(0)(1)03

g t =-

-<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解-------------------12分

③当1t =时,2

()001g x x x x x =-=⇒==或,故()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或,

所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解-------------------13分

综上所述,对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0

'20()2

(1)3

x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；

当14t <<时,有两个0x 适合题意.--------------14分

〔说明:第〔3〕题也可以令2

()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明

22

(1)3

t -在其值域〕 7、解：〔Ⅰ〕∵2

()ln (2)f x x ax a x =-+-，∴函数的定义域为(0,)+∞．1分

∴2112(2)(21)(1)

()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x

-+---+'=-+-==．3分

∵()f x 在1x =处取得极值，

即(1)(21)(1)0f a '=--+=，∴1a =-．5分

当1a =-时，在1

(,1)2

()0f x '<，在(1,)+∞()0f x '>， ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =-．6分 〔Ⅱ〕∵2

a a <，∴01a <<．7分

∵*∈(0,)+∞，∴10ax +>，∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2

+∞上单调递减，

9分

①当102

a <≤

时，()f x 在2

[,]a a 单调递增， ∴32

max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-；10分

②当2121

2

a a ⎧>⎪⎪⎨

⎪<⎪⎩

，即122a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减， ∴max 1

2()()ln 21ln 22424

a a a f x f -==--

+=--；11分 ③当

21

2

a ≤

，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减， ∴2532

max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．12分

综上所述，当102

a <≤

时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32

ln 2a a a a -+-；

当

122a <<时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24

a --；

当2

a ≥

时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是532

2ln 2a a a a -+-．13分 8、解：〔I 〕当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-，………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-，………………………4分

所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 〔II 〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞

21

'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x

=-+--+=-，…………………6分

①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <

所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减；……………………………………8分

②当102a <<

时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1

(1,)2a

上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1

(1,)2a

上递减；……………………10分

③当1

2

a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，

所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………12分 ④当12a >

时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1

(,1)2a

上'()0f x < 所以()f x 在1(0,

)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1

(,1)2a

上递减…………………14分 9、解：〔Ⅰ〕22

()e x

x ax a f x x

-+'=，3分 当2a =时，2222()e x x x f x x -+'=，1

2

122(1)e e 1

f -+'=⨯=，(1)e f =-， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-，5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-，6分 所以，所求面积为

1

22e 2e 2

⨯⨯-=.7分 〔Ⅱ〕因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，

所以，方程2

0x ax a -+=在(0,)+∞存在两个不等实根，8分

则240,

0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩

9分 所以4a >.10分

设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点， 则12x x a +=，12x x a =，11分

因为，5

12()()e f x f x =， 所以，

12

51212

e e e x x x a x a x x --⨯=，12分 即1225121212

()e

e x x x x a x x a x x +-++=，

22

5e e a

a a a a

-+=，5e e a =， 解得，5a =，此时()f x 有两个极值点， 所以5a =.14分

10、

〔Ⅲ〕方程2()f x x x a =++,12ln(1)0x a x -+-+=. 记()12ln(1)g x x a x =-+-+,∵/21()111x g x x x -=-=++,

由/()0g x >,得*>1或*<-1〔舍去〕.由/()0g x <,得11x -<<.

∴g (*)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.………………………………10分 为使方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，

只须g(*)=0在[0,1]和(1, 2]上各有一个实数根,于是有(0)0,

(1)0,

(2)0.g g g ≥⎧⎪<⎨

⎪≥⎩

∵22ln 232ln3-<-,………………………………11分

∴实数a 的取值围是22ln 232ln3a -<≤-.………………………12分 11、解：〔1〕因为()()1x

F x ax e =+，

所以()()'1x x

F x ae ax e =++11x

ae x a ⎛⎫

=++

⎪⎝⎭

，……………………1分 当0a >时，()1'01F x x a

>⇔>--

， 所以()F x 在区间1(,1)a

-∞--上是减函数，在区间1

(1,)a

--+∞上是增函数；……3分 当0a <时，()1'01F x x a

<⇔>--

， 所以()F x 在区间1(,1)a

-∞--上是增函数，在区间1

(1,)a

--

+∞上是减函数；……5分 〔2〕当1a =-时，由〔1〕知道()F x 在区间(),0-∞上是增函数，在区间()0,+∞上是减函数，所以当0x =时取得极大值()01F =，……………………7分

又()()2

1,10F F e

-=

=，方程()()f x g x t ⋅=在区间[]1,1-上有两个解， 实数t 的取值围是2

[,1)e

；……………………………………………………9分

〔3〕存在4022

2

N =.由〔2〕知道当1a =-时，11F n ⎛⎫

-

< ⎪⎝⎭即1111f n n ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

即11111111n f n n n n

⎛⎫-

<==- ⎪++⎝⎭+

……………………11分 所以()111111

1123234

1f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

-+-+-++-<-+++

+

⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

…12分 当4022

2

n >时，

402140214022402240224022111111111111

11234

123456782122

211111111

111

4022201124488882

222

n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++

>+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪

+++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫>

++++++++++

+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭所以：()1111201123f f f f n n ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

-+-

+-++-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

。……………………14分

12、〔Ⅰ〕解：11

()(1)11

a ax f x a x x x +-'=-

=>-++，┄┄┄┄┄┄1分

当0a =时，1

()01

f x x '=-

<+， 所以函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间；

当0a ≠时，1()

()1

a x a f x x -'=

+， 假设0a >，由()0f x '>得1x a >，由()0f x '<得1

1x a -<<，

所以函数()f x 的减区间为1(1,)a -，增区间为1

(,)a

+∞；

假设10a -<<，此时11a ≤-，所以1()

()01

a x a f x x -'=<+， 所以函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间；

综上，当10a -<≤时，函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间， 当0a >时，函数()f x 的减区间为1

(1,)a -，增区间为1(,)a

+∞．┄6分

(Ⅱ)解：由〔Ⅰ〕得，11

()()1(1)ln(1)g a f a a a ==-++，┄┄┄┄┄┄7分 因为0a >，所以()111()0(1)ln(1)0g a t t

g a t a a a a a a

<⇔-<⇔-++-<，

令()(1)ln(1)(0)h x x x x tx x =-++->，则()0h x <恒成立，

由于()ln(1)h x x t '=-+-，

当0t ≥时，()0h x '<，故函数()h x 在(0,)+∞上是减函数， 所以()(0)0h x h <=成立；┄┄┄┄┄┄10分 当0t <时，假设()0h x '>得01t

x e -<<-， 故函数()h x 在(0,1)t

e --上是增函数，

即对01t

x e -<<-，()(0)0h x h >=，与题意不符；

综上，0t ≥为所求．┄┄┄┄┄┄12分

13、解：(1)由1

()3

f '=0，得a =b ．…………………………………………………1分

故f (*)=a*3

－2a*2

+a*+c ．

由()f x '=a (3*2

－4*+1)=0，得*1=13

，*2=1．…………………………………2分

列表：

由表可得，函数f (*)的单调增区间是(-∞，1

3

)及(1，+∞)．……………………4分

(2)()f x '=3a*2

-2(a +b )*+b =3222()33a b a b ab

a x a a

++---

． ①当1,033a b a b a a

++≥或≤时，则()f x '在[0,1]上是单调函数，

所以(1)f '≤()f x '≤(0)f '，或(0)f '≤()f x '≤(1)f '，且(0)f '+(1)f '=a >0． 所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．………………………………………………8分

②当013a b

a +＜＜，即-a ＜

b ＜2a ，则223a b ab a +--

≤()f x '≤max{(0),(1)}f f ''． (i)当-a ＜b ≤

2a 时，则0＜a +b ≤32

a

． 所以(1)f '223a b ab a +--＝22223a b ab a --＝223()3a a b a -+≥21

4a ＞0．

所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．……………………………………………12分 (ii)当

2a ＜b ＜2a 时，则()(2)2

a b b a --＜0，即a 2+b 2

－52ab ＜0． 所以2

2

3a b ab b a +--=2

2

43ab a b a

--＞22

5

23ab a b a --＞0，即(0)f '＞223a b ab a +-．

所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．

综上所述：当0≤*≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．……………………16分

14、解：〔Ⅰ〕()f x 的定义域为〔0，+∞〕，()()()x

p

x p x p x p x f +-=-+=2'

1212…2分

当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在〔0，+∞〕单调递增；

当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在〔0，+∞〕单调递减；……………4分

当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得()

12--=p p

x .

则当()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--

∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞+--,12p p 单调递减.…………6分 〔Ⅱ〕因为0>x ，所以当

1

=p 时，kx x f ≤)(恒成立x

x

k kx x ln 1ln 1+≥⇔≤+⇔

令x x

x h ln 1)(+=

，则max )(x h k ≥,……………8分 因为2

ln )('x x

x h -=，由0)('=x h 得1=x ，

且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)('

所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ，故1≥k ……10分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln -

令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1

ln )1ln(<-+…………12分 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 11ln <+，

相加得n

n n 1

2111ln 23ln 12ln ++<+++

而)1ln(12

3

12ln 1ln 23ln 12ln

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅=+++n n n n n 所以n

n 1

31211)1ln(++++

<+ ，)(*N n ∈.……………………14分 15、解：(Ⅰ)设c bx ax x f ++=2

)(〔0≠a 〕，则b ax x f +=2)('，……(2分)

c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+)2()1()1()1(22．

由，得2

2(1)(2)ax b a x a b x a b c +=++++++，

∴⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=+=+b c b a a b a a 220

1，解之，得1-=a ，0=b ，1=c ， ∴1)(2

+-=x x f ．………(4分)

(Ⅱ)由〔1〕得，)1,(2

t t P -，切线l 的斜率t t f k 2)('-==，

∴切线l 的方程为)(2)1(2

t x t t y --=--，即122

++-=t tx y ．……………(6分)

从而l 与x 轴的交点为)0,21

(2t

t A +，l 与y 轴的交点为)1,0(2+t B ， ∴t

t t S 4)1()(2

2+=〔其中0>t 〕．……………(8分)

∴2

24)

13)(13)(1()('t t t t t S -++=．………………(9分)

当33

0<

当3

3

>t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数．……………(11分)

∴93

433)]([min =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=S t S ．…………(12分) 16、解：〔1〕由2

()ln f x x a x =-，得22()x a

f x x

-'=，…………………………2分

由1

()g x x a =

，得'()g x =

．又由题意可得(1)(1)f g ''=，

即222a a a --=

，故2a =，或1

2

a =．………………………………4分 所以当2a =时，2()2ln f x x x =

-,1

()2

g x x =；

当12a =时，21

()ln 2

f x x x =

-，()2g x x =-

由于两函数的图象都过点(1,1)，因此两条切线重合，不合题意，故舍去

.

∴所求的两函数为2()2ln f x x x =-

,1

()2

g x x =

……………………6分 〔2〕当1a >

时，2

1

()()()2ln 2

h x f x g x x x x =-=--+

1)=⎣⎦

，………………………8分

由0x >

0>，

故当(0,1)x ∈时，()0h x '<,()h x 递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>,()h x 递增, 所以函数()h x 的最小值为13

(1)12ln1122

h =--+=．…………………10分 〔3〕12a =

，21

()ln 2

f x x x =-

,()2g x x = 当11[,)42x ∈时,2

1()ln 2f x x x =-,2141'()2022x f x x x x -=-=<，

()f x 在1142⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上为减函数，111()()ln 20242f x f =+>≥，…………12分

当11

[,)42

x ∈时

，()2g x x =

'()20g x =>， ()g x 在1142⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，

上为增函数，1()()122g x g =-

≤，且1()()04g x g =≥．14分 要使不等式()()f x m g x ⋅≥在11,42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

上恒成立，当14x =时，m 为任意实数；

当11

(,]42

x ∈时，()

()f x m g x ≤

，而min

1

()

()21()()2

f f x

g x g ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.

所以(2ln(4e)4

m +≤

.………………………………………………16分 1.解：〔I 〕

)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='

由1>a 知，当2'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数；

当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；

当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a

时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

〔II 〕由〔I 〕知，当0≥x

时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a f 24)0(=由假设知

⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>>-+->.

024,0)6)(3(34,

1a a a a a 解得 1

c bx ax x x f +++=23)(在y 轴上的截距是2，∴f (0)=2, ∴c =2.

又)(x f

在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，

〔－1，2〕上单调递减， 023)(2=++='∴b ax x x f 有两个根为－1，2，

3

2231233()62226123a a f x x x x b b ⎧

-+=-⎧⎪=-⎪⎪∴∴∴=--+⎨⎨⎪⎪=--⨯=⎩⎪⎩

，

(Ⅱ)

2'()3363(1)(2)f x x x x x =--=+-，

)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且，

m

x x m x m x h +-=

++-='∴1

11)(， 当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得* >1，由0)(<'x h 得* <1. 故在〔1，2〕，〔2，+∞〕上单调递增；在)1,(m -上单调递减.

3、解 (1)∵(1)0f '-=，∴3210a -+=，即2a =． ∴

21()3413()(1)3f x x x x x '=++=++．由()0f x '>，得1x <-或1

3

x >-；

.

由()0f x '<，得113x -<<-．因此，函数()f x 的单调增区间为3[1]2--，，1

[1]3

-，；

单调减区间为1

[1]3

--，．

()f x 在1x =-取得极大值为(1)2f -=；()f x 在13x =-取得极小值为150

()327

f -=

． 由∵3

13

()28

f -=，(1)6f =且5027>

138 ∴()f x 在[－

32

，1]上的的最大值为(1)6f =，最小值为313

()28f -=．

(2) ∵3

2

()f x x ax x a =+++，∴2

()321f x x ax '=++．∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴

()0f x '=有实数解．∴

244310a =-⨯⨯≥，∴23a ≥，即 a a ≤≥

或．

因此，所数a 的取值围是([3)-∞-+∞，

，．

4、解：〔1〕

x x f ln )(=的图象与*轴的交点坐标是〔1，0〕

，依题意，得0)1(=+=b a g ①又x

x f 1

)(='，2

)(x b a x g -

='，且

)(x f 与)(x g 在点〔1，0〕处有公切线，∴1)1()1(='='f g 即1=-b a ②

由①、②得21=a ，21-=b 20. 因2

22/

)()2()()(b x x ax b x a x f +-+=

… 2分

而函数

b

x ax

x f +=

2)(在1=x 处取得极值2

所以 ⎩⎨⎧==2)1(0)1(/f f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+210

2)1(b

a a

b a ⇒⎩⎨

⎧==14b a 所以

2

14)(x x

x f +=

为所求 ……………… 4分

〔2〕由〔1〕知

2

22222/

)

1()1)(1(4)1(8)1(4)(x x x x x x x f ++--=+-+= 可知，

)(x f 的单调增区间是]1,1[-

所以，⎪⎩

⎪

⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ⇒01≤<-m

所以当]1,1(-∈m 时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增 ………… 9分

〔3〕由条件知，过

)(x f 的图形上一点P 的切线l 的斜率k 为：

2

202

02

202

00/)

1(214)

1()1(4)(x x x x x f k ++--⨯

=+-=

=]11

)1(2[

42

220x x +-+=令

2

11x t +=

，则

]1,0(∈t , 此时 ，2

1

)41(8)21(822--=-=t t t k

根据二次函数2

1)41(82--=t k 的图象性质知：当41=t 时，21

min -=t 当1=t 时，4max =t

所以，直线l 的斜率k 的取值围是]4,2

1

[- ……………… 14分

〔2〕令)()()(x g x f x F -=则)2121(ln )(x

x x x F --=x x x 21

21ln +

-= ∴0)11(2121211)(2

2

≤--=--='x

x x x F ∴)(x F 在) ,0(∞+上为减函数 当10<<

x 时，0)1()(=>F x F ，即)()(x g x f >；

当1=x 时，0)1(=F ，即)()(x g x f =； 当1>x 时，0)1()(=

5、解：〔1〕当|

|2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，

33y x x =-；〔||2x <且0x ≠〕当||2x ≥时，由//a b .得23

x

y x =-

------------------4

分

∴32

3,(220)

().(22)3x x x x y f x x x x x ⎧--<<≠⎪

==⎨≥≤-⎪-⎩

且或---------------------------5分

〔2〕当|

|2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0,解得(1,0)(0,1)x ∈-，--------------6分

1-1• • )

(/x f 负

正

负

当||2x ≥时，22

2222

(3)(2)3'0(3)(3)

x x x x y x x ---+==>--------------------------------8分 ∴函数

()f x 的单调减区间为〔－1，０〕和〔０，1〕-----------------------------------9分

〔3〕对(,2]

x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-，也就是2

3x

m x ≥

-对

(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，-------------------------------------------11分

由〔2〕知当|

|2x ≥时，

22

2222

(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--

∴函数

()f x 在(-,-2]∞和[2,+)∞都单调递增-----------------------------------------------12分

又

2(2)234f --=

=-，2

(2)234

f ==-- 当2x ≤-时2

()03x

f x x =>-，∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤

同理可得，当2x ≥时，有2()0f x -≤<，

综上所述得，对(,2]

x ∈-∞-[2,)+∞，()f x 取得最大值2；

∴实数m 的取值围为2m ≥.----------------------------------------------------------------14分 6、解：〔1〕当3a b ==-时，

32()(333)x f x x x x e -=+--，故

当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时，

从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.

(2)

3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-

由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故从而

因为

'()'()0,f f αβ==所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---

将右边展开，与左边比拟系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故

又(2)(2)0,2()40.β

ααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-于是 6.βα->

7.解： 因

2

22/

)()2()()(b x x ax b x a x f +-+=

… 2分而函数b x ax

x f +=2)(在1=x 处取得极值2

所以 ⎩⎨⎧==2)1(0)1(/f f ⇒⎪⎩⎪

⎨⎧=+=-+2102)1(b

a a

b a ⇒⎩⎨

⎧==14b a 所以

2

14)(x x

x f +=

为所求 ……………… 4分

〔2〕由〔1〕知

2

22222/

)

1()

1)(1(4)1(8)1(4)(x x x x x x x f ++--=+-+= 可知，

)(x f 的单调增区间是]1,1[-

所以，⎪⎩

⎪

⎨⎧+<≤+-≥121121

m m m m ⇒01≤<-m

所以当]1,1(-∈m 时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增

………… 9分 〔3〕由条件知，过

)(x f 的图形上一点P 的切线l 的斜率k 为：

令2

11x t

+=

，则]1,0(∈t , 此时 ，2

1

)41(8)21(822--=-=t t t k

根据二次函数2

1)41(82--=t k

的图象性质知：当41=t 时，21

min -=t 当1

=t 时，4max =t 所以，直线l 的斜率k 的取值围是]4,21

[-…………… 14分

8、解：〔Ⅰ〕∵)(x f '=a +x 1，*∈(0，e)，x

1

∈［e 1，+∞)

〔1〕假设a ≥－e

1

，则)(x f '≥0，从而f (*)在(0，e )上增函数.∴f (*)ma* =f (e )=ae +1≥0.不合题意.

1

-

1

•

•

)

(/x f

)

(x f

负

正

负

〔2〕假设a <－

e 1，则由)(x

f '>0⇒a +x 1>0，即0<*<－a 1 由f (*)<0⇒a +x 1<0，即－a 1<*≤e .∴f (*)m ax =f (－a 1)=－1+ln(－a

1

).

令－1+ln(－a 1)=－3，则ln(－a 1)=－2.∴－a

1=e 2

-，即a =－e 2

. ∵－e 2

<－e 1，∴a =－e 2

为所求.

〔Ⅱ〕当a =－1时，f (*)=－*+ln *，)(x f '=－1+x 1=x

x

-1.当0<*<1时，)(x f '>0；当１<*<２时，)(x f '<0.

∴f (*)在〔0，1〕上是增函数，在〔1，２〕上减函数.从而f (*)m ax =f (1)=－1.∴f (*)=－*+ln *≤－1，从而|f(*)| =*－ln *且ln *≤*－1. 令g(*)=|f(*)|－

x x ln —21=*－ln *－x x ln －21=*－(1+x

1)ln*－

2

1

当0<*<2时，有g(*)≥*－(1+

x 1)(*－1)－21=x 1－21>0. 即|f (*)|>2

1

ln +x x .故原方程没有实解.