导数大题10种主要题型导学案含详解
导数大题10种主要题型（一）预习案
题型一：构造函数
1.1 “比较法”构造函数
例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x．
1.2 “拆分法”构造函数
例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
1.3 “换元法”构造函数
例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣；
（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．
1.4 “二次（甚至多次）”构造函数
例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；
（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．
题型二：隐零点问题
例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．
（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．
例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
导数大题10种主要题型（一）预习案答案
例1． 解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2．
∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2．
当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；
当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．
∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值．
（2）证明：方法一（作差法）
令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得：
g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增，
因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ．
方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x
例2． 解：（Ⅰ） 函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
， 由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2.
（Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法）
由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于，
设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当
时，g '（x ）＜0， 当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在
单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为．
设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ），
所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，
故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为．
综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．
方法二（放缩法）
例3． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，
∵切线与直线x +3y ＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f ′（1）＝3，即2a +1＝3，故a ＝1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， ∵f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ＞1时，有f ′（x ）＞f ′（1）＝3＞0，
∴函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，
∵n ＞m ＞0，∴
，∴f （）＞f （1）＝1即，
∴lnn ﹣lnm ＞； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， 令g （x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），则，x ∈（0，+∞），
由g ′（x ）＞0对x ∈（0，+∞），恒成立，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又∵011121)1(222<-=+-=e e e g ，而＞0， ∴存在x 0∈
，使g （x 0）＝0 ∵g （x ）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＝f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减；
当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＝f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增；
∴f （x ）在x ＝x 0处取得最小值f （x 0）
∵f （x ）＞k 恒成立，所以k ＜f （x 0）
由g （x 0）＝0得，2x 0+lnx 0+1＝0，所以lnx 0＝﹣1﹣2x 0，
∴f （x 0）＝
＝＝﹣＝﹣，
又，∴f （x 0）∈， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为﹣1．
例4． 解：（1）函数f （x ）＝e x +m ﹣x 3的导数为f ′（x ）＝e x +m ﹣3x 2，
在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝e m ＝1，解得m ＝0；
（2）证明：f （x ）＞g （x ）﹣x 3即为e x +m ＞ln （x +1）+2．
由y ＝e x ﹣x ﹣1的导数为y ′＝e x ﹣1，
当x ＞0时，y ′＞0，函数递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数递减．
即有x ＝0处取得极小值，也为最小值0．
即有e x ≥x +1，则e x +m ≥x +m +1，
由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，
h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；
﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，
当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，
即x+m+1≥ln（x+1）+2，
则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．
例5．（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．
∵．
设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．
当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．
故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．
当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．
由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．
故f（x）≥＝＞0．
综上，当m≤2时，f（x）＞0．
例6．解：（1）证明：f（x）＝
f'（x）＝e x（）＝
∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增
∴x＞0时，＞f（0）＝﹣1
即（x﹣2）e x+x+2＞0
（2）g'（x）＝
＝＝＝，a∈[0，1），由（1）知，f（x）+a单调递增，
对任意的a∈[0，1），f（0）+a＝a﹣1＜0，f（2）+a＝a≥0，
因此存在唯一的t∈（0，2]，使得f（t）+a＝0，
当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；
h（t）＝＝＝
记k（t）＝，在t∈（0，2]时，k'（t）＝＞0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）＝k（t）∈（，]．
导数大题10种主要题型（二）预习案
题型三：恒成立、存在性问题
3.1 单变量恒成立、存在性问题
例1．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣3．
（1）求函数f （x ）在[t ，t +2]（t ＞0）上的最小值；
（2）若存在x 0∈[，e ]（e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…），使不等式2f （x 0）≥g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．
3.2 双变量恒成立、存在性问题
极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。
方法一：构造对称函数，结合单调性证明不等式.
1.求出极值点0x ，确定)(x f 的单调性；
2.构造函数)()()(00x x f x x f x F --+=；
3.对)(x F 进行求导，确定)(x F 的单调性，通过单调性比较)(x F 和0)0(=F 的大小关系，确定出)()(00x x f x x f ->+或)()(00x x f x x f -<+；
4.)]([)]([)()(02002021x x x f x x x f x f x f -->-+==即)2()(201x x f x f ->，反之亦然；
5.结合单调性，确定不等关系.
方法二：对均不等式.
例2．已知函数f（x）＝（2﹣a）lnx+（a＜0）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的单调性；
（2）当a∈（﹣3，﹣2）时，任意x1，x2∈[1，3]，（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．
题型四：极值点偏移问题
例3．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．
导数大题10种主要题型（二）预习案
例1．解：（1）由已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∵t＞0，∴t+2＞
①当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min＝f（）＝﹣；
②当，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min＝f（t）＝tlnt．
∴．
（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，
∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，
设h（x）＝2lnx+x+，x∈[，e]，
则，x∈[，e]，
①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）max＝h（）＝﹣2+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max＝﹣2++3e．
例2．解：（1）f′（x）＝+2a﹣＝＝，当a＜﹣2时，﹣＜，函数f（x）的单调递增区间为（﹣，），单调递减区间为（0，﹣），（，+∞）；
当a＝﹣2时，﹣＝，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当﹣2＜a＜0时，﹣＞，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），单调递减区间为（0，），（﹣，+∞）
（2）由（1）知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在[1，3]上单调递减，又x1，x2∈[1，3]，所以|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）＝（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]，
即|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4a+（a﹣2）ln3，
因为（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
所以（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，
即ma＞﹣4a，
因为a＜0，所以m＜﹣4，
因为a∈（﹣3，﹣2），
所以﹣＜﹣4＜﹣，
所以m≤﹣．
例3．【分析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）＝f（+x）﹣f（﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可，（III）设出函数y＝f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论．
【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝＝﹣，
①若a＞0，则由f′（x）＝0，得x＝，且当x∈（0，）时，f′（x）＞0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）＝f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）＝＝，
当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）＝0，
所以g（x）＞0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y＝f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），
不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，
则0＜x1＜＜x2，
由（II）得，f（﹣x1）＝f（）＞f（x1）＝f（x2）＝0，
又f（x）在（，+∞）单调递减，
∴﹣x1＜x2，于是x0＝，
由（I）知，f′（x0）＜0．
已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，
∴f′（x）＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a），
①若a＝0，那么f（x）＝0⇔（x﹣2）e x＝0⇔x＝2，
函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；
②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
此时当x＝1时，函数f（x）取极小值﹣e，
由f（2）＝a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；
当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜x﹣1＜0，
∴f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2＝a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＝0的两根为t1，t2，且t1＜t2，
则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，
故函数f（x）在x＜1存在一个零点；
即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；
③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne＝1，
当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1＝0，
e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x＝ln（﹣2a）时，函数取极大值，
由f（ln（﹣2a））＝[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
④若a＝﹣，则ln（﹣2a）＝1，
当x＜1＝ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故函数f（x）在R上单调递增，
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne＝1，
当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，
即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x＝1时，函数取极大值，
由f（1）＝﹣e＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为（0，+∞）
证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，
∴f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠1，且x2≠1，
∴﹣a＝＝，
令g（x）＝，则g（x1）＝g（x2）＝﹣a，
∵g′（x）＝，
∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）＝﹣＝，设h（m）＝，m＞0，
则h′（m）＝＞0恒成立，
即h（m）在（0，+∞）上为增函数，
h（m）＞h（0）＝0恒成立，
即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，
令m＝1﹣x1＞0，
则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）＝g（x2）⇔2﹣x1＞x2，
即x1+x2＜2．
导数大题10种主要题型（三）预习案
题型五：飘带函数、对数平均数问题
1.必会两类切线：
（1）x y ln =的两条常用切线，构造两条切线不等式①1ln -≤x x ；②x e
x 1ln ≤
. （2）x
e y =的两条常用切线，构造两条切线不等式①1+≥x e x ；②ex e x
≥.
2.飘带函数：
（1）)1,0(,1)1(2ln )1(21∈+-≤
≤-x x x x x x ；（2）),1[),1
(21ln 1)1(2+∞∈-≤≤+-x x
x x x x .
把上式中x 的换成1+x ，得 （3）
]0,1(,22)1ln()111(21-∈+≤+≤+-+x x x
x x x ； （4）
),0[),1
1
1(21)1ln(22+∞∈+-+≤+≤+x x x x x x . 3.对数平均数：
（1）定义：设b a b a ≠>,0,，则
ab b a b a b a >-->+ln ln 2，其中
b
a b
a ln ln --为对数平均数。（设b
a
t =
，不妨令b a >，则上式本质就是飘带函数不等式） （2）变形：)0()
(2ln ln >≥+-≥
-b a b
a b a b a ；)0(ln ln >≥-≤-b a a b b a b a . 例1．已知f （x ）＝e x ﹣ax 2，曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝bx +1． （1）求a ，b 的值；（2）求f （x ）在[0，1]上的最大值； （3）证明：当x ＞0时，e x +（1﹣e ）x ﹣xlnx ﹣1≥0．
题型六：对数单身狗，指数找基友
设)(x f 为可导函数，则有x
x f x x f x x f 1)(ln )(]ln )([''⋅
+⋅=⋅，若)('
x f 为非常数函数，求导式子中含有x ln ，这类问题需多次求导，显得繁琐复杂，处理这类函数的秒杀技巧是将x ln 前面部分提出，就留下x ln 这个“单身狗”，然后在研究剩余部分，这类方法技巧叫做对数单身狗。比如：])
()
()[ln ()(ln )(x f x g x x f x g x x f +
=+ 设)(x f 为可导函数，则有)()()](['
'x f x f e x f e x x -=-，若)(x f 为非常数函数，求
导式子中含有x
e ，针对此类类型，可以采用做商的方法，构造x
x e x f x f e x f )
()(])([''-=，从
而达到简化证明和求最值得目的，x
e 总在找属于自己的“基友”，此类方法技巧俗称指数找基友。
例2．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝﹣x +alnx ．（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：＜a ﹣2．
导数大题10种主要题型（三）预习案
例1．解：（1）f′（x）＝e x﹣2ax，
∴f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，
解得：a＝1，b＝e﹣2；
（2）由（1）得：f（x）＝e x﹣x2，
f′（x）＝e x﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，
∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）max＝f（1）＝e﹣1；
（3）∵f（0）＝1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），
且y＝f（x）在x＝1处的切线方程是y＝（e﹣2）x+1，
故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y＝（e﹣2）x+1的上方，下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，
设g（x）＝f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，
g′（x）＝e x﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）＝e x﹣2，
由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∵g′（0）＝3﹣e＞0，g′（1）＝0，0＜ln2＜1，
∴g′（ln2）＜0，
∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）＝0，
∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，
x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，
又g（0）＝g（1）＝0，∴g（x）≥0当且仅当x＝1时取“＝”，
故≥x，x＞0，
由（2）得：e x≥x+1，故x≥ln（x+1），
∴x﹣1≥lnx，当且仅当x＝1时取“＝”，
∴≥x≥lnx+1，
即≥lnx+1，
∴e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，
即e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，
当且仅当x＝1时“＝”成立．
例2．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，
设g（x）＝x2﹣ax+1，
当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，
①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，
+∞）上是减函数，
②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
x（0，
）（
，）（
，+∞）
f′（x）﹣0+0﹣
f（x）递减递增递减
综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，
则（，）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则＝﹣2+，
则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，
则lnx1﹣ln＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣，
即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，
设h（x）＝2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，
求导得h′（x）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x﹣﹣alnx＝﹣f（x），
即f（x）+f（）＝0，不妨设x1＜x2，
由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝，
可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，
要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，
即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），
构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）＝≤0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，
∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．
即＜a﹣2成立．
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
导数大题10种主要题型（四）预习案
题型七：多元变量消元思想
例1．设函数mx x e x f mx -+=2
)(.
（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）对任意的]1,1[21-∈x x 、，都有1|)()(|21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围.
例2．已知函数f （x ）＝
+ax +2lnx ，（a ∈R ）在x ＝2处取得极值．
（I ）求实数a 的值及函数f （x ）的单调区间；
（II ）方程f （x ）＝m 有三个实根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），求证：x 3﹣x 2＜2．
题型八：罗比塔法则在高考中的应用
罗比塔法则：设（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋向于零（或无穷大）；
（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('
≠x g ；
（3）)()(lim ''x g x f a x →存在（或无穷大），则)
()
(lim )()(lim '
'x g x f x g x f a x a x →→= 例3．已知函数f （x ）＝x （e x ﹣1）﹣ax 2．
（Ⅰ）若f （x ）在x ＝﹣1时有极值，求a 的值及函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅱ）当x ≥0时，f （x ）≥0，求a 的取值范围．
导数大题10种主要题型（四）预习案
题型七：多元变量消元思想
例1．
例2． 解：（Ⅰ）由已知
，
，a ＝﹣3…（1分）
所以，x ＞0
由f '（x ）＞0，得0＜x ＜1，或x ＞2； 由f '（x ）＜0，得1＜x ＜2，…（3分） 所以函数的单调递增区间是（0，1），（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．…（4分） 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知极小值f （2）＝2ln 2﹣4；极大值为
可知方程f （x ）＝m 三个实根满足0＜x 1＜1＜x 2＜2＜x 3…（5分）
设h 1（x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ），x ∈（0，1）（极值点偏移，此处构造对称函数用单调性）
则h 1（x ）＜h 1（1）＝f （1）﹣f （2﹣1）＝0， 即f （x ）＜f （2﹣x ），x ∈（0，1） 所以f （x 2）＝f （x 1）＜f （2﹣x 1），
由（1）知函数f （x ）在（1，2）上单调递减， 从而x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2①…（8分）
设h 2（x ）＝f （x ）﹣f （4﹣x ），x ∈（1，2）（极值点偏移，此处构造对称函数用单调性）
h 2（x ）＜h 2（2）＝f （2）﹣f （4﹣2）＝0）
即f （x ）＜f （4﹣x ），x ∈（1，2）f （x 3）＝f （x 2）＜f （4﹣x 2）， 由（1）知函数f （x ）在（2，+∞）上单调递增， 从而x 3＜4﹣x 2，即x 3+x 2＜4②…（11分） 由①②可得x 3﹣x 1＜2得证．…（12分）
题型八：罗比塔法则在高考中的应用
罗比塔法则：设（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋向于零（或无穷大）；
（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('
≠x g ；
（3）)()(lim ''x g x f a x →存在（或无穷大），则)
()
(lim )()(lim '
'x g x f x g x f a x a x →→= 例3．
导数大题20种主要题型总结及解题方法
导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。 1.求函数在某点的导数。 对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。 2.求函数的导数表达式。 已知函数表达式，要求其导数表达式。可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。 3.求高阶导数。 如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。
4.求导数的导函数。 导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。 5.利用导数计算函数极值。 当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。可以利用导数求函数的极值。 6.利用导数判定函数的增减性。 根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。 7.利用导数求函数的最大最小值。 当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。 8.利用导数求函数的拐点。
如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。可以使用导数的二阶导数判定。 9.利用导数求函数的弧长。 曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。 10.利用导数求函数的曲率。 曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。 11.利用导数求函数的速度和加速度。 在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。速度是位移随时间的导数，而加速度是速度随时间的导数。可以通过求导的方法求取速度和加速度。 12.利用导数求函数的斜率。 函数在某一点的斜率可以通过导数求取。斜率表示函数在该点的变化率。
导数大题10种主要题型导学案含详解
导数大题10种主要题型（一）预习案 题型一：构造函数 1.1 “比较法”构造函数 例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x． 1.2 “拆分法”构造函数 例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1． 1.3 “换元法”构造函数 例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣； （Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．
1.4 “二次（甚至多次）”构造函数 例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2． （1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值； （2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3． 题型二：隐零点问题 例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）． （Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0． 例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0； （Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
导数大题10种主要题型（一）预习案答案 例1． 解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2． ∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2． 当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． ∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值． （2）证明：方法一（作差法） 令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得： g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增， 因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ． 方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x 例2． 解：（Ⅰ） 函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， ， 由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2. （Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法） 由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于， 设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当 时，g '（x ）＜0， 当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在 单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为． 设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ）， 所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0， 故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， 从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为． 综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1． 方法二（放缩法） 例3． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案 一、解答题 1．已知函数()ln e x f x x =，()2 ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数． (1)求函数()f x 的最小值； (2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)求证：2022 2023 20232023e 20222022⎛⎫ ⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ． 2．已知函数()()e sin x f x rx r * =⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间； (2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 3．已知：()e x f x mx =+. (1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围 4．设函数()1e ln 1x a f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性； (2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x g x x x x x x =-++-， )2 e ,x -∈+∞⎡⎣． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值． 6．已知函数()()32131.3 f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln x f x x = ， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线； (2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围． 8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030
导数大题20种题型讲解
导数大题20种题型讲解 1.多项式函数求导： 题目描述：求函数f(x)=ax^n的导数。 解答步骤：使用幂函数的导数公式，对函数f(x)进行求导，得到f'(x)=nax^(n-1)。 2.常数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=c的导数。 解答步骤：常数函数的导数始终为零，即f'(x)=0。 3.指数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=e^x的导数。 解答步骤：指数函数e^x的导数仍然是e^x，即f'(x)=e^x。 4.对数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=ln(x)的导数。 解答步骤：对数函数ln(x)的导数为1/x，即f'(x)=1/x。 5.三角函数求导： 题目描述：求函数f(x)=sin(x)的导数。 解答步骤：三角函数sin(x)的导数为cos(x)，即f'(x)=cos(x)。 6.反三角函数求导：
题目描述：求函数f(x)=arcsin(x)的导数。 解答步骤：反三角函数的导数可以通过导数公式计算，即f'(x)=1/sqrt(1-x^2)。 7.复合函数求导： 题目描述：求函数f(x)=(2x+1)^3的导数。 解答步骤：使用链式法则，将复合函数拆解成内外两个函数，并分别求导。对于本题，先对内函数u=2x+1求导，然后乘以外函数v=u^3的导数。 8.分段函数求导： 题目描述：求函数f(x)={x^2,x<0;x,x≥0}的导数。 解答步骤：由于该函数在x=0处存在不连续点，需要分别对x<0和x≥0的部分进行求导。对于x<0的部分，求导结果为2x；对于x≥0的部分，求导结果为1。 9.隐函数求导： 题目描述：求函数方程x^2+y^2=25的导数dy/dx。 解答步骤：对方程两边同时求导，并利用隐函数求导法则，最后解出dy/dx的表达式。 10.参数方程求导： 题目描述：已知参数方程x=t^2，y=2t+1，求曲线的切线斜率。 解答步骤：对参数方程中的x和y分别求导，然后计算dy/dx的值，即可得到切线斜率。 11.高阶导数求导： 题目描述：求函数f(x)=x^3的二阶导数。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案 专题一导数的几何意义及其应用 导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法: (1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法． (2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点． (3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确． [例1]已知曲线y＝1 3x3＋ 4 3. (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．
[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 专题二导数在研究函数单调性中的应用 利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个． 解题步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．
高考压轴题：导数题型及解题方法归纳
高考压轴题：导数题型及解题方法 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；
导数大题20种主要题型
导数大题20种主要题型 一、求函数的单调性 1. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间。 2. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的单调性。 二、求函数的极值 3. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点，求出极值。 4. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值。 三、求函数的最大值或最小值 5. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间，从而确定函数的最大值或最小值。 6. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值，再与区间端点的函数值比较，得到函数的最大值或最小值。 四、确定函数图像的单调区间 7. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数图像的单调区间。 8. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数解析式，并求导数，确定函数图像的单调区间。 五、判断函数的零点 9. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的零点个数。 10. 给出函数解析式和大致的图像，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的零点是否存在。 六、判断函数的最值点 11. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的最值点。 12. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数在某一点的最值点。 七、判断函数的极值点 13. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点。 14. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的极值点。 八、求解不等式 九、求解方程的根 十、利用导数证明不等式 十一、利用导数求最值 十二、利用导数求多变量函数的平衡点 十三、利用导数研究函数的图像性质 十四、利用导数研究函数的极值和最值 十五、利用导数求解高阶导数 十六、利用导数求实际问题的最优解 十七、利用导数求解曲线的切线方程 十八、利用导数研究函数的凹凸性 十九、利用导数求解函数的零点个数 二十、物理问题的应用
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案) 一、解答题 1．已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈． (1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围． 2．已知曲线()1f x x = (1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程． 3．已知()()e 1x f x mx m =+<-. (1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围. 4．已知函数()() () 1 1 11ln k k n k x f x x k -=-⋅-=-∑ ． (1)分别求n=1和n=2的函数()f x 的单调性； (2)求函数()f x 的零点个数． 5．设函数()()2 ()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈. (1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．已知函数()e x f x kx =-，()()28ln a g x x x a R x =--∈. (1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； (2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣ ⎦ 有解，求实数k 的取值范围； (3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有 ()2 1221 ln 51a x m x x x >--成立，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 7．已知函数()1ln x f x x += . (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()e k f x x ≥ +恒成立，求实数k 的取值范围；
专题05 导数中含参讨论问题总结(解析版)
专题05 导数中含参讨论问题总结 一、重点题型目录 【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数 【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题 【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结 【题型】一、由函数的单调区间求参数 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2 ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞ 【答案】B 【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1 ,12 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭，得到1 2和1是方程 ()0f x '=的两个根，代入解方程即可. 【详解】由()2 ln x ax f x x =++得()2 21x ax f x x ++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1 2和 1是方程221 0x ax x ++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意 故选：B. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ ,42 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭上是减函数，则 实数a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≥ C ．1a > D ．1a ≥- 【答案】B 【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解. 【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ ,42 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭上恒成立，
高三数学(文)导数大题20道训练(附详答)
高三数学(文)导数大题20道训练(附详答) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
文数20道导数大题 1. 已知函数33 1)(23 +++= x bx ax x f ,其中a≠0. (1)当a,b 满足什么条件时,f(x)取得极值? (2)已知a ＞0,且f(x)在区间(0,1］上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围. 2. 已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++． （Ⅰ） 若(1)0f '-=，求函数()f x 在定义域上的极大值和极小值； （Ⅱ） 若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围． 3. 已知a ∈R ,函数()3211 232 f x x ax ax =-++(x ∈R ). （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 能在R 上单调递减，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由； （Ⅲ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围. 4. 已知0a >，函数2 ()2(1)ln (31)2x f x a a x a x =++-+。 （1）若函数()f x 在1x =处的切线与直线30y x -=平行，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）在（1）的条件下，若对任意[1,]x e ∈，2 ()60f x b b --≥恒成立， 求实数b 的取值组成的集合。 5设cx bx ax x f ++=23)(的极小值是5-， 其导函数的图象如图所示. （1）求)(x f 的解析式； （2）若对任意的⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈e e x ,1都有m x x x f +-≥ln 3)(3恒成立， 求实数m 的取值范围.
高考导数大题题型及解法
导数大题题型 讨论函数单调性 ② 已知单调性求参数范围 ③ 任意问题与存在问题 ④ 多个交点问题（零点、方程根问题） ⑤ 值域（最值、极值问题） ① 核心问题是对不等式 02<++c bx ax 的讨论 ② 画出函数图象 ③ 列表 1. 已知函数2()1 x a f x x +=+（其中a R ∈）. （Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12 y x b = +，求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 2.的单调区间 当函数）（处的切线方程；求函数在时，当已知函数)(22x 2a )1(,ln )1(2 1)(2x f R a x a ax x x f ==∈-+-= 3.（2010北京） 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+ ≥. （I ） 当2k =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ） 求()f x 的单调区间. 1.（2011北京））已知函数2()()x k f x x k e =-． （1）求()f x 的单调区间； （2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1 ()f x e ≤，求k 的取值范围 ① 判断函数类型（一次函数或二次函数）
② 画出满足题意的图象 ③ 给出得到图象的条件 1.上的最小值在求时，当）（的取值范围；求是定义域上的增函数，若函数已知函数⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=>-- =e x f m x f m x m x x x f ,e 1)(3m 2)()1()0(ln 2)( 2. 设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值； （Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点. 1.（2009北京）设函数()(0)kx f x xe k =≠ （I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围 ① 存在问题与任意问题 ② 存在问题与任意问题的结合
利用导数证明不等式(经典导学案及练习答案详解)
§3.6 利用导数证明不等式 题型一 将不等式转化为函数的最值问题 例1 已知函数g (x )＝x 3＋ax 2. (1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围； (2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x . (1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ， 若g (x )在[1,3]上单调递增， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立， 则a ≥－32； 若g (x )在[1,3]上单调递减， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立， 则a ≤－92 .所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0， 即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ， 令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0， 可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x >0， 当0
利用导数研究函数零点(经典导学案及练习答案详解)
§3.7 利用导数研究函数零点 题型一 数形结合法研究函数零点 例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时， f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )<0， 解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2 e x ， 所以函数y ＝1 a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点， φ′(x )＝－x －1 e x ， 当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0， 所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增， 在(－1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时， φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0， 所以0<1a
利用导数研究恒(能)成立问题(经典导学案及练习答案详解)
§3.5 利用导数研究恒(能)成立问题 题型一 分离参数求参数范围 例1 (2022·北京模拟)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12 ax 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ， f (0)＝(0－2)e 0＝－2， f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1， 所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)， 即x ＋y ＋2＝0. (2)方法一 当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12 ax 2＋ax ≥0恒成立． 即⎝⎛⎭ ⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立. 当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R . 当x >2时，12 x 2－x >0， 所以a ≤(x －2)e x 12 x 2－x ＝2e x x 恒成立． 设g (x )＝2e x x ，则g ′(x )＝2(x －1)e x x 2 ， 因为x >2，所以g ′(x )>0， 所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增． 所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]． 方法二 f ′(x )＝(x －1)(e x －a )， ①当a ≤0时，因为x ≥2， 所以x －1>0，e x －a >0，所以f ′(x )>0， 则f (x )在[2，＋∞)上单调递增， f (x )≥f (2)＝0成立． ②当0 导数文科大题1.知函数， . （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有实数根，数的取值围. 答案 解析 2.已知 , (1)若 ,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,数a 的取值围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为 3. 解:(1)时,, ′(x), ′(1)=3,, 数在点处的切线方程为, (2)函数在上是增函数, ′(x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, , 的取值围为 (3), ′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增, ,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去); 综上,存在实数,使得当时,有最小值3. 解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, (3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案 3.已知函数 , (1)分别求函数与在区间上的极值; (2)求证:对任意 , 解:(1), 令,计算得出:,,计算得出:或, 故在和上单调递减, 在上递增, 在上有极小值,无极大值; ,,则, 故在上递增,在上递减, 在上有极大值,,无极小值; (2)由(1)知,当时,,, 故; 当时,, 令,则, 故在上递增,在上递减, ,; 综上,对任意, 解析(1)求导,利用导数与函数的单调性与极值关系,即可求得与单调区间与极值; 4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性; (2)当时,求证:对任意的,. 解:(1)当时,, 则, , 故则在R上单调递减. (2)当时,,要证明对任意的,. 则只需要证明对任意的,. 设, 看作以a为变量的一次函数,要使, 则,即, 恒成立,①恒成立, 对于②,令,则, 设时,,即. ,, 在上,,单调递增,在上,,单调递减, 第3讲 导数中八大切线问题题型总结 【考点预测】 1.在点的切线方程 切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000() ()y f x k f x =⎧⎨'=⎩ ． 2.过点的切线方程 设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【题型目录】 题型一：导数与切线斜率的关系 题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点） 题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ） 题型四：已知切线求参数问题 题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围） 题型六：公切线问题 题型七：切线平行、垂直、重合问题 题型八：与切线相关的最值问题 【典例例题】 题型一：导数与切线斜率的关系 【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<- B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-< C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<导数文科大题含详细答案
第3讲 导数中八大切线问题题型总结(解析版)