初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案
第一章数
1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0
到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i满足r - _1，和有序实数对（a,b）—起组成一个复数
a bi .
2 （略）
3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：
为了保证在自然数集中除法的封闭性，像ax=b的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.
公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集?
为了表示具有相反意义的量，引入了负数?并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.
直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力
下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用?这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集?
4证明：设集合A,B,C,D两两没有公共元素a,b,c,d分别是非空有限集A,B,C,D
的基数，根据定义，若a b，则存在非空有限集A'，使得A-?B ;若c_d
从而必存在非空有限集C'，使得C二C'?D，所以（A _? C）二（B D）所以集合
A 一C的基数a c大于集合
B . D的基数b d，所以a c b d .
5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，
5 3 =5 2'= （5 2） 5
= 515=5155
=5 5 5 =15
（2）解：按照自然数序数理论乘法定义
5 ^5 2' = （5 2）'
-（5 1'）'二[（5 1）']'
=（6 ） =7 =8
6证明：1当n =2时，命题成立.（反证法）
当 n = k ? 1时，由 a i . 0,i =1,2，…,k 1,且 a i - a 2 得，亠 空
L ",且 4
1
—a k 半 1 —a k 书 1
— a k+
1
_a kH1
、2 _ 2
2
口 )+a k J 启，即 (k +111 —a^ )2 + k(k +1 al
k
k 1
二 k 1 ?a k 「-2 k 1 a k 1
1 - 0
7证明：1当n = 8时，命题成立.（8 = 3 ? 5 ）
2设n 二k （k ?7,k ?N ）时命题成立.
k 角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮
票来支付?
在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付k 1 角的邮票?
在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付k 1角的邮 票?
综合1、2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8 证明：（1） f2=1, f3 =3=12, f4 =6 = 123
」 」 1」
(2) f n =12
n -1 n n -1
2
1当n =2,3,4时，命题成立.
1
2假设n 二k （k 7,^ N ）时命题成立，即f k =-k k -1 .那么n 二k 1时，原k
2
1
条直线有-k （k -1）个交点.由条件知，第k 1条直线与原k 条直线各有一个交点，
2
且互不相同?故新增k 个交点，所以f k ?1二f k 」k ，1〔k ，1 -1.
2
综合1、2，命题对于不小于2的所有自然数成立.
2 假设 n =k 时(k _2)成立，即 a i ■ 0,i =1,2,…,k ,
2 2 a
1
a 2
2
1 ■ ak
k
a 1 a 2 J - a k 卅丿
2
2 2
2
2
1 —a k 1
2
a 1 七 2 +…+a k +a “ >-__
+a “
由归纳假设，得
a 1
J —a k 卑 j
a k
J
一 a
kd4 j
要证
-k,
9举例：正整数集N上定义的整除关系“|”满足半序关系.
证明：（1）（自反性）任意的正整数x，总有x|x ；
（2）（反对称性）如果x|y, y |x，那么x = y ；
(3)(传递性)如果x|y, y|z，那么x|z.
通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.
10证明：设M 5 N，且
① 1 M
②若a M，则a M .
若M = N .
令A是所有不属于M的自然数组成的集合，则A是N的非空子集，按照最小数原理，A中有最小数，设为b.由①知b=1，于是存在自然数c，使c二b，这样
就有c ::: b，所以c M，但根据②有c M，这与b ■' M矛盾.所以M = N .
11证明：(1)根据自然数减法定义有，a=b?(a_b),d ?(c_d) = c，两式相加
得：a d (c-d) = b (a-b) c，于是(a d) (c -d) = (b c) (a - b)，
若a-b=c-d，贝U a d = b c
若 a d = b c，贝U a-b=c-d
(2)(a-b) (c-d) (b d) = b (a-b) d (c-d)=a c
(3)先证(a-b)c 二ac-bc
事实上，由be (a -b)c 二[b (a -b)]c 二ac
可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此，为了证明(3)，只要证明a(c-d)-b(c— d) = (ac+bd)—(ad+bc)，
根据(1) 上式就是a(c _d) (ad be)二b(c - d) (ac bd)
于是只要证明ac ? be二be - ac
显然，这个等式是成立的，所以(3)成立.
12证明：(1 )根据自然数除法定义有^b a,d ￡ = c，两式相乘，得
b d
ad — = bc 旦，所以有：若ad 二be，贝U -=—；若-=—，贝q ad 二be
d b b d b d
(2)bd(a ' c)二d(b 旦厂b(d —) =ad，bc，根据除法定义，(2)成立.
b d b d
(3)bd(a c^ (b a)(d c^ac，根据除法定义，(3)成立.
b d b d
13 证明：(m n ')'= (n m)' = n' m' = m' n'.
14证明：设-a,b?N，下，下面证明a二b,a . b,a ::: b三种关系有且仅有一个成
立.
(1)先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立，若令a=b, a . b同时成立，则存在k^N*，使
得：a=bk=ak
于是a a a，与a=a矛盾.
同理可证，任意两种关系均不能同时成立.
(2)再证明三中关系中至少有一个成立.
取定a，设M是使三个关系中至少有一个成立的所有b的集合，当b=1时, 若
a = 1，则a = b成立；若a = 1，则存在k N *，使得a = k
时a >b成立.因此1€ M .
假若b M，即三个关系中至少有一个成立.
当 a ::: b时，存在m ? N *，使得 b = a ? m，则b^ (a m)
=a m，即卩a ：：： b 成立.
当a b时，存在k ? N*，使得a二b k，若k = 1，就有
若k =1，就有| ? N，且k =丨，使得a=b，l二b，IT二b l，即a b成
立.
综上，b M，从而M = N .
15证明：n = n(ax by) = nax nby，
a | n, ab|
b n, ab|b ny ，b|n, ab | a n, ab |a nx
.ab|nax nby = n
16 证明：因为ab ■ cd - (ad ■ be) = (b -d)(a -c),
且 a - e | ab cd ， a - e | (b _ d)(a _ c)，所以 a _ e | ab cd _ (b _ d )(a _ c)，即
a -c | ad bc
17证明：因为pP -1 = (p -1)(p p4 ? p p‘? p ? 1)，而有限个奇数的乘积仍是
奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而p p^ p p^ p 1是奇数，
于是p p T =(p -1)(2s 1),s Z，同理有q q 1 = (q 1)(2t 1),t Z，
两式相加：p p q q=2(p -1)(s t 1) ^(p q)(s t 1)，所以p q |(p p q q).
18解：因为3p ? 5q =31，所以3p 和5q 必为一奇一偶.
若3p 为偶数，可验证质数p=2,q=5，则0g 2
- Og 2
- Og 2~ = -3
2
3q 1
3 5 1 8 若5q 为偶数，可验证质数P = 7, q = 2，则log 2 P log 2
— 0
3q+1
3x2 + 1
所以 log 2 P
3或 0 .
3q +1
19证明：根据减法是加法的逆运算知，设 a,b 是有理数，a —b 是这样一个数， 它与b 的和等于a ?即(a —b) ? b = a ?但是，我们有
[a (_b)] b =a [( -b) b](加法结合律)
=a ■ 0 = a
因此，a ^b)这个确定的有理数，它与b 的和等于a ，
.a - b = a (-b)
又如果差为x ，则有x ? b =a ，于是，两边同加(-b)有:
x b (一 b) = a (-b)
x [b (—b)]二 a (—b) x = a (_b)
即差只能是a ? (-b)，定理得证. 3_b=2^J .0
3
3
21证明：首先证明x 兰y 当且仅当- y 兰x 兰y .
事实上，若x^y ，当xK0时，x=xWy 且x Z —y ，即一y 兰x 兰y ;当xc0
时，一x = x^y, 有- y 兰 x ,且 x<0 兰 y ,故一yEx 兰 y .反之，若一yExEy ,当 下面来证明：a —b 兰a+b 兰a+|b.
事实上，对于a,b 显然有：
20证明：做差,
x - 0时, =x _ y;当 x :： 0 时，y _ -x
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初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
测量学试题及详细答案-
第一章绪论 1、概念： 水准面、大地水准面、高差、相对高程、绝对高程、测定、测设 2、知识点： （1）测量学的重要任务是什么？(测定、测设) （2）铅垂线、大地水准面在测量工作中的作用是什么？(基准线、基准面) （3）高斯平面直角坐标系与数学坐标系的异同。 （4）地面点的相对高程与高程起算面是否有关？地面点的相对高程与绝对高程的高程起算面分别是什么？ （5）高程系统 （6）测量工作应遵循哪些原则？ （7）测量工作的基本内容包括哪些？ 一、名词解释： 1.简单： 铅垂线：铅垂线是指重力的方向线。 1.水准面：设想将静止的海水面向陆地延伸，形成一个封闭的曲面，称为水准面。 大地体：大地水准面所包围的地球形体称为大地体，它代表了地球的自然形状和大小。 地物：测量上将地面上人造或天然的固定物体称为地物。 地貌：将地面高低起伏的形态称为地貌。 地形：地形是地物和地貌的总称。 2.中等： 测量学：测量学是研究地球的形状和大小以及确定地面点位的科学。 测定即测绘：是指使用测量仪器与工具，通过测量和计算，把地球表面的地形缩绘成地形图，供经济建设、规划设计、科学研究和国防建设使用。 测设：测设又称施工放样，是把图纸上规划好的建筑物、构筑物的位置在地面上标定出来，作为施工的依据。 特征点：特征点是指在地物的平面位置和地貌的轮廓线上选择一些能表现其特征的点。 3.偏难： 变形观测：变形观测是指对地表沉降、滑动和位移现象以及由此而带来的地面上建筑物的变形、倾斜和开裂等现象进行精密的、定期的动态观测，它对于地震预报、大型建筑物和高层建筑物的施工和安全使用都具有重要意义。 大地水准面：由于水面可高可低，因此水准面有无穷多个，其中通过平均海水面的水准面，称为大地水准面，大地水准面是测量工作的基准面。 高程：地面点的高程是从地面点到大地水准面的铅垂距离，也称为绝对高程或海拔，用H表示，如A点的高称记为H A。 高差：地面上两点间高程差称为高差，用h表示。 绝对高程 H ：地面点沿铅垂线到大地水准面的距离，简称高程、海拨、正高。 相对高程 H′：地面点沿铅垂线到假定水准面的距离，称为相对高程或假定高程。 测量工作的基本步骤：技术设计、控制测量、碎部测量、检查和验 收测绘成果 二、填空题 1.地面点到铅垂距离称为该点的绝对对高程；地面点到铅垂距离称为该点的相对高程。 大地水准面，假定水准面 2.通过海水面的称为大地水准面。平均，水准面 3.测量工作的基本要素是、和高程。距离，角度 4.测量使用的平面直角坐标是以中央子午线与赤道的交点为坐标原点，中央子午线为x轴，向为正，以赤
工程测量学试题库160题(附答案)..
工程测量学试题库（附答案） 1. ( D )处处与铅垂线垂直。 A.水平面 B.参考椭球面 C.铅垂面 D.大地水准面 2. 地球的长半径约为( A )千米。 A.6371 B.6400 C.6378 D.6356 3. 在测量直角坐标系中，纵轴为( C )。 A.x轴，向东为正 B.y轴，向东为正 C.x轴，向北为正 D.y轴，向北为正 4. 对高程测量，用水平面代替水准面的限度是( D )。 A. 在以10km为半径的范围内可以代替 B. 在以20km为半径的范围内可以代替 C. 不论多大距离都可代替 D. 不能代替 5. 在以( B )km为半径的范围内，可以用水平面代替水准面进行距离测量。 A.5 B.10 C.15 D.20 6. 在测量平面直角坐标系中,x轴表示什么方向？（C）。 A.东西 B.左右 C.南北 D.前后 7. 测定点的坐标的主要工作是( C )。 A．测量水平距离B．测量水平角 C．测量水平距离和水平角D．测量竖直角 8. 确定地面点的空间位置，就是确定该点的平面坐标和( A )。 A．高程B．方位角 C．已知坐标D．未知点坐标 9. 高斯投影属于( C )。 A．等面积投影B．等距离投影 C．等角投影D．等长度投影 10. 在测量直角坐标系中，横轴为( C )。 A. x轴，向东为正 B. x轴，向北为正 C. y轴，向东为正 D. y轴，向北为正 11. 在测量坐标系中，Y轴向（D）为正。 A、北 B、南 C、西 D、东 12. 假设的平均的静止海平面称为（D）。 A、基准面 B、水准面 C、水平面 D、大地水准面
13. ( B )的基准面是大地水准面。 A. 竖直角 B. 高程 C. 水平距离 D. 水平角 14. 建筑工程施工测量的基本工作是（B）。 A.测图 B.测设 C.用图 D.识图 15. 大地水准面处处与铅垂线（A）交。 A、正 B、平行 C、重合 D、斜 16. A、B两点，HA为115.032m，HB为114.729m，则hAB为（A）。 A、-0.303 B、0.303 C、29.761 D、-29.761 17. 建筑施工图中标注的某部位标高，一般都是指（B）。 A、绝对高程 B、相对高程 C、高差 18. 水在静止时的表面叫( B )。 A. 静水面 B. 水准面 C. 大地水准面 D. 水平面 19. ( B )的投影是大地水准面。 A. 竖直角 B. 高斯平面坐标 C. 水平距离 D. 水平角 20. 我国目前采用的高程基准是（D）。 A.高斯平面直角坐标 B.1980年国家大地坐标系 C.黄海高程系统 D.1985年国家高程基准 21. 地面上有一点A，任意取一个水准面，则点A到该水准面的铅垂距离为（D）。 A.绝对高程 B.海拔 C.高差 D.相对高程 22. 地面某点的经度为85°32′，该点应在三度带的第几带?( B ) 。 A．28 B．29 C．27 D．30 23. 在水准测量中，若后视点A读数小，前视点B读数大，则( D )。 A.A点比B点低 B.A、B可能同高 C.A、B的高程取决于仪器高度 D.A点比B点高 24. 水准测量中，设A为后视点，B为前视点，A尺读数为2.713m，B尺读数为1.401,已知A点高程为15.000m，则视线高程为( D )m。 A.13.688 B.16.312 C.16.401 D.17.713 25. 在水准测量中，若后视点A的读数大，前视点B的读数小，则有( A )。 A.A点比B点低 B.A点比B点高 C.A点与B点可能同高 D.A、B点的高低取决于仪器高度 26. 水准仪的分划值越大，说明( B )。 A. 圆弧半径大 B. 其灵敏度低 C. 气泡整平困难 D. 整平精度高 27. DS1水准仪的观测精度( A )DS3水准仪。
初等数学专题论文
初等数学研究期末专题论文 函数方程与函数的奇偶性 摘要 函数的奇偶性是函数的一种重要性质，也是高中数学教学中的重点内容，如何让学生正确理解函数的奇偶性并能灵活应用，是每位数学教师不断探论的问题。本文详细讲述了函数奇偶性的判断方法，以及应该注意的地方，对比较抽象的题目给出合适的证明方法。 关键词：函数 奇偶性 方程 性质 1.关于函数奇偶性的定义 （1）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意一个x 都有 ()()0 f x f x --=（()()x f x f =-），那么函数()x f 就叫做偶函数，如：2)(x x f =，()x x f =。 （2）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意任意一个x 都有()()0=-+x f x f (()()x f x f -=-)，那么函数()x f 就叫做奇函数，如：()x x f = , ()x x f 1 = 。 例1：判断函数())1lg(2x x x f -+=的奇偶性。 解：x x x ≥>+221 ∴函数()x f 的定义域为R 又()())1lg()1lg(22x x x x x f x f +++-+=-+ 01lg )1lg(22==-+=x x 。 ∴ ()x f 为奇函数。 例2：判断函数x x e e x f -+=)(的奇偶性。 解：显然)(x f 的定义域为R 又)()(x f e e x f x x -=+=- ∴)(x f 为偶函数。
2.函数奇偶性的几个性质 2.1 对称性 函数的定义域关于原点对称 如： 2.2 整体性 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立。 2.3 可逆性 )()()(x f x f x f ?=-是偶函数 )()()(x f x f x f ?-=-是奇函数 2.4 等价性 0)()()()(=--?=-x f x f x f x f 0)()()()(=-+?=-x f x f x f x f 2.5 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 2.6 可分性 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。 3.判断函数奇偶性的方法 3.1定义法 1．任取自变量的一个值x ，x -是否有定义，如果存在一个属于定义域的0x 但在0x -没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若)(x f -存在，则进行下一步。 2．)()(x f x f ±=-着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方便可转而验证 0)()(=-±x f x f ， 1)() (±=-x f x f ，???=-+偶函数 奇函数)(20)()(x f x f x f 判断步骤如下： ① 定义域是否关于原点对称；
初等数学研究论文
姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把
测量学模拟试题有答案
测量学模拟试题有答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
《测量学》模拟试题(一) 一、名词解释及问答题（共15分） 1．地物: 地面上固定性的有形物体称为地物，分为自然地物和人工地物两类。 2．方位角: 从标准方向线北端顺时针计算到某直线所夹的水平角。 3．何谓比例尺精度它在测绘中有何用途 图上所表示的实地水平距离为比例尺精度。根据比例尺精度，可以确定在测图时量距应准确到什么程度；当设计规定需在图上能量出的实地最短距离时，根据比例尺精度，可以去定测图比例尺。 二、填空题（共30分） 1．经纬仪的安置包括两项工作内容：一是（1），目的是 （2）；二是（3），目的是（4）。 2．平均静止的水准面称为（5），它有（6）个，是我国 （7）的起算面。 3．直线丈量之前，应先进行直线的（8），以确保丈量的 距离正确。 4．直线的坡度是其两端点的（9）之比。在同一幅地形图 中，等高线平距大的表示地面坡度（10）。 5．确定直线与标准方向的关系称为（11）。 6.中误差计算公式： 中，Δ是（12），v是（13），n是（14）。 7.产生测量误差的原因有多种，其来源可概括为（15）、 （16）、（17）。 8.测量学是一门研究（18）和确定（19）的科学。 9.将拟建建筑物的位置和大小按设计图纸的要求测设在地 面上以便施工，这种工作通常称为（20）。 10.水准测量高差闭合差在容许范围内时，闭合差可按 （21）成比例进行改正，改正数的符号应与（22）。改正后的 高差总和，对于闭合水准路线应（23），对于附合水准路线则 应（24）。 11.由角度测量原理可知，为了瞄准不同（25）和不同 （26）的目标，经纬仪的望远镜不仅能在（27）面内转动，而
《测量学》试题库含详细答案
《测量学》试题库 一、填空题：（每小题2分，任抽14小题，计28分） 1、测量学是研究地球的形状和大小及确定地面点位置的科学，它的主要内容包括测定和测设两部分。 2、地形测量学是研究测绘地形图的科学，它的研究对象是地球表面。 3、目前测绘界习惯上将遥感（RS）、地理信息系统（GIS）、全球定位系统（GPS）等新技术简称为“3S”技术。 4、铅垂线是测量工作的基准线，大地水准面是测量工作的基准面。 5、人们习惯上将地球椭球体的长半径a和短半径 b ，或由一个半径a 和扁率α称为旋转椭球体元素。 6、通过英国格林尼治天文台的子午线，称为首子午线（或起始子午线），垂直于地轴的各平面与地球表面的交线，称为纬线。 7、我国目前采用的平面坐标系为“1980年国家大地坐标系”，高程系统是“1985年国家高程基” 。 8、根据钢尺的零分划位置不同将钢尺分成端点尺和刻线尺。 9、地球表面某点的磁子午线方向和真子午线方向之间的夹角称为磁偏角，某点的真子午线北方向与该点坐标纵线北方向之间的夹角，称为子午线收敛角。 10、由标准方向的北端顺时针方向量到某直线的夹角，称为该直线的方位角，直线与标准方向线所夹的锐角称为象限角。
11、方位角的变化范围是0°~360°，而象限角的取值范围为0°~90°。 12、两点间的高程差称为高差，水准测量时高差等于后视读数减去前视读数。 13、水准仪上的水准器是用来指示视准轴是 竖轴是否竖直的装置。通过水准管零点作水准管圆弧的切线，称为水准管轴。 14、在水准仪粗略整平中，左手拇指旋转脚螺旋的运动方向就是气泡移动的方向。 15变更仪器高法或双面尺法。 16、水准测量的实测高差与其理论值往往不相符，其差值称为水准路线的闭合差。 17、6＂级光学经纬仪的读数装置常见的有两种，一种是单平板玻璃测微器，另一种是测微尺。 18、水准测量时前后视距大致相等主要是消除端点尺与刻线尺不平行而引起的误差。 19、经纬仪的安置主要包括对中和敕平两方面。 20、三角高程测量中所讲的“两差”改正指球差和气差两项改正。 21、通常把外界环境、测量仪器和观测者的技术水平三方面综合起来称为观测条件。 22、测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。 23、系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果影响很大。
初等数学研究复习题
1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =；
5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。
8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和
15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++=
18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++
(完整版)初等数学研究复习汇总
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 计算题库及参考答案 1、设A 点高程为15.023m ，欲测设设计高程为16.000m 的B 点，水准仪安置在A 、B 两点之间，读得A 尺读数a=2.340m ，B 尺读数b 为多少时，才能使尺底高程为B 点高程。 【解】水准仪的仪器高为=i H +=17.363m ，则B 尺的后视读数应为 b==1.363m ，此时，B 尺零点的高程为16m 。 2、在1∶2000地形图上，量得一段距离d =23.2cm ，其测量中误差=d m ±0.1cm ，求该段距离的实地长度 D 及中误差D m 。 【解】==dM D ×2000=464m ，==d D Mm m 2000×=200cm=2m 。 3、已知图中AB 的坐标方位角，观测了图中四个水平角，试计算边长B →1，1→2，2→3， 3→4的坐标方位角。 【解】=1B α197°15′27″+90°29′25″-180°=107°44′52″ =12α107°44′52″+106°16′32″-180°=34°01′24″ =23α34°01′24″+270°52′48″-180°=124°54′12″ =34α124°54′12″+299°35′46″ -180°=244°29′58″ 4、在同一观测条件下，对某水平角观测了五测回，观测值分别为：39°40′30″，39°40′48″，39°40′54″，39°40′42″，39°40′36″，试计算： ① 该角的算术平均值——39°40′42″； ② 一测回水平角观测中误差——±″； ③ 五测回算术平均值的中误差——±″。 6、已知=AB α89°12′01″，=B x 3065.347m ，=B y 2135.265m ，坐标推算路线为B →1→2，测得坐标推算路线的右角分别为=B β32°30′12″，=1β261°06′16″，水平距离分别为=1B D 123.704m ， =12D 98.506m ，试计算1，2点的平面坐标。 【解】 1) 推算坐标方位角 =1B α89°12′01″-32°30′12″+180°=236°41′49″ =12α236°41′49″-261°06′16″+180°=155°35′33″ 2) 计算坐标增量 =?1B x ×cos236°41′49″=-67.922m ， =?1B y ×sin236°41′49″=-103.389m 。 =?12x ×cos155°35′33″=-89.702m ， =?12y ×sin155°35′33″=40.705m 。 3) 计算1，2点的平面坐标 =1x 2997.425m =1y 2031.876m =2x 2907.723m =2y 2072.581m 、试完成下列测回法水平角观测手簿的计算。 测站 目标 竖盘位置 水平度盘读数 (°′″) 半测回角值 (°′″) 一测回平均角值 (°′″) 一测回 B A 左 0 06 24 111 39 54 111 39 51 C 111 46 18 A 右 180 06 48 111 39 48 C 291 46 36 8、完成下列竖直角观测手簿的计算，不需要写公式，全部计算均在表格中完成。 测站 目标 竖盘 位置 竖盘读 (° ′ ″) 半测回竖直角 (° ′ ″) 指标差 (″) 一测回竖直角 (° ′ ″ ) A B 左 81 18 42 8 41 18 6 8 41 24 图 推算支导线的坐标方位角 《初等数学研究》教学大纲Research on elementary mathematics 课程名称：初等数学研究英文名称：课程性质：专业必修课 4 学分： 64 理论学时： 64 总学时：适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何一、教学目的与要求应使学生在掌握近、通过本课程的开设，初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。现做到初等与高等相结合。系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，代数学的基础上，以填补学生在中学数现代数学思想方法，尽量反映近、一方面，通过初等数学内容的研究，处学与高等数学之间的空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、为当好一名使学生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，研究中学数学内容，理、使学生进行解题策略的训练，同时通过本课程的开设，中学数学教师打下扎实的知识基础。具有一定的解题能力。由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、以帮助学生形成自主探索、研究，每节之后提出若干问题让学生进行探索、合作交流的学习方式，以便他们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。必要时运用小组合作的方式进行适学生自学为辅的教学方法，本课程主要采用以讲授为主、当的专题讨论。周，有32八学期开设，安排---初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七课时。64共,周36条件时可安排二、教学内容与学时分配序 号章节名称学时分配 1 第一章绪论 2 2 第二 章集合与逻辑 6 3 第三章数与式的理论 8 4 第四章函数的理论 8 5 第五章方程、不等式 8 6 公理化方法与演绎推理 6 7 第七章几何变换 8 8 第八章几何的向量结构及坐标 法 6 9 第九章排列、组合 6 10 第十章中学数学解题策略 6 合计学时数 64 三、各章节主要知识点与教学要求课时） 2第一章绪论（中学数学与初等数学的关系，中学数学的特点，中学数学的发展历程，包括数学研究的对象，本课程的研究 对象，学习本课程的目的意义，等等本章重点：中学数学的 特点本章难点：无掌握中学数学的特点，中学数学的发展历程；要求学生了解数学研究的对象，本章教学要求：中学数 学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的 目的意义课时）6第二章集合与逻辑（集合集合的特性， 集合的运算。集合的运用命题的逻辑演算命题的特征，简 单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算 命题中的量词假言命题的四种形式，量词的否定，存在量词， 全称量词，开语句的复合，真值集，开语句，充分条件与必要 条件集合与逻辑的关系本章重点：复合命题的真值定义， 等价命题，假言命题的四种形式本章难点：假言命题的四种 形式，开语句的复合，本章教学要求：要求学生掌握假言命题 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 模拟试卷一： 一、简答题（3分×15=45分） 1、测量计算的依据： 2、已知h BA=0.899米，A点尺读数1.293米，则B点尺读数 3、水准管轴： 4、如何消除视差： 5、符合水准路线： 6、水准尺倾斜，其读数是增大还是减小： 7、水准仪轴线应满足的条件： 8、经纬仪水平度盘是顺时针还是逆时针注记： 9、已知αAB=200o30'，则R AB= αBA= 10、罗盘仪的作用： 11、测量两点距离，往测185.324米，返测185.356米，测量精度K= 12、系统误差： 13、三角高程测量为何要对向观测 14、 1：1000比例尺的精度是多少 15、等高线平距 二、计算题 二、4、对某直线测量6次的值为246.535（545、520、529、550、537）米，计算算术 平均值L，算术平均值中误差m L及其相对中误差k m（12分） 二、5、已知αMN=300o00'00"，X M=14.000米，Y M=86.000米，X P=42.000米。Y P=85.000 米，仪器安置在M点，计算用极坐标法测设P点的放样数据。（12分） 模拟试卷一答案： 一、1、参考椭球体和法线。2、0.394米。3、通过水准管内壁圆弧对称中点的纵向切线。4、调节物镜对光螺旋。5、从一已知水准点出发，经若干个待定点后，又符合到另一已知水准点。6、增大。7、园水准轴平行竖轴，十字丝横丝垂直竖轴，水准管轴平行视准轴。8、顺时针。9、R AB=20o30' ，αBA=20o30'。10、测量直线的磁方位角。11、K=1/5791。12、在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，若误差大小、符号均一致，或有一定规律的变化。 13、削弱地球曲率和大气折光的影响。14、0.10米。15、相邻等高线间的水平距离。（45分） 二、1、竖角观测计算（8分） 选择题库及参考答案 第1章 绪论 1-1、我国使用高程系的标准名称是(BD 。 A.1956黄海高程系 B.1956年黄海高程系 C.1985年国家高程基准 D.1985国家高程基准 1-2、我国使用平面坐标系的标准名称是(AC 。 A.1954北京坐标系 B. 1954年北京坐标系 C.1980西安坐标系 D. 1980年西安坐标系 1-2、在高斯平面直角坐标系中，纵轴为( C )。 A.x 轴，向东为正 B.y 轴，向东为正 C.x 轴，向北为正 D.y 轴，向北为正 1-3、A 点的高斯坐标为=A x 112240m ，=A y 19343800m ，则A 点所在6°带的带号及中央子午线的经度分别为( D ) A 11带，66 B 11带，63 C 19带，117 D 19带，111 1-4、在( D )为半径的圆面积之内进行平面坐标测量时，可以用过测区中心点的切平面代替大地水准面，而不必考虑地球曲率对距离的投影。 A 100km B 50km C 25km D 10km 1-5、对高程测量，用水平面代替水准面的限度是( D )。 A 在以10km 为半径的范围内可以代替 B 在以20km 为半径的范围内可以代替 C 不论多大距离都可代替 D 不能代替 1-6、高斯平面直角坐标系中直线的坐标方位角是按以下哪种方式量取的？( C ) A 纵坐标北端起逆时针 B 横坐标东端起逆时针 C 纵坐标北端起顺时针 D 横坐标东端起顺时针 1-7、地理坐标分为( A )。 A 天文坐标和大地坐标 B 天文坐标和参考坐标 C 参考坐标和大地坐标 D 三维坐标和二维坐标 1-8、地面某点的经度为东经85°32′，该点应在三度带的第几带?( B ) A 28 B 29 C 27 D 30 1-9、高斯投影属于( C )。 A 等面积投影 B 等距离投影 C 等角投影 D 等长度投影 1-10、测量使用的高斯平面直角坐标系与数学使用的笛卡尔坐标系的区别是( B )。 A x 与y 轴互换，第一象限相同，象限逆时针编号 B x 与y 轴互换，第一象限相同，象限顺时针编号 C x 与y 轴不变，第一象限相同，象限顺时针编号 D x 与y 轴互换，第一象限不同，象限顺时针编号 第2章 水准测量 2-1、水准仪的( B )应平行于仪器竖轴。 A 视准轴 B 圆水准器轴 C 十字丝横丝 D 管水准器轴 2-2、水准器的分划值越大，说明( B )。 A 内圆弧的半径大 B 其灵敏度低 C 气泡整平困难 D 整平精度高 2-3、在普通水准测量中，应在水准尺上读取( D )位数。 A 5 B 3 C 2 D 4 2-4、水准测量中，设后尺A 的读数a=2.713m ，前尺B 的读数为b=1.401m ，已知A 点高程为15.000m ，则视线高程为( B )m 。 A.13.688 B.16.312 C.16.401 D.17.713 2-5、在水准测量中，若后视点A 的读数大，前视点B 的读数小，则有( A )。 A.A 点比B 点低 B.A 点比B 点高 C.A 点与B 点可能同高 D.A 、B 点的高低取决于仪器高度 2-6、自动安平水准仪，( D )。 A.既没有圆水准器也没有管水准器 B.没有圆水准器 C. 既有圆水准器也有管水准器 D.没有管水准器 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 测 量 学 试 题 库 一、填空题 （一）测量学基础知识（1-38题） 1. 地面点到 铅垂距离称为该点的相对高程。 2. 通过 海水面的 称为大地水准面。 3. 测量工作的基本内容是 、 、 。 4. 地面两点间高程之差，称为该两点间的 。 5. 测量工作的基本原则是 、 、 。 6. 直线定向的标准方向有 、 、 。 7. 由 方向顺时针转到测线的水平夹角为直线的坐标方位角。 8. 距离丈量的相对误差的公式为 。 9. 坐标方位角的取值范围是 。 10. 直线的象限角是指直线与标准方向的北端或南端所夹的 角，并要标注所在象限。 11. 某直线的方位角与该直线的反方位角相差 。 12. 地面点的标志，按保存时间长短可分为 和 。 13. 闭和水准路线高差闭和差的计算公式为 。 14. 水准仪的主要轴线有 、 、 、 。 15. 一般工程水准测量高程差允许闭和差为 或 。 16. 一测站的高差 ab h 为负值时，表示 高， 低。 17. 水准测量高差闭合的调整方法是将闭合差反其符号,按各测段的__________成比例分配或按_________成比例分配。 18. 水准测量的测站校核,一般用______法或______法。 19. 支水准路线,既不是附合路线,也不是闭合路线,要求进行_______测量,才能求出高差闭合差。 20. 使用测量成果时,对未经_______的成果,不能使用。 21. 从A 到B 进行往返水准测量,其高差为:往测3.625m;返测-3.631m,则A 、B 之间的高差AB h ＿＿＿． 22. 已知Ｂ点高程为m 000.241，Ａ、Ｂ点间的高差m h AB 000.1+=，则Ａ点高程为＿＿＿．测量学_计算题库及参考答案
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